Unendlichkeit in der Mathematik

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2042-34:

Ich fasse alle unendlich großen Mengen zu einer neuen Menge zusammen und nenne diese neue Menge ALLE. Welche Mächtigkeit hat die Menge ALLE? :devil:

Bauhof´s Rechnung wäre: Unendlich₁ + Unendlich₂ +Unendlich₃ +......+Unendlich_n

Da "Handling" von unendlichen Zahlen dürfte in der Mathematik schierig sein.
Egal ob bei einer Addition, Subtraktion, Division oder Multiplikation, Dann kann man noch radizieren, potenzieren, den Sinus oder Cosinus bilden..... etc
Egal, welche Rechenoperation ich durchführe, ohne einen greifbaren realen (endlichen) Wert kann ich kein greifbares reales (endliches) Ergebnis bekommen.

Wenn ich x/y rechne und x=y dann wäre mein Wert = 1. z.B 10/10 oder Pi/Pi oder 10253/10253
wären x und y aber unendlich, so kann ich diese Aussage nicht bestätigen.

Unendliche Zahlen taugen nicht für eine reale Mathematik

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-4:

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2042-34:

Ich fasse alle unendlich großen Mengen zu einer neuen Menge zusammen und nenne diese neue Menge ALLE. Welche Mächtigkeit hat die Menge ALLE? :devil:

Bauhof´s Rechnung wäre: Unendlich₁ + Unendlich₂ +Unendlich₃ +......+Unendlich_n

Da "Handling" von unendlichen Zahlen dürfte in der Mathematik schierig sein.
Egal ob bei einer Addition, Subtraktion, Division oder Multiplikation, Dann kann man noch radizieren, potenzieren, den Sinus oder Cosinus bilden..... etc
Egal, welche Rechenoperation ich durchführe, ohne einen greifbaren realen (endlichen) Wert kann ich kein greifbares reales (endliches) Ergebnis bekommen.

Wenn ich x/y rechne und x=y dann wäre mein Wert = 1. z.B 10/10 oder Pi/Pi oder 10253/10253
wären x und y aber unendlich, so kann ich diese Aussage nicht bestätigen.

Unendliche Zahlen taugen nicht für eine reale Mathematik

Im Gegenteil Hans,

das "Handling" unendlicher Zahlen ist überhaupt nicht schwierig. Du musst "nur" beweisen, dass man mit den Zahlen einer Menge rechnen kann, dann kannst du mit jeder Zahl dieser Menge rechnen. Die Menge z. B. der Natürlichen Zahlen ist unendlich, der Beweis für die Anwendbarkeit der Rechenoperationen muss allgemeingültig sein und bezieht sich nicht auf bestimmte Zahlen, also kann man mit den Zahlen der unendlichen Menge der Natürlichen Zahlen rechnen, denn JEDE ganze positiver Zahl ist eine Zahl dieser Menge. Analog ist der Beweis zu führen, das man mit Reellen Zahlen bzw. Irrationalen Zahlen rechnen kann, was kein Problem ist. Es gibt ja keine ZAHL undendlich, sondern Zahlen aus einer unendlichen Menge.

Und es lässt sich beweisen, das die Menge der Reellen Zahlen größer ist als die Menge der Natürichen Zahlen, obwohl sie beide unendlich sind.

Und dein Beispiel x/y ist überhaupt kein Beispiel, denn du kannst nicht einfach x/y setzen, das macht keinen Sinn, die Variablen müssen mit wenigstens einem Wert belegt werden, also z. B. 10/y=2, und schon ist alles im grünen Bereich.

 

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-4:

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2042-34:

 
Ich fasse alle unendlich großen Mengen zu einer neuen Menge zusammen und nenne diese neue Menge ALLE. Welche Mächtigkeit hat die Menge ALLE?

Bauhof´s Rechnung wäre: Unendlich₁ + Unendlich₂ + Unendlich₃ +......+ Unendlich_n.

Nein, Hans-m,

das wäre nicht Bauhofs Rechnung. Es gibt nämlich keineswegs nur n (d.h. endlich viele) unendlich große Kardinalzahlen.

Es gibt unendlich viele, und die entsprechende Summe existiert einfach nicht.


