Jubiläum, yeah!

Also – da habe ich doch noch mal den Stift gespitzt und komme auf folgende ungefähre Tageszahlen.

Graphisch
Venus – Merkur –> 144,526 Tage
Erde – Merkur –> 117,040 Tage
Venus – Mars -> 334,578 Tage
Erde – Mars -> 778,742 Tage

Genaugenommen suchen wir aber die perfekte Linie. Beim Kreis lässt da PI mit seiner unendlichen Ziffernfolge aber alle Möglichkeiten offen und verirrt sich gleich neunmal in den unendlich kleinen Werten. Klar - der Umlauf würde unendlich viele Winkelmöglichkeiten, für die perfekte Linie, bieten. Da müsste aber auch neunmal der präzise Linienübergang gelingen. Mathematisch ein Problem und nur mit der erwähnten zulässigen Lösungsbreite zu bewältigen. Oder mit der Vereinfachung unseres Beispiels mit den von Skeptika angebotenen natürlichen Zahlenwerten.



Die Lösung liegt dann aber auf der Ausgangslinie mit den Tagesfaktoren von:
2x2x2x2x2x3x3x3x5x5x11x13x73x229x827x3833x1367x15083 -> 3,37 E24 Tage.

Harald

Konjunktionen beschreiben Sichtlinien von einem Standpunkt Erde aus gesehen – möglicherweise?

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2370-38:

Du verwendest eine (iteratives) Näherungsverfahren.
Allein deswegen muss Dein Ergebnis ungenau sein.

Ich verwende eine sehr einfache Formel. Die stimmt, wie durch das iterative Näherungsverfahren UND durch die Exceltabelle 2 x bestätigt wird.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2370-38:

Zum anderen liefert Excel ungenaue Werte bei langen Zahlen, so wie von Dir verwendet.

Ja aber nicht so ungenau, dass da Unterschiede von bis 260 Tage entstehen.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2370-38:

Da hast Du Dich bei Deinen Näherungsberechnungen vermutlich vertan.

Wikipedia auch?

Harald Denifle schrieb in Beitrag Nr. 2370-41:

Graphisch
Venus – Merkur –> 144,526 Tage
Erde – Merkur –> 117,040 Tage
Venus – Mars -> 334,578 Tage
Erde – Mars -> 778,742 Tage

Die Zahlen stimmen teilweise ganz gut (für eine grafische Lösung) und auf die gehe ich nicht nochmals ein. Die Tabelle steht hier im Thread mit den mathematisch richtigen Zahlen.

Harald Denifle schrieb in Beitrag Nr. 2370-41:

Konjunktionen beschreiben Sichtlinien von einem Standpunkt Erde aus gesehen – möglicherweise?

Konjunktionen sind vom Standpunkt unabhägig. Das bedeutet einfach nur "eine Linie", siehe Konjunktion

Hallo Skeptika,

Skeptika schrieb in Beitrag Nr. 2370-40:

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2370-39:

Otto's Ergebnisse sind richtig.

Glaube ich nicht...

Zitat:

"Diese untere Konjunktion tritt in Abständen von 579 bis 589 Tagen ein,...
Quelle: Wikipedia

Hat sich das Internet hier geirrt?

Otto hatte als Umlaufzeit der Venus 255 Tage statt 225 Tage angenommen. Daher die Diskrepanz.

Rechnet man mit 225 Tagen statt 255 Tagen für das Venusjahr, so ergibt sich die Konjunktion, wie in Wikipedia angegeben, nach 582 Tagen anstelle der von Otto berechneten 846 Tage.

Otto's Formel ist also richtig. Es wurde nur ein falscher Wert für die Umlaufzeit der Venus eingesetzt.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2370-44:

Otto's Formel ist also richtig. Es wurde nur ein falscher Wert für die Umlaufzeit der Venus eingesetzt.

Aaaaaaaah, jetzt, wo du das mit den falschen Zahlen erwähnst, sehe ich das auch! Danke für den Hinweis!

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2370-44:

Otto's Formel ist also richtig. Es wurde nur ein falscher Wert für die Umlaufzeit der Venus eingesetzt.

Danke Claus!

