Einsteinsche Geschwindigkeitsaddition

Hallo zusammen,
hallo Claus,

hier nun die Herleitung der Einsteinschen Geschwindigkeitsaddition aus meinen zwei Postulaten.

Postulat 1:
Es gibt eine größtmögliche Geschwindigkeit im dreidimensionalen Universum. Sie hat die Größe der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum.

Postulat 2:
Jeder Punkt des dreidimensionalen Universums bewegt sich konform mit der Universum-Expansion mit einer zunächst unbekannten Geschwindigkeit V(4) auf einer Geraden senkrecht zum 3-D-Raum in eine vierte Raum-Dimension. Mit der Geschwindigkeit V(4) bewegen sich damit auch alle Galaxien in eine vierte Raum-Dimension.

1. Gedanken-Experiment:
Ein Eisenbahnzug bewegt sich mit der Geschwindigkeit V(α) relativ zum Bahndamm. Auf dem Dach des Eisenbahnzuges sind ein Gewehr und eine Laserkanone montiert. Beide Waffen können in Fahrtrichtung des Zuges schießen. Das Gewehr wird abgefeuert und der mitfahrende Beobachter misst die Geschwindigkeit V(β) der Gewehrkugel relativ zum fahrenden Zug. Wie groß ist die Geschwindigkeit V(γ) der Gewehrkugel relativ zum Bahndamm? Ob der Zug fährt oder nicht, in allen Fällen steht der Geschwindigkeitsvektor V(4):

1. Senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor des Zuges.
2. Senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor der Gewehrkugel.


Aus der Skizze 1 liest man ab:

(1) tan(α) = V(α)/V(4)
(2) tan(β) = V(β)/V(4)
(3) tan(γ) = V(γ)/V(4); daraus folgt:

(4) V(α) = V(4)•tan(α)
(5) V(β) = V(4)•tan(β)
(6) V(γ) = V(4)•tan(γ)

Die Winkel α, β und γ repräsentieren somit die Geschwindigkeiten als Bruchteile von V(4). Zeichnet man nun alle Geschwindigkeitsbruchteile von V(4) in ein einziges Diagramm, ergibt sich folgendes:



Mit (γ = α + β) folgt aus (6):

(7) V(γ) = V(4)•tan(α + β)

Das trigonometrische Additionstheorem lautet wie folgt:
(8) tan(α + β) = [tan(α) + tan(β)] / [1 - tan(α)•tan(β)]

Durch Einsetzen von (1), (2), (3) und (7) in (8) ergibt sich:
(9) V(γ) = [V(α) + V(β)] / [1 ─ V(α)•V(β) / V(4)²]


2. Gedanken-Experiment:
Die Laserkanone wird abgefeuert und der mitfahrende Beobachter misst die Geschwindigkeit V(β) = c des Lichtstrahls der Laserkanone relativ zum fahrenden Zug. Wie groß ist die Geschwindigkeit V(γ) des Lichtstrahls der Laserkanone relativ zum Bahndamm? Nun kommt Postulat 1 zur Anwendung. Das heißt, V(γ) kann nicht größer als c sein, sondern höchstens c. Und V(γ) kann auch nicht kleiner als c sein, weil bereits der Summand V(β) = c ist. Somit bleibt nur übrig: V(γ) = c. Setzt man V(γ) = c und V(β) = c in (9) ein, dann ergibt sich:

(10) c = [V(α) + c] / [1 ─ V(α)•c / V(4)²]; daraus folgt:

(11) V(4)² = ─ c² oder V(4) = i•c

Setzt man (11) in (9) ein, ergibt sich:
(12) V(γ) = [V(α) + V(β)] / [1 + V(α)•V(β) / c²]

Formel (12) ist identisch mit der Formel der Einsteinschen Geschwindigkeitsaddition. Meine Herleitung kann aber nicht die Herleitung von Einstein ersetzen, weil mein Postulat 2 nicht beobachtbar ist. Hingegen Einsteins Herleitung der SRT beruht auf zwei Postulaten, die nachprüfbar sind. Interessant ist, dass die SRT-Effekte aus der Universum-Expansion herleitbar wären, wenn Postulat 2 nachprüfbar wäre. In diesem Fall könnte man den SRT-Effekten eine physikalische Ursache zuordnen, nämlich die Universum-Expansion.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo Bauhof,

vielen Dank für deine anschaulichen Skizzen zur Verdeutlichung deiner Herleitung des Additionstheorems.

