Geometrische Darstellung vierdimensionaler Körper

Hallo Irena,

Zitat:

Du musst ziemlich lange Pflanzen und Insekten beobachten, bis Dir der Gedanke einer Wechselwirkung kommt.

Ich fürchte, wir sprechen über verschiedenen Sachen. Die Gedanke, die kommt in Folge einer Beobachtung - ein Erkenntniss - hat mit dem menschlicher Intelligenz, mit Bewusstsein zu tun. Dem Vorgehen - der Wechselwirkung - geben wir ein sprachliches Begriff "die Wechselwirkung". Der Begriff hat für uns ein Sinn (eine Bedeutung). Das Vorgehen da draussen, ausser unseren Denken findet unabhängig von unserem Bewusstsein statt.

Die naturwissenschaftlicher Sicht stützt sich auf Unabhängigkeit der Außenwelt von unsere Wahrnehmung. Aber wie ich verstanden habe, bist Du kein Anhänger naturwissenschaftlicher Sicht.

Ich bin ein Anhänger möglichst sauberen, fehlerfreien Denkens. Und mir scheint, dass Du unfähig bist, zwischen konkretem Vorgehen und Abstraktion (Wechselwirkung) zu unterscheiden. Wenn das die naturwissenschaftliche Methode sein soll, dann bin allerdings dagegen.

Gruß

Tomm

Tomm,

ich gratuliere Dich mit Deinem "sauberen, fehlerfreien Denken". Du bist Einziger in Universum, der SO denkt.

Nur warum bringt das "saubere" Denken in Diskussion kein inhaltliches Denken? Nur Beurteilung den Anderen in Unfähigkeit egal von was. Das Spieß kann ich umdrehen. Nur was hat es mit Diskussion zutun?!

Gruß

Irena,

warum liest Du alles nur halb: ich schrieb, dass ich Anhänger möglichst sauberen, fehlerfreienDenkens bin, das heißt, ich bemühe mich darum. Über den Erfolg lässt sich streiten.

Obwohl Du nicht in der Lage bist, zu unterscheiden zwischen einem Vorgang da draußen (der auch nur nur dadurch zum Vorgang wird, dass du ihn beobachtet hast, denn etwas einen Vorgang zu nennen, braucht einen Beobachter und einen Begriff von Zeit und Bewegung) und Denken, und eine Wechselwirkung als etwas da draußen Gegebenes annimmst, obwohl Wechselwirkung ja eine Art zirkuläre Kausalität voraussetzt, die wiederum unserem Ursache-Wirkung-Denken entspringt, dann gratuliere ich Dir zu Deiner eingebildeten Objektivität, die Du offenbar mit einer wissenschaftlichen Methode verwechselst.

Dieses Forum hier heißt: Was ist Zeit? Es exisitert schon seit Jahren, und die Frage ist nach wie vor unbeantwortet. Wie kommt's? Wie kommt es, dass die wahren Denker, die mit der angeblich einzig diskussionswürdigen, weil objektiven Methode, zu keinem Ergebnis kommen und heil- und zusammenhanglos herumschwafeln? Genau das ist Bla-bla. Könnte es sein, dass da etwas mit der Methode nicht stimmen kann? Wie kommt es, dass Naturwissenschaftler zum Teil schreiben und denken, als seien sie Analphabeten? Und wem das auffällt, der soll das nicht schreiben dürfen, weil er ja nicht Naturwissenschaftler ist, also nicht mitreden darf?

Entschuldige, aber das ist mir wirklich zu armselig.

Gruß

Tomm

Hallo Aldaras,
folgende stereographische 3-D-Schnitte des von Irena erwähnten 4-D-Hyperkubus finde ich recht anschaulich:

http://cips02.physik.uni-bonn.de/ScienceSite/hyperc...

Claus,

ich bin wieder hellauf begeistert von deinem Tipp!
Hoffentlich haben alle Forum-Mitglieder, die diese Seite besuchen werden, vorher ordentlich auf Manus Seite "Stereogrammbilder" gucken geübt!!!

