Mathematik auf Leben und Tod

Ein alter Freund hat mir vor langer Zeit einmal eine Geschichte erzählt, die von einer Matheaufgabe handelt. Es ging um einen Stamm oder Orden (ist auch egal), deren neue Mitglieder eine Matheaufgabe zu lösen hatten. Scheitern führte zum Tod. Die genaue Geschichte bekomme ich nicht mehr zusammen, aber die Matheaufgabe kenne ich noch und wenn sich jemand daran versuchen möchte - ich würde mich über eine Lösung freuen (bin selber nicht in der Lage, diese Aufgabe zu knacken) :)

Um was geht es?
In einem Raum gibt es einen runden Brunnen. In diesem Brunnen sind zwei Holzstangen eingelassen, wie auf meiner Skizze zu sehen.
Stange A ist drei Maßeinheiten (egal, ob Ellen oder Meter) lang und Stange B ist zwei Maßeinheiten lang. Die stehen sich in diesem Brunnen gegenüber. Dort, wo sie sich gegenseitig schneiden, befindet sich der Wasserspiegel und das Wasser steht genau eine Maßeinheit hoch (Linie C).

Die Aufgabe, die es zu lösen gilt, klingt einfach: "Welchen Durchmesser hat der Brunnen?"



Also, Lösungsansätze mag es viele geben, vom Strahlensatz bis zur Iteration, aber wer kann die Aufgabe lösen und würde das Aufnahmeritual überleben? ;-)

Es gibt eine geschlossene Darstellung der Lösung. Also mag es Menschen gegeben haben, die sie fanden.

Thomas der Große schrieb in Beitrag Nr. 2341-2:

Es gibt eine geschlossene Darstellung der Lösung. Also mag es Menschen gegeben haben, die sie fanden.

Wirklich brilliant geschlussfolgert! :smiley8:

Da ich gern verstehen möchte, wie man zu dieser Lösung auf mathematischem Weg gelangen kann, wäre ich an ein paar Details zum Rechenweg sehr interessiert.

Suza schrieb in Beitrag Nr. 2341-3:

Da ich gern verstehen möchte, wie man zu dieser Lösung auf mathematischem Weg gelangen kann, wäre ich an ein paar Details zum Rechenweg sehr interessiert.

Wonach hast Du gefragt? Vielleicht würde ich Leute erschlagen, die solche Aufnahmeregeln aufstellen.

Ein Loesungsweg sind 5 Gleichungen: Hoehensatz, und jeweils seitensymmetrisch Pythagoras und Strahlensatz. Führt zu einem Polynom 6er Ordnung, das sich auf 3. Ordnung reduzieren läßt, und dann mit der Cardanschen Formel eine Lösung liefert.

Thomas der Große schrieb in Beitrag Nr. 2341-4:

Vielleicht würde ich Leute erschlagen, die solche Aufnahmeregeln aufstellen.

:rofl:
Ich denke, dass es auch eher nur eine Geschichte ist, um die Matheaufgabe interessanter wirken zu lssen ;-)

Thomas der Große schrieb in Beitrag Nr. 2341-4:

Ein Loesungsweg sind 5 Gleichungen: Hoehensatz, und jeweils seitensymmetrisch Pythagoras und Strahlensatz. Führt zu einem Polynom 6er Ordnung, das sich auf 3. Ordnung reduzieren läßt, und dann mit der Cardanschen Formel eine Lösung liefert.

Vielen Dank! Das mit Pythagoras und Höhensatz hatte ich mir als ersten Ansatz auch gedacht, aber da bin ich nicht wirklich weit gekommen, weil ja immer irgend ein Parameter fehlt. Dazu müsste man wohl eine Gleichung in die nächste einsetzen und das ganze dann wieder in die nächste...
Das hat nicht einmal der Mathelehrer einer Berufsschule geschafft, den ich diese Aufgabe mal gestellt habe.

Hallo zusammen,

der Brunnen hat einen Durchmesser von 1,23 Maßeinheiten.

