1. Der Zeitfluss ist nicht konstant, sondern eine veränderliche Größe. Über die Zeitdauer verändert sich der Zeitablauf.
Änderung des Zeit-Maßstabes und Änderung des Weg-Maßstabes
In der klassischen Physik ist der Betrag der durchschnittlichen Geschwindigkeit das Verhältnis von Distanz zu Zeitdauer. Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert dieses Verhältnisses, wenn das Zeitintervall gegen Null strebt.
Diese Auffassung geht von einem kontinuierlichen Zeitfluss aus, dessen Maßstab stets konstant ist.
Die folgenden Ausführungen gehen von dem Gedankenspiel aus, dass sich nicht nur der Weg, sondern auch die Zeit ändern kann.
Das Maß der Zustandsänderung (v
s) des Weges s ist zu einem Zeitpunkt
t0.
vs = ds/t0
ds meint die differentielle Änderung der Distanz.
Das Maß der Zustandsänderung (v
t) der Zeit t ist an einem Ort
s0
vt = s0/dt
Beide Zustandsänderungen, die des Weges und die der Zeit, sind dann identisch, wenn v
s = v
t ist.
Daraus ergibt sich die Gleichung einer Hyperbel mit den Variablen ds und dt.
ds∙dt = s0∙t0 = S0/F0
dt ist die differentielle Änderung des Zeitvergehens.
Beide Zustandsänderungen, die des Weges und die der Zeit, sind dann identisch, wenn v
s = v
t ist.
Daraus ergibt sich die Gleichung einer Hyperbel mit den Variablen ds und dt.
ds∙dt = s0∙t0 = S0/F0
S
0 ist die sogenannte "physikalische Wirkung" in [J∙s].
F
0 ist die Wirkung eines Potentials als Kraft [N].
Geometrisch stellte das Produkt ds∙dt eine Hyperbel mit den Variablen ds und dt dar. Der Krümmungsradius r
s im Scheitelpunkt der Hyperbel hat den Wert r
s² = 2(s
0∙t
0) = 2S
0/F
0.
Physikalisch lässt sich die Beziehung "Wegänderung mal Zeitänderung" mit der Einheit [m∙s] als Wirkung [J∙s] pro Krafteinheit F0 = 1 [N] interpretieren.
- Die Kraft F
0 bedeutet hier den Effekt eines Potentials. (Die Krafteinheit von 1 [N] ist als s.g. Gewichtskraft definiert, die auf einen Körper mit einer Masse m = 102 g auf der Erde in Meereshöhe wirkt.)
- Die physikalische Wirkung S0 ist das Produkt aus Energie und Zeit mit der Einheit [J∙s]. Die Wirkung ist das Merkmal von Bewegungsgleichungen, die dem Prinzip der kleinsten Wirkung folgen (Hamiltonsches Prinzip).
Die Beziehung (ds∙dt) bedeutet demzufolge physikalisch, dass der Weg zwischen zwei festen Punkten so erfolgt, dass dafür ein Minimum an Energie erforderlich ist, und dass sich diese Bewegung in einem Potentialfeld vollzieht.
Diese energetische Optimierung der Bewegung im Raum (Maßeinheit [m]) erfolgt durch die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung des Körpers oder durch die Änderung des Geschwindigkeitsbetrages (des Impulsvektors m∙v).Die Beziehung (ds∙dt) bedeutet demzufolge physikalisch, dass der Weg zwischen zwei festen Punkten so erfolgt, dass dafür ein Minimum an Energie erforderlich ist, und dass sich diese Bewegung in einem Potentialfeld vollzieht.
Diese energetische Optimierung der Bewegung im Raum (Maßeinheit [m]) erfolgt durch die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung des Körpers oder durch die Änderung des Geschwindigkeitsbetrages (des Impulsvektors m∙v).
In der geometrischen Darstellung repräsentiert der Radius des Krümmungskreises im Scheitelpunkt der Hyperbel die Energie [J] eines Körpers, der sich in einem Gravitationsfeld bewegt.
Der Krümmungsradius rs im Scheitelpunkt der Hyperbel beträgt r
s² = 2S
0/F
0.
Der Abstand des Scheitelpunktes vom Koordinatenursprung ist identisch mit dem Krümmungsradius r
s im Scheitelpunkt.
