Unterschiede zwischen 0 und unendlich klein

Hallo Gemeinde,

seit einigen Tagen quält mich die Frage, ob es einen Unterschied gibt zwischen 0 (nichts) und unendlich klein und was dieser Unterschied ist, sollte es diesen geben.

Bis jetzt bin ich soweit zu sagen, dass 0 wirklich nichts ist und unendlich klein stelle ich mir vor wie einen Punkt, der nicht größer wird, wenn ich ranzoome. Klar, das ist nur eine stark "veralltäglichisierte" (ich weiss, das Wort gibt es nicht ;P) Ansicht, doch bin ich nicht weiter als das.

Kann mir einer von Euch hellen Köpfen helfen? Bitte.

Zytegyst

Mich quält die Frage, ob Unterschied zwischen 0 und unendlich Groß ist.

Es tut mir Leid, Irena, ich kann deiner Frage nicht ganz folgen. Meinst du, du würdest gerne wissen, ob es einen Unterschied gibt zwischen 0 und unendlich groß oder was der Unterschied ist?
Falls du das zweite meinst, würde ich sagen, der Unterschied zwischen 0 und unendlich groß ist "halb unendlich". Es gibt ja noch eine negative unendliche Richtung von der 0 ausgehend.
Wenn du das erste meinst, kann ich auch nicht sicher helfen.

Zytegyst

Hallo Zytegyst,

ich erkläre mir Deine Frage wie folgt:
Es besteht ein Unterschied zwischen dem Denken (Denkwelt) und der Wirklichkeit (existierende Welt). Wir können uns Dinge vorstellen, die nicht wirklich sind, z.B. daß Elvis noch lebt.
Die Null als Symbol für Nichts gehört in unsere präzisestes Denksystem, die Mathematik. Man kann dort ganz gut mit der Null ( dem Nichts) umgehen. In der Denkwelt können wir uns Absolutes vorstellen, Ewigkeit, Unendlichkeit, absolute Identität, absolute Gleichzeitigkeit und eben auch Null im Sinne von Nichts.
Diese Absolutheiten gibt es in der Wirklichkeit nicht. "Unendlich klein" ist eine Absolutheitsaussage, bezogen auf die Wirklichkeit, genauso wie die Aussage von Irena "unendlich groß". Wir können "undendlich klein" in der Wirklichkeit nicht finden. Es ist m.E. einer der grundlegenden Fehler unseres Denkens, die Existenz des Absoluten in der Wirklichkeit anzunehmen. Es gibt z. B. keinen Sinn nach dem absoluten Ende des Universums zu suchen.
Dies soll nur ein Beitrag zu Deiner Fragestellung sein. Man kann sich die Dinge natürlich auch anders sehen.

MfG

Harti

Kurz gesagt, ich empfinde, dass es kein Unterschied zwischen unendlich klein und unendlich groß gibt.

DAs Null muss erstens auf konkrete Dinge beziehen und zweitens nur lokal und temporär. Es gibt kein Apfel auf meinen Tisch, aber auf Apfelbaum sie hängen. Es gibt kein Saurier heutzutage, vor 100 Mio. Jahren hatten sie Welt beherrscht. Es gibt die Technik noch nicht, die nur morgen erfunden wird.

In Mathematik versteht man unter Null das Gleichgewicht. Ein abstraktes Etwas ist gleich seinem Gegensatz - einem Anti-etwas.

Es gibt Nichts bezogen auf Nichts - ergibt kein Sinn.

Ähnlich ist mit Rechts- und Links- Extremen. In seinen Extremen schließen sie sich.

Gruß

Hallo zusammen,

also innerhalb der Mathematik gibt es schon ziemlich viele Nullen.

Die reelle 0 ist 2 Konstruktionsstufen oberhalb der ganzzahligen 0.
Im ersten Schritt bildet man aus ganzen Zahl Brüchen.
Im zweiten Schritt bildet man Folgen von Brüchen und
nennt den Körper den konvergenten Folgen reelle Zahlen.
Die reelle 0 ist dann so etwas wie eine Folge von rationalen Zahlen, die beliebig klein wird.

Gruss
Thomas

Zytegyst schrieb in Beitrag Nr. 1228-1:

... seit einigen Tagen quält mich die Frage, ob es einen Unterschied gibt zwischen 0 (nichts) und unendlich klein und was dieser Unterschied ist, sollte es diesen geben. Bis jetzt bin ich soweit zu sagen, dass 0 wirklich nichts ist und unendlich klein stelle ich mir vor wie einen Punkt, der nicht größer wird, wenn ich ranzoome. Klar, das ist nur eine stark "veralltäglichisierte" (ich weiss, das Wort gibt es nicht ;P) Ansicht, doch bin ich nicht weiter als das.

