Maschendrahtzaun

Hier mal eine auf den ersten Blick extrem simple Frage.
Vorher: Die Sache an sich wird von den meisten Menschen und erst recht von Mathematikern als das Selbstverständlichste von der Welt gehalten. Ich dagegen finde folgendes alles Andere, als selbstverständlich.

Bauer Helmut hat Zaun gekauft, da er seine Koppel einzäunen muss. Das Geld reichte für 120 Meter Maschendrahtzaun.
Da er etwas von Mathematik versteht, zäunt er natürlich auf der Koppel eine quadratische Fläche von 30x30 Meter ein, da er weiß, dass das Quadrat von allen Vierecken das beste Verhältnis von Kantenlänge zu Fläche hat, sprich, er kann so am meisten Fläche einzäunen. Ein perfekter Kreis war ihm zu kompliziert ;-).
Bauer Helmut hat also nun eine Fläche von 900 Quadratmetern eingezäunt.

Alles ist prima, bis er einige Zeit später feststellt, dass seine Koppel heruntergewirtschaftet ist. Aber kein Problem: Er hat noch Land übrig, das er erneut einzäunen kann.
Nun ist diese Restfläche aber nicht mehr quadratisch. Bauer Helmut hat nur einen schmalen Streifen von zehn Metern übrig, der sich allerdings in die Länge zieht. Also Maschendrahtzaun umgesetzt: Nun hat Helmut eine Fläche von 50x10 Metern eingezäunt, er hat also wieder den gesamten Zaun genutzt. Natürlich stellt er fest, dass er nun nur noch eine Fläche von 500 Quadratmetern zur Verfügung hat. Alle sagen dazu: Natürlich, ist doch klar, selbstverständlich doch!

Ich sage: Nein! Für mich ist das alles Andere als logisch!

Ich frage: Wo sind die vierhundert Quadratmeter geblieben?

Bauer Helmut hat die selbe Menge Zaun genutzt. Was er an der einen Kante (von 30m auf 10m gekürzt) wegnahm, setzte er an der anderen Kante zu (30m auf 50m verlängert).
Dieser Flächenverlust ist vollkommen real:
Helmut kann sich Pappquadrate von einem Meter Kantenlänge zurechtschneiden, und diese in seiner Koppel auslegen. In die erste wird er 900 Pappquadrate bekommen, in die zweite nur 500!

Ich hoffe, ihr versteht die Problematik.
Erfahrungsgemäß fällt das den meisten Leuten sehr schwer, weil diese Mathematik geläufig ist und natürlich richtig und sehr selbstverständlich gebraucht wird. Meistens kommt erst nach längerem Überlegen der "Aha"-Effekt - leider gefolgt von Ratlosigkeit.

Und bitte keine Missverständnisse: Ich weiß selbst, dass die Mathematik richtig ist, und die Welt so auch prima funktioniert.

Aber logisch ist das für mich nicht.

Übrigens: Ich hab noch ein, zwei mehr Fragen solcher Art...

Wie stellst du dir die erklärung vor ? Als eine mathematische beweisführung oder doch lieber wörtlich erklärt ?

Dann eine ganz allgemien frage, du meintest du hast noch mehr davon ? ich habe auch einige echt lustige fragen, so genannte gedankenexperimente interressanter art. Sollen wir einfach zusamen einen thread aufmachen, in dem wir die dinger nach und nach posten ? Wir könnten z.b. ein spiel daraus machen, immer wer das letzte gelöst hat, darf das nächste starten oder irgendwie sowas, könnte lustig werden.

Feyn137 schrieb in Beitrag Nr. 1644-2:

Wie stellst du dir die erklärung vor ? Als eine mathematische beweisführung oder doch lieber wörtlich erklärt ?

[Nachricht zuletzt bearbeitet von Feyn137 am 07.05.2010 um 07:44 Uhr]

Am liebsten wäre mir natürlich beides :-). Und das auch noch so, dass ich es ohne Probleme verstehe. Ich fordere außerdem: Da das Problem äußerst simpel ist, muss auch dessen Lösung entsprechend einfach sein.

Also ich behaupte mal hier nochmals allgemein:

Mit der selben Menge Zaun müsste sich immer die selbe Menge Fläche umschließen lassen, unabhängig von der Form! Allein das wäre für mich logisch bis in die letzte Konsequenz.

