Zwillingsparadoxon

Hallo Harti,

Harti schrieb in Beitrag Nr. 13-240:

Der Erdzwilling ist mit seinem Bezugssystem (mathematisch vorstellbar als ein Koordinatensystem) verbunden und der Reisezwilling seinerseits mit seinem Bezugssystem. Beide Zwillinge "ruhen" jeweils in ihrem Bezugssystem, das bedeutet, sie verändern sich in diesem Bezugssystem räumlich nicht.
Wenn ich den Reisezwilling aus der Position des Erdzwillings betrachte, das Bezugssystem des Erdzwillings zur Grundlage der Betrachtung mache, treten für den Erdzwilling im Bezugssystem des Reisezwillings die relativistischen Effekte auf, das heißt die Maßstäbe für Raum und Zeit sind mit dem Lorentz-Faktor verändert. Dies gilt auch für die im Bezugssystem des Reisezwillings befindlichen Objekte, also den Reisezwilling selbst, eine Rakete etc.

Bis hierhin alles ok.

Zitat von Harti:

Auch aus der Sicht des Erdzwillings bleibt aber das Verhältnis von Raum und Zeit ( Veränderungsgeschwindigkeiten) im System des Reisezwillings unverändert und entspricht Geschwindigkeiten in seinem eigenen System; denn im selben Maße wie sich der Längenmaßstab verkürzt, dehnt sich der Zeitmaßstab.
(Beispiel: 1000m zu 1/10s = 100m zu 1s)

Das ist falsch:

Nehmen wir einmal an, in der Rakete wirft der Reisezwilling einen Ball mit v = 10m/s von links nach rechts. Aus der Sicht des Erzwillings bleibt der Raummaßstab quer zur Fahrtrichtung konstant, die Zeit des Raketensystems ist aus Erdsicht um den Lorentzfaktor 1/0,6 = 1,67 gedehnt. Der Erdzwilling stellt somit im System des Reisezwillings eine Geschwindigkeit von 10m/ 1,67s = 6m/s fest. Noch schlimmer wird es, wenn der Reisezwilling den Ball nach vorn oder nach hinten wirft. Der Raummaßstab verkürzt sich um den Faktor 1,67 und der Zeitfaktor dehnt sich um denselben Betrag. Der Erdzwilling stellt in diesem Fall also eine Geschwindigkeit des Balls von 10/1,67m / 1,67s = 3,6 m/s fest¹.

Anmerkung: Die Rechnung für die ermittelte Geschwindigkeit in Fahrtrichtung ist ungenau und dient hier nur der Veranschaulichung, dass die Geschwindigkeiten im Bezugssystem des Reisezwillings vom Erdzwilling anders, nämlich geringer, beurteilt werden. Für eine genaue Rechnung müsste hier das Geschwindigkeitsadditionstheorem zu Grunde gelegt werden.

Zitat von Harti:

Da die Veränderungsgeschwindigkeit in beiden Systemen gleich ist, altert der Reisezwilling nicht schneller als der Erdzwilling. Wenn man nur die Zeit, das reine Alter, betrachtet, erscheint der Reisezwilling aus Sicht des Erdzwillings allerdings jünger, weil der Zeitmaßstab im System des Reisezwillings gedehnt ist.

Der erste Satz ist somit falsch. Der zweite Satz wäre zwar ok, aber er widerspricht dem ersten. Wie könnte der Reisezwilling vom "reinen Alter" her nach der Reise jünger geblieben sein, wenn er andererseits genauso schnell altern soll, wie der Erdzwilling?

Hallo Claus, hallo Eugen, hallo Harti, hallo Mitleser,

habe ich letztens voller Stolz behauptet

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 13-254:

Wenigstens dürfte ich gezeigt haben, dass ich´s kann, darauf bin ich wirklich ein bisschen stolz.

muss ich nun einmal schön auf die Bremse treten, und kleinlaut zugeben, dass ich es ganz und gar nicht kann, und die ganze Thematik nur zum Teil verstanden habe.

Claus, deine kleine, harmlose Knobelaufgabe, die jedes kleine Mädchen löst, erledige ich mal eben auf die Schnelle, und dann kann ich hier im Forum glänzen! Dann bin ich der Held hier! Dachte ich. Leider habe ich da gründlich falsch gedacht.

Die kleine Aufgabe hat es nämlich in sich, und zwar gewaltig! Was ich die letzten beiden Tage an geistiger Verwirrung und grenzenloser Verzweiflung gelitten habe, möchte ich hier nicht reinschreiben :confused:.

