Unterschiede zwischen 0 und unendlich klein

Hallo Bauhof, hallo Claus,

da haben wir es wieder, da kriegt man schon wieder Kopfschmerzen....

Ich hab da mal eine Vermutung: Kann es sein, dass der Begriff "unendlich klein" letztlich nur ein Konstrukt in unseren Köpfen ist, und gar nicht natürlich existiert? Die infinitesimalen Intervalle deuten meines Erachtens darauf hin. Denn Claus, letztlich finde ich deinen Einwand auch sehr einleuchtend, ohne die infinitesimalen Intervalle als mathematisches (und damit gedankliches) Werkzeug als "ungeeignet" herabzuwürdigen. Sie haben sehr wohl ihre Berechtigung (in Bezug auf das Treffen von richtigen Voraussagen und Ergebnissen), sind aber wohl nicht direkt an die Natur angelehnt?

Hallo Irena, du schreibst:

Zitat:

Die Mathematik ist keine Geisteswissenschaft. Die letzte widmet sich dem Geist. Mathematik operiert mit abstrakten Objekten. Die Mathematik nimmt eine Sonderrolle in Kategorisierung der Wissenschaften.
Sie ist auch nicht "nur nützliches Werkzeug". Sie kann als nützliches Werkzeug zur Beschreibung der Welt dienen, ist keinesfalls auf den beschränkt.

Ich sehe das ähnlich und gehe sogar noch weiter: Da die Mathematik unter anderem ein Kind der Logik ist, denke ich, dass nicht nur wir uns ihr bedienen, sondern auch die Natur selbst. Ich halte sie für so etwas wie ein Grundregelwerk der Natur. Welches wir entdecken und als Geiseswissenschaft nutzen.

HAllo Stueps,

Zitat:

Da die Mathematik unter anderem ein Kind der Logik ist, denke ich, dass nicht nur wir uns ihr bedienen, sondern auch die Natur selbst. Ich halte sie für so etwas wie ein Grundregelwerk der Natur. Welches wir entdecken und als Geiseswissenschaft nutzen.

Ich weis es nicht, ob die Bezeichnung Kind berechtigt ist. Ich denke es ist eine essentielle Eigenschaft der Mathematik.

Zu bezeichnen Mathematik als Grundrelwerk der Natur , denke ich - ist falsch. Sie regelt nicht die Natur. Sie spiegelt aber eine Eigenschaft der Natur, die wir in Mathematik erkennen. Es ist nur die Projektion, die selbst kein Einfluß auf die NAtur hat. Die hilft aber uns die Natur zu verstehen.

Ich finde faszinierend die Tatsache, dass zwischen zwei Zahlen eine Unendlichkeit versteckt ist. Man könnte in eine Richtung "gehen" und niemals eine Ende erreichen, wie auch zur anderen (wie in unserem Fall 1). Das gleiche gilt für den Abstand beliebigen Zahlen innerhalb dieser Unendlichkeit. Wenn man die Menge zwischen 0,01 und 0,02 untersucht, bekommt man die gleiche Unendlichkeit. Dies kann unendlich viel mal wiederholen.

Gruß allen

Irena schrieb in Beitrag Nr. 1228-19:

Die Mathematik ist keine Geisteswissenschaft. Die letzte widmet sich dem Geist. Mathematik operiert mit abstrakten Objekten.

Hallo Irena,

Ich vermute, da hast du etwas in meinem Beitrag falsch aufgefasst. Die Geisteswissenschaft widmet sich nicht allein dem menschlichem Geist, sondern die Geisteswissenschaften entspringen dem menschlichen Geist. Eine Geisteswissenschaft kann sich natürlich auch dem menschlichem Geist widmen. Aber nicht alle müssen es.

In der Mathematik wird zwar mit abstrakten Objekten operiert, aber letztlich sind es wir Menschen, die mit Hilfe der vom menschlichen Geist ersonnenen Mathematik mit diesen abstrakten Objekten in unseren Köpfen operieren - mehr oder minder erfolgreich.