Hallo Zytegyst,

Eine winzige, beliebig kleine Zahl, die nicht Null ist, kann beliebig groß werden, wenn sie nur genügend oft zu sich selber addiert wird. Diese Eigenschaft wird archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen genannt.

Im Gegensatz dazu gibt es die nicht-archimedischen Zahlen:
Eine nicht-archimedische Zahl ist eine Zahl, die größer als Null ist, aber trotzdem kleiner als 1 bleibt, gleichgültig, wie viele (endliche) Male sie zu sich selber addiert wird. Solche Zahlen werden auch infinitesimale Größen genannt und werden in der Nichtstandard-Analyse (ein neuerer Zweig der Mathematik) behandelt.

Soviel fürs Erste. Ich hoffe, das ist das, was dich quält. Bei Interesse bitte nachfragen, ich weiß noch etwas mehr darüber.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

Hallo Zytegyst,

ich hatte mal eine ähnliche Frage gestellt und eine sehr gute Antwort bekommen: Beitrag-Nr. 1032-2 . Vielleicht hilft dir dies auch ein wenig weiter.

Hi,
ein interessantes Link zu diesem Thema:
http://swiki.hfbk-hamburg.de/medienphilosophie/24

Gruß

Hallo zusammen,

@Bauhof
Infinitesimalen Größen sind eine Antwort auf Zytegysts Frage.

Ergänzung: Die archimedische Eigenschaft haben bereits rationale Zahlen.

Von dem Wikipedia-Artikel zu Infinitesimalen Größen bin ich didaktisch nicht sehr begeistert, vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalzahl:
z.B. Inifinitesimale Grössen sind im allgemeinen keine reellen Zahlen und bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen zunächst nicht geordnet. Dass es sich bei infinitesimalen Grössen um eine Erweiterung des Körpers der rationalen, bzw. reellen Zahlen handelt, auf den sich die reelle Ordnungsrelation widerspruchsfrei fortsetzen lässt, wird nur implizit erwähnt; diese Erweiterungskonstruktion halte ich aber für grundlegend für das Verständnis der inifinesimalen Grössen!

@Irena
Dein Link in Beitrag-Nr. 1228-9 beschreibt die archimedische Eigeschaft sehr anschaulich, gefällt mir!
Bei der Begrifflichkeit des Infinitesimalen hinkt er genau an der gleichen Stelle wie der Wikipedia-Artikel:
Infinitesimale Grössen sind keine reellen Zahlen. Timeouts Beitrag-Nr. 1032-2 finde ich brillant.

Gruss
Thomas

Hallo Leute,

es freut mich sehr, dass in so kurzer Zeit so viele von Euch auf mein Thema geantwortet haben. Ich antworte leider erst jetzt, weil ich lange weg war. (Nicht, dass ihr den Eindruck bekommt, mich würden Eure Antworten nicht interessieren.)

Also der Reihe nach:
@Harti:
Dieser Unterschied war mir größtenteils bewusst, doch würde ich sagen, dass es Absolute auch in der Wirklichkeit gibt, beispielsweise die Lichtgeschwindigkeit als absolute Geschwindigkeitsobergrenze oder 0°K als absolutes Temperaturminimum. Deswegen glaube ich auch, mir Absolute in der Wirklichkeit vorstellen zu können. Oder hab ich da einen Denkfehler?

@Irena:
Du hast eine sehr interessante Empfindung, weil unendlich groß und unendlich klein eigentlich zwei unendlich differente Zustände sind.
Dass man die Null nur lokal und temporär ansehen darf, finde ich ganz interessant. So könnte ich beispielsweise sagen, dass ich weiss, dass es momentan nicht NICHTS (also die 0) gibt, aber ich weiss nicht, wie es zum Beispiel vor dem Urknall aussah. Vielleicht gab es da das nichts (also die 0).

@Thomas der Große:
Kannst du mir das mit den Konstruktionsstufen erklären? Das ist mir sowohl absolut neu als auch absolut (da haben wir das Absolute wieder ;) ) unverständlich. Auch die Erklärung danach leuchtet mir noch nicht ganz ein. Ich bin leider nicht sonderlich gut in Mathe, weswegen ich vielleicht nicht selbst auf die Antwort meiner Fragen komme.