(1.)
Mein bisheriges Verständnis zum Thema "Bezugssystem":
Mein Bezugssystem ist das, in dem ich ruhe. Alle Objekte, die aus meiner Sicht ruhen, gehören ebenfalls zu meinem Bezugssystem.
Alle Objekte, die sich relativ zu mir bewegen, gehören in ein anderes Bezugssystem.
Jedes Objekt kann sich als in Ruhe befindlich betrachten.
Alles schick soweit.
Dank Claus´ Knobelaufgabe merkte ich schnell, dass irgendwas mit Reisis Bezugssystem nicht stimmt. Es ist immer die Rede von "Reisi wechselt das Bezugssystem, und deshalb ist er jünger" die Rede.
Hä? Wo wechselt Reisi bitteschön das Bezugssystem?! Sein Bezugssystem ist die Rakete, in der er hockt. Die ist die ganze Zeit in Ruhe zu ihm - hin wie zurück. Erde und Vega sind aus seiner Sicht bewegt, und zwar von Anfang bis Ende, da wechselt auch nix! Und Reisi steigt auch nicht zwischendurch aus, um sich mal die Beine zu vertreten, so dass die Rakete nun aus seiner Sicht mal bewegt ist.
So, und da fingen die Schwierigkeiten an:
Claus will wissen, wann "gleichzeitig" für Reisi ist, wenn Erdi nach einem Jahr winkt. Kein Problem:
(2.)
Zeitdilatatonsfaktor 0,6, Kehrwert, für Reisi ist auf der Erde ein Jahr vergangen, wenn Reisi-Uhr 1,67 Jahre anzeigt (1,67*0,6=1).
Auch nach fünf Erdjahren scheinbar kein Problem:
Reisis Uhr zeigt dann 8,33 Jahre an. Obwohl das, wie wir gleich sehen werden, eigentlich schon nicht mehr sein kann.
So, habe ich scheinbar Claus´ Aufgabe schon zu zwei Dritteln gelöst (Signallänge von Erdis Lampe immer um den Faktor 0,6 verzögert, also aus Reisis Sicht 1,67 Sekunden lang).
Und nach 18 Erdjahren?
Na klar, 18*1,67=30,06 Jahre. Reisis Uhr muss also 30,06 Jahre anzeigen, wenn Erdis Uhr 18 Jahre anzeigt. Boing!
Reisi ist ja nur 12 Jahre unterwegs! Also stimmt da etwas ganz und gar nicht! Verdammte Sch..., da fing dann mein Leidensweg an. Aber weiter gemacht und gedacht, wo ist also der Fehler?
Betrachtet man streng nur die (stets wechselseitige) Zeitdilatation, vergehen aus Reisis Sicht auf der Erduhr nur (12*0,6) 7,2 Jahre, 3,6 auf der Reise zu Vega, 3,6 dann zurück zur Erde. 18 Erdjahre kann Reisi gar nicht vergehen sehen! Ein für mich unlösbares Problem. Wie durch ein Wunder (;-)) taucht Claus´ Zeichnung auf. Ein Glück, nun löst sich mein Problem. Ich schaue sie mir voller Freude an. Und verstehe nur Bahnhof. Nach stundenlangem Anglotzen der Zeichnung wird mir nebulös klar, dass ich nun mit Parallelverschiebung Reisis Gleichzeitigkeit von 1 Erdjahr und 18 Erdjahren ablesen kann, nun aber nicht mehr von 5 Erdjahren! Denn laut Zeichnung kann Reisi Gleichzeitigkeit für Erdjahr 0-3,6 und für 16,4 bis 20 bestimmen. Und dazwischen??? Und wie soll Reisi 18 Erdjahre vergehen sehen, wenn aus seiner Sicht nur 7,2 Jahre auf der Erde vergehen?! Also hatte ich nun zwei Probleme: Ich konnte weder für 5, noch für 18 Erd-Jahre sicher Gleichzeitigkeit für Reisi vorhersagen. Danke Claus :smiley29:!
In einer langen persönlichen Nachricht bat ich Claus, mir zu helfen, denn allein konnte ich das ganze Wirrwar nicht mehr auflösen. Er erklärte mir dann erst einmal den Wechsel des Bezugssystems von Reisi: Wenn man die Zeichnung anschaut, wird klar, dass am Umkehrpunkt Reisis Koordinatensystem in Bezug auf Erdis System gekippt wird! Wenn ich das richtig verstanden habe, würde ich nun lieber nicht von einem "Wechsel des Bezugssystems" sprechen, sondern von einem "Kippen" des Bezugssystems von Reisi gegenüber dem von Erdi. Ich hoffe, das ist erlaubt, und birgt nicht wieder neue Fehler und Stolperfallen!
Also ein Problem gelöst, ich kann auf Claus´Zeichnung ablesen, wann Gleichzeitigkeit für Reisi nach einem und nach 18 Erdjahren herrscht. Aber was ist mit den fünf Erdjahren?
Das habe ich bis jetzt nicht lösen können. Vielleicht sind es die von mir vorgeschlagenen 8,33 Jahre, dann ist es von mir aber mehr ein "richtig geraten", denn ich kann nicht behaupten, es sicher verstanden zu haben. Und wie soll ich die 18 Jahre raten? Vielleicht so: Die 18 Jahre sind von 20 Jahren 2 Jahre entfernt. Rechne ich nun also 2*1,67 sind das 3,34 Jahre. Reisis 12 Jahre Gesamtreisezeit - 3,34 Jahre sind 8,66 Jahre. Also zeigt Reisis Uhr vielleicht 8,66 Jahre Reisezeit an, wenn 18 Jahre auf der Erde vergangen sind. Gegenprobe: In 3,34 Jahren Restreisezeit (Jahr 8,66 bis Jahr 12) kann Reisi ausrechnen, dass aus seiner Sicht die Erduhr um (3,34*0,6) 2 Jahre voranschreitet. Diese zwei Jahre müssen die Jahre 18-20 und 8,66-12 sein, denn die Reise ist ja für beide nun zu Ende, der Endpunkt ist das Erdjahr 20 und das Raumschiffjahr 12. So gesehen macht das Sinn, und ich habe vielleicht aus Versehen richtig gerechnet.
Jedenfalls, lieber Claus, schlage ich das alles als Lösung deiner Knobelaufgabe vor:

Erdi-Jahr 1 = Reisi-Jahr 1,67.
Erdi-Jahr 5 = Reisi-Jahr 8,33. (Zweifel zweifel)
Erdi-Jahr 18 = Reisi-Jahr 8,66.