Vielleicht sollte man dazu noch erklären, das es so ähnlich ist, wie wenn man eine virtuelle Kugel durch ein virtuelles Blatt Papier Papier fallen lässt. Ein zweidimensionales Wesen auf dem Blatt würde lediglich einen Punkt beobachten, der zu einen Kreis heranwächst. Nach dem Maximum würde dieser Kreis wieder zu einem Punkt schrumpfen.
Wir haben hier die gleiche Situation, nur dass ein vierdimensionaler Körper durch den dreidimensionalen Raum gestochen wird. Also alles eine Dimension höher.
Ich hab versucht, mir den vierdimensionalen Körper räumlich vorzustellen, bin allerdings kläglich gescheitert...
Aber ich übe, bis ich schiele....;-)

Da ist mir gerade was aufgefallen:

Ein zweidimensionales Wesen kann die Kugel nur vollständig "sehen", wenn diese relativ zum Wesen bewegt wird, und zwar durch den zweidimensionalen Raum.
Hier ist es ähnlich: Das vierdimensionale Objekt muss den dreidimensionalen Raum durchstechen, damit man sich ein vollständiges Bild machen kann.
Ohne diese relative Bewegung zueinander sieht ein zweidimensionales Wesen lediglich einen statischen Kreis, wir sehen lediglich einen statischen dreidimensionalen Körper.
Ist diese Bewegung zwingend, damit ein "niedrigerdimensionales" Wesen ein "höherdimensionales" Objekt erfassen kann?
Ich halte das für wichtig!
Ist denn zum Beispiel unser Universum ein statisches vierdimensionales Gebilde, das durch unseren dreidimensionalen Verstand als bewegtes dreidimensionales Gebilde wahrgenommen wird?
Ist deshalb die Lichtgeschwindigkeit eine Konstante gegenüber allen dreidimensionalen Beobachtern - vielleicht weil unser Universum vierdimensional statisch ist?
Wie mag es dann wohl vierdimensional aussehen? Ist es denn immer noch eine Kugel? Nee, ein zweidimensionaler Kreis ist ja auch keine Kugel.
Ist dann unser vierdimensionales Universum ein vollständig deterministisches Gebilde? Weil - Bewegung braucht man ja denn nicht mehr. Wenn ja, wäre das ja auch unser dreidimensionales - ist ja das selbe Universum.
Ach nein, fummeln wir an unserem dreidimensionalem Universum rum, verbiegen wir auch gleichzeitig das vierdimensionale. Zieht ein zweidimensionales Wesen an seinem Kreis, und lässt dann los, und der Kreis zieht sich (durch Entropie!!! - alles strebt einen ausgeglichenen Zustand an) wieder schön "gerade", dann hat das zwiedimensionale Wesen sozusagen eine Beule in die Kugel gehauen, ohne es zu wissen... Also schön vorsichtig mit unserem Universum, Leute!
Fragen über Fragen...
Aha: Deshalb wird die vierte Dimension auch Raumzeit (Raum mal Zeit, anders auch Meter pro Sekunde = Bewegung) genannt?
Also ich halte ab jetzt die Bewegung der Dinge für weit unterschätzt. Wahrscheinlich, weil wir sie als selbstverständlich hinnehmen.

schönen Sonntag,
nur kurz zur geometrischen Darstellung eines 4D-Körpers:
gehst auf Wiki und dann auf 4D
da ist ne Animation mit dem Hyperwürfel drin.

lieben Gruß,

Sedna

Sedna,

auch ein sehr schöner Tipp! Hier krieg ich wenigstens nicht das Schielen!
Schade, dass wir auch hier nur einen 3-dimensionalen Schatten sehen können, räumlich erfassen können wir ihn immer noch nicht.
Wer sagt eigentlich, dass wir das nicht können? Ich werd mal üben, vielleicht kann sich ja mein Hirn drauf einstellen :-) Nur, weil wir ein Leben lang gesagt bekommen haben, dass wir die vierte Dimension nicht begreifen können, heißt das noch lange nicht, dass wir das wirklich nicht können. Oder gibt es eine logische oder wissenschaftliche Erklärung dafür, dass wir nur 3D-Sklaven sind? Vielleicht haben wir diese Fähigkeit nur nicht erlernt, weil wir sie zum Leben nicht brauchen?
Auch hier fällt wieder auf: Für das vollständige "sehen" der vierten Raumrichtung ist Bewegung notwendig.