@Bauhof:
Ich kann keine nicht-archimedische Zahl imaginieren. Wie kann eine Zahl einen Wert haben, der praktisch wertlos ist, weil es (selbst unendlich oft) addiert keinen größeren Wert annimmt? Diese Zahl ist für mich wertlos, also = 0.
Bitte korrigiere mich, da ich weiss, dass es sich bei meiner Überlegung um eine wahrscheinlich schon tausendmal gemachte Überlegung handelt, aber ich hänge da im Moment dran. Diese nicht-archimedischen Zahlen gehen jedenfalls schon sehr stark in die Richtung, wie ich das in meinem ersten Beitrag mit dem Punkt, an den ich ranzoome, gemeint habe.

@Stueps:
Der von dir verlinkte Beitrag von Timeout ist schon sehr gut, doch komme ich noch nicht ganz mit bei der Ableitung von Auto auf Zahlen (0 und unendlich). Vielleicht muss ich auch nur nochmal drüberlesen. Ich probiere es mal.

Ganz nebenbei; Hast du meine Mail eigentlich nicht erhalten? Die habe ich dir schon vor einigen Wochen geschickt und sie müsste bereits lange da sein. Guck doch bitte mal nach.

@Irena: (nochmal)
Ich hab mir die von dir verlinkte Seite mal ausgedruckt und melde mich dazu zurück, sobald ich den Text gelesen habe.

Vielen Dank also nochmal an alle. Ihr seid schon eine große Hilfe gewesen.

Zytegyst

EDIT:
Während ich schrieb, hast du, Thomas, noch etwas beigefügt. Darauf würde ich gerne noch Bezug nehmen.

Auf welchem Wort liegt die Betonung bei "Infinitesimalen Größen sind eine Antwort auf Zytegysts Frage."? Auf "eine" oder auf "Antwort" oder auf einem ganz anderen Wort? Das macht immerhin einen nicht zu unterschätzenden Unterschied.

Das mit den Infinitesimalen Größen ist mir (noch) etwas zu hoch. Aber vielleicht kannst du mir in Zusammenarbeit (wenn auch unabgesprochen) mit Bauhof, beibringen. Aus dem Wikipedia-Artikel werde ich nicht ganz klug.
Ich glaube nur so viel zu wissen:
Eine infinitesimale Größe hat einen Wert, der bei den reellen Zahlen über 0 liegt aber dennoch kleiner ist als jede denkbare reele Zahl.
Eine Infinitesimale ist aber keine reelle Zahl, wie also kann diese einen Wert haben, der innerhalb der reellen Zahlen liegt?

Zytegyst schrieb in Beitrag Nr. 1228-11:

@Stueps:

...
Ganz nebenbei; Hast du meine Mail eigentlich nicht erhalten? Die habe ich dir schon vor einigen Wochen geschickt und sie müsste bereits lange da sein. Guck doch bitte mal nach.
...

Ja, hab ich erhalten. Bitte prüfe dein Postfach. Aber gleich hier vorneweg: Sorry, hab die Antwort echt vergessen, nicht böse sein.

Hallo zusammen,

ich kann nach euren Beiträgen zwar nicht ganz nachvollziehen, wie eine mathematische Null korrekt definiert ist, dafür weiß ich jetzt aber wie es sich anfühlt, eine mathematische Null zu sein. :-)

Zu Unendlichkeiten habe ich aber einiges zu sagen, merke aber gerade, dass ich dazu im Moment doch keine Zeit habe. Bin gerade an der Arbeit. Also später mehr.

mfg okotombrok

Hallo Zytegyst,

Zitat:

Auf welchem Wort liegt die Betonung bei "Infinitesimalen Größen sind eine Antwort auf Zytegysts Frage."? Auf "eine" oder auf "Antwort" oder auf einem ganz anderen Wort? Das macht immerhin einen nicht zu unterschätzenden Unterschied.

Danke für den Hinweis: Der erspart mir, die Konstrution von hyperreellen Zahlen zu erklären, vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahlen
Die Betonung lag auf eine. Man kann beliebig viele nicht-archimedische Erweiterungen der reellen Zahlen angeben.

Eine relativ einfache bilden die komplexen Zahlen, wenn man eine geeignete Ordnungsrelation defininert. Z.B.

a + ib "<" c +id, wenn a<c oder a=c und b<d.

"i" ist dabei die imaginäre Einheit und die anderen Variablen sind reell.

Man müsste eigentlich jetzt zeigen, dass damit wirklich eine Ordnungsrelation definiert ist, d.h.
dass die Eigenschaften transitiv, reflexiv und irreflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch erfüllt sind .

1. Auf der reellen Achse, d.h. b=d=0, hat man genau die übliche Ordnung der reellen Zahlen.
2. Jede imaginäre Zahl id mit d>0 ist in der definierten Ordnung "größer" als Null und zugleich "kleiner" als jede positive reelle Zahl, da der Realteil der imaginären Zahl eben Null ist.