Nebenbei: Schon wer unendlich viele  e n d l i c h e  Zahlen addieren möchte (etwa reelle),

• kann Glück haben (so dass die Summe existiert)

• oder kann Pech haben (so dass jene Summe eben NICHT existiert).

Welcher der beiden Fälle vorliegt, muss für jeden Einzelfall extra untersucht werden.


FAZIT also: Unendlich viele Zahlen zu addieren — ganz gleich, ob es nun reelle, komplexe oder Kardinalzahlen sind — ist weit weniger einfach als die Addition nur endlich vieler (und das gilt auch, wenn es unendlich große sind).


Gruß, grtgrt
 

Guten Morgen,
wie schrieb Bauhof hier:"Ich fasse alle unendlich großen Mengen zu einer neuen Menge zusammen und nenne diese neue Menge ALLE."

Dann steht ja schon dieses 1. "alle" für eine Begrenztheit und wird in seiner Zusammenfassung (Summe) zu einem "ALLE", welches ebenfals, wieder nur für eine Begrenztheit, also Endlichkeit steht.

Denn dieses kleine "alle" muss dieses große "ALLE" schon enthalten, denn ansonsten hat er ja eben nicht alles eingeschlossen, denn wenn "alles" "ALLES" nicht enthält, kann es auch nicht alles sein.

Ein Unendliches mit einem anderen Unendlichen zusammenzufassen, ist unendlich nicht möglich - unmöglich.
Unendlichkeit, hat weder ein Anfang noch ein Ende, alle wie auch Alle hat(s) einen Anfang, ist begrenzt.

Henry schrieb in Beitrag Nr. 2045-5:

Im Gegenteil Hans,

das "Handling" unendlicher Zahlen ist überhaupt nicht schwierig. Du musst "nur" beweisen, dass man mit den Zahlen einer Menge rechnen kann, dann kannst du mit jeder Zahl dieser Menge rechnen. Die Menge z. B. der Natürlichen Zahlen ist unendlich, der Beweis für die Anwendbarkeit der Rechenoperationen muss allgemeingültig sein und bezieht sich nicht auf bestimmte Zahlen, also kann man mit den Zahlen der unendlichen Menge der Natürlichen Zahlen rechnen, denn JEDE ganze positiver Zahl ist eine Zahl dieser Menge. Analog ist der Beweis zu führen, das man mit Reellen Zahlen bzw. Irrationalen Zahlen rechnen kann, was kein Problem ist. Es gibt ja keine ZAHL undendlich, sondern Zahlen aus einer unendlichen Menge.

also wenn ich das nun richtig verstanden habe, dann meinst Du Wert_x (+-*/etc.) Formel = Ergebnis_x wobei x den Wert 1.... Unendlich hätte.
z.B x*5=Y oder x-30=Y
für X könnte ich dann jede beliebige reale Zahl zwischen -Unendlich und +Unendlich einsetzen
Ich hätte unendlich viele Rechenoperationen mit unendlich vielen realen Zahlen, deren Ergebnis, jedes für sich betrachtet, eine realen Wert ergibt

Zitat:

Und es lässt sich beweisen, das die Menge der Reellen Zahlen größer ist als die Menge der Natürichen Zahlen, obwohl sie beide unendlich sind.

Und dein Beispiel x/y ist überhaupt kein Beispiel, denn du kannst nicht einfach x/y setzen, das macht keinen Sinn, die Variablen müssen mit wenigstens einem Wert belegt werden, also z. B. 10/y=2, und schon ist alles im grünen Bereich.

hatte ich doch!!!

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-4:

Wenn ich x/y rechne und x=y dann wäre mein Wert = 1. z.B 10/10 oder Pi/Pi oder 10253/10253

Unendlich war nie das Ziel eines Menschen, sondern ist ausdruck von "mehr als in Zahlen darstellbar oder vorstellbar".

Quante schrieb in Beitrag Nr. 2045-7:

wie schrieb Bauhof hier:"Ich fasse alle unendlich großen Mengen zu einer neuen Menge zusammen und nenne diese neue Menge ALLE."