Hier noch einmal die korrigierten Daten:
Die Umlaufzeiten T der Planeten seien
T1 = 88 Tage (Merkur)
T2 = 255 225 Tage (Venus)
T3 = 365 Tage (Erde)

Merkur überholt die Venus alle 144,52 Tage (genauer formuliert n∙144,52):
t12 = n∙(88∙225)/(225 – 88) = 144,52

Merkur überholt die Erde alle 116 Tage:
t13 = n∙(88∙365)/(365 – 88) = 116

Venus überholt die Erde alle 586,61 Tage:
t23 = n∙(225∙365)/(365 – 225) = 586,61

Gruß, Otto

Hallo Leute,

ich bin echt begeistert davon, mit welchem Enthusiasmus das Thema hier von mehreren Standpunkten aus angegangen wird:

Otto ist wahrlich ein Fuchs, was (für mich naives Gehirn) komplexe Formeln betrifft, Harald ist ein Meister der grafischen Lösung und Claus entdeckt mit scharfem Auge Zahlenfehler, die mir leider einfach nicht aufgefallen sind.

Gehen wir gemeinsam den nächsten Schritt an! Jetzt geht es nicht mehr darum, die Konjunktion von zwei Planeten zu ermitteln, sondern jetzt geht es um Merkur, Venus und Erde!

Ich greife der Einfachheit halber zurück auf meine Excel-Tabelle und bringe hier nur einen kleinen Ausschnitt davon.


Wie aus der Tabelle ersichtlich, zählt die Spalte A einfach nur alle Tage von der Erde aus gesehen.
Die Spalten B und C geben Tage und Jahre von Merkur aus betrachtet wieder, genauso wie die Spalten E und F für Venus und H und I für die Erde.

Die Spalten D, G und J geben die Winkel im Vollkreis wieder (mit Ausgangspunkt Null beim Start aller Planeten), auf denen die einzelnen Planeten nach den entsprechenden Tagen zu finden sind.

Wie man sieht, hätten wir eine Konjunktion Merkur - Venus - Erde grob betrachtet nach 9.972 Tagen. Grob betrachtet deshalb, weil man ja mathematisch exakt nur eine Linie durch die Mittelpunkte aller Planeten errechnen könnte und das insgesamt viel zu genau wäre.

Also, mit welcher Formel oder mit welcher Grafik kommt man auf die Konjunktion Merkur - Venus - Erde nach 9.972 Tagen?

Unlösbare Aufgaben werden auch graphisch recht schwierig :cool: und vor allem aufwendig.
Mit dem kgV ergibt sich für 88 + 225 + 365 eine präzise Lösung von 1.445.400 Tagen.
[2x2x2x3x3x5x5x11x73]

Man kann aber auch das
ERDE – Venus - Treffen mit 586,607 Tagen und das
ERDE – Merkur - Treffen mit 117,040 Tagen zur Übereinstimmung bringen.
[2x2x2x2x5x7x11x19x47x1783] gleich 980.807 Tage

Oder vereinfacht:
587 Tage und 117 Tage im Verbund
[3x3x19x587] gleich 100.377 Tage
Bei diesen Treffen ist die Erde ja dann immer mit dabei.

Bei dieser Umlegung von Tagesbahnen auf Kreisbahnen kommt natürlich auch noch der Zufall ins Spiel.
Gilt für zwei Planeten ein Treffen genau im Drittel des Umlaufs und etwa für weitere Zwei - ein perfektes Treffen im Viertel,
dann kann die Lösung nur in der Ausgangslinie liegen.

Da bin ich noch etwas skeptisch.
Harald

Harald Denifle schrieb in Beitrag Nr. 2370-48:

Mit dem kgV ergibt sich für 88 + 225 + 365 eine präzise Lösung von 1.445.400 Tagen.
[2x2x2x3x3x5x5x11x73]

Ich verstehe nicht, warum du noch immer beim kgV verharrst. Dass dieser Ansatz falsch ist, wurde doch hier bereits mehrfach belegt.
Nach deiner Theorie würde das ja für Merkur und Venus bedeuten:
kgV(88, 225) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 11 = 19800 Tage. Korrekt sind aber 144,53 Tage

Dein (Denk-) Fehler setzt sich fort und bringt leider nicht die richten Ergebnisse.

Die Konstellation Merkur - Venus - Erde braucht "nur" 9.972 Erdentage. So zumindest das Ergebnis, wenn man für jeden einzelnen Planeten den jeweiligen Winkel pro Tag addiert und dann vergleicht, ob an einem Tag bei allen drei Planeten der gleiche Winkel als Ergebnis auftaucht.

Stell dir das wie eine Uhr vor: Zu Beginn stehen alle Zeiger auf der 12.
Merkur ist der Sekundenzeiger, die Venus der Minutenzeiger und der Stundenzeiger ist die Erde.
Frage: Um welche Uhrzeit sind alle drei Zeiger das nächste Mal übereinander?

Vielleicht wird es an diesem Beispiel deutlicher, dass die Sache nichts mit dem kgV zu tun hat?