Ha,

ich lieg gar nicht so weit daneben.
Ich muss mich mal genauer mit diesen Minkowski-Dingsbumsen beschäftigen, da werden die Raum-Zeit- Beziehungen ganz gut erklärt. Und auch, warum c dann endlich ist.

Hallo Stueps,

ich meine, darüber sollten wir zumindest mal nachdenken:

Zitat:

Ist deshalb die Lichtgeschwindigkeit eine Konstante gegenüber allen dreidimensionalen Beobachtern - vielleicht weil unser Universum vierdimensional statisch ist?

Wenn du dir die Minkowski-Dingsbumse anschaust: Male mal ein 2D-Koordinatensystem mit einer y-Zeitachse und einer x-Raumachse.

Zeichne nun einen Pfeil auf die y-Achse - er möge die Länge c haben und möge ein im Raum "ruhendes" Objekt darstellen.

Wenn du den Pfeil nun in Richtung der x-Achse "kippst", so kannst du sehr elegant die Geschwindigkeit und den Zeitverlauf eines relativ zum Koordinatensystem bewegten Objekts ablesen:

Die Projektion des gekippten Pfeils auf die x-Achse ist seine Geschwindigkeit - die Projektion auf die y-Achse sein Zeitverlauf relativ zum ruhenden Objekt.

Man könnte dies nun so deuten:

Wir bewegen uns immer mit der Geschwindigkeit c. Wenn wir zu ruhen meinen, bewegen wir uns in Zeitrichtung (und erkennen dies nur nicht als "Bewegung"). Wenn wir uns (zu einem bestimmten Anteil) im Raum bewegen, so nimmt in proportionalem Ausmaß die zugehörige Bewegungskomponente in Zeitrichtung ab.

http://www.mathematische-basteleien.de/hyperkubus.htm

da sind mehrere Veranschaulichungen vom Hypercube.

Gruß,
Hypercube

Claus,

das habe ich noch nicht ganz verstanden:

Für mich macht es im Moment keinen Sinn, auf die Zeitachse einen Pfeil mit der Länge c zu malen. Die Lichtgeschwindigkeit definiert sich ja durch Zeit und Raum (in der Sekunde soundsoviele Meter). In deinem Fall bedeutet es für mich, dass 300.000 km/s (Pfeillänge) sich mit null km/s fortbewegen. Also die Lichgeschwindigkeit ruht (im Koordinatensystem), und gleichzeitig bewegt sie sich (in sich sozusagen - Pfeillänge) immer noch mit Lichtgeschwindigkeit.
Also sozusagen: Raum pro Zeit ist gleich endliche Zeit (Pfeillänge auf der y-Achse) ohne Raum?
Gibst du mit der Pfeillänge (c = Raum pro Zeit)auf der y-Achse der Zeit nicht unzulässigerweise einen zusätzlichen Raum?
Und kippst du die Lichtgeschwindigkeit komplett auf die Raumachse, heißt es dann, dass die Lichtgeschwindigkeit (immer noch Raum pro Zeit = hier hat die Raumachse eine zusätzliche Zeitdimension erhalten) einen bestimmten Raum ohne Zeit einnimmt? Also: Raum pro Zeit ist gleich endlicher Raum (Pfeillänge) ohne Zeit auf der x-Achse?
Wie gesagt, das würde für mich keinen Sinn ergeben.
Du bettest quasi ein konstantes Raum-Zeit-Verhältnis (eindimensionale, begrenzte Pfeillänge c) in ein übergeordnetes Raum-Zeit-Verhältnis (zweidimensionales Koordinatensystem); und beschreibst dann, wie sich das erste (in sich konstante) R-Z-Verhältnis im übergeordneten R-Z-V beschreiben lässt?