Dann steht ja schon dieses 1. "alle" für eine Begrenztheit und wird in seiner Zusammenfassung (Summe) zu einem "ALLE", welches ebenfals, wieder nur für eine Begrenztheit, also Endlichkeit steht.

Hallo Quante,

warum soll "alle" für eine Begrenztheit stehen? Die Anzahl x aller unendlichen Mengen kann durchaus auch unendlich sein. Sonst müsste für x eine Maximalzahl existieren. Das hätte die Frage zur Folge: Wie groß ist die endliche Anzahl x aller unendlichen Mengen?

Ich will jetzt nicht meine Behauptung verteidigen, sondern ich denke, so kann man sie nicht zu Fall bringen.

M.f.G. Eugen Bauhof

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-10:

warum soll "alle" für eine Begrenztheit stehen? Die Anzahl x aller unendlichen Mengen kann durchaus auch unendlich sein. Sonst müsste für x eine Maximalzahl existieren. Das hätte die Frage zur Folge: Wie groß ist die endliche Anzahl x aller unendlichen Mengen?

eine unendliche Menge kann kein endliches Ergebnis bringen. oder anders gesagt: Wenn ich eine endliche Anzahl x habe, dann wäre dies nur eine Teilmenge von einer unendlichen Menge.

Das Wort alle sagt nichts über endlich oder unendlich aus.

Ich könnte sagen: alle Menschen auf der Erde oder alle Atome des Universums, aber ich könnte auch sagen: alle natürlichen Zahlen. oder alle Brüche zwischen 0 und 1 wie etwa 1/2 ode 3/5 oder 128/316718 oder alle Nachkommastellen von Pi

alle kann auch endlich, aber (noch) unbestimmt sein, z.B alle Menschen, die von heute bis zum Untergang der Welt geboren werden

 

Quante schrieb in Beitrag Nr. 2045-7:

 
Ein Unendliches mit einem anderen Unendlichen zusammenzufassen, ist unendlich nicht möglich - unmöglich.

Doch, Quante,

Unendliches mit Unendlichem zusammenzufassen kann durchaus möglich sein.

Beispiel: Es sei

• Z die Menge aller ganzen Zahlen,

• G die Menge aller geraden ganzen Zahlen und

• U die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen.

Es ist dann ganz offensichtlich Z die Zusammenfassung von G und U
und ferner

card( G )  =  card( U )  =  card( Z )  =  card( G ) + card( U )


 

 

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-10:

 
Die Anzahl x aller unendlichen Mengen kann durchaus auch unendlich sein.

Dass es unendlich viele unendlich große Kardinalzahlen gibt — und deswegen insbesondere auch unendlich viele unendlich große Mengen — folgt allein schon aus der Tatsache, dass es mindestens eine solche gibt (etwa die Menge Z aller ganzen Zahlen) und dass für  j e d e  Menge M gilt:


card( M )  <  card( p(M) )

wo p(M) die Menge aller Teilmengen von M bezeichnet.

Beweis: Gäbe es eine größte Kardinalzahl card( M ), wäre card( p(M) ) eine noch größere — und demnach card( M ) eben doch nicht die größte.


Dennoch existiert  k e i n e  Anzahl x aller unendlichen Mengen. Gäbe es sie nämlich, müsste auch die Menge aller unendlichen Mengen existieren, was  n i c h t  der Fall ist (wie in Beitrag 2042-35 bewiesen).

Wir sehen also: Es gibt unendlich umfangreiche Gesamtheiten, denen sich  k e i n e  Kardinalzahl zuordnen lässt. Jede solche Gesamtheit ist Klasse oder Kategorie, aber eben keine Menge.

 

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-13:

Beweis: Gäbe es eine größte Kardinalzahl card( M ), wäre card( p(M) ) eine noch größere — und demnach card( M ) eben doch nicht die größte.

Hallo Grtgrt,

oder anders ausgedrückt: Es existiert keine mächtigste Menge, weil es immer eine noch mächtigere Menge gibt.
Und die Gesamtheit dieser "immer noch mächtigeren Mengen" kann selbst keine Menge sein, weil dies sonst einen unendlichen Regress ergäbe. Kann man es so ausdrücken?