Folgende Fragen ergeben sich für mich beim ersten Hinsehen:

Du gehst in Postulat 2 davon aus, dass v(4) für alle Punkte des Universums konstant ist. Zum Schluss deiner Herleitung ergibt sich v(4) = ic.
In Skizze 1 stellt die jeweilige "Weltlinie" allerdings die vektorielle Summe aus v(4) und v dar. Die "Weltlinie" ist deiner Zeichnung zufolge (anders als im Minkowski-Diagramm, in dem hier ja Längen aufgetragen sind) also eine Geschwindigkeit, die c übertrifft, was deiner Annahme aus Postulat 1 widerspräche.

Du bezeichnest nach Skizze 1 u.a. auch v(ß) als Bruchteil von v(4), obwohl doch ß nach Skizze 2 - anders als α und γ, die ja den Winkel zwischen der jeweiligen Weltlinie und v(4) darstellen - hier den Winkel zwischen Gewehrkugelweltlinie und Zugweltlinie bezeichnet. Auch hier bliebe die Größe v(4) in allen drei Fällen für Bahndamm, Zug und Gewehrkugel dieselbe, nämlich die Maximalgeschwindigkeit c. Wenn aber die Maximalgeschwindigkeit bereits erreicht ist, wie kann ein Objekt dann noch eine "zusätzliche" Geschwindigkeit - v(α), v(ß), v(γ) - im 3-D-Raum erhalten?

Wenn ich ein Diagramm i.S. von Skizze 2 zeichne, in dem die Zugweltlinie als "ruhend" verstanden wird (also parallel zu v(4) verläuft, so ergäbe sich ein größerer Winkel ß. Insoweit ist mir nicht klar, ob man α und ß, wie in Skizze 2 dargestellt ohne weiteres zu γ addieren darf.

Im 2. Gedankenexperiment gehst du davon aus, dass v(ß) = c (und damit auch v(γ) = c) ist, weil in diesem Fall die Laserkanone eingesetzt wird. Damit leitest du dann das Additionstheorem und die Größe für v(4) her. Mir stellt sich die Frage, ob das Ergebnis, was du so erhältst, dann möglicherweise auch nur für den obigen Fall (d.h. Verwendung einer Lichtquelle; Addition der Lichtgeschwindigkeit zu einer Geschwindigkeit im Raum) gültig ist.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-2:

Du gehst in Postulat 2 davon aus, dass v(4) für alle Punkte des Universums konstant ist. Zum Schluss deiner Herleitung ergibt sich v(4) = ic. In Skizze 1 stellt die jeweilige "Weltlinie" allerdings die vektorielle Summe aus v(4) und v dar. Die "Weltlinie" ist deiner Zeichnung zufolge (anders als im Minkowski-Diagramm, in dem hier ja Längen aufgetragen sind) also eine Geschwindigkeit, die c übertrifft, was deiner Annahme aus Postulat 1 widerspräche.

Hallo Claus,

danke für den Hinweis, ich wollte eigentlich nicht mit Vektoren operieren, sondern nur mit Weltlinien. Deshalb korrigiere ich die beiden Skizzen und multipliziere
V(4), V(α), V(β) und V(γ) jeweils mit dem Zeitparameter t. Dadurch werden die Abszissen und die Ordinaten wieder Strecken, so wie wir es aus den Minkowski-Diagrammen kennen. Und die bisherigen Geschwindigkeitsvektoren werden wieder Weltlinien:

Die Winkeldifferenz β zwischen der Zugweltlinie und der Gewehrkugelweltlinie repräsentiert die Relativgeschwindigkeit zwischen Gewehrkugel und Zug.

Die Winkeldifferenz α zwischen der Bahndammweltlinie und der Zugweltlinie repräsentiert die Relativgeschwindigkeit zwischen dem Bahndamm und dem Zug.

Die Winkeldifferenz (γ = α + β) zwischen der Bahndammweltlinie und der Gewehrkugelweltlinie repräsentiert die Relativgeschwindigkeit zwischen dem Bahndamm und der Gewehrkugel.