Und es tun sich Abgründe auf:
Wo sind nun die Erd-Gleichzeitigkeits-Jahre 3,6 - 16,4? Für Reisi tauchen sie in Claus´Zeichnung nicht auf!
Claus erklärte mir, dass die Erduhr (bei alleiniger Beachtung der Zeitdilatation und Kippen des Bezugssystems) am Umkehrpunkt für Reisi sofort von 3,6 auf 16, 4 Jahre springt!
Wie bitte? Was???
Hallo Eugen (und natürlich alle anderen), wenn dem so ist, dann komme ich zu zwei verschiedenen Schlüssen, die ich gerne als Vorschläge diskutieren möchte:

1. Die hier fehlenden Jahre müssen vorhanden sein, denn Reisi kann die ganze Reise in den Rückspiegel oder aus dem Frontfenster gucken, und er würde Erdi, der die ganze Zeit winkt, auch die ganze Zeit winken sehen. Und nicht nur 7,2 Jahre! Um das allerdings widerspruchsfrei nachvollziehen zu können, darf ich die Lichtlaufzeiten und den Dopplereffekt nicht mehr beim Zwillingsparadoxon vernachlässigen!
2. Betrachten wir die Umkehr aus praktischer Sicht:
Streng genommen kann der Umkehrvorgang zwar zur Gesamtreisezeit beliebig (infinitesimal) klein gemacht werden, aber nicht Null! Auf der Weltlinie Reisis wäre dies immer eine (wenn auch beliebig kleine) Kurve!
Während dieser Kurve ändern sich natürlich die Geschwindigkeiten, es treten Beschleunigungen auf. Das wiederum ändert kontinuierlich die Raumstauchung und die Zeitdehnung. Ich kann mir nun intuitiv vorstellen, dass diese Änderungen die "Gleichzeitigkeitswinkel" in Claus´Zeichnung so ändern, dass sie für die kurze Zeit der Umkehr die fehlenden Jahre auf der Erdzeitlinie überstreichen, und so bei geschickter Berechnung auch dort Gleichzeitigkeit bestimmt werden kann. Man beachte hier ausdrücklich, dass wir für die Erklärung des Zwillingparadoxons immer noch keine Kräfte und Beschleunigungen brauchen! Sondern immer noch nur die Weltlinien, in denen der Reiseumkehrpunkt beliebig klein sein darf, und die Altersunterschiede trotzdem auftreten.

Leute, entschuldigt den sehr lang gewordenen Text, aber kürzer ging es diesmal nicht.

Beste Grüße

Oh Claus, die 8,33 Jahre Reisi-Zeit bei 5 Jahren Erdzeit könnten tatsächlich stimmen: Bei Vega-Ankunft (6 Jahre Reisi-Reisezeit) zeigt Erduhr aus Reisisicht 3,6 Jahre an. Fehlen bis 5 Jahre Erdzeit 1,4 Jahre. Zeitdilatation: 1,4 Erdjahre * 1,67 = 2,33 Reisi-Jahre. Wenn Reisi auf seiner Uhr also weitere 2,33 Jahre vergangen sieht, weiß er, dass auf der Erde weitere 1,4 Jahre vergangen sind. Rechnen wir zusammen: Schaut Reisi nach 8,33 Jahren auf seine Raumschiffuhr, weiß er, dass auf der Erde 5 Jahre vergangen sein müssen.
Ach nee, doch nicht: Die Erduhr springt ja am Umkehrpunkt gleich von 3,6 auf 16,4 Erdjahre aus Reisis Sicht. Ach Mensch! Weißt du was? Viel Spaß beim Auflösen des Kuddelmuddels! Du hast den schließlich angerichtet! :smiley29:

Hallo Claus,
ich habe auch ein Raumzeitdiagramm (Minkowski-Diagramm) zur Beantwortung Deiner Knobelaufgabe gefertigt. Ich hoffe, es ist hinreichen gut zu lesen. Leider weiß ich nicht, wie ich es hätte kleiner darstellen können.



Die Lichtgeschwindigkeit (c) hat darin, entsprechend den von Dir gewählten Einheiten, den Wert 1.

Reisi bewegt sich mit 0,8c = 4/5c in Richtung Wendepunkt (W) und von dort zurück zur y-Achse und trifft dort beim Zeitpunkt 20 Jahre mit Erdi zusammen. Erdi verändert sich während der Reise rein zeitlich, also auf der y-Achse, von 0 bis 20 Jahre. Nach 1 Jahr (c´), nach 5 Jahren (c´´) und nach 18 Jahren (c´´´) geht eine Lichtinformation mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung Reisi und trifft bei diesem bei P1, P2 und P3 ein. Die Zeitpunkte kann man auf der Y-Achse ablesen.

Dass auf der Grundlage dieses Raumzeitmodells Erdi und Reisi beim Wiedersehen gleich gealtert sind, nämlich 20 Jahre, ergibt sich aus folgendem:

1) Beide Zwillinge lesen auf der von Ihnen mitgeführten Uhr die gleiche Eigenzeit ab, nämlich 20 Jahre. Diese Definition der Eigenzeit habe ich aus dem Buch "Physik der Raumzeit" von Edwin F.Taylor/John Archibald Wheeler, (Eine Einführung in die spezielle Relativitätstheorie, Spektrum Akademischer Verlag, 1994, Seite 20,21) entnommen. Diese Definition der Eigenzeit beruht letztlich darauf, dass beide Zwillinge sich in Anwendung des Relativitätsprinzips als ruhend betrachten können.