Nun ist der Welt meine Behauptung völlig egal, und sie funktioniert auch noch perfekt. Wahrscheinlich nur, um mich zu ärgern, und ein bisschen über mich zu kichern.

Zitat:

Dann eine ganz allgemien frage, du meintest du hast noch mehr davon ? ich habe auch einige echt lustige fragen, so genannte gedankenexperimente interressanter art. Sollen wir einfach zusamen einen thread aufmachen, in dem wir die dinger nach und nach posten ? Wir könnten z.b. ein spiel daraus machen, immer wer das letzte gelöst hat, darf das nächste starten oder irgendwie sowas, könnte lustig werden.

Wir könnten diesen Thread dafür nutzen. Kleine Modifikationsvorschläge meinerseits:

Nicht, wer ein Rätsel gelöst hat, darf die nächste Frage stellen, sondern: Wenn ein Rätsel gelöst ist, darf die nächste Frage gestellt werden, egal von wem. Man sollte natürlich darauf achten, dass die Frage in diesen Thread passt. Falls man übereinkommt, dass man auf eine Frage keine passende Antwort findet, kann man auch gemeinsam beschließen, zur nächsten Frage überzugehen.

Also: Erst einmal würde ich mich freuen, wenn jemand die Eingangsfrage beantworten kann.
(Übrigens: Ich habe hierzu schon wunderbare mathematische Herleitungen gesehen, sehr clever und elegant waren diese. Nur leider verfehlten sie die Hauptproblematik vollständig....)

So, nun muss ich flugs zur Arbeit, völlig übermüdet, da ich diese Nacht wieder einmal kaum schlafen konnte, weiß der Fuchs, warum. Mitleidsbekundungen können hier hinterlassen werden...

Also mathematisch wirklich beweisen ist komplizierter als man denken solte, aber ich wills mal versuchen :

also wir haben eine zaunlänge von 120m

damit wollen wir eine fläche F=a*b einzäunen

Dabei gilt umfang U=2a+2b=120m wir wollen a berechnen also stellen wir eine funktion nach a auf

F(a)= a*b = a*(120-2a)/2 wir wollen nun ein lokales maximum haben, also leiten wir ab

F`(a)=60-2a dann suchen wir uns die nullstelle von a

F`(a)=0=60-2a => a=30 also muß b ebenfalls 30 sein (da U=2a+2b=120) , wir haben aslo tatsächlich ein quadrat

Müßen wir nur noch beweisen, das es ein maximum und kein minimum ist also leiten wir nochmal ab

F``(a)= -2 die ableitung ist negativ für alle a, also liegt ein maximum vor

Wenn mans ganz genau nimmt, müßte ich jetzt noch belegen, das es nicht nur ein lokales maximum ist, also muß ich eigentlich noch die ränder ankucken, aber das kann ich mir hier denke ich schenken, da weder für a= 60 noch für a=0 ein größerer wert rauskommen kann. Damit ist bewiesen, das das quadrat die optimale lösung ist.

BTW ich hasse diferentialgeometrie ^^

ABER, ob dir das jetzt wirklich erklärt, warum das so ist, ist die andere frage.

Ich hätte ein schönes rätsel, ein physik klassiker:

Also du hast einen sprinkler, zum rasen sprengen. Hier ein bild dieses sprinklers:

http://i.ytimg.com/vi/xQrkiH0U1Yg/0.jpg

Ich denke die funktion dürfte recht klar sein, sobald man den ans wasser anschliesst, kommt oben links und unten rechts wasser raus, also fängt er durch den druck an sich zu drehen wie ein propeller, und zwar um uhrzeigersinn, ist logisch oder ?
Jetzt bauen wir das ding aber mal unter wasser, und dort, wo normal das wasser angeschlossen wird, schliessen wir eine pumpe an. Was macht unser sprinkler diesmal ? Wird er sich drehen ? Falls ja, tut er das mit oder gegen den urzeigersinn ? Bitte begründen ^

Es ist nicht logisch, dass gleiche (eindimensionale !) Umfänge gleichen (2-dimensionalen !) Flächeninhalten entsprechen müssen.

So lassen sich auch L- und U-förmige Formen konstuieren, deren Umfänge und Inhalte nicht in einem konkreten mathematischen Verhältnis zueinander stehen.

Gase nehmen idealerweise eine Kugelform ein (Luftballon), da (3-dimensionales !) Volumen und (2-dimensionale !) Oberfläche im günstigsten Verhältnis zueinander stehen: Maximales Volumen bei minimaler Oberfläche.