Somit ändern sich die Gleichungen (1), (2) und (3) wie folgt:

(1) tan(α) = t•V(α)/t•V(4)
(2) tan(β) = t•V(β)/t•V(4)
(3) tan(γ) = t•V(γ)t•/V(4); daraus folgt:

(4) V(α) = V(4)•tan(α)
(5) V(β) = V(4)•tan(β)
(6) V(γ) = V(4)•tan(γ)

Die Gleichungen (4), (5) und (6) bleiben unverändert, weil der Zeitparameter sich wieder herauskürzt. Und an der übrigen Herleitung ändert sich damit auch nichts. Sind damit auch deine übrigen Einwände mit erledigt?

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo Bauhof,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1982-3:

Sind damit auch deine übrigen Einwände mit erledigt?

Leider nein. Meine Fragen aus Beitrag Nr. 1982-2 werden durch die Multiplikation der Achsen mit t nicht beantwortet.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-4:

Hallo Bauhof,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1982-3:

Sind damit auch deine übrigen Einwände mit erledigt?

Leider nein. Meine Fragen aus Beitrag Nr. 1982-2 werden durch die Multiplikation der Achsen mit t nicht beantwortet.

Hallo Claus,

bitte greife nur eine deiner Fragen heraus und präzisiere sie, weil ich deine übrigen Fragen bisher nicht verstehe. Danach handeln wir eine Frage nach der anderen ab. Aber bitte nicht alle gleichzeitig.

M.f.G. Eugen Bauhof

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-2:

Wenn ich ein Diagramm i.S. von Skizze 2 zeichne, in dem die Zugweltlinie als "ruhend" verstanden wird (also parallel zu v(4) verläuft, so ergäbe sich ein größerer Winkel ß. Insoweit ist mir nicht klar, ob man α und ß, wie in Skizze 2 dargestellt ohne weiteres zu γ addieren darf.

Hallo Claus,

ich habe die Skizze 1 etwas geändert. Jetzt wird es mit einem Blick klar, warum man die Winkel der Weltlinien adieren darf:


Warum? Weil t•V(4) auf t•V(α), t•V(β) und auf t•V(γ) senkrecht steht. Und deshalb darf man die drei Minkowski-Diagramme in Skizze 1 zu einem Minkowski-Diagramm in Skizze 2 zusammenfassen und die Winkel addieren.

M.f.G. Eugen Bauhof

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-2:

Du bezeichnest nach Skizze 1 u.a. auch v(ß) als Bruchteil von v(4), obwohl doch ß nach Skizze 2 - anders als α und γ, die ja den Winkel zwischen der jeweiligen Weltlinie und v(4) darstellen - hier den Winkel zwischen Gewehrkugelweltlinie und Zugweltlinie bezeichnet. ...

Wenn ich ein Diagramm i.S. von Skizze 2 zeichne, in dem die Zugweltlinie als "ruhend" verstanden wird (also parallel zu v(4) verläuft, so ergäbe sich ein größerer Winkel ß.

Hallo Bauhof,

in der u.a. Abbildung wird vielleicht deutlich, was ich meine:



in der Linken Grafik ist das (blaue) Bezugssystem des Zugs gegenüber dem des Bahndamms gestaucht. Der Winkel ß ist also für einen Beobachter am Bahndamm kleiner, als für einen Beobachter im Zug (rechte Grafik).

Winkel ß repräsentiert gemäß deiner Zeichnung also nicht

Zitat von Bauhof:

... die Relativgeschwindigkeit zwischen Gewehrkugel und Zug.

sondern m.E. den

Anteil der Geschwindigkeit der Gewehrkugel gegenüber dem Bahndamm der die Geschwindigkeit des Zuges gegenüber dem Bahndamm übertrifft.

Für die Ableitung des Geschwindigkeitstheorems scheint dies unerheblich, weil die Addition der Geschwindigkeiten bzw. die Anwendung des Geschwindigkeitsadditionstheorems im Bezugssystem des Bahndamms erfolgt. Insoweit scheint mir deine Herleitung mittlerweile diesbezüglich korrekt¹ und ich finde sie sehr interessant.


Allerdings hat der obige Sachverhalt m.E. Auswirkungen auf deine Annahmen:

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1982-1:

Jeder Punkt des dreidimensionalen Universums bewegt sich konform mit der Universum-Expansion mit einer zunächst unbekannten Geschwindigkeit V(4) auf einer Geraden senkrecht zum 3-D-Raum in eine vierte Raum-Dimension.

