Unendlichkeit in der Mathematik

 

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-23:

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-17:

 
die Gleichung  card( Z ) = card( G )  ist richtig, da

• f(x) = 2x  eine bijektive Abbildung von Z nach G ist

• und zwei Mengen genau dann gleich mächtig sind (d.h. dieselbe Kardinalzahl darstellen), wenn sie bijektiv aufeinander abbildbar sind.

Zitat von Wikipedia:

 
... bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge stattfindet.
Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge stets dieselbe Mächtigkeit.

Hallo Hans-m,

mein Beispiel ist voll kompatibel mit dem, was Wikipedia sagt.

Die Paare, die meine Funktion f bildet, sind genau die Paare ( x, 2x ), wo x eine ganze Zahl ist — und deswegen 2x eine gerade ganze Zahl.

Offensichtlich ist auch: Wenn x die gesamte Menge Z durchläuft, durchläuft 2x die gesamte Menge G.

 

 

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-23:

 
Wenn ich das richtig verstanden habe dann müsste jedem Element in card(Z) ein Element in Card(U) zugeordent werden und diese Funktion muss auch umkehrbar sein, also jedem Element in Card(U) muss eine Element in Card(Z) zuornbar sein

aber dem ist nicht so

card(Z)	card(u)
1	1
2
2	3
4
5	5

wie man sieht kann nicht jedem Element von card(z) ein Element von card(u) zugeordnet werden.

Hier ist die Sprechweise schon falsch:

Man darf die Kardinalität einer Menge — card(M) — nicht mit der Menge M selbst verwechseln.

Die Wendung "Elemente in card(Z) oder card(U)" zu benutzen, ist daher falsch. Gemeint sind Elemente von Z bzw. Elemente von U.


Weiter ist zu berücksichtigen:

Die Tatsache, dass es bijektive Abbildungen von Z nach G (oder auch von Z nach U) gibt, schließt nicht aus, dass es zwischen jenen Mengen nicht auch Abbildungen gibt, die NICHT bijektiv sind.

Mit anderen Worten: Eine nicht bijektive anzugeben (wie im Zitat oben geschehen), ist noch lange kein Beweis dafür, dass sich die beiden Mengen Z und U nicht auch bijektiv aufeinander abbilden lassen.

Beispiel einer bijektiven Abbildung von U nach Z wäre die Funktion   z(u) = (u-1)/2 .

Als bijektive Abbildung von Z nach U hätte diese Paarbildung die Form ( z, 2z + 1 ), d.h.  u(z) = 2z + 1 .

 

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-23:

Wenn ich das richtig verstanden habe dann müsste jedem Element in card(Z) ein Element in Card(U) zugeordent werden und diese Funktion muss auch umkehrbar sein, also jedem Element in Card(U) muss eine Element in Card(Z) zuornbar sein.

Hallo Hans-m,

das hast du leider nicht richtig verstanden.

1. card(Z) und card(U) sind die Mächtigkeiten der Menge Z bzw. der Menge U. Die Kardinalität nennt man auch Mächtigkeit. Wir betrachten hier die Bijektionen zwischen den Mengen und nicht zwischen den Kardinalitäten.

2. Die Menge Z ist die Menge der natürlichen Zahlen.

3. Die Menge G ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen.

4. Die Menge U ist die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen.

5. Jedem Element der Menge G kann umkehrbar eindeutig ein Element der Menge Z zugeordnet werden: {2 <--> 1, 4 <--> 2, 6 <--> 3, 8 <--> 4,..., unendlich}

6. Jedem Element der Menge U kann umkehrbar eindeutig ein Element der Menge Z zugeordnet werden: {1 <--> 1, 3 <--> 2, 5 <--> 3, 7 <--> 4,..., unendlich}

Deshalb sind die Mengen G und U gleichmächtig mit der Menge Z.

M.f.G. Eugen Bauhof

 

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-26:

 
5. Jedem Element der Menge G kann umkehrbar eindeutig ein Element der Menge Z zugeordnet werden: {2 <--> 1, 4 <--> 2, 6 <--> 3, 8 <--> 4,..., unendlich}

6. Jedem Element der Menge U kann umkehrbar eindeutig ein Element der Menge Z zugeordnet werden: {1 <--> 1, 3 <--> 2, 5 <--> 3, 7 <--> 4,..., unendlich}

Deshalb sind die Mengen G und U gleichmächtig mit der Menge Z.