Mathematik zum Bereich der Naturwissenschaften zu zählen, ist ein weit verbreiteter Irrtum. Naturwissenschaften sind z.B. folgende: Physik, Chemie, Biologie, Botanik, Medizin, ...

Und in all diesen naturwissenschaftlichen Disziplinen bedient man sich der vom menschlichen Geist ersonnenen Mathematik. Nichts und niemand hat uns die Mathematik "in die Wiege gelegt", auch nicht die Natur. Es war ein rein menschliches ständiges Bemühen, das sich mit vielen Irrungen und Wirrungen über mehrere Jahrtausende erstreckte. Mathematik ist letzlich eine vom Menschen erfundene Sprache, um Vorgänge in der Natur zweifelsfrei zu beschreiben.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

Hallo Bauhof,

du war nicht aufmerksam bei meinem Beitrag. Ich ahbe nicht geschrieben, Mathematik sei eine Naturwissenschaft. Ich ahbe geschrieben: Mathematik nimmt einen Sonderplatz in der Kategorisierung der Wissenschaften.

Diese Kategorisierung in Naturwissenschaften und Geisteswissenschaften wird anhang der Objekten, die sie behandeln beurteilt werden. Die NAturwissenschaften erforschen die Natur, die Geisteswissenschaften - alles was mit Geist verbunden ist.

Die Logik, dass die Geisteswissenschaft entspringen dem menschlichen Geist, kann ich nicht folgen. Die Naturwissenschaften entspringen menschlichem Geist in gleiche Weise.
Besonders die Diskussionen des letzten Jahrhundert in Bezug auf Quantenmechanik zeigen, wieviel Geist steckt in der NAturwissenschaft. Ich meine der Rolle des Beobachters.

Siehe auch Wikipedia, Geisteswissenschaft

Gruß

Hallo zusammen,

es bringt das Thema nicht weiter, aber der Thread bläht sich an der Stelle wieder zu einem Elefanten,
diesmal heisst er Mathematik.

@Bauhof
Danke für die Darstellung der Mathematik als Geisteswissenschaft.
Die Zuordnung zur Naturwissenschaft geht wohl auf Platon zurück:
Kann man niemandem über nehmen, wenn er das nachplappert.

@Irena
Die Funktionalisierung der Mathematik als Werkzeug der Naturwissenschaften
ist für Naturwissenschaftler natürlich und ich lehne sie genauso wie Du ab.


Persönliche klassifiziere ich die Mathematik als
Rationale, deduktive Philosophie im Bereich ihrer Symbolsprache.

Rationale Philosophie, weil sie sich auf Tautologien des logischen Attributes wahr bewegt,
die durch die Aussagenlogik, speziell Implikationen, gebildet werden können.

Deduktiv, weil sie versucht, Aussagen über Objekte auf Axiome zurückzuführen.

Die Symbolsprache bildet Objekte aus Attributen, anderen Objekten und Annahmen über die Existenz von Objekten, sog. Axiomen.

Die Klasse der Philosophien wird klar den Geisteswissenschaften zugeordnet
und das geht alles ohne irgendwelche Naturwissenschaft.

Gruss
Thomas

Zytegyst schrieb in Beitrag Nr. 1228-1:

Hallo Gemeinde,

seit einigen Tagen quält mich die Frage, ob es einen Unterschied gibt zwischen 0 (nichts) und unendlich klein und was dieser Unterschied ist, sollte es diesen geben.