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1978-35:

Die Objekte des Universums befinden sich alle in der "Oberfläche" (zweidimensionaler Begrenzungsraum) des Ballons. ...

Es gibt keine Objekte im Inneren der 4-D-Kugel. Alle Objekte (z.B. die Galaxien) befinden sich alle im dreidimensionalen Begrenzungsraum der 4-D-Kugel. Kein Objekt erreicht die “Oberfläche“ später als alle anderen Objekte, weil alle Objekte in der Oberfläche “verankert“ sind und mit dem Aufblähen der 4-D-Kugel gemeinsam in die vierte Dimension mitgetragen werden. Man kann sagen, das Innere der 4-D-Kugel existiert gar nicht, es existiert nur deren dreidimensionaler Begrenzungsraum, unser Universum.

denn um dein Postulat 1 zu erfüllen (d.h. um v(4) in allen Bezugssystemen konstant zu halten) muss nach deinen geänderten Achsenbezeichnungen nun ja ein anderer Zeitmaßstab t‘ für das Bezugssystem des Zugs zu Grunde gelegt werden (Zeitdilatation im Zug aus Sicht des Bahndamms).

Damit stellt sich die Frage, welcher dieser verschiedenen Zeitmaßstäbe nun für die Entfernung der "Oberfläche des Ballons" zum Ursprung des Universums zu Grunde gelegt werden soll.

¹ Anmerkung: Die im letzten Absatz meines Beitrag Nr. 1982-2 geäußerten Bedenken habe ich bislang noch nicht ausräumen können.

Reduziert die Beschleunigung der Kugel nicht die Geschwindigkeit des Zuges, somit nicht 100% Adition der Geschwindigkeiten.

Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-7:

Damit stellt sich die Frage, welcher dieser verschiedenen Zeitmaßstäbe nun für die Entfernung der "Oberfläche des Ballons" zum Ursprung des Universums zu Grunde gelegt werden soll.

ich denke doch, jeder nach seiner Eigenzeit.
Jedes zur Erfahrung fähige Wesen im Universum legt seine eigenen Beobachtungen bezüglich Raum- und Zeitintervalle zugrunde, um zu Ergebnissen und Schlussfolgerungen zu kommen. Sagt nicht die SRT aus, all diese Ergebnisse sind gleichberechtigt, die Natur zu beschreiben?
Der reisende Zwilling ist nach seiner Rückkehr um Jahre jünger als sein Bruder und und der Ursprung liegt zeitlich noch nicht so weit entfernt.
Man kann keinen der Beiden bevorzugen.

mfg okotombrok

Okotombrok schrieb in Beitrag Nr. 1982-9:

Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-7:

Damit stellt sich die Frage, welcher dieser verschiedenen Zeitmaßstäbe nun für die Entfernung der "Oberfläche des Ballons" zum Ursprung des Universums zu Grunde gelegt werden soll.

ich denke doch, jeder nach seiner Eigenzeit.
Jedes zur Erfahrung fähige Wesen im Universum legt seine eigenen Beobachtungen bezüglich Raum- und Zeitintervalle zugrunde, um zu Ergebnissen und Schlussfolgerungen zu kommen. Sagt nicht die SRT aus, all diese Ergebnisse sind gleichberechtigt, die Natur zu beschreiben?
Der reisende Zwilling ist nach seiner Rückkehr um Jahre jünger als sein Bruder und und der Ursprung liegt zeitlich noch nicht so weit entfernt.
Man kann keinen der Beiden bevorzugen.

mfg okotombrok

Es gibt auf die Raumzeit als Gesamtheit bezogen keine "Relativität", für jedes, absolut jedes System ist der "Ursprung" bzw. der Horizont 13.7 Milliarden Jahre entfernt, die Raumzeit ist nach Einstein absolut, die Dynamik (Raumzeit-Krümmungen) beziehen sich auf lokale Phänomene, hervorgerufen durch die Gravitaiton großer Massen oder die großen Geschwindigkeiten der Systeme INNERHALB der Raumzeit relativ zueinander. Eine evtuelle Krümmung der gesamten Raumzeit (die nicht nachzuweisen ist) bezöge sich auf die gesamte Masse des Kosmos, wäre also nicht relativ.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-7:

Damit stellt sich die Frage, welcher dieser verschiedenen Zeitmaßstäbe nun für die Entfernung der "Oberfläche des Ballons" zum Ursprung des Universums zu Grunde gelegt werden soll.