Hallo Skeptika,

Skeptika schrieb in Beitrag Nr. 2370-49:

Ich verstehe nicht, warum du noch immer beim kgV verharrst. Dass dieser Ansatz falsch ist, wurde doch hier bereits mehrfach belegt. ...
Vielleicht wird es an diesem Beispiel deutlicher, dass die Sache nichts mit dem kgV zu tun hat?

9972 ist - im Rahmen der von dir zugelassenen Ungenauigkeit der Konjunktionslinie von ca. 1° - ein ungefähres kgV von 587 und 116:

9972 ~ 17*587 und 9972 ~ 86*116

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2370-50:

Hallo Skeptika,


9972 ist - im Rahmen der von dir zugelassenen Ungenauigkeit der Konjunktionslinie von ca. 1° - ein ungefähres kgV von 587 und 116:

9972 ~ 17*587 und 9972 ~ 86*116

Wo kommt die 17 her, woher die 86?
Verstehe ich gerade nicht.

Skeptika schrieb in Beitrag Nr. 2370-47:

Gehen wir gemeinsam den nächsten Schritt an! Jetzt geht es nicht mehr darum, die Konjunktion von zwei Planeten zu ermitteln, sondern jetzt geht es um Merkur, Venus und Erde!

Siehe Kommentar von Hammer_Kruse im Link zur Super-Konjunktion aller Planeten.

Gruß, Otto

Hallo Skeptika,

Skeptika schrieb in Beitrag Nr. 2370-51:

Wo kommt die 17 her, woher die 86?
Verstehe ich gerade nicht.

Die kommen vom kgV.

Das kannst du vielleicht einsehen, wenn du etwas ungenauere Einheiten als Tage nimmst, z. B. Wochen.

Venus steht mit der Erde ungefähr alle 84 Wochen in Konjunktion. Merkur ungefähr alle 17 Wochen.

Das kgV von 84 und 17 ist 1428.

1428 Wochen entsprechen 9996 Tagen, was im Rahmen der zugelassenen Ungenauigkeit dem von dir in Excel ermittelten Wert 9972 nahekommt.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2370-52:

Siehe Kommentar von Hammer_Kruse im Link zur Super-Konjunktion aller Planeten.

Danke!

Zitat von Claus:

Venus steht mit der Erde ungefähr alle 84 Wochen in Konjunktion. Merkur ungefähr alle 17 Wochen.

Das ist mir aber etwas deutlich zuviel "ungefähr". Venus - Erde = 586,6 Tage sind rund 83,8 Wochen,
Merkur - Erde = 115,96 sind rund 16,6 Wochen.

Die Differenz zu den tatsächlichen Tagen betragen minus 1,4 Tage bei Venus, das sind 2,24 Grad und plus 2,8 Tage oder 11,45 Grad bei Merkur. Da die Differenz bei beiden Planeten vorhanden ist und stets in die gleiche Richtung zeigt (minus bei Venus, plus bei Merkur), addieren sich die Fehler pro Richtung.
Damit hast du zwar in der Theorie stets eine Konjunktion nach x Wochen, in der Praxis stehen die Planeten dann aber sonstwo. Ich denke, das ist doch deutlich zu ungenau.

Und nochmal der Hinweis: Wir sollten wegkommen von den Tagen und uns auf die Winkel konzentrieren.
Die Tageszahl besagt doch nur, wie oft man die Winkel addieren muss, um auf 360 Grad zu kommen. Die Planeten kommen aber irgendwo in Konjunktion, wenn sie an einem bestimmten Zeitpunkt alle das gleiche Ergebnis bei der Addition der einzelnen Winkel haben.

Skeptika schrieb in Beitrag Nr. 2370-47:

ich bin echt begeistert davon, mit welchem Enthusiasmus das Thema hier von mehreren Standpunkten aus angegangen wird:

Otto ist wahrlich ein Fuchs, was (für mich naives Gehirn) komplexe Formeln betrifft, Harald ist ein Meister der grafischen Lösung und Claus entdeckt mit scharfem Auge Zahlenfehler, die mir leider einfach nicht aufgefallen sind.

Gehen wir gemeinsam den nächsten Schritt an! Jetzt geht es nicht mehr darum, die Konjunktion von zwei Planeten zu ermitteln, sondern jetzt geht es um Merkur, Venus und Erde!

Bleiben wir also bei dem "einfachen Fall" von nur 3 Planeten.
Wann liegen Merkur, Venus und Erde auf einem Strahl, haben eine gemeinsame Richtung (in der zweidimensionalen Ebene eines polaren Koordinatensystems)?