Formal nach Definition der Ordnung
1. a "<" c, wenn a<c
2. 0 "<" i d, wenn 0<d

Die archimedische Bedingung: Es gibt ein natürliches n, so dass
1 "<" n * i d
ist offensichtlich nicht erfüllt.

Zitat:

Kannst du mir das mit den Konstruktionsstufen erklären?

Für inifinitesimale Grössen hat Bauhof sich angeboten...
Generell funktionieren Erweiterungen so, dass man Äquivalenzklassen über einer Menge bildet und dann die Menge in die Äquivalenzklassen einbettet.

Ein einfaches Beispiel für Erweiterung ist die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen.
1. Man definiert Brüche als Paare ganzer Zahlen (z,n)
2. Man defininert die Addition (z1,n1)+(z2,n2) =: (z1*n2 + z2*n1, n1*n2) und entsprechend die Subtraktion
3. Man defininert die Multiplikation (z1,n1)*(z2,n2) =: (z1*z2,n1*n2)
4. Man sagt zwei Paare (z1,n1), (z2,n2) seien äquivalent,
wenn z1*n2 =n1*z2
5. Man zeigt, dass die Rechenoperationen sich auf die Äquivalenzklassen übertragen, d.h.
für das Ergebnis ist egal, mit welchem Repräsentant einer Klasse äquivalenter Brüche gerechent wird.
6. Man nennt die Äquivalenzklassen von Brüchen den Körper der rationalen Zahlen
7. Man bettet die Gruppe der ganzen Zahlen in den Körper der rationalen Zahlen ein mit der Abbildung
n --> (n,1)
und sieht, dass sich die Operationen der natürlichen Zahlen mit der Brucharithmetik verträglich sind,
d.h. es ist egal ob ich mit ganzen Zahlen n rechne oder mit den zu (n,1) äquivalenten Brüchen.

Gruß
Thomas

Hallo Zytegyst,

Zytegyst schrieb in Beitrag Nr. 1228-11:

@Harti:
Dieser Unterschied war mir größtenteils bewusst, doch würde ich sagen, dass es Absolute auch in der Wirklichkeit gibt, beispielsweise die Lichtgeschwindigkeit als absolute Geschwindigkeitsobergrenze oder 0°K als absolutes Temperaturminimum. Deswegen glaube ich auch, mir Absolute in der Wirklichkeit vorstellen zu können. Oder hab ich da einen Denkfehler?

den "absoluten" Nullpunkt und die Lichtgeschwindigkeit sehe ich als Grenzwerte für Bewegungen an. Beide sind in der Wirkichkeit nicht 100%-tig erreichbar, da es weder absolute Ruhe gibt, noch Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit. Letzteres gilt m.E. auch für das Licht, da sich Licht nur im absoluten Vakuum mit 100%-tiger Lichtgeschwindigkeit bewegen könnte; es ein absolutes Vakuum aber nicht gibt.
Die von Dir genannten Grenzwerte sind in meiner Sicht der Dinge deshalb theoretische Größen (in der Wirklichkeit nicht erreichbar). Sie begrenzen die Möglichkeiten von Bewegungen und machen damit deutlich, daß Bewegungen weder unendlich groß noch unendlich klein werden können. Ich würde den "absoluten" Nullpunkt und die Lichtgeschwindigkeit als Naturkonstanten ansehen.
Bedenkenswert in Bezug auf die Absolutheit der Lichtgeschwindigkeit (Lichtbewegung) ist m.E. auch, daß sich Geschwindigkeit als Strecke(Raum) pro Zeit definiert. Wie kann etwas (Lichtgeschwindigkeit) absolut sein, dessen Komponenten nicht absolut sind ?
Für mich sind daher in der Wirklichkeit weder Newtons Raum und Zeit noch Einsteins Lichtbewegung absolut; als absolut kann man sie jeweils nur in der Theorie annehmen.
Was ich hier von mir gebe, sind nur meine Gedanken. Sie klingen auch für mich etwas apodiktisch, als wenn ich die Weisheit mit Löffeln gefressen hätte. Sorry !

MfG
Harti

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 1228-8:

... ich hatte mal eine ähnliche Frage gestellt und eine sehr gute Antwort bekommen: Beitrag-Nr. 1032-2 . Vielleicht hilft dir dies auch ein wenig weiter.