So spiegelt der Wert der Wirkung S0 die Lage des Hyperbelscheitelpunktes im Koordinatensystem wider.
Die beschriebenen Beziehungen lassen sich formal durch die Herleitung mittels Gleichungen begründen.
F = p/dt
dt = p/F
dt ist die benötigte Zeit, um den Impuls p zu verändern und damit die Geschwindigkeit v eines Körpers zu variieren.
p ist der Impulsvektor mit Betrag und Richtung.
F ist der Kraftvektor, der nötig ist, um Betrag und Richtung der Geschwindigkeit eines Körpers zu verändern.
(ds∙dt) = ds∙(p/F) = (ds∙p)/F = S/F
S ist die physikalische Wirkung = (ds∙p) = "Länge mal Impuls"
Unter mathematischen Gesichtspunkten ist die Wirkung eine Operation eines aktiven Teiles einer Menge auf eine andere passive Teilmenge.
Meines Erachtens ist die Zeitdauer der aktive Teil einer Menge und die Entfernung (die räumliche Dimension) der passive Teil einer anderen zweiten Menge.
So wird die (räumliche) Dimension eine Folge der
Hintereinanderausführung der Zeit (siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenoperation ).
Beide Mengen, Zeit und Dimension, existieren nur gleichzeitig, sind bijektiv und komplementär.
Die vorgestellte enge Verbindung zwischen Zeitdauer und Entfernung benötigt keine Annahme der Lokalität, sondern beschreibt die Entfernung unserer Erlebniswelt als Objekte mit verschiedenen Eigenzeiten.
Zeit und Dimension stellen einen gemeinsamen Zustand dar, der durch Verschränkungen von Elektronen / Photonen bekannt ist.
Zur Erinnerung: Zeit und Dimension sind Gradienten von Zeitdauer und Entfernung. Zeitdauer und Entfernung sind Summen (Integrale) von aufeinanderfolgenden Ist-Zuständen.
Wird vereinfachend S
0/F
0 = 1 gesetzt, dann ist die Änderung des Wegmaßstabes der Änderung des Zeitmaßstabes umgekehrt proportional (Längendilatation = 1/Zeitdilatation).
ds∙dt = 1
Auf Wirkungen S
0 ungleich 1 wird später weiter unten eingegangen.
Daraus ergibt sich die folgende graphische Darstellung:
Bild: Relativbewegung als differentielle mitbewegte Entfernung und differentielle mitbewegte (konforme) Zeit in einem dezimalen x-y-Koordinatensystem
Im Diagramm sind auf der Abszisse x die Entfernung-Maßstabsänderung und auf der Ordinate y die Zeit-Maßstabsänderung aufgetragen. Beide Maßstäbe sind durch die Hyperbelgleichung y = 1/x miteinander verknüpft.
Weiter unten in diesen Ausführungen wird gezeigt, dass die Hyperbel den Lichthorizont (Nachkegel) präsentiert. In einem logarithmischen X-Y-Diagramm mit Zeitdauer und Distanz wird die Hyperbel zur Geraden des Lichthorizonts.
Der Krümmungsradius im Scheitelpunkt A der Hyperbel y = 1/x ist identisch mit dem Kreisradius rS um den Koordinatenursprung L(0,0).
Diese Beziehung ist aus der ART als Schwarzschildradius bekannt, wird hier jedoch nicht durch eine Masse verursacht, sondern ganz allgemein von einem Energiepotential. Das Energiepotential ist durch Impuls (m∙v) und ein Schwerefeld in Form einer Kraft F (oder Trägheit einer Masse) bestimmt.
Auf eine physikalische Interpretation dieser geometrischen Zusammenhänge wird später weiter unten noch näher eingegangen.
Diese Stammfunktion F(x) = ln(x) stellt das Integral der Hyperfunktion y = 1/x dar. Für x = e nimmt die Stammfunktion F(x) den Wert 1 an. Anders ausgedrückt, die Fläche unter der Hyperbelkurve hat im Bereich x = 0 … e den Wert 1.
So ist es möglich, einen Einheitswert 1 für die Zeitdauer und für die räumliche Entfernung als rein mathematische Größe in Verbindung mit der Eulerzahl
e zu begründen.
Euler hat übrigens genau auf diese Weise die Zahl
e hergeleitet, allerdings seinerzeit durch Annäherungen mittels veränderlichen breiten Balkens und deren Höhen y = 1/x.
