Unendlichkeit in der Mathematik

Hallo Eugen,

ich kenne die Sieb-Methode des Erasthostenes nicht.
Die Tabelle entstand während meiner Schulzeit in meinem Kopf.
Ich wollte einfach nur ergründen, wie sich die Primzahlen im Zahlensystem anordnen.
Dabei entstand die Tabelle.

Ich habe die Primzahlen-Tabelle farb-codiert, zumindest bis zur Zahl 7.
Man erkennt darin, wie und warum sich die Primzahlen selbst zeigen.
Jede Zahl hat ihre eigene Farbe.
Bei der Malfolge der 2 gibt es immer einen freien Block zwischen den Werten.
Bei der Malfolge der 3 sind es 2 Blöcke.
Bei der Malfolge der 4 sind es 3 Blöcke,usw.
Wenn in einer Malfolge ein Wert farblich bis zum linken Rand dargestellt werden kann, ohne dabei auf eine Zahl gleichen Wertes zu treffen, dann ist es eine Primzahl.
Das System der Primzahlen lässt sich sogar als 3D-Objekt bauen.
An einem Modell könnte man sehen, daß das Prinzip der Primzahl auf einem geometrischen Prinzip beruht.



Eugen, kannst du mir bitte noch einen Gefallen tun?
Und zwar Folgendes:
Es lassen sich größere Primzahlen berechnen.
Die Sache hat nur einen Haken.
Und zwar dieser:
Es kann p*3+2 und/oder p*3-2 gelten.
Beispiel:
7*3=21 21-2=19 / 21+2=23
Hier führen beide Gleichungen zum Erfolg.
11*3=33 33-2=31 / 33+2=35
Hier gilt nur p*3-2

Ich würde gerne wissen wollen, ob das mit einem PC-Programm soweit überprüft werden kann, daß man davon ausgehen könnte, das mindestens eine Gleichung bei jeder Primzahl >2 zum Erfolg führt.
Zudem scheint man mit jeder ungeraden Zahl mit mindestens einer dieser Gleichungen eine Primzahl zu erreichen.
Ist aber nur eine Vermutung.

Besten Dank und Gruß, Jense.

PS:Habe mir gerade die Sieb-Methode des Erasthostenes angeschaut.
Wenn man die Tabelle als Dreieck anlegt, braucht man nicht wegstreichen.
Dafür entsteht die beschriebene Unordnung, die aber nicht stört.

Hier mal ohne Farb-Codierung.
Ist übersichtlicher.

Jense schrieb in Beitrag Nr. 2045-64:

Eugen, kannst du mir bitte noch einen Gefallen tun?
Und zwar Folgendes:
Es lassen sich größere Primzahlen berechnen.
Die Sache hat nur einen Haken.
Und zwar dieser:
Es kann p*3+2 und/oder p*3-2 gelten.
Beispiel:
7*3=21 21-2=19 / 21+2=23
Hier führen beide Gleichungen zum Erfolg.
11*3=33 33-2=31 / 33+2=35
Hier gilt nur p*3-2

Ich würde gerne wissen wollen, ob das mit einem PC-Programm soweit überprüft werden kann, daß man davon ausgehen könnte, das mindestens eine Gleichung bei jeder Primzahl zum Erfolg führt.
Zudem scheint man mit jeder ungeraden Zahl mit mindestens einer dieser Gleichungen eine Primzahl zu erreichen.
Ist aber nur eine Vermutung.

Besten Dank und Gruß, Jense.

Hallo Jense,

wenn ich dich richtig verstehe, dann hast du folgende Vermutung: Für alle Primzahlen p = p₁, p₂, p₃, ... gilt:

Entweder (3•p – 2 = Primzahl) oder (3•p + 2 = Primzahl)

Bevor ich das prüfe: Ist deine Vermutung so richtig von mir verstanden?