In Suzas Skizze betrachtet man die Teilstrecken von D bis zum Schnittpunkt der Stangen (d1 und d2) und die Höhen der Stangen im Brunnen (h1 und h2):



Es gilt dann: d1 + d2 = D (1)
wegen Ähnlichkeit der Dreiecke: d2/C = D/h1 und d1/C = D/h2 (2)

(2) in (1) eingesetzt und durch D dividiert ergibt mit C=1: 1/h1 + 1/h2 = 1 (3)

wegen Pythagoras gilt: h1 = sqrt (9-D^2) und h2 = sqrt (4-D^2) (4)

(4) in (3) eingesetzt ergibt:

1/sqrt (4-D^2) + 1/sqrt (9-D^2) = 1 (5)

Gleichung (5) lässt sich (z.B mit Wolfram Alpha) nach D auflösen. Sie liefert zwei mögliche Lösungen für D, nämlich D = 1,23 oder D = -1,23, wovon die erste die sinnvolle ist:

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2341-6:

Hallo zusammen,

der Brunnen hat einen Durchmesser von 1,23 Maßeinheiten.

:smiley30:

Wow! Das ist ja mal eine coole Sache...

Vielen herzlichen Dank für deine Mühe! Was soll ich sagen? Ich bin begeistert... :smiley8:

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2341-6:

Gleichung (5) lässt sich (z.B mit Wolfram Alpha) nach D auflösen.

Hallo Claus,
:smiley8:
"Wolfram Alpha" kannte ich noch nicht.
Otto

Hallo Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2341-8:

"Wolfram Alpha" kannte ich noch nicht.

Ich auch nicht. Hat mir mein Sohn Stefan heute gezeigt, als ich mich in gewurzelten Polynomen immer größerer Ordnung verirrt hatte... :smiley23:

Claus,

unfassbar!!!

Suza, danke für dieses Rätsel!


Beste Grüße

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2341-9:

Hat mir mein Sohn Stefan heute gezeigt, als ich mich in gewurzelten Polynomen immer größerer Ordnung verirrt hatte...

Moin Claus,
ich war auch bis zur Gleichung (5) vorgedrungen, hatte sogar diese mittels Regel (a² - b²) = (a + b)(a - b) umgestellt und so die gleiche alternative Schreibweise wie in Deinem Druckbild erhalten.
Ich hatte jedoch nicht erkannt, dass diese Gleichung eine Art Parabel für y = 1 darstellt.

Hast Du mal versucht, das Bild von Suza mit "Lineal und Zirkel" nachzuvollziehen?
Wenn Ja, in welchen Schritten (ohne zusätzliche Annahmen, nur mit Daten für A, B und C)?

Gruß, Otto

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2341-11:

Hast Du mal versucht, das Bild von Suza mit "Lineal und Zirkel" nachzuvollziehen?

Das Bild habe ich am Computer "konstruiert". Es ist nur grob maßstäblich, so dass man (leider) die Lösung auch nur grob von der Zeichnung her abnehmen könnte. Ich vertraue aber, dass die mathematische Herleitung stimmt und das Ergebnis auf zwei Kommastellen sogar mehr als genau ist :smiley8:

Suza schrieb in Beitrag Nr. 2341-12:

Das Bild habe ich am Computer "konstruiert".

Hallo Suza,
kannst Du die einzelnen Schritte bitte mal auflisten?
Gruß, Otto

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2341-13:

Hallo Suza,
kannst Du die einzelnen Schritte bitte mal auflisten?