Hallo Claus,

mit der Entfernung der "Oberfläche des Ballons" zum Ursprung des Universums meinte ich mit meinem Postulat 2 folgendes:

Der Ursprung des Universums liegt im fiktiven Mittelpunkt M der 4-D-Kugel. Die vierdimensionale Entfernung von M zu jeder Galaxie der "Oberfläche" des Ballons" ist exakt gleich, etwa 13 Milliarden Lichtjahre. Wenn man mal eine gleichförmige Expansion des “Ballons“ in die vierdimensionale Richtung annimmt, dann gibt es keine verschiedenen Zeitmaßstäbe, jeder Punkt der "Oberfläche des Ballons" ist etwa 13 Milliarden Jahre alt.

Experimentell gibt es leider folgendes Problem: Bei einem möglichen Krümmungsradius von 13 Milliarden Lichtjahren ist es fast unmöglich, diese winzige globale Krümmung nachzuweisen. Aber andererseits ist eine Krümmung = exakt Null ebenso schlecht nachzuweisen. Unter den fast unendlich vielen Krümmungsmöglichkeiten (Kugel, alle Ellipsen, alle Parabeln, alle Hyperbeln...) wäre Krümmung = exakt Null nur eine Möglichkeit und damit sehr unwahrscheinlich.

M.f.G. Eugen Bauhof

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1982-11:

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-7:

Damit stellt sich die Frage, welcher dieser verschiedenen Zeitmaßstäbe nun für die Entfernung der "Oberfläche des Ballons" zum Ursprung des Universums zu Grunde gelegt werden soll.

Hallo Claus,

mit der Entfernung der "Oberfläche des Ballons" zum Ursprung des Universums meinte ich mit meinem Postulat 2 folgendes:

Der Ursprung des Universums liegt im fiktiven Mittelpunkt M der 4-D-Kugel. Die vierdimensionale Entfernung von M zu jeder Galaxie der "Oberfläche" des Ballons" ist exakt gleich, etwa 13 Milliarden Lichtjahre. Wenn man mal eine gleichförmige Expansion des “Ballons“ in die vierdimensionale Richtung annimmt, dann gibt es keine verschiedenen Zeitmaßstäbe, jeder Punkt der "Oberfläche des Ballons" ist etwa 13 Milliarden Jahre alt.

Experimentell gibt es leider folgendes Problem: Bei einem möglichen Krümmungsradius von 13 Milliarden Lichtjahren ist es fast unmöglich, diese winzige globale Krümmung nachzuweisen. Aber andererseits ist eine Krümmung = exakt Null ebenso schlecht nachzuweisen. Unter den fast unendlich vielen Krümmungsmöglichkeiten (Kugel, alle Ellipsen, alle Parabeln, alle Hyperbeln...) wäre Krümmung = exakt Null nur eine Möglichkeit und damit sehr unwahrscheinlich.

M.f.G. Eugen Bauhof

ES GIBT KEINEN MITTELPUNKT des Universums, weder fiktiv und schon gar noch real!!! Und was ist das für ein Problem mit der Raumkrümmung? Sie liegt sehr nah bei null, ist vielleicht null.

Hallo Bauhof,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1982-11:

Der Ursprung des Universums liegt im fiktiven Mittelpunkt M der 4-D-Kugel. Die vierdimensionale Entfernung von M zu jeder Galaxie der "Oberfläche" des Ballons" ist exakt gleich, etwa 13 Milliarden Lichtjahre. Wenn man mal eine gleichförmige Expansion des “Ballons“ in die vierdimensionale Richtung annimmt, dann gibt es keine verschiedenen Zeitmaßstäbe, jeder Punkt der "Oberfläche des Ballons" ist etwa 13 Milliarden Jahre alt.

Nehmen wir an, du bist am Bahnsteig und dieser ist 13 Milliarden Jahre alt. Dann hat sich der Bahnsteig 13 Miliarden Jahre lang mit v = ic vom Mittelpunkt der 4-D-Kugel aus radial in die imaginäre Zeitrichtung (zur jetzigen "Oberfläche" der "Kugel") nach außen bewegt.