Es bedarf experimenteller Messungen, um diese mathematischen Einheitswerte mit Werten des internationalen Einheitensystems von physikalischen Größen bzw. Naturkonstanten zu ermitteln.
Die im Diagramm dargestellte Funktion F* stellt die Spiegelung der Funktion F an der Geraden y = x dar. Die Funktion F* = F*(x(t), y(t)), in Parameterdarstellung mit dem Parameter t (t ist hier nicht die Zeit!), lässt sich auch in folgernder Form schreiben:
Die Zeitdauer F*, bezogen auf die y-Achse, wächst genauso wie die Entfernung, anfangs schnell und später nur schwach progressiv.
Die Darstellung der ln-Funktion F* mittels eines Parameters t ist interessant.
Sie zeigt den engen Zusammenhang zwischen der ursprünglichen Funktion F = ln(x), überlagert von der linearen Funktion des Parameters t bezogen auf die r y-Achse.
Der "Zeit-Fluss" ist nicht linear, sondern folgt dem Logarithmus naturalis mit der Eulerzahl e = 2,718281828… als Basis.
Das hat keinen Einfluss auf eine gemessene Relativgeschwindigkeit, da sich nicht nur die Zeit, sondern auch die Distanz in gleicher Weise nach einer ln()-Funktion entwickelt.
Für die Geburt unseres Universums, dem Urknall, sind die Verhältnisse etwas anders.
Siehe hierzu die separten Ausführungen in den folgenden Beiträgen.
Die
Änderung der Distanz ergibt sich aus der 2. Ableitung der der Stammfunktion F(x) = ln(x), bzw. der 1. Ableitung der Hyperbel y = 1/x.
F''(x) = f'(x) = -1/x²
Die Krümmung F'' beschreibt die Abweichung von einer Geraden. Sie ist negativ, weil die Hyperbel y = 1/x für x > 1 eine fallende Kurve ist.
Der Betrag der Änderung der Funktion F(x) ist für x = 1 am größten.
Für große Distanzen (und Zeitdauern) wird die progressive Änderung immer kleiner und nähert sich einem nahezu konstanten "Zeitfluss" immer mehr an.
Interessant wäre eine analoge Analyse von Zustandsänderungen, die sich nicht unmittelbar auf einen Weg beziehen. Dazu gehören zum Beispiel radioaktive Zerfallsprozesse bzw. die Masse-Energie-Äquivalenz (mit und ohne Abgabe von Masse) eines quantenphysikalischen Zerfallkanals.
Solche Prozesse ließen sich durch die Änderung des Krümmungsradius des Hyperbelscheitelpunktes beschreiben.
Wachstumsprozesse folgen in der Natur jedoch ohnehin einer e-Funktion, deren Zustandsänderung vom aktuellen Ist-Wert bestimmt wird.
Die im Bild an der Geraden y = x dargestellte Spiegelung von Zeitdauer und Distanz im x-y-Diagramm bedarf einer genaueren Verifizierung:
Die Fläche eines Rechtecks mit der Kantenlänge x und y zum Punkt (x,y) auf der Kurve ist stets konstant und hat die Fläche x∙y = a². Die Funktion y = a²/x stellt eine Hyperbel
(4) mit dem Scheitelpunkt A(a,a) = A(1,1) dar. Der Krümmungsradius rs im Scheitelpunkt der Hyperbel ist rs² = a² + a² = 2a²..
Im folgenden Bild wird der spezielle Fall a = 1 und x = e graphisch dargestellt.
Bild: Äquivalenz der Flächen für Zeitdauer und Distanz
Der Punkt C auf der Hyperbelkurve y = 1/x hat die Koordinaten (x,y) = (e,1/e).
Der Augenblick E'
2 und der aktuelle Ort E sind geometrisch über den Kehrwert verknüpft.
Die orangefarben schraffierte Fläche stellt die Zeitdauer dar, die grüne Fläche die Distanz.
Mit fortschreitender Zeit werden auf der Hyperbel, beginnend mit Punkt A (x = 1) und endend mit Punkt C (x = e), gleichzeitig zwei Flächen aufgespannt, die grüne Fläche und die orange schraffierte Fläche. Die grüne Fläche Areas und die orange schraffierte Fläche Areat1 haben den gleichen Zahlenwert.