Die Vermutung mit den ungeraden Zahlen lasse ich zunächst mal außen vor, denn wenn die Vermutung für p₁, p₂, p₃, ... nicht zutrifft, dann trifft die Vermutung mit den ungeraden Zahlen auch nicht zu.

M.f.G. Eugen Bauhof

Ja, genau so.
Nur das manchmal beide zutreffen.
Es wäre auch interessant, wann welche Gleichung gilt.
Vielleicht kann man daraus ableiten, welches System durch Wiederkehr dahinter stecken könnte.

Primzahl 2:

3*2=6, 6-2=4, 6+2=8

4 und 8 sind keine Primzahlen

Primzahl 101:

3*101=303, 303-2=301, 303+2=305

301 und 305 sind keine Primzahlen.

Schade.
Ich danke dir.

Welche wäre die nächste Primzahl, bei der die Rechnung nicht aufgeht?

Gruß, Jense.

Keine Ahnung, Jense. Hab deine Beiträge gelesen, und mal mit zwei drei Zahlen ein paar Minuten herumprobiert. Deshalb vermute ich, dass die nächsten Zahlen (nach vorn und nach hinten) nicht so weit weg sind.
Egal, lass dich nicht abschrecken, du scheinst ein gutes Gefühl für Zahlen zu haben.

Gruß

Danke Stueps.

Du hast recht, ich habe ein Gefühl für Zahlen.Das war es aber auch schon.
Früher hat mich Mathematik nicht interessiert, heute bereue ich es.
Die Primzahlen haben mich fasziniert, weil sie so unberechenbar sind.
Man könnte behaupten, sie sind das Chaos in der Ordnung.

Was mich auch noch reizt, sind dreidimensionale Tabellen.
Es ist dabei die Frage, wie man die Mathematik anordnen kann oder muss.
In einer Pyramide ist die Mathematik leichter unterzubringen als in einer Kugel.
Zudem muss die Form dieses dreidimensionalen Gebildes eine Erwartung erfüllen.
Die Form hängt davon ab, was es zeigen und sortieren soll.
Aber da bin ich noch ganz am Anfang.

Jense schrieb in Beitrag Nr. 2045-71:

Die Primzahlen haben mich fasziniert, weil sie so unberechenbar sind.
Man könnte behaupten, sie sind das Chaos in der Ordnung.

Ich vermute, genau anders herum wird ein Schuh draus:

Primzahlen sind die einzigen und wahren Elemente, die Ordnung ins Chaos bringen. Sie sind das unerschütterliche Fundament der Welt.

Gruß

Wenn man mit der Mathematik in die Physik geht, dann scheint das so zu sein.
Schaut man sich den Antikythera-Mechanismus an, beruht unser Sonnensystem auf Primzahlen.

Primzahlen unterliegen aber nicht allen Grundrechenarten.
Wenn es um Addition und Subtraktion geht, gibt es keine Primzahlen.

Sortiere ich die Mathematik in logischer Folge, also 1 2 3 4 5 6 usw., tauchen die Primzahlen unberechenbar auf.
Sortiere ich die Mathematik logisch nach Primzahlen, ist der gesamte Rest der Mathematik das reine Chaos.

 

Primzahlen sind insofern interessant, als sie eine Basis der multiplikativen Gruppe aller von Null verschiedenen rationalen Zahlen darstellen.

Einfacher ausgedrückt: Jede von Null verschiedene rationale Zahl hat genau eine Darstellung als Produkt ganzzahliger Primzahlpotenzen.


Primzahlen sind auch deswegen interessant, weil ein Restklassenring Z/nZ (Z = Menge aller ganzen Zahlen) genau dann Körper ist, wenn n Primzahl ist.
Ist n aber nicht Primzahl, so hat Z/nZ Nullteiler, d.h. von Null verschiedene Elemente, deren Produkt Null ist.


Ganz andere interessante Sachen zu Primzahlen findet man skizziert im Artikel http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/primzahle...

