Unterschiede zwischen 0 und unendlich klein

Hallo Bauhof,

Zitat:

1. Die Definition (oder Axiomatik) der reellen Zahlen muss unabhängig von der Definition der natürlichen Zahlen getätigt werden. Deshalb muss die ganzzahlige, bzw. rationale Null innerhalb der reellen Zahlen mit anderen Mitteln neu "eingebettet" werden.

Das mussten sie nicht, geht aber! Der Wikipedia-Artikel
http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl#Axiomatisc...
zeigt leider nicht, dass die algebraische Konstruktion der reellen Zahlen genau zu diesen Eigenschaften führt.

Zitat:

2. Meine Annahme, dass die reelle Null von vornherein identisch ist mit der natürlichen Null und nicht neu definiert werden muss, ist deshalb falsch.

Zitat:

3. Ist meine Schlussfolgerung richtig, dass dann auch alle anderen ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen auf die gleiche Weise durch einen Grenzwertprozess (oder durch andere Prozesse) neu in die reellen Zahlen einzubetten waren?

Die natürliche Zahlen sind isomorph zu einer Teilmenge der reellen Zahlen.
Die Antwort hängt davon ab, ob Du isomorphe Zahlen-Mengen als nicht-identisch betrachtest.

Zitat:

4. Warum mussten die reellen Zahlen neu axiomatisiert werden?
Historisch sind sie doch nach und nach aus dem Geist der Mathematiker [1] in folgender Reihenfolge entsprungen: Natürliche Zahlen --> ganze Zahlen --> rationale Zahlen --> irrationale Zahlen --> transzendente Zahlen --> komplexe Zahlen --> pseudoreelle Zahlen in Form der Nichtstandard-Zahlen.

dito.

Gruss
Thomas

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1228-40:

4. Warum mussten die reellen Zahlen neu axiomatisiert werden?

Danke Bauhof für den Hinweis!
Die axiomatische Definition der reellen Zahlen ist extrem beeindruckend.

Gruß Thomas