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Frage an die Mathefüchse

Thema erstellt von Uwe. 
Beiträge: 462, Mitglied seit 18 Jahren
Ich befinde mich im Ort A auf der nördlichen Halbkugel. Ort B liegt genau 400 Km in südwestlicher Richtung entfernt.
Frage: Wie hoch müsste ich im Ort A einen Turm bauen, damit ich von dessen Spitze aus am Horizont den Ort B sehen kann? Der Einfachheit halber liegen beide Orte auf der gleichen Höhe über dem Meeresspiegel und störende Gebirge vernachlässigen wir. Wer kann helfen?
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Vermutlich H = R / cos (b/R) - R , bitte Nachrechnen!
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NA ja, Fuchs bin ich nicht, aber manchmal macht Spaß Schulaufgaben zu erinnern:

Wenn man die Flachheit die Erde vernachlässigt, dann Wnkel b zwisschen A und B ist
b=400*360/(2*Pi*R). Zentrum des Kreises nennen wir Z.
Also haben wir ein Kreis mit dem Bogen L=400 km und Winkel b zwischen A und B. Durch Punkt A zieht man eine Tangente (ich hoffe so heisst auch in Deutsch), die hat 90° zur Radius Z-A, bis sie sich mit dem Verlängerung der Radius Z-B kreuzt. Diese Verlängerung ist unsere Turm X. Jetzt haben wir ein rechteckigen Winkel, deren Hypothenuse ist R+X und eine Seite R und Winkel b dazwischen:
cosb=R/(R+X) -->
X=(R/cosb)-R

Beitrag zuletzt bearbeitet von Irena am 15.05.2008 um 11:15 Uhr.
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Irena schrieb in Beitrag Nr. 1179-3:
NA ja, Fuchs bin ich nicht, aber manchmal macht Spaß Schulaufgaben zu erinnern:

Wenn man die Flachheit die Erde vernachlässigt, dann Wnkel b zwisschen A und B ist
b=400*360/(2*Pi*R). Zentrum des Kreises nennen wir Z.
Also haben wir ein Kreis mit dem Bogen L=400 km und Winkel b zwischen A und B. Durch Punkt A zieht man eine Tangente (ich hoffe so heisst auch in Deutsch), die hat 90° zur Radius Z-A, bis sie sich mit dem Verlängerung der Radius Z-B kreuzt. Diese Verlängerung ist unsere Turm X. Jetzt haben wir ein rechteckigen Winkel, deren Hypothenuse ist R+X und eine Seite R und Winkel b dazwischen:
cosb=R/(R+X) -->
X=(R/cosb)-R

[Nachricht zuletzt bearbeitet von Irena am 15.05.2008 um 11:15 Uhr]

Vielen Dank für das Nachrechnen und die Bestätigung!

Ich habe nur nicht verstanden, weshalb du im Gegensatz zu mir (und den Formelbüchern)

- das Kreisbogenstück mit L bezeichnet hast, und nicht mit b,

- die Höhe mit X und nicht mit H.

Dann wäre nämlich deine/meine Formel identisch

H = R / cos (b/R) - R


MfG
Horst

Übrigens kann man Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß angeben (1° = 2 pi rad / 360 = rad / 57,2967)

Beitrag zuletzt bearbeitet von Horst H. am 15.05.2008 um 14:48 Uhr.
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Es ging mir nicht dir zu widersprechen. Es ging um die Erlklärung. Wenn du eine Formel da schreibst und erklärst nicht sogar was b bedeutet, woher weis man es? Wie weiss man überhaupt wie du zu diese Formel kommst?

Ich hatte eine Erkärung geliefert und denke ich muss nicht jetzt mich verteidigen, dass ich habe etwas anders bezeichnet als du. Ich hatte schon vor Jahrzehnten Schulabschluß und nicht in Deutschland, daher kenne herkommliche Formelbücher nicht.

Beitrag zuletzt bearbeitet von Irena am 15.05.2008 um 16:05 Uhr.
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Beiträge: 462, Mitglied seit 18 Jahren
Hey Ihr zwei!

Ich gebe Euch einen aus. Die Formel klingt gut. Werde mal nachrechnen, was das Ergebnis betrifft.

Herzlichen Dank nochmals!

Uwe

Edit: Ich komme auf kein plausibles Ergebnis.