M.f.G. Eugen Bauhof

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-12:

Beispiel: Es sei

• Z die Menge aller ganzen Zahlen,

• G die Menge aller geraden ganzen Zahlen und

• U die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen.

Es ist dann ganz offensichtlich Z die Zusammenfassung von G und U
und ferner

card( G )  =  card( U )  =  card( Z )  =  card( G ) + card( U )

Ich denke hier ist ein Denkfehler:
card( G ) = card( U ) ist richtig,
card( Z ) = card( G ) + card( U ) ist auch richtig
aber dann kann card( G ) = card( U ) = card( Z ) nicht richtig sein

card( G ) = card( U ) = card( Z ) /2 wäre hier richtig!

2*card( U ) = card( Z ) bzw 2*card( G ) = card( Z ) denn die Menge aller Zahlen wäre doppelt so gross, wie die Menge aller geraden Zahlen bzw die Menge aller ungeraden Zahlen

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-15:

Ich denke hier ist ein Denkfehler:
card( G ) = card( U ) ist richtig,
card( Z ) = card( G ) + card( U ) ist auch richtig
aber dann kann card( G ) = card( U ) = card( Z ) nicht richtig sein

card( G ) = card( U ) = card( Z ) /2 wäre hier richtig!

2*card( U ) = card( Z ) bzw 2*card( G ) = card( Z ) denn die Menge aller Zahlen wäre doppelt so gross, wie die Menge aller geraden Zahlen bzw die Menge aller ungeraden Zahlen

Hallo Hans-m,

leider falsch.
Die Menge der natürlichen Zahlen enthält die geraden Zahlen als Untermenge. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält die ungeraden geraden Zahlen als Untermenge.

Die Menge der geraden Zahlen ist genau so mächtig wie die Menge der natürlichen Zahlen.

Die Menge der ungeraden Zahlen ist genau so mächtig wie die Menge der natürlichen Zahlen.

Alle drei Mengen (gerade, ungerade und natürliche Zahlen) sind gleichmächtig. Ich glaube, Georg Cantor hat das als Erster bewiesen.

Der Beweis ist einfach:
1. Nummeriere alle geraden Zahlen durch: Erste, zweite, dritte,... unendlich.

2. Nummeriere alle ungeraden geraden Zahlen durch: Erste, zweite, dritte,... unendlich.

Das heißt, man kann alle geraden Zahlen mit allen natürlichen Zahlen durchnumerieren bis ins unendliche. Ebenso kann man alle ungeraden Zahlen mit allen natürlichen Zahlen durchnumerieren bis ins unendliche. Das heißt, alle drei Mengen sind abzählbar unendlich und daher von gleicher Mächtigkeit.

M.f.G. Eugen Bauhof

 

Hans-m schrieb in Beitrag Nr. 2045-15:

 

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-12:

Beispiel: Es sei

• Z die Menge aller ganzen Zahlen,

• G die Menge aller geraden ganzen Zahlen und

• U die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen.

Es ist dann ganz offensichtlich Z die Zusammenfassung von G und U
und ferner

card( G )  =  card( U )  =  card( Z )  =  card( G ) + card( U )

Ich denke hier ist ein Denkfehler:
card( G ) = card( U ) ist richtig,
card( Z ) = card( G ) + card( U ) ist auch richtig
aber dann kann card( G ) = card( U ) = card( Z ) nicht richtig sein

Hallo Hans-m,

die Gleichung  card( Z ) = card( G )  ist richtig, da

• f(x) = 2x  eine bijektive Abbildung von Z nach G ist

• und zwei Mengen genau dann gleich mächtig sind (d.h. dieselbe Kardinalzahl darstellen), wenn sie bijektiv aufeinander abbildbar sind.

Gruß, grtgrt

 

 

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-14:

 

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-13:

 
Beweis: Gäbe es eine größte Kardinalzahl card( M ), wäre card( p(M) ) eine noch größere — und demnach card( M ) eben doch nicht die größte.

Hallo Grtgrt,

oder anders ausgedrückt: Es existiert keine mächtigste Menge, weil es immer eine noch mächtigere Menge gibt.
Und die Gesamtheit dieser "immer noch mächtigeren Mengen" kann selbst keine Menge sein, weil dies sonst einen unendlichen Regress ergäbe. Kann man es so ausdrücken?