Hallo Zytegyst, hallo zusammen,

ich denke etwas unendlich Kleines oder überhaupt etwas Unendliches ergibt sich nur in der Mathematik und findet in der Natur keine Entsprechung. Ein Beispiel:
Das Kühlsystem eines Fahrzeugs beinhaltet 9l Wasser und 1l Frostschutz. Nach 100Km Fahrt geht wegen Undichtigkeiten 1l verloren, welches dann durch Wasser ersetzt wird. Mit jedem Nachfüllen verringert sich also der prozentuale Anteil an Frostschutz. Mathematisch betrachtet kann man nun beliebig oft nachfüllen ohne den Frostschutz gänzlich zu verlieren. In Wirklichkeit aber ist irgendwann das letzte Frostschutzmolekül entwichen. Nach wievielen Füllungen das sein wird lässt sich mathematisch nicht berechnen, das letzte Molekül kann sehr lange verharren oder auch schnell entweichen.
Für mich gibt es nichts Unendliches, nur Grenzenloses, wie die Oberfläche einer Kugel oder unser randloses Universum. Gäbe es etwas unendliches, so wäre das kein Thema für die Naturwissenschaft, weil es weder beschreibbar wäre noch ließe es sich in irgendeiner Form experimentell überprüfen, es wäre nicht falsifizierbar.
Das Unendliche gibt es nur in der Mathematik und selbst da stellt es ein Problem dar. Ein Ergebnis mit etwas Unendlichen ist meistens unbefriedigend und stellt keinen praktischen Nutzen dar. (man mag mich hier bitte korrigieren, ich bin nicht so der Mathefreak)
Was das unendlich Kleine anbelangt, so fallen mir da die Planck-Größen ein; das planck'sche Wirkungsquantum, die Plancklänge, die Planckmasse und die Planckzeit. Es macht physikalisch keinen Sinn danach zu suchen, was innerhalb einer Planckzeit geschieht. Macht ein Elektron einen Quantensprung, so gibt es hier nur Start und Ziel, kein "während des Sprunges". Ist hier nicht die Frage nach etwas unendlich Kleinem überflüssig?

mfg okotombrok

Hallo Leute,

ich sehe, die meisten von Euch sind einer Meinung: Unendlichkeit kann es zwar in der Mathematik geben, jedoch nicht in der Realität. So weit bin ich auch bereits. Auch über "unendlich klein" und "unendlich groß" habe ich diverse Dinge gelernt und lese gerne mehr darüber. Ich finde das sehr spannend und hier wesentlich besser erklärt als beispielsweise in Wikipedia oder in anderen Lexika.

Was jetzt noch nebenbei an Diskussion über die Mathematik entstanden ist, finde ich, könnte zwar in einen eigenen Thread, doch störend finde ich es nicht. Auch diese Abschweifungen sind sehr bemerkens- und lesenswert, weshalb ich mich dafür ausspreche, die Gedanken dazu hier weiterzuführen.

Vielen Dank nochmal für die rege Beteiligung und Entschuldigung, dass ich nicht so viel schreibe. Ich bin eher derjenige, der liest und lernt, statt selbst Diskussionen zu leiten. Zudem verstehe ich auch nicht alles, was Ihr schreibt, weswegen meine Überlegensphasen, in denen ich über das Geschriebene resumieren muss, sehr lange sind.

Zytegyst

Thomas der Große schrieb in Beitrag Nr. 1228-6:

Die reelle 0 ist dann so etwas wie eine Folge von rationalen Zahlen, die beliebig klein wird.

Hallo Thomas,

Spricht man in der Mathematik von einer "reellen Null"?
Ich meine, die Null war doch schon definiert, bevor man den reellen Zahlenkörper definierte. Als erstes definierte man die natürlichen Zahlen etwa wie folgt - jetzt nicht wortwörtlich zitiert:

"Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge von unterschiedenen Elementen. Diese Menge besitzt ein erstes, allen vorangehendes Element, die Null."

Die reellen Zahlen enthalten per Definition die natürlichen Zahlen als Teilmenge. Also müsste doch die "reelle Null" nicht als Grenzwertprozess einer Folge von rationalen Zahlen nochmals definiert werden, weil die Null in der Menge der reellen Zahlen bereits "existiert". Oder irre ich mich da?