2) Die raumzeitliche Veränderung für beide Zwillinge erfolgt von Ereignis 1 (Abreise) zu Ereignis 2 (Wiedersehen). Dies ist ein invariantes, d.h. von Bezugssystemen unabhängiges, Raumzeitintervall. Tatsächliches Geschehen ist in einem Raumzeitmodell absolut.

3) Man kann die Bewegungen von Erdi und Reisi auch vektoriell beschreiben. Vektoren sind geeignet Raum und Zeit mit ihrem Betrag und ihrer Richtung gleichzeitig zu beschreiben. Die Vektorrechnung ergibt, dass die Bewegung von Reisi mit v1 + v2 beschrieben wird und die Bewegung von Erdi mit v3 .
v1 + v2 = v3. Die Veränderungen von Erdi und Reisi sind deshalb auf der Grundlage eines raumzeitlichen Modells gleich. Raum und Zeit sind in einem solchen Modell untrennbar miteinander verbunden. Der tatsächliche Alterungsprozeß von Erdi und Reisi unterscheidet sich nicht.

Nochmal zur Verdeutlichung: Ich bestreite nicht, dass es die relativistischen Effekte in Modellen, die Raum und Zeit trennen, gibt, wenn Systeme im Verhältnis zueinander bewegt sind. Diese Effekte betreffen nach meiner Meinung aber nur die Maßstäbe, nicht tatsächliches Geschehen, wie z.B. Wachstum oder Alterungsprozesse.

MfG
Harti

Hallo Harti,

ohne deine Zeichnung genau studiert zu haben, erkenne ich schon von weitem Fehler:

Selbst wenn von dir im Text behauptetes richtig wäre (was es natürlich nicht sein kann), deine Zeichnung würde schon etwas anderes sagen:
Nur ein kleines Beispiel:

Schau dir mal den Umkehrpunkt an. Der liegt nicht bei den geforderten 10 Jahren. Also wäre Reisis Rückweg zeitlich schon mal wesentlich kürzer als sein Hinweg. Wie kann das sein bei konstant 0,8c Reisegeschwindigkeit???
Wäre deine Rückreiselinie gleichlang wie die Hinreiselinie, landest du bei einem Punkt jenseits von 20 Jahren. Merkste was?

Grüße

Hallo Harti,

Harti schrieb in Beitrag Nr. 13-264:

Zitat:

Beide Zwillinge lesen auf der von Ihnen mitgeführten Uhr die gleiche Eigenzeit ab, nämlich 20 Jahre. Diese Definition der Eigenzeit habe ich aus dem Buch "Physik der Raumzeit" von Edwin F.Taylor/John Archibald Wheeler, (Eine Einführung in die spezielle Relativitätstheorie, Spektrum Akademischer Verlag, 1994, Seite 20,21) entnommen.

Jetzt endlich dämmert mir, was du bei Taylor/ Wheeler gelesen hast und meinst:


Das Eigenzeitintervall ist invariant.

Ja. das stimmt. Aber Achtung: Das das bdeutet nicht, dass alle Uhren, die in irgendwelchen Bezugssystemen mitgeführt werden, gleich schnell laufen!

Das sogenannte "Raumzeitintervall" ist für c = 1 wie folgt definiert:

ds2 = dt2 - dx2

ds = Raumzeitintervall
dt = zeitlicher Abstand
dx = räumlicher Abstand (Betrachtung nur einer Raumdimension)

Ein Raumzeitintervall ist lorentzinvariant - und du hast recht: dasselbe gilt auch für ein Eigenzeitintervall, denn es leitet sich aus dem Raumzeitintervall wie folgt ab
dTau = ds/c

Das Wort "Intervall" bedeutet nun aber, dass es sich immer um einen Zeitabschnitt handelt! Wenn Raumi bspw. in seinem Raumschiff 5 Minuten lang frühstückt, dann sind sich alle Inertialsysteme darüber einig, dass dieser Vorgang 5 Minuten gedauert hat. Aber jetzt kommts:

Dennoch können bei Erdi während dieser Frühstückspause 8,3 Minuten vergangen sein!

So gilt z.B. Folgendes: Eigenzeit Reisi = Erdis Zeit * sqrt (1 - v²/c²)

Ich hoffe, dass ich mit obiger Erläuterung ein Missverständnis aufklären konnte.
Du musst daher deine These: "Die Eigenzeit bleibt in beiden Bezugssystemen gleich" unbedingt begraben... :psst:
Ich fürchte deshalb auch, dass sich die Lösung der Knobelaufgabe nicht aus deinem Diagramm ableiten lässt. Oder ergibt sich daraus eine Antwort auf meine Frage in Beitrag Nr. 13-251? Was sagst du übrigens zu meiner Argumentation in Beitrag Nr. 13-262, in der ich dir zeigte, dass deine obige Annahme falsch ist?

P.S.: Ich hatte übrigens nach Lektüre in Bauhofs SRT Arbeitsplattform einen gestern abend bereits geschriebenen Post wieder gelöscht, da ich in diesem Post selber die Begriffe "Eigenzeit" und "Eigenzeitintervall" durcheinandergeworfen hatte.

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 13-261:

Hallo Eugen,

Lorentzfaktor (0,99c): √(1-v²/c²) = 0,141

also Reisestrecke für Astronaut: 100Lj*0,141= 14,1 Lj

Reisezeit für Astronaut: 14,1/0,99c=14,24 Jahre

Zeitdilatation Erde aus Sicht Astronaut (0,99c):

√(1-v²/c²) = 0,141

Nach 14,24 Jahren Reise sind aus Sicht Astronaut (14,24*0,141) = 2 Jahre Erdzeit vergangen.