Hallo Stueps,

Der Beitrag-Nr. 1032-2 von Timeout ist die klassische Erklärung für die Differenzialrechnung durch einen Grenzübergang nach Null. Und zwar erklärt er das am Beispiel der Momentangeschwindigkeit v=dx/dt anhand der Differenziale dx und dt. So wie es Timeout erklärt, habe ich es auch vor langer Zeit in der Mathevorlesung der Fachhochschule gelernt. Seine Erklärung ist zwar vollkommen richtig, aber es berührt noch nicht die neuen mathematischen Theorien der Nichtstandard-Analysis.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

Zytegyst schrieb in Beitrag Nr. 1228-3:

Es tut mir Leid, Irena, ich kann deiner Frage nicht ganz folgen. Meinst du, du würdest gerne wissen, ob es einen Unterschied gibt zwischen 0 und unendlich groß oder was der Unterschied ist? Falls du das zweite meinst, würde ich sagen, der Unterschied zwischen 0 und unendlich groß ist "halb unendlich". Es gibt ja noch eine negative unendliche Richtung von der 0 ausgehend.

Hallo Zytegyst,

"Halb unendlich" gib es nicht. Die Zahlengerade reicht von Minus Unendlich bis Plus Unendlich. Die Null markiert nicht die Hälfte von Unendlich. Falls man etwas Unendliches durch 2 dividiert, bleibt das Ergebnis Unendlich.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

Zytegyst schrieb in Beitrag Nr. 1228-11:

@Bauhof:
Ich kann keine nicht-archimedische Zahl imaginieren. Wie kann eine Zahl einen Wert haben, der praktisch wertlos ist, weil es (selbst unendlich oft) addiert keinen größeren Wert annimmt? Diese Zahl ist für mich wertlos, also = 0. Bitte korrigiere mich, da ich weiss, dass es sich bei meiner Überlegung um eine wahrscheinlich schon tausendmal gemachte Überlegung handelt, aber ich hänge da im Moment dran. Diese nicht-archimedischen Zahlen gehen jedenfalls schon sehr stark in die Richtung, wie ich das in meinem ersten Beitrag mit dem Punkt, an den ich ranzoome, gemeint habe.

Hallo Zytegyst,

Eine nicht-archimedische Zahl wird in der Literatur Nichtstandard-Zahl genannt. Bleiben wir bei dieser Bezeichnung. Hier kann ich aus dem Artikel "Zenons Paradoxien" ( http://swiki.hfbk-hamburg.de/medienphilosophie/24 ) folgende Definitionen herauslesen:

1. Infinitesimale Nichtstandard-Zahlen sind kleiner als jede positive Standard-Zahl, aber größer als Null.

2. Eine Infinitesimale Nichtstandard-Zahl ist zwar größer als Null, aber dennoch kleiner als jede noch so kleine Zahl, die man sich hingeschrieben vorstellen kann.

Aus dieser Tatsache folgt, dass beide Endpunkte eines infinitesimalen Intervalls nicht durch konkrete Zahlen bezeichnet werden können. Dadurch lässt sich ein solches Intervall niemals durch ein Messverfahren bestimmen: Infinitesimale bleiben der Beobachtung für immer unzugänglich. Dass die Nichtstandard-Zahlen der Beobachtung unzugänglich sind, bedeutet aber nicht, dass sie in der Mathematik wertlos sind. Die Mathematik ist eine menschliche Geisteswissenschaft und keine Naturwissenschaft. Sie ist nur ein nützliches Werkzeug, um die Natur zu beschreiben.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

Hallo ihr alle,

ich möchte hier die Bauhof´s Aussage korrigieren:

Zitat:

Die Mathematik ist eine menschliche Geisteswissenschaft und keine Naturwissenschaft. Sie ist nur ein nützliches Werkzeug, um die Natur zu beschreiben.

Die Mathematik ist keine Geisteswissenschaft. Die letzte widmet sich dem Geist. Mathematik operiert mit abstrakten Objekten. Die Mathematik nimmt eine Sonderrolle in Kategorisierung der Wissenschaften.
Sie ist auch nicht "nur nützliches Werkzeug". Sie kann als nützliches Werkzeug zur Beschreibung der Welt dienen, ist keinesfalls auf den beschränkt.

Gruß

Hallo Zytegyst,

in http://www.mathematik.de/mde/information/landkarte/... wird die Auffassung vertreten, dass (Zitat) eine nicht negative Zahl nur dann zu Recht "unendlich klein" genannt werden könne, wenn sie kleiner ist als jede andere positive Zahl. Somit könne es es nur eine geben, die diese Bedingung erfüllt, nämlich die Null.

Finde ich einleuchtend.

Demnach bestünde kein Unterschied zwischen "null" und "unendlich klein".