Setzt man die Werte ein, erhält man ein negatives Ergebnis. R = 6370 Km, dann ergibt sich für die Höhe -13465, also völlig abstrus...

Könntet Ihr nochmal helfen und die richtigen Werte nennen? Danke!

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Beitrag zuletzt bearbeitet von Uwe. am 15.05.2008 um 20:11 Uhr.
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Ich habe etwa 3,6° Winkel gerechnet. Cosinus Tabelle habe ich nicht. Aber es sollte etwas unter 1 sein. Also ganze Hypotenuse um dieses Etwas größer ist. Also du brauchst vielleicht nur auf den First des Daches eines eingeschossiges HAuses steigen, vielleicht sogar gar kein Turm - genug deiner Höhe.

Wie kommst du auf negatives Ergebnis? Hypotenuse ist immer grösser als Seiten. Kosinus diese Winkels sollte zwischen 1 (für 0°) und 0, 98 (für 10°) liegen.

Beitrag zuletzt bearbeitet von Irena am 15.05.2008 um 21:03 Uhr.
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Also, Deine Formel sieht mit Werten ja so aus:

b = 400 * 360 / (2 * 3,14159265 * 6170).

Dann ergibt sich für b = 3,095395975855338783187366548574

Richtig?

Weiter schreibst Du
cos(b) = R / (R+X) --> X=(R/cosb)-R

also x = (6170 / cos(3,095395975855338783187366548574) - 6170
Dann erhalte ich als Ergebnis 9,015 Km

(Ok, mit dem negativen Ergebnis hatte ich bei Excel wohl irgendwas falsch eingegeben.)

Das Ergebnis scheint ehe plausibel *froi*
Kann man im Flugzeug bei einer Reisehöhe von 10 Km aber tatsächlich 800 Km Land vom linken zum rechten Horizont überblicken? Dann müsste man auf dem Flug von Frankfurt nach Leipzig ja am Horizont die Nordsee sehen können (weiß aber nicht, ob innerdeutsch in 10 Km Höhe geflogen wird)...
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Uwe. schrieb in Beitrag Nr. 1179-8:
Also, Deine Formel sieht mit Werten ja so aus:

b = 400 * 360 / (2 * 3,14159265 * 6170).

Dann ergibt sich für b = 3,095395975855338783187366548574

Richtig?


Fast!

R = 6373 km
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Dazu noch:

ich habe in meinem Zeichenprogram Dreieck mit 3,6° Winkel gezeichnet, Seite mit 100 m und Hypotenuse ist 100,1917 m. Es egibt cos3,6°=0,998028893.

X=6370/0,998028893 - 6370 = etwa 12,59 m

Noch zu deinem Eröffnungsbeitrag:
Du schreibst "exakt 400 km in süd-westlichen Richtung". Wir haben abgerundeten Mittelwert-RAdius genommen. Wenn du exakt möchtest, dann müsstest du exakt Ursprungsort angeben, man müsste exakt Radiuse für die jeweilige Orte angeben u.s.w. Dann die Komplexität des Rechnens expotentiell ansteigt.

Zitat:
Kann man im Flugzeug bei einer Reisehöhe von 10 Km aber tatsächlich 800 Km Land vom linken zum rechten Horizont überblicken? Dann müsste man auf dem Flug von Frankfurt nach Leipzig ja am Horizont die Nordsee sehen können
Theoretisch - ja. Obwohl in 10 km Höhe befindest du über die Wolken, die dir das Sicht versperren. Zweitens deine Augen nehmen die Gegenstände in dieser Entfernung nicht wahr. Aber mit geeigneten Instrumenten und freiem Sichtfeld kannst du aus Flugzeug es sehen.

Beitrag zuletzt bearbeitet von Irena am 16.05.2008 um 10:26 Uhr.
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Irena schrieb in Beitrag Nr. 1179-10:
Dazu noch:

ich habe in meinem Zeichenprogram Dreieck mit 3,6° Winkel gezeichnet, Seite mit 100 m und Hypotenuse ist 100,1917 m. Es egibt cos3,6°=0,998028893.

Hast du nicht windows als Betriebssystem?