Beste Grüße

Hallo Stueps,

ja, zu dem Ergebnis bin ich jetzt auch gekommen. Ich habe es allerdings anders berechnet.Wir wissen nicht, ob der Stern Kanopus 100 Lichtjahre entfernt ist, denn das ist aus dem Diagramm nicht ersichtlich. Aus dem Diagramm ist aber ersichtlich, dass nach 202 Erdjahren der Astronaut wieder auf der Erde eintrifft.

Aus dem Diagramm ist außerdem ersichtlich, dass nach 202/2 = 101 Erdjahren der Astronaut am Kanopus angekommen ist.

Also errechnet sich die Zeit T2, die der Astronaut von Start bis zum Kanopus auf seiner Uhr abliest, wie folgt:

T2 = 101•sqrt(1 – 0,99²)
T2 = 101•0,14106 = 14,24706 Jahre

Aus der Sicht des Astronauten verstreicht wegen dem Relativitätsprinzip die Zeit T1 auf der Erde:

T1 = 14,24706•sqrt(1 – 0,99²)
T1 = 14,24706•0,14106 = 2,0096 Jahre

Im Diagramm wurden 3,96 Jahre eingezeichnet. Das wird daran liegen, dass der Astronaut nicht mit v=0,99c reist.

Daher eine kleine Knobelaufgabe für dich:
Mit welcher Geschwindigkeit muss der Astronaut reisen, damit für T1 = 3,96 Jahre herauskommt, so wie es im Diagramm eingezeichnet ist?

M.f.G Eugen Bauhof

Hallo Eugen, bin auf Arbeit, wenig Zeit: 0,9806c

Grüsse

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 13-268:

Hallo Eugen, bin auf Arbeit, wenig Zeit: 0,9806c

Grüsse

Hallo Stueps,

ich habe eine kleine Abweichung zu deinem Ergebnis. X sei die gesuchte Geschwindigkeit, dann kommt:

T2 = 101•sqrt(1 – X²)
T1 = T2•sqrt(1 – X²)
T1 = 101•sqrt(1 – X²)•sqrt(1 – X²)
T1 = 101•(1 – X²)
T1/101 = 1 – X²
X² = 1 – T1/101
X = sqrt(1 – T1/101); T1 = 3,96
X = sqrt(1 – 3,96/101)
X = 0,9802c

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo Bauhof,

mit 0,9802c benötigt der Astronaut aber 204 Jahre für den Hin- und Rückweg. Laut deinem Diagramm soll er aber nur 202 Jahre benötigen. Ich schlage daher vor, wir bleiben bei 0,99c.

Alternativ müsste Kanopus nur 99 Lj entfernt sein.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-270:

Hallo Bauhof,

mit 0,9802c benötigt der Astronaut aber 204 Jahre für den Hin- und Rückweg. Laut deinem Diagramm soll er aber nur 202 Jahre benötigen. Ich schlage daher vor, wir bleiben bei 0,99c.

Alternativ müsste Kanopus nur 99 Lj entfernt sein.

Hallo Claus,

wie kommst du auf die 204 Jahre für den Hin- und Rückweg? Wir wissen doch gar nicht, wie weit Kanopus von der Erde entfernt ist, denn das ist im Diagramm nicht verzeichnet.

Wir können uns nur an die vorgegebenen 202 Jahre und T1 = 3,96 Jahre halten. Daraus errechnet sich die Geschwindigkeit, mit der der Astronaut unterwegs ist. Habe ich vielleicht falsch gerechnet?

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-266:

Das Wort "Intervall" bedeutet nun aber, dass es sich immer um einen Zeitabschnitt handelt! Wenn Raumi bspw. in seinem Raumschiff 5 Minuten lang frühstückt, dann sind sich alle Inertialsysteme darüber einig, dass dieser Vorgang 5 Minuten gedauert hat.

Also sind sich auch alle Inertialsysteme darüber einig, dass Reisi 5 Minuten älter geworden ist. Wie kann er dann am Ende der Reise tatsächlich jünger sein ?

Zitat von Claus:

Aber jetzt kommts:

Dennoch können bei Erdi während dieser Frühstückspause 8,3 Minuten vergangen sein!

So gilt z.B. Folgendes: Eigenzeit Reisi = Erdis Zeit * sqrt (1 - v²/c²)

Wie ist diese Diskrepanz zur ersten Aussage zu erklären ?

In einem Minkowskidiagramm sind Raum und Zeit vereinheitlicht und es werden in einem raumzeitlichen Bezugssystem die Veränderungen beider Zwillinge dargestellt.
Wenn man mit jedem Zwilling ein Bezugssystem verbindet und die Trennung von Raum und Zeit in Form einer Beziehung zwischen beiden, die aus der Perspektive des Raumes definiert ist (Geschwindigkeit = Strecke/Zeit) darstellt, muss man mit Hilfe des Lorentz-Faktors Raum und Zeit vom einen ins andere System umrechnen und es treten die bekannte relativistischen Effekte auf.

Warum soll ich die Betrachtung des Zwillingsparadoxons in einem Raumzeitmodell, in dem sich alle Inertialsysteme über die Dauer der Frühstückspause von 5 Minuten von Erdi und Reisi einig sind, aufgeben und statdessen das Frühstücken aus der Position eines Zwillings betrachten ?


MfG
Harti

Hallo Bauhof,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 13-271:

Wir wissen doch gar nicht, wie weit Kanopus von der Erde entfernt ist, denn das ist im Diagramm nicht verzeichnet.