 

Eigentlich ist die Zahl 2 keine echte Primzahl, sondern eine Zwangs-Primzahl.
Der 2 bleibt nichts weiter übrig, als sich durch sich selbst und 1 teilen zu lassen.
Es gibt ja schliesslich keine weitere ganze Zahl zwischen 2 und 1.
Es ist auch die einzige gerade Zahl, die eine Primzahl ist.

Würde die Definition für eine Primzahl lauten: "Sie ist eine ungerade Zahl, die größer ist als 2, lässt sich nur durch 1 und durch sich selbst teilen", sähe die Sache schon anders aus.

Jense schrieb in Beitrag Nr. 2045-73:

Sortiere ich die Mathematik in logischer Folge, also 1 2 3 4 5 6 usw., tauchen die Primzahlen unberechenbar auf.

Sortiere ich die Mathematik logisch nach Primzahlen, ist der gesamte Rest der Mathematik das reine Chaos.

Hallo Jense,

ja, in der Folge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... tauchen die Primzahlen unberechenbar auf.

Nun deine Umkehrung:
Wenn man die “die Mathematik“ logisch nach Primzahlen sortiert, tauchen dann nach deiner Meinung die natürlichen Zahlen berechenbar auf? Wenn ja, wie stellst du dir das vor?

Ich denke, die Deutschsprachige Primzahlenseite ist die Seite für dich, die dich interessieren könnte.

M.f.G. Eugen Bauhof

Jense schrieb in Beitrag Nr. 2045-75:

Würde die Definition für eine Primzahl lauten: "Sie ist eine ungerade Zahl, die größer ist als 2, lässt sich nur durch 1 und durch sich selbst teilen", sähe die Sache schon anders aus.

Hallo Jense,

das wäre unzweckmäßig, wenn die natürliche Zahl 2 keine Primzahl wäre. Denn als Folge davon wäre z.B. die natürliche Zahl 4 eine Primzahl.

M.f.G. Eugen Bauhof

 

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-77:

Hallo Jense,

das wäre unzweckmäßig, wenn die natürliche Zahl 2 keine Primzahl wäre. Denn als Folge davon wäre z.B. die natürliche Zahl 4 eine Primzahl.

... und die Aussagen aus Beitrag 2045-74 würden nicht mehr gelten.

Ein Zahl gerade zu nennen bedeutet dasselbe, wie zu sagen, sie ist durch die Primzahl 2 teilbar.

 

Die 4 wäre noch immer ein Vielfaches der geraden Zahl 2 und keine Primzahl.
Was sich ändern würde, wäre, daß die kleinste Primzahl die 3 wäre.
Die Primzahl 2 ist die einzige Primzahl, die sich durch Addition zweier gleicher Zahlen erreichen lässt.
Die 2 ist so nah an der Definition zur Eigenschaft einer Primzahl, daß ihr nichts weiter übrig bleibt, sich dieser unterwerfen zu müssen.
Es gibt einfach nichts dazwischen.
Erweitere ich die Definition zu einer Primzahl, so ist die 2 keine Primzahl mehr.
Eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar. Sie kann nicht durch Addition gleicher Zahlen erreicht werden.
Das schliesst die 2 automatisch aus.Es gibt keine Ausnahme mehr.

Sortiere ich die Mathematik nach Primzahlen, sie stehen in diesem Beispiel untereinander, entsteht Unordnung.
Die Primzahlen sind logisch angeordent.
Jetzt kann schwer vorhergesagt werden, wann wo eine Zahl auftaucht, die keine Primzahl ist.
Die Länge der Zahlenreihen variiert.
Wenn die Länge variiert, kann ich z.B. nicht vorhersagen, wo die Zahl 1344 stehen wird.
Aus der Ordnung der Primzahlen entsteht Unordnung.

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Hallo Jense,

es spricht nichts dagegen, über mathematische Gesetze nachzudenken, die nur für ungerade Primzahlen gelten.