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 1228-21:

Hallo Bauhof, hallo Claus, da haben wir es wieder, da kriegt man schon wieder Kopfschmerzen.... Ich hab da mal eine Vermutung: Kann es sein, dass der Begriff "unendlich klein" letztlich nur ein Konstrukt in unseren Köpfen ist, und gar nicht natürlich existiert? Die infinitesimalen Intervalle deuten meines Erachtens darauf hin. Denn Claus, letztlich finde ich deinen Einwand auch sehr einleuchtend, ohne die infinitesimalen Intervalle als mathematisches (und damit gedankliches) Werkzeug als "ungeeignet" herabzuwürdigen. Sie haben sehr wohl ihre Berechtigung (in Bezug auf das Treffen von richtigen Voraussagen und Ergebnissen), sind aber wohl nicht direkt an die Natur angelehnt?

Hallo Stueps,

Du hast recht, so ist es. Der Begriff "unendlich klein" ist ein Konstrukt in den Köpfen der Mathematiker. Statt den Begriff "unendlich klein" möchte ich aber lieber infinitesimal verwenden. Der deutsche Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz hat als erster mit den Infinitesimalen operiert. Er gilt als Erfinder der Infinitesimalrechnung, obwohl ihm das Newton streitig machte und die Priorität dieser Erfindung für sich beanspruchte. Leibniz hatte aber für seine Infinitesimalen noch keine "saubere" mathematische Begründung, er verwendete sie rein intuitiv. Erst in heutiger Zeit wurde eine Axiomatik der Infinitesimalen in der Nichtstandard-Analysis geliefert.

Du hast recht, der Begriff der Infinitesimalen ist nicht direkt an die Natur angelehnt. Er ist eine freie Erfindung des menschlichen Geistes. Diese Frage steht überhaupt nur deshalb im Raum, weil viele meinen, dass die Mathematik eine Disziplin der Naturwissenschaft sei. Ist sie aber nicht, die Mathematik ist eine Disziplin der Geisteswissenschaft.

Du musst also überhaupt keine Kopfschmerzen bekommen.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

Hallo Bauhof,

du hast nicht geantwortet:
wem "entspringen" denn die Naturwissenschaften? Aufgrund was unterscheidest du Geistes- und Naturwissenschaften?

Gruß

Hallo Bauhof,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1228-28:

Die reellen Zahlen enthalten per Definition die natürlichen Zahlen als Teilmenge. Also müsste doch die "reelle Null" nicht als Grenzwertprozess einer Folge von rationalen Zahlen nochmals definiert werden, weil die Null in der Menge der reellen Zahlen bereits "existiert". Oder irre ich mich da?

Die reelle Null ist genau gesagt die Äquivalenzklasse, bzw. Menge der Nullfolgen. Die ganzzahlige, bzw. rationale Null wird in diese Klasse eingebettet als konstante Folge (0,0,0,0,....),

formal mit der Einbettungsabbildung
phi : r -> (r,r,r,r,r,r,......) mit rationalem r, speziell für r=0. Die Unterstreichung bezeichnet die Äquivalenzklasse von Folgen. Äquivalent sind Folgen, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist.

Die Teilmengen-Relation zwischen natürlichen / ganzen / rationalen und reellen Zahlen ist erst nach Anwendung der Einbettungsabbildung gültig.

Dein

Zitat:

per Definition

nimmt genau diese Identifizierung via Einbettung vor.

Gruss
Thomas

Irena schrieb in Beitrag Nr. 1228-30:

Hallo Bauhof, du hast nicht geantwortet: wem "entspringen" denn die Naturwissenschaften? Aufgrund was unterscheidest du Geistes- und Naturwissenschaften?

Hallo Irena,

Den Unterschied zwischen Geistes- und Naturwissenschaften werde ich hier in einem Mathematik-Thread nicht diskutieren. Bitte eröffne dafür einen neuen Thread und stelle darin die entsprechenden Fragen. Zum Beispiel mit dem Titel: "Wie unterscheiden sich Geistes- und Naturwissenschaften?".