Betrachte nun den Zug und die Gewehrkugel. Auch diese haben sich in Richtung Oberfläche fortbewegt - allerdings langsamer, weil die Zeit des Zugs mit einem anderen Maßstab gemessen wird als deinem:

Dies wird m.E. aus deiner ersten Skizze 1 aus Beitrag Beitrag Nr. 1982-6 deutlich: auf der Ordinate hast zu die "Weltgeschwindigkeit" v(4) = ic aufgetragen. Deren Geschwindigkeitsquadrat ist negativ. Kommt nun noch eine Geschwindigkeitskomponente im realen Raum - z.B. V(ß) -hinzu, so repräsentiert die rote Weltlinie nach Pythagoras die Summe beider Geschwindigkeiten. Diese ist immer noch imaginär, aber kleiner als v(4), nämlich
V(_Zug) = sqrt {c² - V(ß)}

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-7:

Damit stellt sich die Frage, welcher dieser verschiedenen Zeitmaßstäbe nun für die Entfernung der "Oberfläche des Ballons" zum Ursprung des Universums zu Grunde gelegt werden soll.

Okotombrok schrieb in Beitrag Nr. 1982-9:

ich denke doch, jeder nach seiner Eigenzeit.

Hallo Okotombrok und auch Bauhof,

Ja ok. Dann sieht jeder sich selbst als innerhalb der 4-D-Kugel am weitesten gereist an. Alle anderen, die sich aus Sicht von "jedermann" nämlich zusätzlich im Raum bewegt haben, sind nicht bis zur "Oberfläche" der 4-D-Kugel vorgedrungen, sondern dahinter zurückgeblieben. Die Sicht ist also relativ - das wissen wir ja schon. Aber:

Wenn es eine Vorzugsrichtung der Bewegung gibt (nämlich eine radial vom Ursprung nach außen weisende Bewegung), die eine Weltzeit - oder wie Baufhof es in Beitrag Nr. 1978-62 nennt: "kosmologische Zeit" definiert, dann ist eine Bewegung auf exakt radialer Bahn der Standpunkt, von dem aus wir diese Zeit definieren müssen. Anders ausgedrückt: Die Objekte, die die Oberfläche des Ballons erreicht haben dürfen sich ausschließlich in radialer Richtung vom Urknall entfernt haben. Außer der Hubble-Expansion dürften keinerlei Bewegungskomponenten im Raum feststellbar sein - und dem ist eben nicht so.

Wenn wir uns am Bahndamm als ruhend definieren, so bleibt bereits ein fahrender Zug hinter der Oberfläche des Ballons zurück.

Mir ist diese Erörterung aus philosophischem Grund wichtig, denn aufgrund obiger Argumentation halte ich es für plausibel, dass zumindest Vergangenheit und Gegenwart "zeitlos" nebeneinander fortbestehen und es eben nicht so ist, wie Bauhof es in Beitrag Nr. 1978-49 vermutet:

Zitat von Bauhof:

Es gibt immer nur eine Gegenwart. Eine kleinere Kreislinie als jetzt ist Schnee von gestern. Dieser Schnee hat sich verflüchtigt.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-14:

Wenn wir uns am Bahndamm als ruhend definieren, so bleibt bereits ein fahrender Zug hinter der Oberfläche des Ballons zurück.

Hallo Claus,

das verstehe ich leider noch nicht. Ich hatte doch geschrieben:

Zitat:

Ob der Zug fährt oder nicht, in allen Fällen steht V(4):
Erstens senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor des Zuges.
Zweitens senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor der Gewehrkugel.

Und drittens, das hatte ich vergessen zu notieren:
Steht V(4) senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor des Bahndamms.

Das heißt, in jedem Augenblick der “kosmischen Zeit“ ist der Bahndamm, der Zug und auch die Gewehrkugel gleich weit vom fiktiven Mittelpunkt der 4-D-Kugel entfernt. Ganz gleich, ob und wie sich ein Objekt im 3-D-Raum bewegt oder nicht bewegt.