Zampano schrieb in Beitrag Nr. 1644-5:

Es ist nicht logisch, dass gleiche (eindimensionale !) Umfänge gleichen (2-dimensionalen !) Flächeninhalten entsprechen müssen.

So lassen sich auch L- und U-förmige Formen konstuieren, deren Umfänge und Inhalte nicht in einem konkreten mathematischen Verhältnis zueinander stehen.

Gase nehmen idealerweise eine Kugelform ein (Luftballon), da (3-dimensionales !) Volumen und (2-dimensionale !) Oberfläche im günstigsten Verhältnis zueinander stehen: Maximales Volumen bei minimaler Oberfläche.

Das ist zwar richtig, aber hier war eine rechteckige form gegeben, wasandere sergibt ja für eine wiese, die man einzäunen will, wenig sinn. Kreisförmig war ihm ja zu kompliziert ^^ Ansonsten währe ein kreis die lösung gewesen, maximale fläche beim gleichen umfang.


Ansonsten um es besser zu verstehen mach dir einfach klar wie die forml für den umfang lautet U= 2a+2b während man beim flächeninhalt die formel A=a*b hat , das ergebnis wird also größer, wenn sowohl a als auch b so groß wie möglich sind. Auf a und b kann man dabei exakt den halben umfang u verteilen. Wenn also a und b möglichst groß sein müßen, dann ist die ideale lösung, wenn man beiden je die hälfte des gesammtwertes zuweißt, weißt man a mehr zu, wird b zu klein und umgekehrt. Ich hoffe das hilft dir als erklärung, um es besser zu verstehen.

In dem Zusammenhang fällt mir auch eine interessante Aufgabe ein

Du besitzt einen LKW, mit diesem LKW willst Du Stahlkugeln transportieren

Die Ladefläche des Wagens ist 1m breit, 1m hoch und 2m lang.

Du hast verschiedene Stahlkugeln zur Verfügung
Kugeln mit 10 cm Durchmesser, Mit 20 cm Durchmesser und mit 50 cm Durchmesser
Nun möchtest Du eine möglicht große Stahlmenge transportieren. Welche Kugelgröße wählst Du?
Du darfst aber nur eine Größe wählen und nicht mischen.

Mit welcher Kugelgröße transportierst Du die meiste Menge Stahl?
Oder ist es letztendlich sogar egal, für welche Größe Du Dich entscheidest?

@Feyn betreffs Sprinkler

wenn ich die Beschreibung richtig interpretiere, handelt es sich bei der nunmehr angeschlossenen Pumpe um eine saugende Einrichtung, so dass also dieser Sprinkler (unter Wasser) Wasser ansaugen wird.

So wie bei dem ursprünglichen Sprinkler das Rückstoßprinzip zur Anwendung kam, gilt hier die Umkehrung. Wasser wird angesaugt gegen einen Widerstand, so dass zur Kompensation der Sprinkler sich dem Wasser entgegen bewegt, also gegen den Uhrzeigersinn.

Zampano schrieb in Beitrag Nr. 1644-5:

Es ist nicht logisch, dass gleiche (eindimensionale !) Umfänge gleichen (2-dimensionalen !) Flächeninhalten entsprechen müssen.

Und ich sage: Doch!

Wenn nicht, warum nicht?

(Natürlich beobachten wir deine genannte Behauptung. Also hast du recht. Ich will bewiesen haben, warum ich nicht recht habe (-; )

Hallo Feyn, genau deine Herleitung ist das, was die meisten Leute probieren. Sie stimmt natürlich, und ich finde solche Sachen faszinierend. Aber wie du schon vermutest: Mein Problem bleibt ungelöst.

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 1644-3:

Mit der selben Menge Zaun müsste sich immer die selbe Menge Fläche umschließen lassen, unabhängig von der Form! Allein das wäre für mich logisch bis in die letzte Konsequenz.

Hallo Stueps,

dass dem nicht so ist, wie du vermutest, wird mir besondes deutlich, wenn ich den Grenzfall betrachte: ein "rechteckiges" Grundstück mit 60 m Länge und 0 m Breite.

Da die beiden Zäune in diesem Fall ohne Abstand einfach nur "aneinandergestellt" sind, ist für mich logisch, dass der "Flächeninhalt" dieses Rechtecks 'null' ist...