Ich weiß ungefähr, worauf du hinaus willst.
Im Verhältnis zu c sind dann Raum und Zeit aneinander gekoppelt, und je mehr Raum gewonnen wird, desto weniger Zeit wird dann beansprucht.
Aber ich habe es nicht richtig verstanden, für mich ist es im Moment unzulässig, was du da machst.
Büdde erkläre es mir immer so einfach, wie es geht, hab nur Realschulabschluss ;-)

zurück an stueps:

Zitat:

Gibst du mit der Pfeillänge (c = Raum pro Zeit)auf der y-Achse der Zeit nicht unzulässigerweise einen zusätzlichen Raum?

Je nachdem, wie man´s sieht ;-)

Du schlugst doch vor das Universum als 4-D-statisch zu betrachten.

In dem von mir vorgeschlagenen Diagramm betrachten wir eine 2-D-statische Welt, die eine Dimension tiefer als dynamisch empfunden wird.

Insoweit ist der Pfeil auf der y-Achse aus höherdimensionaler Sicht kein Geschwindigkeitsvektor (mit der Dimension [m/s]) sondern einfach eine Länge (mit der Dimension [m]) - und das gälte gleichermaßen auf der Raum- wie auch auf der Zeitachse.

Claus,

aha, ich komme der Sache immer näher:

Dieser Pfeil, den ich dann als "Objekt c" bezeichnen kann (Oc), kippt in Richtung x-Achse. Was bedeutet, dass ich nun einen (höherdimensionalen) Raum gewinne, der auf Kosten der (höherdimensionalen) Zeit geht. Oc bewegt sich nun im höherdimensionalen Raum (in Richtung rechter Winkel zu seiner eigenen einzigen Dimension).
Was heißt das nun in 4D übersetzt?
c als Konstante erhält in der höheren Dimension noch eine zusätzliche Bewegungsrichtung um 90° (zusätzlich zu allen dreidimensionalen Raumrichtungen plus Zeit) versetzt.
Die y-Achse als Zeitachse u die x-Achse als Raumachse zu bezeichnen halte ich dann für sehr schlecht. Weil diese Bezeichnungen irreführen. Die Achsen sind dann viel mehr als Zeit- und Raumachsen. c beansprucht ja schon beides voll und ganz, und c bewegt sich ja in einem statischen höherdimensionalen Gebilde (ich will nicht Raum sagen - das ist dann genauso irreführend). Dieses Gebilde muss uns dann aus Sicht c dynamisch erscheinen, wenn c in Richtung 90° zu seiner Bewegungsrichtung (Dimension) schaut und zusätzlich in diese Richtung (Dimension) bewegt wird. Ein Mengen-Gewinn in Richtung x("Achse") bedeutet einen Mengen-Verlust in Richtung y("Achse"), jedenfalls von Sicht c aus. Und umgekehrt.
Das wäre die Dynamik, die c beobachtet, obwohl das System"x/y" höherdimensional gesehen statisch wäre.
Trifft es das so halbwegs, oder denke ich viel zu kompliziert, oder liege ich völlig daneben, oder gar nichts von allem?

Hallo Stueps,

ich würde es folgendermaßen vereinfachen:

Entweder: 1.)

Wir betrachten die y-Achse (Zeitachse) wie eine Raumachse. Dann stellt der Pfeil eine Geschwindigkeit dar und wir behaupten: Wir bewegen uns immer mit einer konstanten Geschwindigkeit, nämlich c.

Auch wenn wir ruhen bewegen wir uns. Wir empfinden das jedoch anders, nämlich als Vergehen der Zeit. Von einer Bewegung merken wir erstmal nichts, weil alle Gegenstände um uns herum sich mit uns in die gleiche Richtung bewegen.