Und je nach Geschwindigkeit der betrachteten Objekte “schneidet“ sich jedes Objekt ihren eigenen Geschwindigkeitsanteil aus V(4) heraus, wie in Skizze 2 dargestellt. Alles bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit, es kann nur die Richtung in der Raumzeit geändert werden. Verschiedene Geschwindigkeiten im 3-D-Raum ergeben die verschiedenen Richtungen im Minkowski-Raum.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo Bauhof,

ich versuche nocheinmal meinen Einwand zu erläutern - vielleicht sehe ich das ja auch falsch... bislang kann ich aber keinen Fehler in dem entdecken, wie ich es mir vorstelle:

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1982-15:

Ob der Zug fährt oder nicht, in allen Fällen steht V(4):
Erstens senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor des Zuges.
Zweitens senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor der Gewehrkugel.
Und drittens, das hatte ich vergessen zu notieren:
Steht V(4) senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor des Bahndamms.

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann haben wir im Falle Zug und Gewehrkugel 2 Geschwindigkeitsvektoren, die senkrecht aufeinander stehen. Den Bahndamm hatte ich bislang als unbewegt angesehen, man kann das aber sicherlich auch so sehen, dass dieser sich ja mit der Erde irgenwohin bewegt... wie dem auch sei - dies ist für die weiteren Betrachtungen nicht von Belang.

Nun verstehe ich es so¹, dass man 2 Vektoren, die in einem bestimmten Winkel (hier senkrecht) aufeinander stehen, addieren darf.
¹ (Ich bin mir nicht sicher... Darf man das so machen, wenn eine Achse imäginär ist?)

Im Falle der senkrecht aufeinanderstehenden Vektoren ist der resultierende Summenvektor die Hypothenuse des Dreiecks - siehe Skizze unten: Vorstellung a):



In Vorstellung a) ist v(4) = ic.
Für den Summenvektor gilt der Wurzelausdruck: v_(gesamt) = sqrt {- c² + v(x)²}.
Da v(x) < c können für den Summenvektor also Werte zwischen i c (wenn v(x) = 0) und 0 (wenn v(x) = c) erreicht werden.
Der Summenvektor eines im Raum bewegten Objekts ist also stets kleiner als i c bzw. v(4).

In Vorstellung b) meiner Skizze habe ich denselben Sachverhalt anders dargestellt. Man kommt in dieser Vorstellung jedoch zum selben Ergebnis:

Hier lege ich als Hypothenuse des Dreiecks eine "Gesamtgeschwindigkeit c" in der Raumzeit zu Grunde, wie du es auch formuliert hast:

Zitat von Bauhof:

Alles bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit, es kann nur die Richtung in der Raumzeit geändert werden.

Im Gegensatz zu Vorstellung a) bilden nun die beiden Katheten die Projektionen der Gesamtgeschwindigkeit: a) auf die Raumachse und b) auf die senkrecht dazu stehende "imaginäre" (hier aber real dargestellte) Achse.

Dabei wird deutlich, dass die Bewegung auf der imaginären Zeitachse umso kleiner wird, je größer die Bewegungskomponente in x-Richtung (d.h. im realen Raum) ist.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-16:

Hier lege ich als Hypotenuse des Dreiecks eine "Gesamtgeschwindigkeit c" in der Raumzeit zu Grunde, wie du es auch formuliert hast

Hallo Claus,

so habe ich das nicht gemeint. Da liegt ein Missverständnis vor. Siehe Skizze 3:



Nachdem sich hier eine reelle Geschwindigkeit V und eine imaginäre Geschwindigkeit V(4) geometrisch zusammensetzen, kann mit Hilfe des Pythagoras ein komplexer Geschwindigkeitsvektor V(k) berechnet werden (siehe zweite Figur):

(1) V(k)² = V(4)² + V²

mit V(4) = i•c ergibt sich nach einigen Umformungen:

(2) V(k) = i•c•sqrt[1 ─ (v/c)²]; oder:

(3) V(k) = V(4)•sqrt[1 ─ (v/c)²]

Für die erste Figur ergibt sich:

(4) V(k1) = V(4)•sqrt[1 ─ (v1/c)²]

Für die dritte Figur ergibt sich:

(5) V(k2) = V(4)•sqrt[1 ─ (v2/c)²]

Bei unterschiedlichem V ergeben sich zwar unterschiedliche komplexe Geschwindigkeiten, aber die imaginäre Komponente V(4) bleibt gleich:

Alles bewegt sich mit V(4) in eine vierte Raumrichtung, gleichgültig, wie groß die reelle Geschwindigkeit V des jeweiligen Objekts ist.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