Ausgangsdaten aus Beitrag Nr. 2370-46:

Umlaufzeiten T der Planeten
T1 = 88 Tage (Merkur)
T2 = 225 Tage (Venus)
T3 = 365 Tage (Erde)

Merkur überholt die Venus alle 144,52 Tage
Merkur überholt die Erde alle 116 Tage.
Venus überholt die Erde alle 586,61 Tage


Das Planetenpaar [Merkur – Venus] steht in Konjunktion mit einer Frequenz von 1/144,52 Tagen. Diese Planetenpaarstellung hat dann die gleiche Richtung mit dem dritten Planeten, der Erde (mit der Frequenz 1/365), nach einer Zeitdauer von
t123 = n∙(144,52∙365)/(365 – 144,52) = n∙239,265 Tage
Der Wert 239,265 bezieht sich dabei ab den Zeitpunkt, wenn Merkur die Venus überholt. Vom Start an sind bis dahin bereits 144,52 Tage vergangen.
Die Gesamtzeitdauer bis zur ersten Konjunktion aller drei Planeten beträgt deshalb 239,265 + 144,52 = n∙383,785 Tage.

Das Planetenpaar [Merkur – Erde] (mit einer Frequenz von 1/116 Tagen) steht mit dem dritten Planeten Venus (Frequenz 1/225) in Konjunktion nach
t132 = n∙(116∙225)/(225 – 116) = n∙239,45 Tage
Die Gesamtzeitdauer ab Start bis beträgt zur nächsten Konjunktion der drei Planeten 239,45 + 225 = n∙464,45 Tage.

Das Planetenpaar [Venus – Erde] (mit einer Frequenz von 1/586,61 Tagen) steht mit dem dritten Planeten Merkur (Frequenz 1/88) in Konjunktion nach
t231 = n∙(586,61∙88)/(586,61 – 88) = n∙103,53 Tage
Die Gesamtzeitdauer ab Start bis zur (zeitlich dazwischen liegenden) Konjunktion aller drei Planeten beträgt 103,53 + 88 = n∙191,31 Tage.


Die drei Planeten Merkur, Venus und Erde würden demnach nach diesen Berechnungen zu drei unterschiedlichen zyklischen Zeitdauern in Konjunktion stehen, mit der Periode n = 0, 1, 2, 3, … .

Gruß, Otto
P.S. Bitte überprüft noch einmal die Zahlenwerte!
Meine Augen machen mir leider altersbedingt zunehmend Probleme.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2370-55:

Das Planetenpaar [Merkur – Venus] steht in Konjunktion mit einer Frequenz von 1/144,52 Tagen. Diese Planetenpaarstellung hat dann die gleiche Richtung mit dem dritten Planeten, der Erde (mit der Frequenz 1/365), nach einer Zeitdauer von
t123 = n∙(144,52∙365)/(365 – 144,52) = n∙239,265 Tage

Das würde voraussetzen, dass Merkur-Venus ab ihrer Konjunktion zusammenbleiben, weil ...

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2370-55:

Die Gesamtzeitdauer bis zur ersten Konjunktion aller drei Planeten beträgt deshalb 239,265 + 144,52 = n∙383,785 Tage.

... das nur für n = 25,983 gelten würde (25,983 x 383,785 sind rund 9.972 Tage, nach denen es tatsächlich zu einer 3er-Konjunktion kommt.

Ich fürchte, wir verbeißen uns noch immer zu sehr an den Tageszahlen. Stattdessen sollten wir uns wohl wirklich auf die einzelnen Winkel fokussieren und da könnte ich mir das mit dem kgV durchaus vorstellen.

Wenn α = 4,090909090909091 Grad, β = 1,600000000000000 Grad und γ = 0,9863013698630137 Grad sind,

dann ergibt sich die Konjunktion doch bei x · α = y · β = z · γ,

wobei gilt, dass x · α, y · β und z · γ den Wertebereich 0,000000000000001 bis 359,999999999999999 nicht verlassen, also dass z.B. 100 · α nicht 409,0909090909091 ergeben, sondern 409,0909090909091 - 360 = 49,09090909090909

Als Formelansatz wäre dann die Konjunktion K definiert als:

K = K₁ = K₂ = K₃, wobei

K₁ = x · 4,090909090909091
K₂ = y · 1,600000000000000
K₃ = z · 0,9863013698630137 ist und bei K_1,2,3 > 360 gilt, das K_1,2,3 = K_1,2,3 - 360 sei

Hallo Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2370-55:

Das Planetenpaar [Venus – Erde] (mit einer Frequenz von 1/586,61 Tagen) steht mit dem dritten Planeten Merkur (Frequenz 1/88) in Konjunktion nach
t231 = n∙(586,61∙88)/(586,61 – 88) = n∙103,53 Tage
Die Gesamtzeitdauer ab Start bis zur (zeitlich dazwischen liegenden) Konjunktion aller drei Planeten beträgt 103,53 + 88 = n∙191,31 Tage

Wenn die drei Planeten Erde, Venus, Merkur in Konjunktion stehen (das sei die Ausgangsposition), so können sie m.E. das nächste Mal fühestens erst in 587 Tagen - wenn nämlich Venus und Erde wieder in Konjunktion stehen - in Konjunktion stehen.

Allerdings nur dann, wenn Merkur denselben Winkel zur Ausgangsposition aufweist, wie das Paar Erde/ Venus. Wenn nicht, dauert es noch.

Zu prüfen wäre also für die Folgekonjunktionen Erde/Venus (n*587 Tage), ob der Winkel Merkurs mit dem Winkel des Paars Erde/Venus von der Ausgangsposition übereinstimmt.

Skeptika schrieb in Beitrag Nr. 2370-56:

Als Formelansatz wäre dann die Konjunktion K definiert als:

K = K₁ = K₂ = K₃, wobei

K₁ = x · 4,090909090909091
K₂ = y · 1,600000000000000
K₃ = z · 0,9863013698630137 ist und bei K_1,2,3 > 360 gilt, das K_1,2,3 = K_1,2,3 - 360 sei

Für das kgV gibt es ja außer der Primfaktorenzerlegung noch andere Berechnungsmethoden.
Im einfachsten Fall werden alle Zahlen miteinander multipliziert.

In unserem speziellen Fall mit den Winkelstücken pro Tag wären das:

4,090909090909091 · 1,600000000000000 · 0,9863013698630137 = 6,455790784557908

Findet jemand eine Formel, mit der

x · α = 6,455790784557908,
y · β = 6,455790784557908 und
z · γ = 6,455790784557908 ergeben, wobei diese = 6,455790784557908 Grad ein Vielfaches sein müssten,
bei dem man ?? · 360 subtrahiert (subtrahieren kann / muss), um dahin zu kommen?

Ich glaube, wir stehen kurz vor einem Durchbruch!

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2370-57:

Zu prüfen wäre also für die Folgekonjunktionen Erde/Venus (n*587 Tage), ob der Winkel Merkurs mit dem Winkel des Paars Erde/Venus von der Ausgangsposition übereinstimmt.
Allerdings nur dann, wenn Merkur denselben Winkel zur Ausgangsposition aufweist, wie das Paar Erde/ Venus. Wenn nicht, dauert es noch.

Richtig, Claus.
Darüber hatte ich auch schon nachgedacht und mehrere Varianten der Berechnung der Konjunktion geprüft. Keine Variante hat mich hundertprozentig überzeugt.
Letztendlich habe ich mich für die vorgestellte Variante entschlossen.
Gruß, Otto

Hallo Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2370-59:

Letztendlich habe ich mich für die vorgestellte Variante entschlossen.

Die ist auch gut. Numerisch kann man m.E. wie folgt (noch etwas genauer) rechnen: Mit den genaueren Umlaufzeiten

Merkur: 87,97 Tage
Venus: 224,70 Tage
Erde: 365,26 Tage

folgt nach deiner Methode:

Merkur überholt die Erde alle 115,87 Tage.
Venus überholt die Erde alle 583,91 Tage

Für die Konjunktion aller drei Planeten müssen beide Bedingungen erfüllt sein.

Auf zwei Stellen genau wäre das kgV von 11587 und 58391 hundertstel Tagen = 676576517 zu bilden. Darauf müsste man ca. 18 500 Jahre warten...
Auf eine Stelle genau dagegen das kgV von 1159 und 5839 zehntel Tagen = 6767401. Das wäre in 1 850 Jahren der Fall.
Noch eine Stelle weniger¹ bekommen wir bereits für 116 und 584 = 16936 Tage, also ca. 46 Jahre.

¹Die mögliche Abweichung von der idealen Konjunktion durch Ungenauigkeiten der angegebenen Planetenumlaufzeiten wäre für Merkur bei einer Genauigkeit der Angabe seiner Umlaufzeit von einem hundertstel Tag ca. 0,04°, bei einem zehntel Tag 0,4° und bei einem ganzen Tag 4° pro Merkurjahr, also pro 88 Tage! ;-).