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

P.S.
Es ist nicht gut, die verschiedensten Themen in einem einzigen Thread hineinzupacken. Man verliert die Übersicht. Thomas hat jetzt schon kritisiert, dass dieser Thread sich wieder zu einem 'Elefanten' aufbläht. Beim 'Elefanten' denkt Thomas vermutlich an den Bewusstseins-Thread.

Hallo Eugen,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 1228-32:

Den Unterschied zwischen Geistes- und Naturwissenschaften werde ich hier in einem Mathematik-Thread nicht diskutieren.

naja, als reiner Mathematik-Thread war das Thema von Zytegyst ursprünglich aber auch wohl nicht gedacht.

Zitat:

Was jetzt noch nebenbei an Diskussion über die Mathematik entstanden ist, finde ich, könnte zwar in einen eigenen Thread, doch störend finde ich es nicht. Auch diese Abschweifungen sind sehr bemerkens- und lesenswert, weshalb ich mich dafür ausspreche, die Gedanken dazu hier weiterzuführen.

mfg okotombrok

DAnke, Okotombrok, für Unterstützung.

Meine Bemerkung war auf die BAuhof Beitrag in diesem Thread gerichtet. Weil er hartnäckig und wiederholt behauptet die MAthematik sei Geisteswissenschaft, möchte ich eine nähere Erklärung dafür. Ich meine, dafür ist doch nicht nötig einen neuen Thread öffnen, oder? M.E. ist das Raum des Forums überladen von kleinen Threads.
Ich vertrete auch den Ansicht, dass eine Diskussion ist nicht die Lösung einer Gleichung. Es kann durchaus ein Paar Schritte zu Seite machen, beiläufig noch eine oder andere Thema ansprechen. Eigentlich in eine Diskussion passiert es zwangsläufig. Nur wenn angesprochene Thema wirklich "ein Gewicht" hat, dann ist es wert ihr ein separaten Thread zu widmen.

Warum in deutschen Raum diese Anordnung der MAthematik (zu NAtuwissenschaften oder Geisteswissenschaften) überhaupt kommt?! Vielleicht weil in der Schulen schon recht früh einen Unterschied in Begabungen und Intresssen sich vollzieht. Die MAthematik, als Einzelfach wird einfach in irgendwelchen Bereich geschoben. Weil künftige Naturforscher zwangsläufig müssen mit MAthematik auskennen, würde es zu Naturwissenschaften geschoben. Die Begabten in Geisteswissenschaften (mindestens aus meiner Erfahrung) haben wenig für die Exatheit der MAthematik übrig.

Die MAthematik erforscht aber nicht die Natur. Deswegen kann sie nicht zu NAturwissenschaften gezählt werden. Sie genau so wenig beschäftigt sich mit Kultur, Geschichte, Sprache oder Kunst. Also kann sie auch nicht zu Geisteswissenschaften gezählt werden. Allerdings in der Geisteswissenschaften, hatten sich die Wissenschaftszweige herauskristallisiert, die beginnen anwenden die MAthematik, wie z.B. Soziologie. Es gibt auch andere Wissenschaftszweige, die MAthematik ähnlich sind, sind aber keine MAthematik.
Es gibt neuerdings ein interessantes Vorschlag der KAtegorisierung der Wissenschaften (aus WIKI):
I-->Realwissenschaften:
---------------------------I-->NAturwissenschaften (Physik, Chemie, Astronomie, theoretische Medizin, Biologie
---------------------------I-->Kulturwissenschaften:
-----------------------------------------------------I --> Geisteswissenschaften (Geschichte, Religion, Sprache, Kunst)
-----------------------------------------------------I -->Sozial- und Wirtschaftswissenschaften
I--> Formalwissenschaften (formale Logik, Mathematik, Strukturwissenschaften)

Es gibt hier aber kein Platz für Philosophie. Vielleicht müsste sie ein Platz neben Realwissenschaften u Formalwissenschaften einnehmen?!