Hallo Bauhof,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1982-17:

Nachdem sich hier eine reelle Geschwindigkeit V und eine imaginäre Geschwindigkeit V(4) geometrisch zusammensetzen, kann mit Hilfe des Pythagoras ein komplexer Geschwindigkeitsvektor V(k) berechnet werden (siehe zweite Figur):

(1) V(k)² = V(4)² + V²

Genau diesen "komplexen Geschwindigkeitsvektor" V(k) meinte ich hier mit v_gesamt:

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-16:

v_gesamt = sqrt {- c2 + v(x)²}

Unsere Vorstellungen unterscheiden sich physikalisch m.E. nicht. Auch ich sehe es so, dass die imaginäre Geschwindigkeitskomponente V(4) gleich bleibt. Auch die nachfolgende Berechnung für die Betragsgröße des Summenvektors V(k) = v(4) * 1/γ erhalte ich in gleicher Weise.

Unsere Vorstellungen unterscheiden sich aber bzgl. dessen, was die eigentliche Bewegung eines Objekts darstellt. Du gehst anscheinend davon aus, dass die beiden Geschwindigkeitskomponenten separate Bewegungen in zwei separate Richtungen (in die imaginäre und in die senkrecht daruf stehende reale Richtung) verkörpern.

Ich sehe es dagegen so, dass sich ein Objekt immer nur in eine Richtung bewegen kann. Insoweit gebe ich dem aus beiden Komponenten zusammengesetzten Geschwindigkeitsvektor V(k) die eigentliche Bedeutung für die Bewegung eines Objekts. Was wir als Bewegung im Raum ansehen, ist nach meiner Vorstellung nur ein Teil einer einheitlichen Gesamtbewegung in Raum und Zeit.

Hierzu ein anschauliches Beispiel, das meine Vorstellung verteidigen soll:

Betrachten wir ein Flugobjekt (z.B. einen Vogel oder ein Flugzeug), welches unser Gesichtsfeld von links nach rechts durchquert, sich dazu aber auch noch in die Tiefe des Raums von uns wegbewegt, so gibt es zwei Bewegungskomponenten des Objekts. Eine parallel zu unserem Gesichtsfeld und eine weitere senkrecht dazu. Ein Vogel wird nun umso schneller aus unserem Gesichtsfeld entschwinden, je je weniger er sich in die Tiefe des Raums entfernt, denn umso schneller durchquert er die Richtung parallel zu unserer Netzhaut von links nach rechts. Fliegt der Vogel jedoch überwiegend nach vorn weg, so ist seine senkrechte Bewegungskomponente entsprechend größer und wir können ihm lange nachsehen, weil er bei gleichbleibender Gesamtgeschwindigkeit unser Gesichtsfeld von links nach rechts nur entsprechend langsam durchquert.

In jedem Falle aber fliegt der Vogel mit nur einer Geschwindigkeit und auch in nur eine Bewegungsrichtung, denn schließlich kann sich ein Vogel nicht in zwei Vögel aufspalten: einen, der sich z.B. in der Netzhautebene mit V(x) bewegt und einen zweiten, der sich senkrecht dazu mit V(y) bewegt.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1982-18:

In jedem Falle aber fliegt der Vogel mit nur einer Geschwindigkeit und auch in nur eine Bewegungsrichtung, denn schließlich kann sich ein Vogel nicht in zwei Vögel aufspalten: einen, der sich z.B. in der Netzhautebene mit V(x) bewegt und einen zweiten, der sich senkrecht dazu mit V(y) bewegt.

Hallo Claus,

ja, relativ zu einem festen Bezugspunkt fliegt der Vogel nur mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit v.

Nachdem der Vogel sich im dreidimensionalen Raum {x, y, z} bewegt, ist seine Flugbewegung in drei Vektorkomponenten darstellbar: {v_x, v_y, v_z}. Jede dieser drei Komponenten kann zwischenzeitlich variieren.

Bei meiner Vorstellung von der Universum-Expansion ist es etwas anders. Bei den vier Vektorkomponenten {v_x, v_y, v_z, v₄} variieren bei jeder Bewegung nur die drei Komponenten v_x, v_y, v_z, nicht aber v₄.

M.f.G. Eugen Bauhof