Und da es zwischen den beiden Extremen (30m x 30m bis 60m x 0m) alle Variationen gibt, muss es doch auch alle Möglichkeiten zwischen 900 m² und 0 m² Flächeninhalt geben, oder?

stupes deswegen hatte ich dir ja noch die erklärung mit der flächeninhaltformel F=a*b angeboten (siehe weiter oben)


das mit dem sprinkler sieht nur auf den ersten blick logisch aus. Es hat aber eine über 40 jahre andauernde debatte in der physik ausgelöst. Die erklärung ist also nicht ganz so einfach, das ist eines der bekanntesten gedankenexperimente der physik des 20sten jahrhunderts ^^
Das es wasser ansaugt ist natürlich richtig, darum genau geht es, was bewirkt das angesaugte wasser ? Gibt es einen unterschied zur umgekehrten situation, wenn wasser ausgestoßen wird ?


Ansosnten möchte ich alle bitten erst mal keine neuen fragemn zu posten, bis die alten beantwortet sind. Sonst wird das hier zu chaotisch

Hallo Feyn,

und das Angebot ist nicht schlecht. Die Unterschiedlichkeit in der Struktur der beiden Formeln könnte der richtige Ansatz sein. Ich muss darüber noch nachdenken, das geht tiefer, denke ich.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 1644-10:

Hallo Stueps,

dass dem nicht so ist, wie du vermutest, wird mir besondes deutlich, wenn ich den Grenzfall betrachte: ein "rechteckiges" Grundstück mit 60 m Länge und 0 m Breite.

Da die beiden Zäune in diesem Fall ohne Abstand einfach nur "aneinandergestellt" sind, ist für mich logisch, dass der "Flächeninhalt" dieses Rechtecks 'null' ist...

Und da es zwischen den beiden Extremen (30m x 30m bis 60m x 0m) alle Variationen gibt, muss es doch auch alle Möglichkeiten zwischen 900 m² und 0 m² Flächeninhalt geben, oder?

Hallo Claus, ein sehr gutes und einleuchtendes Argument.
Aber:
Mein Problem ist ja gerade, dass es diese Variationen gibt.
(Dass es dann mit einer endlichen Menge Zaun ein Minimum und Maximum an Fläche gibt, ist ja logisch.)

Aber nicht schlecht, nicht schlecht, Leute.
Ich fange gerade an, über elementare Unterschiede zwischen den Dimensionen nachzugrübeln. Da scheint sich was abzuzeichnen.

bezieh da auch die dritte dimension mit ein, den auch da zeichnen sich dinge ab, die sich so oft noch besser erkennen lassen. Z.b. passen auf eine bestimmte fläche theoretisch beliebig ja sogar unendlich viele stücke papier, wenn man hoch genug stapelt ^^

Sorry für DP, aber mir ist noch was eingefallen, was dir evtl hilft. Könntest du ein dreieck konstruieren, das eine bessere lösung darstellt, als das quadrat ? Könntest du 5eck konstruieren, das eine bessere lösung darstellt ?


Lösung : Ersteres geht nicht, 2teres schon. Der grund ist hier in der optimalen lösung verborgen, der kreisform. Je mehr du dich dieser annäherst, desto besser. Schliesslich ist der kreis optimal. Das rechteck, das sich in einen kreis am besten einfügt, also am meißten der kreisfläch bedeckt, ist das quadrat. Beim 5eck mußt du wieder ein regelmäßiges 5eck nehmen. Je mehr ecken du hast, desto mehr näherst du dich dem kreis an. Evtl hilft dir das auch noch weiter.

Und stueps, bist du dem ganzen jetzt auf den grund gegangen, und hast ein tieferes verständnis gewonnen, warum das quadrat die lösung ist ? Oder konnten dir unsere erklärungen doch nicht weiter helfen ?

HAllo Stueps,
versuchst mal mit dieser Erklärung:

Ein Unfang des Rechteks wird durch Formel U=2(a+b). Wenn Umfang soll konstant bleiben, können wir eine Seite durch Konstante U ausdrucken a=U/2-b.

Unsere Fläche wird durch Formel F=a*b dargestellt. Fügen wir die oben gewonnene Seite:
F=(U/2-b)*b --> F=U/2*b - b²

Jetzt untersuchen wir, wie verhalten sich beide Seiten der Gleichung (U/2*b-b²) zur einander.

Wenn b=U/2 dann haben wir die Fläche gleich Null.

Die b>U/2 ist für unseren Bauer in realen Leben unmöglich. DAher lassen wir es.

