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Grundlagen der komplexen Zahlen

Thema erstellt von Bauhof 
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Beiträge: 1.375, Mitglied seit 12 Jahren
Okotombrok schrieb in Beitrag-Nr. 1164-71:
Zitat:
Hallo Eugen Bauhof, [...] Ja, ich habe Interesse und wäre dir sehr verbunden.
Hallo Okotombrok,
Hallo zusammen,

Hier meine angekündigte elementare Einführung in die imaginären Zahlen. Die imaginären Zahlen sind ein Teil der komplexen Zahlen. Die komplexen Zahlen bezeichnet man mit Z. Gauß veranschaulichte die komplexen Zahlen geometrisch, siehe meine Zeichnung hier (bitte mit der rechten Maustaste herunterladen und ausdrucken):

http://www.eugen-bauhof.homepage.t-online.de/Bilder...

Das heißt, die Zahlengerade wurde erweitert zur Zahlenebene durch Hinzunahme der zweiten Dimension. Jeder Punkt der Gaußschen Zahlenebene repräsentiert eine komplexe Zahl. Jeder Punkt der waagrechten Abszisse repräsentiert eine komplexe Zahl, deren Imaginärteil Null ist. Jeder Punkt der rot eingezeichneten Ordinate repräsentiert eine komplexe Zahl, deren Realteil Null ist. Die reellen Zahlen sind also ein Spezialfall der viel 'mächtigeren' komplexen Zahlen.

Vor Einführung der komplexen Zahlen kannte man nur die reellen Zahlen, im Bild dargestellt durch die waagrechte Abszisse. Sie enthielt alle Zahlen, die man bis dahin kannte: Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, reelle Zahlen, irrationale Zahlen, transzendente Zahlen und neuerdings auch hyperreelle Zahlen. In der reellen Zahlengeraden waren auch die Quadratwurzeln der positiven Zahlen zu finden.

Irgendwann ergab sich folgendes Problem: Bestimmte quadratische Gleichungen der Form ax²+bx+c=0 ließen sich nicht durch Zahlen lösen, die sich auf der reellen Zahlengeraden befanden. Diese Fälle traten auf, wenn in der Lösungsformel ein Term unter dem Wurzelzeichen auftrat, der negativ war. Solche Lösungen bezeichnete man als "imaginär", weil sie anscheinend keinen "realen" Größen der "Wirklichkeit" entsprachen. Aus dieser Bezeichnung entsprang die Bezeichnung der imaginären Zahlen. Eine höchst unglückliche Bezeichnung dieser Zahlen, wie man in neuerer Zeit feststellte. Denn die imaginären Zahlen sind nicht mehr und auch nicht weniger "real" wie die reellen Zahlen! Wenn die imaginären Zahlen nur fiktiv in der Einbildung existieren, dann existieren die reellen Zahlen in gleicher Weise nur in der Einbildung. Auch die reellen Zahlen sind nur ein Produkt des menschlichen Geistes genau so wie die imaginären Zahlen. Damit alle quadratische Gleichungen der Form ax²+bx+c=0 gelöst werden konnten, hat man die komplexen Zahlen erfunden. Eine komplexe Zahl kann allgemein auf drei verschiedene Weisen dargestellt werden:

1. Koordinaten-Darstellung von Z:
Z = a + bi; im Bild ist speziell der Punkt Z = 5 + 6i eingezeichnet.
a = reelle Komponente
bi = imaginäre Komponente
i = + sqrt(-1)
sqrt = Kürzel für die Quadratwurzel
Den Absolutbetrag einer komplexen Zahl bezeichnet man mit |Z|, das ist in der Gaußschen Zahlenebene die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und gleichzeitig der Abstand von Ursprung zum Punkt Z:
|Z| = sqrt(a² + b²)

2. Trigonometrische Darstellung von Z:
Z = |Z|·[cos(alpha) + i·sin(alpha)]
|Z| = + sqrt(a² + b²)
cos(alpha) = a/|Z|
sin(alpha) = b/|Z|
Den Winkel alpha erhält man aus tan(alpha) = b/a

3. Exponentielle Darstellung von Z:
Leonhard Euler fand heraus, dass cos(alpha) + i·sin(alpha) = exp(i·alpha) ist. Deshalb darf man schreiben:
Z = |Z|·exp(i·alpha)
exp = Kürzel für die Exponential-Funktion (e hoch x)
e = Basis der natürlichen Logarithmen = 2,718281828...