Die Definition des Begriffes Primzahl abzuändern aber führt in absolutes Chaos — ich rate Dir dringend, das nicht zu tun!
Sprich stattdessen einfach von ungeraden Primzahlen.

Gruß, grtgrt
 

Jense schrieb in Beitrag Nr. 2045-79:

Die 4 wäre noch immer ein Vielfaches der geraden Zahl 2 und keine Primzahl.
Was sich ändern würde, wäre, daß die kleinste Primzahl die 3 wäre.
Die Primzahl 2 ist die einzige Primzahl, die sich durch Addition zweier gleicher Zahlen erreichen lässt.
Die 2 ist so nah an der Definition zur Eigenschaft einer Primzahl, daß ihr nichts weiter übrig bleibt, sich dieser unterwerfen zu müssen.
Es gibt einfach nichts dazwischen.
Erweitere ich die Definition zu einer Primzahl, so ist die 2 keine Primzahl mehr.
Eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar. Sie kann nicht durch Addition gleicher Zahlen erreicht werden.
Das schliesst die 2 automatisch aus.Es gibt keine Ausnahme mehr.

Sortiere ich die Mathematik nach Primzahlen, sie stehen in diesem Beispiel untereinander, entsteht Unordnung.
Die Primzahlen sind logisch angeordent.
Jetzt kann schwer vorhergesagt werden, wann wo eine Zahl auftaucht, die keine Primzahl ist.
Die Länge der Zahlenreihen variiert.
Wenn die Länge variiert, kann ich z.B. nicht vorhersagen, wo die Zahl 1344 stehen wird.
Aus der Ordnung der Primzahlen entsteht Unordnung.

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Hallo Jense,

1. Deine Primzahlbeiträge werden immer wirrer und unverständlicher. Was soll z.B. die vorstehende Zahlentabelle an Erkenntnisgewinn bringen? Bevor du eine Neudefinition der Primzahlen anstrebst, solltest du erst mal das studieren, was andere (Gauß, Riemann, Euler, ...) bereits vor langer Zeit geschaffen haben. Nur, wenn du das kennst, kannst du etwas Neues bringen, das wirklich sinnvoll ist.

2. Das hier ist kein Chat-Room, sondern ein Diskussionsforum. Das heißt, du solltest die Zitatfunktion benutzen, damit der Leser weiß, auf welchen Beitrag du deine Antwort beziehst. Bevor du ständig neue sinnlose Theorien in die Welt setzt, solltest du auf die Beiträge eingehen, mit denen dir geantwortet wurde.

3. Wenn du wirklich ein neues Thema diskutieren willst, dann kannst du dafür einen neuen Thread eröffnen.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo Grtgrt,

sollte eine Definition nicht ausnahmslos gelten?
Wenn es Ausnahmen gibt, ist die Definition nicht ausreichend.
Das es ein gewisses Chaos gibt, liegt in der Natur der Mathematik.
Dieses Chaos eröffnet aber neue Möglichkeiten.

Quelle:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/primzahle...
Zitat:
"Wie vertrackt das Addieren von Primzahlen sein kann, zeigt das einfache Beispiel 17 + 19. Beide Summanden sind Primzahlen - ihre Summe 36 ist hingegen eine aus Sicht von Zahlentheoretikern eher langweilige Zahl - nämlich das Produkt 2*2*3*3. Die Summe zweier ungewöhnlicher Zahlen kann also eine ganz gewöhnliche Zahl sein. Es lässt sich kaum vorhersagen, welche Primfaktoren in dieser Summe stecken. "Das ist eine ganz chaotische Situation", sagt Kramer."
Ziatatende.

Es gibt also auch unter der bekannten Definition einer Primzahl eine "chaotische Situation".
Fällt die 2 als Primzahl weg, wird es schwierig, Zahlen in das Produkt von Primzahlen zu zerlegen.
Es fällt dann nämlich auf, worin die Einzigartigkeit einer Primzahl besteht.
Diese Einzigartigkeit kann nur gelten, wenn die Definition zu einer Primzahl keine einzige Ausnahme erlaubt.