Gruß

Ja, liebe Irena,

nur auf ein Wissenschafts-Modell, das die
---------------------------------------------------------------------------------------------- --------I --> Philosophie
nebenbei eben mal übersieht, kann der eine oder andere am Stück verzichten.
Bauhof hat Dich bereits eingeladen, einen eigenen Thread aufzumachen.
Wir sind uns darin einig, dass die Klassifizierung wissenschaftlicher Disziplinen
nicht trivial ist, z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Topos_(Geisteswissenschaft)
und die Menge der Aspekte ist auch meiner Meinung nach zu mächtig für einen Nebenthread,
auch wenn es Zytegyst tolerieren würde. Wir hatten das schon einmal in ähnlicher Form
in Beitrag-Nr. 1091-8 und folgenden.

Du bist eingeladen, in die Offensive zu gehen.

Liebe Grüsse
Thomas

Aber Thomas, ich habe nichts mehr zu sagen als ich schon hatte. Ich habe darauf hingewiesen, dass Mathematik gehört nicht zu Geisteswissenschaften.

Gruß

Sei gegrüßt liebe Irena,

es kann mir grundsätzlich Wurscht sein, wenn Deine Geisteswissenschaften nichts mit Philosophie und also nichts mit Mathematik zu tun haben.

Nur was ich nicht besonders höflich finde: Du führst hier in einem Thread, der nicht Deiner ist, ein Thema ein und genau in dem Moment, wo offenbar ist, dass Betrachtungsweisen auszudiskutieren wären, z.B. der Begriff Topos stellt ganz klar eine Verbindung von Geisteswissenschaft und Philosophie dar, ziehst Du Dich zurück und beharrst auf Deiner Auffassung,

Zitat:

Aber Thomas, ich habe nichts mehr zu sagen als ich schon hatte. Ich habe darauf hingewiesen, dass ...

anstatt in die eigentliche Diskussion einzusteigen.

Machst Du das immer so?

Zitat:

... ich habe nichts mehr zu sagen als ich schon hatte.

ist die typische Signatur von Engrammen, damit meine ich unreflekierte Emotionen, die ihre Kraft in dem Moment verlieren, in dem sie ihren Ausdruck gefunden haben.

Gerne würde ich sehen, dass mehr hinter Deiner Argumentation steckt.

Gruss
Thomas

Hallo zusammen,

und jetzt wieder zum Thema:

@Okotombrok

Zitat:

Es macht physikalisch keinen Sinn danach zu suchen, was innerhalb einer Planckzeit geschieht.

Zitat:

naja, als reiner Mathematik-Thread war das Thema von Zytegyst ursprünglich aber auch wohl nicht gedacht.

Netto haben wir bisher zwei mathematische Beispiele: Die infinitesimalen Größen und die imaginären Zahlen
Hast Du eine Ahnung von einem Modell, das nicht mathematisch wäre? Das wäre interessant!

@Claus

Zitat:

... Somit könne es es nur eine geben, die diese Bedingung erfüllt, nämlich die Null.

Jo, Dein Artikel ist richtig unter der Voraussetzung, dass man sich auf reelle Zahlen beschränkt.
Disziplinierte Mathematiker schreiben deswegen zuerst hin, womit sie rechen.

Gruß
Thomas

Zitat:

Gerne würde ich sehen, dass mehr hinter Deiner Argumentation steckt

Zitat:

Nur was ich nicht besonders höflich finde: Du führst hier in einem Thread, der nicht Deiner ist, ein Thema ein und genau in dem Moment, wo offenbar ist, dass Betrachtungsweisen auszudiskutieren wären, z.B. der Begriff Topos stellt ganz klar eine Verbindung von Geisteswissenschaft und Philosophie dar, ziehst Du Dich zurück und beharrst auf Deiner Auffassung

Hallo Thomas,

ich habe hier keine neue Thema eingeführt. Ich habe lediglich hingewiesen auf die nicht korrekte Aussage von Bauhof. Die betritt ausschließlich MAthematik. Seine Aussage war in diesem Thread, ich habe mich deswegen geäussert in diesem Thread und lasse mir nicht vorschreiben wie und was ich weiter tun soll.