Hallo Eugen,

da Unendlich keine Element der Mengen Z, G oder U ist, sollte man besser schreiben:


5. Jedem Element der Menge G kann umkehrbar eindeutig ein Element der Menge Z zugeordnet werden: {2 <--> 1, 4 <--> 2, 6 <--> 3, 8 <--> 4,...}

6. Jedem Element der Menge U kann umkehrbar eindeutig ein Element der Menge Z zugeordnet werden: {1 <--> 1, 3 <--> 2, 5 <--> 3, 7 <--> 4,...}


Man könnte sonst ja zur irrigen Ansicht kommen, dass Unendlich ein Maximum jener Mengen sei (was falsch wäre - denn keine dieser Mengen hat ein größtes Element).

Bitte verzeih' meine Pingeligkeit,
grtgrt
 

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-27:

Man könnte sonst ja zur irrigen Ansicht kommen, dass Unendlich ein Maximum jener Mengen sei (was falsch wäre - denn keine dieser Mengen hat ein größtes Element). Bitte verzeih' meine Pingeligkeit, grtgrt

Hallo Grtgrt,

ich denke nicht, das hier jemand zu der irrigen Ansicht geführt wird, dass Unendlich ein Maximum jener Mengen sei.
Das ",... undendlich" sollte bedeuten: Bijektive Zuordnungen fortführen bis ins unendliche. Ich hoffe, dass jetzt Hans-m die Gleichmächtigkeit der Mengen G und U mit Z verstanden hat.

M.f.G. Eugen Bauhof

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-28:

ich denke nicht, das hier jemand zu der irrigen Ansicht geführt wird, dass Unendlich ein Maximum jener Mengen sei.
Das ",... undendlich" sollte bedeuten: Bijektive Zuordnungen fortführen bis ins unendliche. Ich hoffe, dass jetzt Hans-m die Gleichmächtigkeit der Mengen G und U mit Z verstanden hat.

ja, dann fangen wir eben mit dem Thema an.

Definition: Eine Menge ist unendlich genau dann, wenn sie zu einer echten Teilmenge gleichmächtig ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_Menge#Dedek...
http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_%28Ma...


Beispiel:
Man nehme die Menge der natürlichen Zahlen IN = { 1,2,3,... }
und die Menge der geraden Zahlen 2·IN = { 2,4,6, ... }
Die Funktion f: IN —> 2·IN mit f(n) := 2n bildet die natürlichen Zahlen auf die geraden Zahlen ab.
f ist eine Bijektion, weil es umgekehrt zu jeder geraden Zahl 2·n genau eine natürliche Zahl m gibt mit 2·n = f(m), nämlich m=n.
Damit sind die Menge IN und 2·IN gleichmächtig. Weil ausserdem 2·IN eine echte Teilmenge von IN ist, ist die Menge
der natürlichen Zahlen unendlich.

Das letzte der Peano-Axiome, welche die natürlichen Zahlen definieren,
http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome#Urspr.C3....
fordert die Minimalität der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen IN

Die natürlichen Zahlen bilden daher die kleinste Unendlichkeit.

@Bauhof
Du siehst, dass die Dedekindsche Definition der Unendlichkeit "gleichmächtig einer Teilmenge" ohne Grenzwertbetrachtung auskommt.

mfg
Thomas

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-26:

1. card(Z) und card(U) sind die Mächtigkeiten der Menge Z bzw. der Menge U. Die Kardinalität nennt man auch Mächtigkeit. Wir betrachten hier die Bijektionen zwischen den Mengen und nicht zwischen den Kardinalitäten.

2. Die Menge Z ist die Menge der natürlichen Zahlen.

3. Die Menge G ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen.

4. Die Menge U ist die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen.
.
.
Deshalb sind die Mengen G und U gleichmächtig mit der Menge Z.