Es bleibt 0<b<U/2. Die Seite kann die Werte zwischen 0 und halben Umfang annehmen. Jetzt muss du besonders achten auf die Potenz auf der rechten Seite. Die ist für die von dir erwähnte Variation verantwortlich.

WArum der Maximum bei der a=b sich erreicht wird es hier nicht behandelt. Aber die Vorstellung, warum die Flächen variieren, m. E. lässt sich leicht nachvollziehen. Und zwar logisch.

Gruß,
Irena

das ist ja das Gebiet des "Operations Research" in der Mathematik. Mein Lieblingsfach damals im Studium! Bedeutet Lineare Optimierung. ich werd mir mal Gedanken machen und Restriktionen aufstellen und mit einem Programm "ClipMops" die Lösung zu diesem mathematischen Problem finden. die optimale! Hans-M Beispiel ist auch schön!:-) passt genau zum Gebiet des Operations Research!

Salih schrieb in Beitrag Nr. 1644-17:

das ist ja das Gebiet des "Operations Research" in der Mathematik. Mein Lieblingsfach damals im Studium! Bedeutet Lineare Optimierung. ich werd mir mal Gedanken machen und Restriktionen aufstellen und mit einem Programm "ClipMops" die Lösung zu diesem mathematischen Problem finden. die optimale! Hans-M Beispiel ist auch schön!:-) passt genau zum Gebiet des Operations Research!

Solltest du damit einfach den mathematischen beweis meinen, und die optimale lösung dazu, die steht bereits in post 4. Bezogen auf eine rechteckige wiese ist es ein quadrat. Aber kannst dich ja mal an dem wassersprinkler versuchen, den ich erwähnte ^^

Mit dem Beispiel läßt sich spielen. Der Bauer soll doch einfach ne Länge von 60m wählen, da bleibt für die Breite , sagen wir 0m übrig. Es ergibt sich ein A=0m². Das wird ihm nicht passen. Soll er doch gleich 120m nehmen, und er hat trotzdem nur A=0m². Aber jeder sieht, der Zaun ist länger als die vermeintlichen 60m mit dem gleichen Ergebnis von A=0m² aber macht mehr her. Man ist das ungerecht! Noch besser wäre aber, er nutzt den Zaun und sperrt alle Zufahrtswege weiträumig ab und erhält somit eine geschätzte Fläche von 790 km², das scheint unübertroffen, was selbst den Mathematikern das Gesicht enstellt erscheinen läßt, was mit 120m Moschndrohtzouhn meeschlisch iss. Spätestens jetzt tritt Barabra Salesch ins Geschehen ein und spricht: "So nicht!" . Wenn wir nun den Maschendrahtzaun aufdröseln und nach Kuhweidenmanier einzäunend zur Verfügung stellen würden, könnten vielleicht tatsächlich 790km² quadratisch markiert werden, die einiges mehr sind als die vormals erwähnten 900m². Lösen wir das Problem lieber juristisch, kaufmännisch oder nach neuesten Erkenntnissen der Finanzmarktmisere oder doch lieber mathematisch? Mir zwickts im Kopf. Gute Nacht.

Irena schrieb in Beitrag Nr. 1644-16:

HAllo Stueps,
versuchst mal mit dieser Erklärung:
...

Hallo Irena,

bitte entschuldige die folgende knappe Antwort:

Ich hab leider sehr wenig Zeit momentan, deshalb konnte ich deine Antwort nur kurz überfliegen. Im Moment verstehe ich sie noch nicht. Ich verspreche, mich damit zu beschäftigen. Aber leider erst in frühestens zwei Wochen, bin erst mal beruflich auf Reisen.

Hallo Feyn, im Moment stecke ich in einer Sackgasse mit meinen Gedanken, trotzdem vielen Dank für die Antworten und Hilfen!

Hallo Real,

bin vor kurzem auf etwas interessantes gestoßen:

"Eulersche Identität". Bitte schau dir mal bei Wiki die Grafiken und die Animation an, und übertrage die Kurven auf deine Dimensions-Theorien. Die Kurven, die dort aus mathematischen Konstanten gebildet werden, und das auf ganz natürliche Weise, könnten vielleicht eine reale Entsprechung haben. Darüber grübel ich gerade nach... wenn ich nur mehr Zeit für diesen ganzen Quatsch hätte. Das wäre wahrer Luxus... :-)

Euch allen Mitgliedern eine schöne Zeit,

bis dahin

der Stüps