Soviel für heute. Ich warte erst mal, ob Fragen dazu kommen. Danach erkläre ich im nächsten Beitrag den Zusammenhang zwischen den normalen trigonometrischen Winkelfunktionen und den trigonometrischen Hyperbelfunktionen. Dieser Zusammenhang kann mit Hilfe der komplexen Zahlen dargestellt werden kann.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

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Der Kluge lernt aus allem und von jedem,
der Normale aus seinen Erfahrungen,
und der Dumme weiß alles besser.
Sokrates.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Bauhof am 05.09.2008 um 18:40 Uhr.
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Beiträge: 1.520, Mitglied seit 12 Jahren
Hallo Eugen Bauhof,
vielen Dank für Deine Darstellung der komplexen Zahlen. Ich bin bemüht, auf der Grundlage rudimentärer Kenntnisse aus meiner Schulzeit die Dinge zu verstehen. Mit dem Nachfragen ist das so ein Problem, ich hab natürlich auch Hemmungen meine Unkenntnis öffentlich zu machen und neige deshalb eher dazu, mich anderweitig zu informieren. Auf jeden Fall verfolge ich Deine Darstellung sehr interessiert; bin aber einige Tage
von zuhause abwesend.

MfG
Harti
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Wichtig ist, dass man nicht aufhört zu fragen. A.E.
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Beiträge: 1.375, Mitglied seit 12 Jahren
Harti schrieb in Beitrag Nr. 1244-2:
Mit dem Nachfragen ist das so ein Problem, ich hab natürlich auch Hemmungen meine Unkenntnis öffentlich zu machen und neige deshalb eher dazu, mich anderweitig zu informieren.
Hallo Harti,

ich sehe es als kein Problem, wenn jemand seine Unkenntnis öffentlich macht. Wer fragt, könnte sich scheinbar blamieren, aber wer nicht fragt, der bleibt für immer in Unkenntnis. Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie genau ich etwas erklären muss, damit es jeder versteht. Andere langweilen sich vielleicht, weil sie das alles schon wissen.

Zum anderweitig informieren kann ich dich auf eine alteingeführte Referenz [1] aufmerksam machen. Da ist alles drin, was ein "gewöhnlich Sterblicher" überhaupt brauchen kann. Es ist kein Lehrbuch sondern eine kompakte Darstellung zum Nachschlagen.

Bei Bücher über Mathematik kann man sehr schnell das Falsche kaufen, weil die Hochschulbücher für Mathematik-Studenten der höheren Semester höchst abstrakt sind. Da müsste auch ich passen. Ich weiß aber inzwischen über Mathematik wenigstens so viel, das ich sagen kann: Ich weiß, dass ich nichts weiß.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Bronstein und Semendjajew
Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Mit CD.
Thun und Frankfurt am Main 2001. Verlag Harri Deutsch.
ISBN=3-8171-2015-X
Neue Auflage hier: http://www.science-shop.de/blatt/d_shop_buch&_k...
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Hallo Eugen,

ein Lob an dieser Stelle! Selbst ich kann folgen, und das will was heißen :-)

Bitte weiter so ausführlich!

Achso,

hallo Harti,
falls es dich tröstet: Ich bin mindestens genauso doof wie du :-).
Aber was haben wir aus der Sesamstraße gelernt? Richtig: Wieso, weshalb, warum; wer nicht fragt, bleibt dumm...

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Ein Universum, welches zufällig entsteht und zufällig ein Phänomen namens Humor hervorbringt, entbehrt nicht einer gewissen Komik.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Stueps am 06.09.2008 um 17:21 Uhr.
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Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1244-1:
Hier meine angekündigte elementare Einführung in die imaginären Zahlen ...

Hallo Eugen,

vielen dank erst einmal.
Da ich mit trigonometrischen Funktionen regelmäßig zu tun habe, hatte ich keine Schwierigkeiten deinen Ausführungen zu folgen.
Was mir auffällt ist, dass der Tangens von alpha 90 grad in der Trigonometrie nicht definiert ist(Division durch Null), in der Rechnung mit komplexen Zahlen aber einen imaginären Anteil, in deinem Beispiel 6i, zulässt. Sehe ich das so richtig?

mfg okotombrok
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"Der Kopf ist rund, damit die Gedanken die Richtung wechseln können"
(Francis Picabia)
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Okotombrok schrieb in Beitrag Nr. 1244-5:
Was mir auffällt ist, dass der Tangens von alpha 90 grad in der Trigonometrie nicht definiert ist(Division durch Null), in der Rechnung mit komplexen Zahlen aber einen imaginären Anteil, in deinem Beispiel 6i, zulässt. Sehe ich das so richtig?
Hallo Okotombrok,