M.f.G. Eugen Bauhof

Ich ändere das Beispiel etwas ab:
die Menge Z ist die Menge aller Menschen auf der Erde
die Meneg U ist die Menge der Frauen auf der Erde
die Menge G ist die Menge der Männer auf der Erde

?? Deshalb sind die Mengen G und U gleichmächtig mit der Menge Z. ??

Wie lautet Deine Antwort?
Falls es bei meinem Beispiel nicht korrekt ist, dann begründe bitte den Unterschied zwischen Deinem und meinem Beispiel.

Warum kann ich eine Menge (z.B.Menge U), die definitiv nur die Hälfte ausmacht, als eine andere (Menge Z), als gleichmächtig bezeichen?

 

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-30:

 
Warum kann ich eine Menge (z.B.Menge U), die definitiv nur die Hälfte ausmacht, als eine andere (Menge Z), als gleichmächtig bezeichen?

Man kann das genau dann, wenn eine bijektive Abbildung z der Menge U auf die Menge Z existiert.

In unseren Fall ist das (z.B.) die Abbildung  z(u) = (u+1)/2  :

Sie ordnet zu:

u(1) = 1
u(3) = 2
u(5) = 3
u(7) = 4
usw.

so dass dann tatsächlich jeder ungeraden positiven ganzen Zahl eine positive ganze Zahl entspricht (und umgekehrt).

Es "heiratet" dann sozusagen jedes Element aus U genau ein Element aus Z, und unverheiratet bleibt weder ein Element aus U noch eines aus Z.

Deswegen kann man dann sagen: U und auch Z enthalten beide genau so viel Elemente, wie es "verheiratete" Paare ( z(u), u ) gibt.

 

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-30:

Ich ändere das Beispiel etwas ab:
die Menge Z ist die Menge aller Menschen auf der Erde
die Meneg U ist die Menge der Frauen auf der Erde
die Menge G ist die Menge der Männer auf der Erde

?? Deshalb sind die Mengen G und U gleichmächtig mit der Menge Z. ??

Wie lautet Deine Antwort?
Falls es bei meinem Beispiel nicht korrekt ist, dann begründe bitte den Unterschied zwischen Deinem und meinem Beispiel.

Hallo Hans-m,

in deinem Beispiel mit endlichen Mengen kann keine vollständige bijektive Zuordnung zwischen allen Frauen und allen Männern getroffen werden. Es bleiben immer etliche Männer übrig, weil es mehr Männer als Frauen gibt. Hingegen bei den unendlichen Mengen G und U kann eine vollständige Zuordnung bis ins unendliche getroffen werden.

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-30:

Warum kann ich eine Menge (z.B.Menge U), die definitiv nur die Hälfte ausmacht, als eine andere (Menge Z), als gleichmächtig bezeichen?

Weil es bei unendlichen Mengen keine “Hälften“ gibt. Wenn du eine unendliche Menge in zwei Hälften teilen willst, bleiben die zwei Hälften unendlich.

Das heißt, die Menge der ungeraden Zahlen ist unendlich, ebenso die Menge der natürlichen Zahlen. Du kannst nicht die Menge der natürlichen Zahlen in zwei endliche Hälften teilen, in die der geraden und die der ungeraden Zahlen. Beide mögliche Hälften bleiben (abzählbar) unendlich und sind somit gleichmächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen.

Du verwechselst die Anzahl einer endlichen Menge mit der Mächtigkeit (der Kardinalität) einer unendlichen Menge. Eine unendliche Menge hat keine bestimmte Anzahl von Elementen, denn eine Anzahl ist immer endlich.

M.f.G. Eugen Bauhof

Weitere Beispiele für unendliche Mengen sind

1. die Menge der rationalen Zahlen Q
2. die Menge der rellen Zahlen IR

denn, die Abbildung

f:
x —> 1 + 1/(x-1) für x < 0
x —> 1 + x für x ≥ 0

bildet jede der Mengen Q, bzw. IR bijektiv auf ihren positiven Bereich {x│x>0} ab.



Dabei wird der negative Bereich auf das offene Intervall {x│0<x<1} gestaucht
und der positivie Bereich auf das offene Intervall {x│x>1} verschoben.