Ja klar! Ich habe ein Grafikprogramm (in meinem Fall konkret Corel Draw) genutzt und damit drei kleine Rechtecke erzeugt:
das erste 2 x 10, das zweite 2 x 20 und das dritte 2 x 30 Maßeinheiten groß.
Diese Rechtecke sind quasi die drei Stangen A, B und C (farbig gefüllt).
Nun kann man jede Figur frei drehen und es ist nur eine Frage der Geduld, bis man die einzelnen Rechtecke / Stangen so positioniert hat, dass sie so zusammen passen, wie in meiner Skizze ersichtlich. Dazu habe ich diese kleinen Rechtecke zunächst unten ausgerichtet und den Drehpunkt nach unten verschoben. Der schwerste Teil besteht darin, dass die einzelnen Teile unten, links und auch rechts jeweils einigermaßen bündig sind. Das ist deshalb schwierig, da man ja den Durchmesser D vorher nicht kennt und man alles einzeln drehen und verschieben muss, bis es letztendlich passt ;-)

Suza schrieb in Beitrag Nr. 2341-14:

Das ist deshalb schwierig, da man ja den Durchmesser D vorher nicht kennt und man alles einzeln drehen und verschieben muss, bis es letztendlich passt

Hallo Suza,
dass das so funktioniert, ist klar.
Das ist aber etwas ganz anderes, als eine geometrische Konstruktion mit Lineal und Zirkel - um die geometrischen Beziehungen zwischen C, A und B zu verstehen.
Ich bin hier überraschender Weise schnell auf Grenzen gestoßen oder, ich hatte ganz einfach nicht die richtige Idee.
Gruß, Otto

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2341-15:

Das ist aber etwas ganz anderes, als eine geometrische Konstruktion mit Lineal und Zirkel - um die geometrischen Beziehungen zwischen C, A und B zu verstehen.
Ich bin hier überraschender Weise schnell auf Grenzen gestoßen oder, ich hatte ganz einfach nicht die richtige Idee.

Ach sooooo! Dann hatte ich dich nur falsch verstanden.
Was eine echte Konstruktion mit Lineal, Zirkel und Winkelmesser betrifft, bin ich leider auch komplett überfragt.

Struktur: Denifle

Hoi SUZA

Also erst war ich da auch auf dem Holzweg – ABER
Graphisch gibt es ebenfalls die 1,23 Einheiten wie von Claus berechnet
- das könnte also gut passen.

Harald

Achtung - unkontrollierte Cursor - Line in der System - Skizze
H:cool:π

Harald Denifle schrieb in Beitrag Nr. 2341-17:

Also erst war ich da auch auf dem Holzweg – ABER
Graphisch gibt es ebenfalls die 1,23 Einheiten wie von Claus berechnet
- das könnte also gut passen.

Ich kann leider nicht erkennen, auf welchem Weg sich der Schnittpunkt bei 1,231 ergibt.
Vielleicht kannst du ja die einzelnen Schritte kurz beschreiben?

Skizze: Denifle

Im Bild links – reduziere ich den Brunnen jeweils um 0,2 Einheiten von rechts nach links und lege dann den 2er und den 3er Stab mit Kreisabschlag rein. Die erhaltenen Schnittpunkte mit der Spline Linie verbinden und schon sind alle Möglichkeiten differenter Brunnenbreiten und die Spiegellage der Wasserhöhen mit Schnitt 2 E x 3 E festgelegt. Nur noch die 2er Linie, bei Höhe 1,0 E mit dem der Spline verbinden und auf die Brunnenwand verlängern, welche ja auch durch die Kreisbahn auch die richtige Lösung zulässt.

Rechts noch die Lösung, wenn beides 2er Stäbe sind. Wird der Brunnen nach links reduziert kann man Lösungen nach identem Modus kreieren. Wenn man den Brunnen beidseits gleichermassen reduziert, ergibt sich die vertikale Kurve, wenn man zweidimensional denkt (die Zeit beiseite lässt:cool:), als Gerade die mittig dargestellt ist.

Harald

Harald Denifle schrieb in Beitrag Nr. 2341-19:

Im Bild links – reduziere ich den Brunnen jeweils um 0,2 Einheiten von rechts nach links und lege dann den 2er und den 3er Stab mit Kreisabschlag rein.

Ach so. Vielen Dank für die Erklärung!
Das ist also ein schrittweises Herantasten. Ich hatte mich schon gefragt, wie man alleine durch Zirkelschlag zu dem Punkt bei 1,23 gelangen kann.
Die gleiche Frage hatte sich Otto ja auch gestellt.