Ab und zu bewegt sich ein Gegenstand jedoch auch mal in eine etwas andere Richtung als wir. Dann sehen wir, wie sich dieser Gegenstand im Raum bewegt und stellen fest, dass seine Zeit gegenüber der unsrigen langsamer vergeht.

Bewegung im Raum wäre dann also nur eine andere Richtung des Vergehens der Zeit...


Oder: 2.)

Wenn denn nun die Geschwindigkeit bei allen Bewegunsvorgängen immer c ist, sich also nicht ändert, so brauchen wir die Zeit (als Prinzip der Änderung von Bewegungszuständen) eigentlich gar nicht mehr. Zumindest müssen wir sie nicht mehr vom Raum unterscheiden. Wir können alle Bewegungszustände auf unterschiedliche Orientierungen im (4-D)-Raum zurückführen.

Man kann das Ganze also auch statisch auffassen.

Dann müsste man sagen: Wir verändern die Welt nicht, indem wir etwas tun (also Bewegung veranlassen). In Wahrheit gestalten wir sie. Wir gestalten gewissermaßen einen 4-D-Körper.

Claus:

Den letzten Satz würde ich rein aus dem Bauch heraus glattweg unterschreiben!

Nur sagt mein Bauch auch, dass irgendetwas mit deinem Koordinatensystem grundsätzlich nicht stimmt. Was, weiß ich noch nicht, es will aus dem Bauch raus in den Verstand, schafft es aber noch nicht ganz.
Ich bleibe am Ball, erstmal werde ich deine Gedanken verinnerlichen und mit ihnen operieren, vielleicht komme ich denn drauf, was falsch ist (oder dass alles richtig ist).

Hallo Aldaras,

meine Antwort zu dem Thema ist wahrscheinlich allgeneiner als von Dir gedacht:

Das Problem der geometrischen Darstellung ist qualitativ in der Kartographie behandelt.
Ihr Ziel ist es, die 3-dimensionale Gestalt der Erde auf einer Ebene wiederzugeben.
Das leistet die Kartenabbildung. Es ist die Eigenschaft jeder Kartenabbildung, daß mindestens eine der
geometrischen Eigenschaften Winkeltreue, Längentreue, Längenverhältnistreue, Flächentreue
verloren geht.

Allgemein hat man eine Projektion vom Objektraum, das ist bei Dir der 4-dim. reelle Raum, in die Ebene.

Gewöhnlich wird eine Projektion aus mehreren Abbildungen zusammengesetzt.
1. Bewegung: Das Objekt wird im Objektraum so bewegt, daß der interessante Teil des Objektes im Fokusbereich liegt.
2. Dimensionsreduktion: Eine zweite Abbildung wirft den Objektraum auf den Anschauungsraum, der ist normal 3-dim.al .
3. Kartenabbildung: Eine dritte Abbildung wirft den Anschauungsraum auf die Ebene.

Der Fokusbereich ist der Teil des Objektraums, bei dem die relelvanten geometrischen Eigenschaften durch die 2. und 3. Abbildung erhalten bleiben.

Beispiele
zu 1.) Eine Bewegung ist die Verkettung von Rotationen und einer Translation. Jede Bewegung läßt sich
durch Verkettung von Rotationen um die Koordinatenachsen und eine Translation darstellen.
Im 4-dim.alen Raum sind das die Rotation um die x-Achse, y-Achse, die z-Achse und die t-Achse.
Jede Rotation R wird durch eine 4x4-Matrix dargestellt, die Verkettung entspricht dem Produkt der Matrizen.
Die Translation ist eine einfache Vektor-Addition mit einem Vektor b .

Die Abbildung ist y = R*x + b

http://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatentransformation


zu 2.) Eine Parallelprojektion des Objekt-Raumes auf den 3-D-Raum ist längenverhältnistreu. Man kriegt die, indem man z.B. 3 der Koordinaten des Objektraums übernimmt und die übrigen wegläßt. Z.B.
(x,y,z,t) --> (x,y,z).