Mfg
Thomas

 

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-30:

 
Ich ändere das Beispiel etwas ab:
die Menge Z ist die Menge aller Menschen auf der Erde
die Meneg U ist die Menge der Frauen auf der Erde
die Menge G ist die Menge der Männer auf der Erde

?? Deshalb sind die Mengen G und U gleichmächtig mit der Menge Z. ??

Weder G noch U ist von gleicher Mächtigkeit wie Z (das folgt aus der Tatsache, dass Z endlich ist und es deswegen KEINE bijektive Abbildung von G oder U nach Z gibt).

Natürlich gilt das nur, wenn weder G noch U leer ist.

 

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-32:

Weil es bei unendlichen Mengen keine “Hälften“ gibt. Wenn du eine unendliche Menge in zwei Hälften teilen willst, bleiben die zwei Hälften unendlich.

Das heißt, die Menge der ungeraden Zahlen ist unendlich, ebenso die Menge der natürlichen Zahlen. Du kannst nicht die Menge der natürlichen Zahlen in zwei endliche Hälften teilen, in die der geraden und die der ungeraden Zahlen. Beide mögliche Hälften bleiben (abzählbar) unendlich und sind somit gleichmächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen.

Du verwechselst die Anzahl einer endlichen Menge mit der Mächtigkeit (der Kardinalität) einer unendlichen Menge. Eine unendliche Menge hat keine bestimmte Anzahl von Elementen, denn eine Anzahl ist immer endlich.

M.f.G. Eugen Bauhof

:idea:Jetzt hab ich´s :idea:
Des Pudels Kern liegt also in der Unendlichkeit der Mengen.
Danke Eugen

Uwebus schrieb in Beitrag Nr. 2045-2:

Physik beruht auf dem Experiment, weil nur das Experiment eine evidente Erkenntnis ermöglicht und die Evidenz einer Wahrnehmung unser einziges Entscheidungkriterium ist, um zwischen wahr und falsch unterscheiden zu können.

Hallo Uwebus,

das Wort Physik benutzt Du wie ein Verifikationsverfahren einer physikalischen Theorie.
Für die klassische Experimentalphysik kannst Du das so sehen.

Je weiter man jedoch von den greifbaren Dingen weggeht, sowohl im Sinn von mikroskopisch als
auch im Sinn von astronomisch, desto mehr Gewicht erhält die zu Grunde gelegte Theorie an Bedeutung
bereits im Beobachtungsprozess. Es ist mir kein Präzedenzfall bekannt, bei dem der Ausgang des Experiments
wesentlich von der physikalischen Theorie abhängt.
Z.B. die Frage, ob physikalische Gesetze genau durch Beobachtung von Experimenten entstehen, kann man
nicht beantworten unter der Annahme, bei einem Experiment wahr und falsch grundsätzlich zu unterscheiden seien.
Und deswegen beschäftigt man sich mit experimentfremder theoretischer Physik, um die Aussagekraft
von Beobachtungen zu verstehen.

lg
Thomas

Kardinalfrage

für die Kardinalzahlen ist die mögliche Einbeziehung der Nullen.
Mit Nullen sind natürlich keine Personen sondern natürliche Zahlen gemeint.
Also Zahlen die uns in freier Natur manchmal über den Weg laufen. Mathematisch können
Nullen als Spiegel eingestuft werden. Gewitzte Mathematiker machen aus Nullen durchaus
auch Prismen oder diverse Linsen um die monotonen Zahlenreihen etwas aufzupäppeln.
Beliebt ist auch die Codierung von Zahlenreihen – mit sogenannten Marker
als Überraschungskekse. Deterministen können sich aber schon
auf normale Abfolgen zur Unendlichkeit einstellen.
Mit variabler Mächtigkeit von schmächtig
über mittelprächtig bis ohnmächtig.

lg

Ernst Ellert II schrieb in Beitrag Nr. 2042-24:

Zwei unendlich große Zahlen und Du kannst sagen ob sie gleich sind oder nicht, bzw. welche von beiden die größere unendliche Zahl ist.
Schön wäre es, wenn Du uns erschließen kannst, wie man zwei unendliche Zahlenwerte der Größe nach einordnet.

Ist nicht eine unendliche Zahl (Wurzel aus 2) kleiner als unendliche Zahl Pi?