Nein. In meinem Beispiel ist tan(alpha)=6/5. Das ergibt einen Winkel von rund 50 grad. Der Tangens des Winkels alpha hat in der Gaußschen Zahlenebene keinen imaginären Anteil.
Er kann in der Gaußschen Zahlenebene berechnet werden aus tan(alpha)=b/a und nicht aus tan(alpha)=bi/a. Statt aus dem Tangens kann man den Winkel alpha auch aus dem Cosinus und dem Sinus wie folgt berechnen: cos(alpha)=a/|Z| und sin(alpha)=b/|Z|. Für |Z|=0 ist der Winkel alpha unbestimmt.

Wenn alpha=90 grad wird, dann werden cos(alpha)=0 und sin(alpha)=1. Das bedeutet, dass der Realteil der komplexen Zahl verschwindet und die komplexe Zahl nur noch aus dem Imaginärteil besteht:
Z = |Z|·[cos(90) + i·sin(90)]
Z = |Z|·[0 + i·1]
Z = |Z|·i
Die spezielle komplexe Zahl Z wird dann rein imaginär.

Bei der Gelegenheit gleich noch eine wichtige Information: Ein Winkel entsteht durch eine Drehung. Wenn diese Drehung in die mathematisch positive Richtung erfolgt, dann ist der Winkel positiv. Im anderen Fall negativ. Eine Drehung in die mathematisch positive Richtung ist eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. In meiner Beispiel-Zeichnung handelt es sich also um einen positiven Winkel alpha.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
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Sokrates.
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Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1244-6:
Wenn alpha=90 grad wird, dann werden cos(alpha)=0 und sin(alpha)=1. Das bedeutet, dass der Realteil der komplexen Zahl verschwindet und die komplexe Zahl nur noch aus dem Imaginärteil besteht:
Z = |Z|·[cos(90) + i·sin(90)]
Z = |Z|·[0 + i·1]
Z = |Z|·i
Die spezielle komplexe Zahl Z wird dann rein imaginär.

Hallo Eugen,

ja, das war eigentlich das, was ich meinte. Ich bezog mich auf deine Zeichnung für den Fall, dass der Winkel alpha 90° oder 270° beträgt, bei denen der Tangens nicht definiert ist. Die komplexe Zahl hat dann einen reinen imaginären Anteil von 6i bzw. -6i.

Der Rest ist mir geläufig aus der Berechnung von Wechselstromgrößen insbesondere bei kapazitiven und induktiven Verbrauchern. Auch deswegen bin ich einmal gespannt, meinte ich doch einmal gehört zu haben, dass sich die gesamte Wechselstromtechnik, wie z.B. Phasenverschiebungen und deren Kompensation, mit Hilfe komplexer Zahlen einfacher, also eleganter zu lösen sind. Einen Taschenrechner, der komplexe Zahlen beherrscht, werde ich mir nächste Woche jedenfalls zulegen.

mfg okotombrok
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Hallo zusammen,

Hier nun der bereits angekündigten Zusammenhang zwischen den normalen trigonometrischen Winkelfunktionen und den Hyperbelfunktionen. In den Formelsammlungen findet man den normalen tan(x) und den tanh(x) = Tangens hyperbolicus von x, wie folgt definiert:

(1) tan(x) = [exp(ix) - exp(- ix)] / i·[exp(ix) + exp(- ix)]
(2) tanh(x) = [exp(x) - exp(- x)] / [exp(x) + exp(- x)]

Wenn man in (2) anstelle von (x) das Argument (ix) einsetzt, ergibt sich:
(3) tanh(ix) = [exp(ix) - exp(- ix)] / [exp(ix) + exp(- ix)]

Dividiert man (1) durch (3), ergibt sich:
tan(x) = tanh(ix) / i
tan(x) = i·tanh(ix) / i²; nachdem i² = -1 ist, ergibt sich:
(4) tan(x) = - i·tanh(ix)

Wenn man in (1) anstelle von (x) das Argument (ix) einsetzt, ergibt sich:
tan(ix) = [exp(i²x) - exp(- i²x)] / i·[exp(i²x) + exp(- i²x)]
tan(ix) = [exp(-x) - exp(x)] / i·[exp(-x) + exp(x)]
tan(ix) = (-1)[exp(-x) - exp(x)] / -i·[exp(x) + exp(-x)]
(5) tan(ix) = [exp(x) - exp(-x)] / -i·[exp(x) + exp(-x)]

Dividiert man (5) durch (2), ergibt sich:
tan(ix) / tanh(x) = 1/(-i)
tan(ix) / tanh(x) = i/(-i²)
(6) tan(ix) = i·tanh(x), weil -i² = 1 ist.