Eine stereographische Projektion ist eine winkeltreue Abbildung, die die Dimension um 1 reduziert. Die Verzerrung der stereographischen Projektion ist in der Nähe des "Nordpols" am geringsten. Der Nordpol ist daher der Fokusbereich des Objektraums. Einen n-dim.alen Objektraum kann man durch Hintereinanderausführen mehrerer stereographischer Projektionen auf den Anschauungsraum herunterbrechen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Stereografische_Projektion


zu 3.) Die Parallelprojektion ist längenverhältnis treu.

Die perspektivische Projektion ist ebenfalls längenverhältnistreu. http://de.wikipedia.org/wiki/Zentralprojektion .

Im Fall der Kartographie betrachtet man nur eine Kugel/Ellipsoid, geht dann gewöhnlich zu geographischen Koordinaten über und wendet eine nicht-geomertrische Abbildung in die Ebene an. Ausnahme ist die orthographische Projektion: Das ist eine Parallelprojektion

Analog zu 2.) kann hier eine stereographische Projektion angewendet werden.


Zusammengefaßt
Winkeltreu ist die Kombination 2.) stereographische Projektion, 3.) stereographische Projektion

Längenverhältnis treu sind
2.) Parallelprojektion 3.) Parallelprojektion
2.) Parallelprojektion 3.) Perspektive - das ist die populärste Variante.


Gruß
Menes

Könnte es nicht sein, daß unser "Gänsehirn" zu flach ist, auch das der großen Denker unter uns? Unsere Beweisführungen beruhen immer nur auf Krücken, die wir ausschließlich als Segment erkennen können, die aber nur richtige Schlussfolgerungen im Zusammenhang des Ganzen erlauben. Und dieses Ganze bleibt uns verborgen.

Ist sicher frustrierend, könnte aber die Antwort auf unsere bisherigen Mißerfolge sein.

@Profkopf

Das Ganze war der 4-dim. Raum?
... würde sagen ja!

Gehört nicht zum Thema, aber dazu fällt mir eine Signatur aus einem anderen Forum ein:

Zitat:

Wer weiß, daß er nichts weiß, der weiß mehr als der, der nicht weiß, daß er nichts weiß.

Demgemäß wären wir auf dem richtigen Weg.

Gruß
Menes

Hallo!

Zu dem Thema sollte vielleicht der eine oder andere Aspekt noch erwähnt werden:

Wir gehen wie selbstverständlich davon aus, das alles um uns herum "3-dimensional" (nicht mehr aber auch nicht weniger) ist.
Aber wie können wir da so sicher sein? - Unsere Sinne sind max auf '2-D' ausgerichtet (z.B. tasten, sehen). der 3-D - Eindruck wird doch aber erst in unserem Gehirn 'konstruiert'!?

Und noch was: Beschleunigung gegen c ist nichts anderes als der Versuch den 3-D Raum "senkrecht - Richtung 4D " - zu verlassen.

Hab mal vor Jahren etwas mit diesen Gedanken rumgespielt und einiges hier zusammengetragen (müsste jedoch mal wieder überarbeitet werden):

http://home2.vr-web.de/~gandalf/dimension4/dim-neu.htm

Viele Grüße

@Gandalf
"... der 4-Dimensionale" ?

Super! Finde ich sehr gut Deine animierte Illustration!

Zitat:

Um eine höhere Dimension zu erhalten, wird die nächst niedrigere immer "senkrecht" zu sich selbst "gestreckt".

.. ist die anschaulichste Möglichkeit so einen Würfel zu konstruieren.

Eventuell kann man mit transparenten Texturen, die für jede Fläche verschieden eingefärbt werden,
noch mehr von der räumlichen Struktur des Hyperwürfels mitnehmen....

Genug für heute
Gruß
Menes