Zum Anderem kann man unendliche ganze Zahl unendlich vergleichend mit eine andere folgen, so dass irgendwann ein Unterschied auftritt, aufgrund dessen Zahl als größer bzw. kleiner definiert werden kann.

... war mal Versuch aus der Sicht des Leien darstellen. Wenn man über die Zahlen spricht!

Wenn man über Mengen spricht, dann eine Ungleichheit der Unendlichen Mengen ist anschaulich durch Vergleich der unendliche Menge der rationalen Zahlen und unendliche Menge der irrationalen Zahlen, die kleiner als die erste ist.

mfg.

Irena schrieb in Beitrag Nr. 2045-38:

Ist nicht eine unendliche Zahl (Wurzel aus 2) kleiner als unendliche Zahl Pi?

Hallo Irena,

da verwechselst du etwas.
die Zahl "Wurzel aus 2" und die Zahl Pi haben zwar unendlich viele Dezimalstellen, beide sind aber nicht unendlich groß.

M.f.G. Eugen Bauhof

 

Irena schrieb in Beitrag Nr. 2045-38:

 
Wenn man über Mengen spricht, dann eine Ungleichheit der unendlichen Mengen ist anschaulich durch Vergleich der unendliche Menge der rationalen Zahlen und unendliche Menge der irrationalen Zahlen, die kleiner als die erste ist.

Hallo Irena,

bezeichnen O, I und R die Menge aller rationalen bzw. irrationalen bzw. reellen Zahlen, so gilt:

card( Q )  <  card( I )  =  card( R )

Wir sehen also:

• Vergleicht man die Mengen I und R hinsichtlich ihrer Kardinalität, so sind sie gleich "groß".

• Andererseits ist I Teilmenge von R (aber nicht ganz R).

Der rein umgangssprachliche Ausdruck, I sei "kleiner" als R, kann daher leicht missverstanden werden (trotzdem er nicht wirklich falsch ist — man muss sich nur klar sein, wie er gemeint ist).

Gruß, grtgrt
 

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-39:

Irena schrieb in Beitrag Nr. 2045-38:

Ist nicht eine unendliche Zahl (Wurzel aus 2) kleiner als unendliche Zahl Pi?

Hallo Irena,

da verwechselst du etwas.
die Zahl "Wurzel aus 2" und die Zahl Pi haben zwar unendlich viele Dezimalstellen, beide sind aber nicht unendlich groß.

M.f.G. Eugen Bauhof

Sie (die Zahl) ist aber unendlich, oder?! Wie dann bezeichnet man eine Zahl, die nach Komma in Unendlichkeit geht?

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-40:

 

Irena schrieb in Beitrag Nr. 2045-38:

 
Wenn man über Mengen spricht, dann eine Ungleichheit der unendlichen Mengen ist anschaulich durch Vergleich der unendliche Menge der rationalen Zahlen und unendliche Menge der irrationalen Zahlen, die kleiner als die erste ist.

bezeichnen O, I und R die Menge aller rationalen bzw. irrationalen bzw. reellen Zahlen, so gilt:

card( Q )  <  card( I )  =  card( R )

Es ist gut und schön, aber für den Leien ist verständlicher, wenn man es nicht als Formel darstellt. Irrationalen Zahlen sind in der Reihe der Zahlen seltener. Daher unendliche Menge irrationalen Zahlen ist kleiner als unendliche Menge der rationalen Zahlen. Sie sind vergleichbar obwohl beide Unendlichkeit darstellen.

Das wollte doch Ernst.

 

Irena schrieb in Beitrag Nr. 2045-42:

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-40:

 
Bezeichnet Q, I und R die Menge aller rationalen bzw. irrationalen bzw. reellen Zahlen, so gilt:

card( Q )  <  card( I )  =  card( R )

Irrationalen Zahlen sind in der Reihe der Zahlen seltener. Daher unendliche Menge irrationalen Zahlen ist kleiner als unendliche Menge der rationalen Zahlen. Sie sind vergleichbar obwohl beide Unendlichkeit darstellen.

Nein, Irena,

es ist genau umgekehrt: Es gibt weit mehr irrationale Zahlen als rationale.

Gruß, grtgrt