Wir können uns nur an die vorgegebenen 202 Jahre und T1 = 3,96 Jahre halten. Daraus errechnet sich die Geschwindigkeit, mit der der Astronaut unterwegs ist. Habe ich vielleicht falsch gerechnet?

Nein, nein. Du hast nicht falsch gerechnet. Wir können dann aber die Entfernung von Kanopus berechnen und kommen auf 99 Lj:

Reisezeit im System Reisi = 101 Jahre * sqrt (1-0,9802²) = 20 Jahre
Reisestrecke im System Reisi = 20 Jahre * 0,9802c = 19,604 Lj
Reisestrecke im System Erdi = 19,604 Lj / sqrt (1-0,9802²) = 99 Lj

Einverstanden?

Hallo Harti,

Harti schrieb in Beitrag Nr. 13-272:

Warum soll ich die Betrachtung des Zwillingsparadoxons in einem Raumzeitmodell, in dem sich alle Inertialsysteme über die Dauer der Frühstückspause von 5 Minuten von Erdi und Reisi einig sind, aufgeben und statdessen das Frühstücken aus der Position eines Zwillings betrachten ?

Weil deine beiden Aussagen:

Zitat von Harti:

Also sind sich auch alle Inertialsysteme darüber einig, dass Reisi 5 Minuten älter geworden ist.

und

Zitat von Harti:

...in dem sich alle Inertialsysteme über die Dauer der Frühstückspause von 5 Minuten von Erdi und Reisi einig sind...

nicht äquivalent sind und zumindest die erste Aussage im strengen Wortsinn sogar falsch ist:

"Älter werden" ist relativ, denn es findet ein Vergleich statt. Z.B. könnte Erdi älter als Reisi werden.
"Dauer" eines Vorgangs ist dagegen absolut: Z.B. könnte ein Frühstück 5 Minuten dauern.

Während sich alle Bezugssysteme darin einig sind, dass Reisis Uhr während seiner Frühstückspause um 5 Minuten vorgerückt ist (Reisis Eigenzeit), kann es also durchaus sein, dass innerhalb dieser (also Reisis) Zeit bei Erdi 8,3 Minuten, in einem anderen Bezugssystem 10 Minuten und in wieder einem anderen Bezugssystem vielleicht sogar 10 Jahre vergehen.

Hallo Eugen,

bin mir fast sicher, du hast vergessen, die Reisezeit für Reisi zu berechnen.

Oh, nee! Alles richtig bei dir! Bei mir alles falsch! Habe fälschlicherweise gelesen, dass 101 Lj die Reisestrecke ist. Das ist jedoch die Reisezeit!
Mein Fehler, habe deine Knobelaufgabe also falsch gelöst!

Grüsse

Hallo Stueps,

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 13-263:

Wo sind nun die Erd-Gleichzeitigkeits-Jahre 3,6 - 16,4? Für Reisi tauchen sie in Claus´Zeichnung nicht auf!

Bevor Reisi den Umkehrpunkt erreicht, liegen sie in Reisis Zukunft. Nach seiner Umkehr liegen sie in seiner Vergangenheit.

Genau genommen Kann der Umkehrpunkt nicht einem eindeutigen Bezugssystem zugeordnet werden. Die Gleichzeitigkeit für das Erdzeitintervall [3,6 bis 16,4] wäre also nicht definiert. Kann man sagen, dass sich alle Ereignisse dieses Erd-Zeitraums instantan in Reisis Reisejahr 6 ereignen?

Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-276:

Bevor Reisi den Umkehrpunkt erreicht, liegen sie in Reisis Zukunft. Nach seiner Umkehr liegen sie in seiner Vergangenheit.

Danke, das macht Sinn. Wenigstens intuitiv, ich muss noch genau nachdenken darüber. Für mein Verständnis die Frage:

Für die Jahre 3,6 - 16,4 kann Reisi also keine Gleichzeitigkeit bestimmen, da diese Erdi-Jahre also in der Zukunft oder Vergangenheit Reisis (während seiner Reise, aus seiner Sicht) liegen? Bitte bestätigen oder korrigieren, ist wichtig für mich.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-276:

Genau genommen Kann der Umkehrpunkt nicht einem eindeutigen Bezugssystem zugeordnet werden.

Dazu gleich mehr von mir.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-276:

Kann man sagen, dass sich alle Ereignisse dieses Erd-Zeitraums instantan in Reisis Reisejahr 6 ereignen?

Schön, dass du mich das fragst, wo ich doch die totale Ahnung von diesem Gleichzeitigkeitsmist habe :smiley4:.

Ich versuche es einmal trotzdem, und zwar intuitiv:

Ist der Reiseumkehrpunkt wirklich ein Punkt, sage ich ja! Wie denn sonst? (Ich hoffe, mit deiner Formulierung "in Reisis Reisejahr 6" meinst du diesen singulären Punkt.)

Gerade dir möchte ich aber auch gern einen alternativen Vorschlag unterbreiten, da du ihn vielleicht rechnerisch umsetzen kannst:

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 13-263:

Betrachten wir die Umkehr aus praktischer Sicht:
Streng genommen kann der Umkehrvorgang zwar zur Gesamtreisezeit beliebig (infinitesimal) klein gemacht werden, aber nicht Null! Auf der Weltlinie Reisis wäre dies immer eine (wenn auch beliebig kleine) Kurve!
Während dieser Kurve ändern sich natürlich die Geschwindigkeiten, es treten Beschleunigungen auf. Das wiederum ändert kontinuierlich die Raumstauchung und die Zeitdehnung. Ich kann mir nun intuitiv vorstellen, dass diese Änderungen die "Gleichzeitigkeitswinkel" in Claus´Zeichnung so ändern, dass sie für die kurze Zeit der Umkehr die fehlenden Jahre auf der Erdzeitlinie überstreichen, und so bei geschickter Berechnung auch dort Gleichzeitigkeit bestimmt werden kann. Man beachte hier ausdrücklich, dass wir für die Erklärung des Zwillingparadoxons immer noch keine Kräfte und Beschleunigungen brauchen! Sondern immer noch nur die Weltlinien, in denen der Reiseumkehrpunkt beliebig klein sein darf, und die Altersunterschiede trotzdem auftreten.