Worin liegt die Einzigartigkeit?
Wenn ich die Mathematik als logischen Strang darstelle, 1 2 3 4 5 6 usw., dann alle Zahlen entferne, die keine Primzahlen sind, dann entstehen unregelmäßige Lücken zwischen den Primzahlen.
Diese Unregelmäßigkeit bleibt dann auch erhalten, wenn ich versuche, eine Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen.
Fällt die 2 als Primzahl weg, habe ich keine Möglichkeit mehr, eine gerade Zahl zu zerlegen.
Es lassen sich auch nicht mehr alle ungeraden Zahlen zerlegen.
Ist das ein Problem?
Nein.
Denn unter den Primzahlen gibt es nur ungerade Zahlen, nicht jede ungerade Zahl ist eine Primzahl.

Mit Primfaktoren erreiche ich nur noch ungerade Zahlen, aber nicht jede.
Es entstehen Lücken zwischen den möglichen ungeraden Zahlen.
Das kenne ich irgendwoher.
Die Unregelmäßigkeit der Primzahlen bleibt auch dann erhalten, wenn ich Zahlen in Primfaktoren zerlegen will.
Die 2 hebt diese Unregelmäßigkeit auf.

Welche ungeraden Zahlen lassen sich nicht in Primfaktoren zerlegen, wenn 2 keine Primzahl ist und damit keine geraden Zahlen möglich sind?
Die Primzahlen.
Ist die 2 keine Primzahl, so bleibt die Definition, die keine Ausnahme erlaubt, absolut gültig.
Und nicht hin und wieder.

[edit okotombrok: du hast zwar dein Zitat als solches gekennzeichnet, aber benutze in Zukunft bitte die vom Forum eingerichtete Zitatfunktion. Siehe Information/Hilfe zur Bedienung.]

 

Jense schrieb in Beitrag Nr. 2045-82:

Hallo Grtgrt,

sollte eine Definition nicht ausnahmslos gelten?
Wenn es Ausnahmen gibt, ist die Definition nicht ausreichend.
Das es ein gewisses Chaos gibt, liegt in der Natur der Mathematik.
Dieses Chaos eröffnet aber neue Möglichkeiten.

Quelle:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/primzahle...
Zitat:
"Wie vertrackt das Addieren von Primzahlen sein kann, zeigt das einfache Beispiel 17 + 19. Beide Summanden sind Primzahlen - ihre Summe 36 ist hingegen eine aus Sicht von Zahlentheoretikern eher langweilige Zahl - nämlich das Produkt 2*2*3*3. Die Summe zweier ungewöhnlicher Zahlen kann also eine ganz gewöhnliche Zahl sein. Es lässt sich kaum vorhersagen, welche Primfaktoren in dieser Summe stecken. "Das ist eine ganz chaotische Situation", sagt Kramer."
Ziatatende.

Hi Jense:

Was Kramer da (völlig unberechtigt) als "chaotische Situation" bezeichnet, scheint ihm nur deswegen chaotisch zu sein, weil er sich offenbar nicht genügend klar darüber ist, dass Primzahlen zu Ordnung in der Struktur der Menge aller ganzen Zahlen führen, wenn man jene Menge als  m u l t i p l i k a t i v e  Halbgruppe betrachtet.

Demjenigen, der sie als  a d d i t i v e  Halbgruppe (oder Gruppe) zu betrachten wünscht, werden die Primzahlen dabei überhaupt nicht helfen.


In der Mathematik gibt es keinerlei Chaos, und das vor allem deswegen, weil in der Mathematik ganz grundsätzlich jede Definition, die selbst keine Ausnahmen nennt, ausnahmslos gilt.

Gruß, grtgrt