Auf dieselbe Weise kann man alle Winkelfunktionen der euklidischen Geometrie in die Winkelfunktionen der hyperbolischen Geometrie (Hyperbelfunktionen) umformen:
(7)   tan(x) = - i·tanh(ix)
(8)   cot(x) =   i·coth(ix)
(9)   sin(x) = - i·sinh(ix)
(10)  cos(x) =     cosh(ix)
                                          
(11) tan(ix) =   i·tanh(x)
(12) cot(ix) = - i·coth(x)
(13) sin(ix) =   i·sinh(x)
(14) cos(ix) =     cosh(x)
Vergleiche hierzu z.B. den "Bronstein", Funktionen und ihre Darstellung, Kapitel 2.9.3.9. Falls dazu keine Fragen kommen, werde ich im nächsten Beitrag die trigonometrische Addition zweier Winkel aufzeigen. Ebenso die Addition zweier Winkel bei den Hyperbelfunktionen. Beide Funktionen sind wichtig zum Verständnis der Herleitung des Einsteinschen Geschwindigkeits-Additionstheorems aus meinen zwei Postulaten.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

P.S.
Der Gebrauch des Divisionsoperators "/" ist natürlich nicht so übersichtlich wie der gewohnte Bruchstrich. Aber zur Verwendung des Bruchstrichs müsste hier im Forum ein Formel-Editor zu Verfügung stehen.
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Hallo zusammen,

Hier nun der bereits angekündigten Herleitung der Trigo-Funktion der Summe zweier Winkel x und y. Die Herleitung von sin(x+y) ist in diesem PDF dargestellt:

http://www.eugen-bauhof.homepage.t-online.de/Bilder...

Somit gilt:
(10) sin(x+y) = sin(x)·cos(y) + cos(x)·sin(y)
(11) cos(x+y) = cos(x)·cos(y) - sin(x)·sin(y)

Fall jemand eine elegantere und einfachere Herleitung dieser Formeln kennt, bitte ich um einen Hinweis. Nach der bekannten Formel
tan(alpha) = sin(alpha) / cos(alpha)
lässt sich der Tangens der Summe von zwei Winkeln wie folgt herleiten:

(12) tan(x+y) = sin(x+y) / cos(x+y)
tan(x+y) = [sin(x)·cos(y) + cos(x)·sin(y)] / [cos(x)·cos(y) - sin(x)·sin(y)]
Nach einigen Umformungen ergibt sich:
(13) tan(x+y) = [tan(x) + tan(y)] / [1 - tan(x)·tan(y)]

Diese Formel gilt auch, wenn man imaginäre Winkel-Argumente wie folgt einsetzt:
(14) tan(ix+iy) = [tan(ix) + tan(iy)] / [1 - tan(ix)·tan(iy)]

Wenn man die bereits hergeleiteten Beziehungen
(15) tan(ix) = i·tanh(x)
(16) tan(iy) = i·tanh(y)
in (14) einsetzt, ergibt sich:

i·tanh(x+y) = [i·tanh(x) + i·tanh(y)] / [1 - i·tanh(x)·i·tanh(y)]
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 - i·tanh(x)·i·tanh(y)]

(17) tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x)·tanh(y)], weil i² = -1 ist.

Die Formel (17) unterscheidet sich von Formel (13) nur dadurch, dass das Minus-Zeichen durch das Plus-Zeichen ersetzt wird und dass statt dem normalen Tangens der Tangens hyperbolicus erscheint. Für die Herleitung des Einsteinschen Geschwindigkeits-Additionstheorems aus meinen zwei Postulaten benötige ich nur die Formel (14). Soviel zur mathematischen Vorbereitung. Falls zu dieser mathematischen Herleitungen keine weiteren Fragen kommen, werde ich demnächst einen neuen Thread eröffnen, in dem das Einsteinsche Geschwindigkeits-Additionstheorem aus einer Bewegung [1] in die vierte Dimension hergeleitet wird.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Ob man diese "Bewegung" in die vierte Dimension nun als "räumliche Bewegung" oder als "zeitliche Bewegung" bezeichnet, ist für die mathematische Herleitung zunächst mal gleichgültig.

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Sokrates.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Bauhof am 18.09.2008 um 11:28 Uhr.
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