Erkläre ich bei Unverständnis gerne genauer und detaillierter, weil: Je mehr ich darüber nachdenke, desto mehr glaube ich, dass das wirklich hinhaut, und das "Problem" elegant löst.

Desweiteren ist mir aufgefallen, dass ich unter Einbezug der Lichtlaufzeiten und des Dopplereffektes sehr leicht bestimmen kann, wann wer etwas aus seiner Sicht wahrnimmt, und dann auch rückrechnen kann, wann etwas im anderen Bezussystem stattgefunden hat. Da finden nicht viele Jahre Erdis aus der Sicht Reisis instantan statt. Oder vielleicht sogar gar nicht. Deshalb möchte ich als Diskussionsvorschlag einbringen, dass zwar für die Altersunterschiede allein die unterschiedlichen Weltlinien verantwortlich sind, jedoch für ein vollständiges und widerspruchsfreies Nachvollziehen der Ereignisse aus jeder Sicht die Lichtlaufzeiten und der Dopplereffekt nicht vernachlässigt werden dürfen, und deshalb auf ihre Weise doch wichtig für ein widerspruchsfreies Zwillingsparadoxon sind. Bissel doof formuliert, aber ich hoffe, du weißt, wie ich das meine.

Beste Grüße

Hallo Stueps,

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 13-277:

Deshalb möchte ich als Diskussionsvorschlag einbringen, dass zwar für die Altersunterschiede allein die unterschiedlichen Weltlinien verantwortlich sind, jedoch für ein vollständiges und widerspruchsfreies Nachvollziehen der Weltlinien aus jeder Sicht die Lichtlaufzeiten und der Dopplereffekt nicht vernachlässigt werden dürfen, und deshalb auf ihre Weise doch wichtig für ein widerspruchsfreies Zwillingsparadoxon sind. Bissel doof formuliert, aber ich hoffe, du weißt, wie ich das meine.

:smiley8: M.E. überhaupt nicht "doof formuliert".Auf diese Erkenntnis wollte ich hinaus.

Ich möchte das aber zunächst anhand deiner Fragen begründen:

Zitat von Stueps:

Für die Jahre 3,6 - 16,4 kann Reisi also keine Gleichzeitigkeit bestimmen, da diese Erdi-Jahre also in der Zukunft oder Vergangenheit Reisis (während seiner Reise, aus seiner Sicht) liegen? Bitte bestätigen oder korrigieren...

Ja, das sehe ich genau so.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-276: Kann man sagen, dass sich alle Ereignisse dieses Erd-Zeitraums instantan in Reisis Reisejahr 6 ereignen?

Zitat von Stueps:

Ich versuche es ... einmal intuitiv: Ist der Reiseumkehrpunkt wirklich ein Punkt, sage ich ja!

Ich tendiere philosophisch zu nein, weil wie in Beitrag Nr. 13-276 gezeigt, kein eindeutiges Bezugssystem definiert ist.

"Praktisch" würde ich eher zu "ja" tendieren, aber das Beispiel ist m.E. eben nicht "praktisch" bzw. "realistisch". Und zwar nicht wegen der instantanen Umkehr (die ist sicherlich auch nicht realistisch, aber man könnte m.E. darüber hinwegsehen... schwerer wiegt m.E. die Tatsache, dass der von Reisi für die Erde errechnete "Zeitpunkt der Gleichzeitigkeit" von Reisi ja gar nicht gesehen wird. Daran würde auch dein Vorschlag einer "realistischen Abbremsung" nichts ändern. Deshalb lasse ich ihn erstmal beiseite.

In der Tat sieht Reisi auch unter Annahme eines instantanen Umkehrpunkts alle Ereignisse in der kausalen Reihenfolge. Verantwortlich dafür ist der Dopplereffekt. Darauf hattest du in deinem Beitrag Nr. 13-277 ja richtigerweise hingewiesen:

Zitat von Stueps:

Da finden nicht viele Jahre Erdis aus der Sicht Reisis instantan statt. Oder vielleicht sogar gar nicht.

Die Worte "vielleicht sogar" kannst du streichen. Unter Einbezug des Dopplereffekts wird alles in korrekter Reihenfolge gesehen!

Mir ist dabei noch eines wichtig:

Ich hatte oben gesagt, dass man nicht davon ausgehen darf, dass sich Erdis [3,6 - 16,4]-Ereignisse für Reisi kumuliert und instantan am Wendepunkt wiederfinden. Stellt sich die Frage, wo sie dann geblieben sind? Wer mag dazu etwas sagen? Ansonsten mehr dazu in meinem nächsten Beitrag.

Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-278:

schwerer wiegt m.E. die Tatsache, dass der von Reisi für die Erde errechnete "Zeitpunkt der Gleichzeitigkeit" von Reisi ja gar nicht gesehen wird. Daran würde auch dein Vorschlag einer "realistischen Abbremsung" nichts ändern

Erst habe ich gedacht: Oh, sehr gutes Argument! Im Moment denke ich: Gesehen wird der "Zeitpunkt der Gleichzeitigkeit" ja sowieso nicht. Auch wenn er in unserem "Erde-Vega Szenario" innerhalb von 0 - 3,6 oder 16,4 - 20 Jahren liegt.
Oder habe ich da was falsch verstanden?
Ich gehe morgen näher auf deinen Beitrag ein, im Moment bin ich sehr müde - tschuldigung :).

Beste Grüße

Oh mann, jetzt habe ich gemerkt, dass ich dir widerspreche, indem ich genau deine Argumente wiederhole. Oder nicht? Vergiss den Beitrag.:sleep:

Hallo Claus,

ich versuche nochmal die unterschiedlichen Modelle gegenüber zu stellen und dann die für mich entscheidende Frage zu stellen.

1) Raumzeitmodell

Raum und Zeit sind untrennbar zu einer Einheit verbunden. Die Darstellung erfolgt in einem Minkowski-Diagramm (der Raum ist in diesem Diagramm eindimensional als Weg dargestellt) Die Lichtgeschwindigkeit erscheint aufgrund von Gleichwertigkeit von Raum und Zeit mit entsprechenden Einheiten mit der Steigung 1. Tatsächliches Geschehen wird als Veränderung von Ereignis 1 zu Ereignis 2 als invariantes Raumzeitintervall dargestellt. Es gibt nur ein Bezugssystem, repräsentiert durch das Minkowski-Diagramm. Unterscheidet man in diesem Modell Raum und Zeit treten sie als Weltlinie (Raum plus Zeit) auf. Je mehr sich ein Objekt in der Zeit verändert, um so weniger im Raum, und umgekehrt. Für ein Objekt, das im herkömmlichen Sinn ruht (= keine Veränderung im Raum), vergeht die meiste Zeit, es verändert sich nur in der Zeit (@ Claus: Das ist der Zustand, den Du mit flitzen mit Lichtgeschwindigkeit durch die Zeit interpretierst.)

2) Herkömmliches Modell

Raum und Zeit sind getrennt. Zwischen ihnen wird eine Beziehung hergestellt, die aus der Perspektive des Raumes (Strecke/Zeit) als Geschwindigkeit definiert wird. Bewegungen werden in einem einfachen Weg-/Zeitdiagramm mit den herkömmlichen, letztlich willkürlich gewählten Einheiten (z.B.Meter und Sekunde) dargestellt. Die Lichtgeschwindigkeit hat in diesem Diagramm den Wert von rund 300 000 km/sec. Jedes Objekt wird mit einem Bezugssystem, bestehend aus Zeit- und Längenmaßstab, verbunden. Aufgrund des Relativitätsprinzips kann jedes Objekt als in seinem Bezugssystem ruhend (räumlich im Verhältnis zum Bezugssstem nicht verändert) vorgestellt werden. Betrachtet man zwei im Verhältnis zueinander bewegte Objekte (Systeme), müssen die Raum- und Zeitmaßstäbe mit Hilfe des Lorentzfaktors umgerechnet werden. Aus Sicht des ruhend angenommenen Systems werden im bewegten System Zeitdilatationn und Längenkontraktion beobachtet.

Nach meiner Meinung sollte man diese Modelle auseinander halten.

Nach welchem Modell ist die Frage zu beantworten, ob die Zwillinge beim Wiedersehen unterschiedlich gealtert sind.

Modell 1: Reisebeginn (Ereignis 1) und Reiseende (Ereignis2) stellen ein tatsächliches Geschehen (invariantes Raumzeitintervall) dar mit der Folge einer identischen Eigenzeit für Erdi und Reisi. Beide sind beim Wiedersehen 20 Jahre alt.

Modell 2:

Aus der Sicht von Erdi (er wird als ruhend vorgestellt) treten bei Reisi die relativistischen Effekte auf, er ist bei Rückkehr tatsächlich jünger als Erdi (Zeitdilatation)
oder unter Anwendung des Relativitätsprinzips
Aus der Sicht von Reisi (er wird als ruhend vorgestellt) treten bei Erdi die relativistischen Effekte auf, er ist bei Rückkehr tatsächlich jünger als Reisi.

Wie ist das Paradoxon, das sich aus Modell 2 ergibt, zu lösen ? Oder gibt es auch nach Modell 2 gar keinen Widerspruch ?

MfG
Harti

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-273:

Hallo Bauhof,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 13-271:

Wir wissen doch gar nicht, wie weit Kanopus von der Erde entfernt ist, denn das ist im Diagramm nicht verzeichnet.

Wir können uns nur an die vorgegebenen 202 Jahre und T1 = 3,96 Jahre halten. Daraus errechnet sich die Geschwindigkeit, mit der der Astronaut unterwegs ist. Habe ich vielleicht falsch gerechnet?

Nein, nein. Du hast nicht falsch gerechnet. Wir können dann aber die Entfernung von Kanopus berechnen und kommen auf 99 Lj:

Reisezeit im System Reisi = 101 Jahre * sqrt (1-0,9802²) = 20 Jahre
Reisestrecke im System Reisi = 20 Jahre * 0,9802c = 19,604 Lj
Reisestrecke im System Erdi = 19,604 Lj / sqrt (1-0,9802²) = 99 Lj

Einverstanden?

Hallo Claus,

einverstanden.
Die Entfernung S von Kanopus zur Erde lässt sich im System Erdi auch wie folgt berechnen:

S = v•t
S = 0,9802•101 = 99 LJ

Die Reisestrecke im System Reisi benötigt man dazu nicht.

M.f.G. Eugen Bauhof