Auch die violette Fläche Areat2 hat den gleichen Wert wie die grüne Fläche Areas.
Das lässt sich durch die folgenden Gleichungen begründen.
Die Distanz ist für einen (beliebigen) Parameterwert
t
Die Zeitdauer ist
Die Integrale verdeutlichen, dass Zeitdauer und Distanz in der geometrischen Darstellung einen gemeinsamen Ursprung im Scheitelpunkt der Hyperbel haben, markiert durch die Integrationsgrenze mit dem Wert 1.
Der Scheitelpunkt A ist eine Art gemeinsamer "Quelle" von Zeit und Raum.
Die Integrationsgrenze 1 ist bei beiden Integralen einmal als untere, im anderen Fall als obere Integrationsgrenze eingesetzt. So wird erreicht, dass beide Werte positiv bleiben.
Die zweite Integrationsgrenze ist der Parameter t bzw. der Kehrwert 1/t.
Die Integrationsgrenzen t und 1/t sind Spiegelungen am Einheitskreis.
Damit wird das Integral (bildlich dargestellt als Fläche) zwischen 1 und einem beliebigen Punkt t >1 außerhalb des Kreises zu einer Spiegelung des Integrals zwischen 1 und einem Punkt 1/t <1 im Inneren des Kreises.
Die beiden Gleichungen führen zum gleichen Ergebnis ln(x).
Die Flächen für Zeitdauer und Distanz ergeben den gleichen Wert, wenn die Integrationsgrenzen Spiegelwerte sind.
So werden Zeitdauer (
duration) und Distanz (
distance) zueinander spezielle konforme Transformation mittels reziproker Radien.
Raum und Zeit sind mathematisch nur Spiegelbilder zueinander.
Raum und Zeit existieren nur zusammen als ein mathematisches Objekt.
(5)
Deshalb lässt sich aus den geometrischen Darstellungen nicht die Frage beantworten, ob während des s.g. Urknalls nur die Zeit oder nur der Raum existierte.
Was wir mit unseren Sinnen erleben ist nur der Raum.
Zeit erleben wir nicht mit unseren Sinnen. Zeit als geschichtliche Ereignisse registrieren wir nur Dank unseres Gedächtnisses.
Die mathematisch-geometrische Spiegelung von Raum und Zeit am Kreis lässt sich auch etwas prosaisch formulieren:
Der Raum ist der "Schatten" der Zeit. Dieser Schatten ist unsere Erlebniswelt.
Diese Interpretation beantwortet die Frage nach einer (möglichen) Ursache von Raum bzw. einer räumlichen Dimension.
Die Änderung der Zeit ist umgekehrt proportional zur Änderung der räumlichen Distanz, dt ∼ 1/ds.
Ist die differentielle Änderung der Zeit dt sehr groß, dann ist die differentielle Änderung der räumlichen Dimension ds sehr klein. Kurz nach dem Urknall verläuft deshalb die Zeit sehr schnell bei geringer Expansion.
Ist die differentielle Änderung der Zeit dt sehr klein, dann ist die differentielle Änderung der räumlichen Dimension ds sehr groß. Gegen Ende der Existenz des Universums expandiert es räumlich immer schneller, wobei die Zeit immer langsamer verläuft.
Groß, Otto
(4) Die Gleichung der Hyperbel y = a²/x mit a = 1, wie im x-y-Diagramm dargestellt, lässt sich auch allgemeiner als Gleichung x² - y² = a² = 1 (in einem um 45° gedrehten Koordinatensystem) umstellen.
Genau diese mathematische Form entspricht der Ausgangsgleichung der ART von Einstein.
(5) Eine Analogie ist bei Wellenfunktionen zu finden; Wellenfunktionen haben sowohl Eigenschaften von Teilchen als auch von Wellen gleichzeitig. Licht ist weder Welle noch Teilchen allein.
Anmerkungen: Am 15-JUN-2021 das Hamiltonsche Prinzip (Wirkung) eingeführt und die Gleichung ds∙dt = s0∙t0 entsprechend korrigiert.
Am 21-JUN-2021 die Gleichungen zur Herleitung der physikalischen Wirkung S ergänzt.
Am 7-SEP-2021 redaktionell überarbeitet und ergänzt. Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 07.09.2021 um 05:50 Uhr.
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