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Wurzel -i

Thema erstellt von Mr.Samsa 
Beiträge: 12, Mitglied seit 12 Jahren
Hallo, ich hab mal wieder eine frage :D

ich frage mich, was die wurzel aus -i ist..... :D
also, ich bin schon soweit, dass ich weiß (oder meine zu wissen :D), das -i = i³ ist.
also ist
wurzel -i = wurzel i³
-i^(1/2) = i^(3 x 1/2) (stimmt das soweit?, ich weiß es nicht -_-' :D)
= i^1,5


so, aber was ergibt das jetz? :)
ich gehe halt noch zur schule und potensieren mit reelen exponenten (= die zahl oben, oder? -_-') kommt noch, ich kann nur mit ganzzahlen potensieren...
wie man bei imaginären zahlen podensiert, weiß ich erst recht nicht...
also, bitte eine anleitung für ganz dumme, wie ich das ausrechne


schonmal danke, für die antworten
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Ich sag die Welt ist eine Scheibe und ich sag, sie dreht sich doch!
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Samsas Traum - Für Immer
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Beiträge: 1.728, Mitglied seit 16 Jahren
Hallo Mr. Samsa,

die Antwort findet man mit der Euler'schen Relation.
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlenebene#P...

1.) z = r * ( cos (phi) + i * sin (phi))

r ist dabei der Betrag der Zahl.

2.) Die Potenz einer komplexen Zahlen z ist dann
zx = rx (cos (phi*x) + i * sin(phi*x))

In der Gaußschen Zahlenebene entspricht das Potenzieren der komplexen Zahl z dem Potenzieren des Betrages r der Zahl und dem Multiplizieren des Winkels phi mit dem Exponent x.

Für z=-i, und x=1/2 gilt

r = 1
-i = cos(phi) + i * sin(phi) für phi = 3/2*pi + 2*pi*k für ganze Zahlen k
(-i)1/2 = cos (phi/2) + i*sin(phi/2) für phi = 3/2*pi + 2*pi*k für eine ganze Zahl k

In der letzten Gleichung muss man ein k auswählen, das dann die Wurzel definiert.
Für k=0 und phi zwischen 0 und 2*pi hat man den sog. Hauptwert.

Für den Hauptwert von -i gilt:

phi = 3/2*pi,
(-i)1/2 = cos (3/4*pi) + i*sin(3/4*pi) = -0.51/2 + i*0.51/2

Der Nebenwert für k=1 ist entsprechend
0.51/2 - i*0.51/2

Den Nebenwert kriegt man auch aus dem Hauptwert mit den Potenzgesetzen, weil eine Wurzel von -i ist eine Zahl, deren Quadrat gleich -i ist.

((-i)1/2 *(-1))2 = ((-i)1/2)2 * (-1)2 = ((-i)1/2)2 = -i

In Worten: Das Negative des Hauptwertes einer Wurzel ist der Nebenwert.

lg
Thomas

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Ich bin begeistert!
Beitrag zuletzt bearbeitet von Thomas der Große am 20.01.2012 um 21:31 Uhr.
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