Mir ist auch Wurscht (deine Terminologie), wohin die Philosophie gehört. Um die Vollständigkeit halber habe ich die Problematik angesprochen. Mir geht es auschließlich über die Mathematik, die BAuhof wiederholt und ohne eine Argumentation (das Entspringen dem Geist lasse ich nicht gelten) zu Geistewissenschaften zuordnet. Ich hinweise, dass er macht es in diesem Thread. Sollte nicht er, als erste, der das fremde Thema in sein Beitrag eingeführt hat, das neue Thread eröffnen?!

Noch mal zu der Eigentumsrecht des Thread. Ein Thread ist kein Eigentum. Es ist lediglich eine Platform, in der jeder Vorbeischauender kann teilnehmen. Nicht zu antworten mit dem Begründung: offne bitte schön dein eigenes Thread, dann vielleicht werde ich dir antworten:

DAS FINDE ICH UNHÖFFLICH.

NA ja, aber unsere Ansichten wegen die Höfflichkeit sind, so sieht es aus, weit von aneinder entfernt.

Gruß an allen, die Geduld hatten einen "Seitensprung" in diesem Thread zu verfolgen

Thomas der Große schrieb in Beitrag Nr. 1228-31:

Die reelle Null ist genau gesagt die Äquivalenzklasse, bzw. Menge der Nullfolgen. Die ganzzahlige, bzw. rationale Null wird in diese Klasse eingebettet als konstante Folge (0,0,0,0,....), formal mit der Einbettungsabbildung phi : r -> (r,r,r,r,r,r,......) mit rationalem r, speziell für r=0. Die Unterstreichung bezeichnet die Äquivalenzklasse von Folgen. Äquivalent sind Folgen, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Die Teilmengen-Relation zwischen natürlichen / ganzen / rationalen und reellen Zahlen ist erst nach Anwendung der Einbettungsabbildung gültig.

Hallo Thomas,

ich möchte überprüfen, ob ich deine Darlegungen verstanden habe. Hier mit meinen Worten, so wie ich es verstanden habe:

1. Die Definition (oder Axiomatik) der reellen Zahlen muss unabhängig von der Definition der natürlichen Zahlen getätigt werden. Deshalb muss die ganzzahlige, bzw. rationale Null innerhalb der reellen Zahlen mit anderen Mitteln neu "eingebettet" werden.

2. Meine Annahme, dass die reelle Null von vornherein identisch ist mit der natürlichen Null und nicht neu definiert werden muss, ist deshalb falsch.

3. Ist meine Schlussfolgerung richtig, dass dann auch alle anderen ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen auf die gleiche Weise durch einen Grenzwertprozess (oder durch andere Prozesse) neu in die reellen Zahlen einzubetten waren?

4. Warum mussten die reellen Zahlen neu axiomatisiert werden?
Historisch sind sie doch nach und nach aus dem Geist der Mathematiker [1] in folgender Reihenfolge entsprungen: Natürliche Zahlen --> ganze Zahlen --> rationale Zahlen --> irrationale Zahlen --> transzendente Zahlen --> komplexe Zahlen --> pseudoreelle Zahlen in Form der Nichtstandard-Zahlen.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Die gesamte Mathematik ist m.E. aus dem Geist der Mathematiker entsprungen. Ich weiß aber, dass es selbst unter den Mathematikern sogenannte "Platoniker" gibt, die glauben, dass irgendwie das Universum mit den mathematischen Ideen "schwanger geht". Die Mathematiker sind demzufolge dann eine Art 'Geburtshelfer', welche die mathematischen Ideen nur noch zutage fördern. Wenn jemand dieses Thema interessiert, dann sollte er bitte einen neuen Thread dafür eröffnen.