M.f.G. Eugen Bauhof

Ja, man kann es so ausdrücken.

Die Begründung ", weil dies sonst einen unendlichen Regress ergäbe" allerdings muss man ersetzen durch ", weil sie sonst ja eine mächtigste wäre (im Widerspruch dazu, dass ihre Potenzmenge dann auch existieren und noch mächtiger sein würde)".

 

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-18:

Die Begründung allerdings muss man ersetzen durch ", weil sie sonst ja eine mächtigste wäre (im Widerspruch dazu, dass ihre Potenzmenge dann auch existieren und noch mächtiger sein würde)".

Hallo Grtgrt,

ja, diese Begründung erscheint mir plausibel.

M.f.G. Eugen Bauhof

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-17:

Hallo Hans-m,

die Gleichung  card( Z ) = card( G )  ist richtig, da

• f(x) = 2x  eine bijektive Abbildung von Z nach G ist

• und zwei Mengen genau dann gleich mächtig sind (d.h. dieselbe Kardinalzahl darstellen), wenn sie bijektiv aufeinander abbildbar sind.

Gruß, grtgrt

 

Hallo Grtgrt,

deine Begründung ist natürlich völlig korrekt.
Aber ich frage mich, ob es Hans-m auch verstanden hat. Ich sehe drei Möglichkeiten:

1. Hanns-m hat deine Begründung besser verstanden als meine Begründung in meinem Beitrag Nr. 2045-16.
2. Hanns-m hat meine Begründung in meinem Beitrag Nr. 2045-16.besser verstanden als deine Begründung.
3. Hanns-m hat weder deine noch meine Begründung verstanden.

Bei der 3. Möglichkeit müsste man bei Bedarf nachbessern.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo zusammen,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2045-20:

Aber ich frage mich, ob es ... auch verstanden hat. Ich sehe drei Möglichkeiten:

vielleicht wäre es sinnvoll, relevante Begriff an Beispielen zu erklären, solche wie

Unendlichkeit, Mächtigkeit, Bijektion und optional Kardinalzahlen,

Aussagen aufzutürmen, die man irgendwo abgeschrieben hat, kann das
Verstehen der im Grunde einfachen Zusammenhänge nicht ersetzen.

lg
Thomas

 

Thomas der Große schrieb in Beitrag Nr. 2045-21:

 
vielleicht wäre es sinnvoll, relevante Begriff an Beispielen zu erklären, solche wie

Unendlichkeit, Mächtigkeit, Bijektion und optional Kardinalzahlen,

All diese Begriffe werden — auch anhand von Beispielen — gut erklärt in Wikipedia auf folgenden Seiten:

• Bijektion (= bijektive Abbildung)

• Kardinalzahl und Mächtigkeit einer Menge

• Unendlichkeit in der Mathematik

 

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2045-17:

die Gleichung  card( Z ) = card( G )  ist richtig, da

• f(x) = 2x  eine bijektive Abbildung von Z nach G ist

• und zwei Mengen genau dann gleich mächtig sind (d.h. dieselbe Kardinalzahl darstellen), wenn sie bijektiv aufeinander abbildbar sind.

Gruß, grtgrt

 

card (U) ist Teilmenge von card (Z)
card (G) ist Teilmenge von card (Z)
somit ist die Sache nicht "bijektiv"

dazu

Zitat von Wikipedia:

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge stattfindet. Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge stets dieselbe Mächtigkeit. Im Falle, dass eine Bijektion zwischen zwei endlichen Mengen vorliegt, ist diese gemeinsame Mächtigkeit eine natürliche Zahl, nämlich genau die Anzahl der Elemente jeder der beiden Mengen.

Bijektiv (Wikipedia)

Wenn ich das richtig verstanden habe dann müsste jedem Element in card(Z) ein Element in Card(U) zugeordent werden und diese Funktion muss auch umkehrbar sein, also jedem Element in Card(U) muss eine Element in Card(Z) zuornbar sein

aber dem ist nicht so

card(Z)	card(u)
1	1
2
2	3
4
5	5

wie man sieht kann nicht jedem Element von card(z) ein Element von card(u) zugeordnet werden.