MfG
Horst
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Hallo Uwe,
Uwe. schrieb in Beitrag Nr. 1179-8:
Also, Deine Formel sieht mit Werten ja so aus:
b = 400 * 360 / (2 * 3,14159265 * 6170).
Dann ergibt sich für b = 3,095395975855338783187366548574
Richtig?
Nicht ganz.
Für b = 400 * 360 / (2 * 3,14159265 * 6170) errechne ich folgenden Wert:
b = 3,714475175

Außerdem: Mir ist nur der Erdradius am Äquator bekannt. Er beträgt dort 6378km. Wie groß der Erdradius auf der "nördlichen Halbkugel" ist, weiß ich nicht. Wenn du ein exaktes Ergebnis erhalten möchtest, dann muss du den Erdradius an der Stelle angeben, an dem der Turm stehen soll. Die Erde ist nämlich keine exakte Kugel.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
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der Normale aus seinen Erfahrungen,
und der Dumme weiß alles besser.
Sokrates.
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Hallo an alle,

den Erdradius habe ich aus Wikipedia geholt http://de.wikipedia.org/wiki/Erdradius
Dort ist der Erdradius einmal zum Äquator und einmal zu den Polen angegeben. Aus beiden Werten errechnet sich ein Durchschnitsswert von 6371 Km. Ok, ich habe mit dem Wert von Bessel gerechnet, der ist 1 Km kleiner.

Was Irina schreibt klingt vernünftig: Mit einem Fernglas sollte man von einem Flugzeug aus in 10 Km Höhe tatsächlich den Horizont in 400 Km Entfernung sehen können. Dort wird dann die Erdkrümmung zur Wirkung kommen.

Weiß jemand, wie weit es am Meer bis zum Horizont ist? Ich meine, wenn man am Strand steht und aufs Meer schaut...
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@Horst
Ich habe Windows. Allerdings ich weis nicht wie genau kann man da zeichnen. Ich habe Spirit, eine vernunftige Program für Architekten. Daher ich bin ziemlich sicher für dieses cosinus Wert.

@Uwe.
Zitat:
Mit einem Fernglas sollte man von einem Flugzeug aus in 10 Km Höhe tatsächlich den Horizont in 400 Km Entfernung sehen können.
Aus Berechnungen ergibt sich etwa 12,5 m Höhe aus der man 400 km weit sehen kann.

Zitat:
Weiß jemand, wie weit es am Meer bis zum Horizont ist? Ich meine, wenn man am Strand steht und aufs Meer schaut...
Nehmen wir deine Augenhhöhe 1,80 m. DAzu addierst noch Erdradius. DAnn ziehest eine Tangente zu dem Erdkreis - es ist dein Blickrichtung, den Abstand den du möchtest wissen. Denn erinnerst an Pithagor: L2+R2=(R+H)2=R2+2RH+H2 --> L2=2RH+H2
L2=3,6*6371+3,24
Viel Spaß beim nachrechnen.

Es ist zwar nicht der Abstand, denn normaleweise man als Kreisbogen nimmt, aber es ist tatsächliches Abstand von deinen Augen bis Horizont.

Beitrag zuletzt bearbeitet von Irena am 16.05.2008 um 21:01 Uhr.
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Irena schrieb in Beitrag Nr. 1179-14:
@Horst
Ich habe Windows. Allerdings ich weis nicht wie genau kann man da zeichnen.

Es gibt für alle Windows-Versionen bereits integriertes Zubehör, darunter z.B. ein Grafikprogram, ein Textprogramm, einen einfachen und einen wissenschaftlichen Rechner mit allen trigonometrischen Funktionen.
Man findet ihn als calc.exe im Verzeichnis system32 unter windows.

MfG
Horst
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Irena schrieb in Beitrag Nr. 1179-14:

@Uwe.
Zitat:
Mit einem Fernglas sollte man von einem Flugzeug aus in 10 Km Höhe tatsächlich den Horizont in 400 Km Entfernung sehen können.
Aus Berechnungen ergibt sich etwa 12,5 m Höhe aus der man 400 km weit sehen kann.

Das ist mit Sicherheit falsch. Vielleicht verwechselst Du Meter mit Kilometer. Immerhin haben wir alle Angaben in Km - Radius als auch die Entfernung der Städte.
Ich weiß, dass man aus einiger Höhe (10 Meter und mehr) bis zu 50 ... 70 Km weit sehen kann.
Guck mal bei Google unter Triangulation nach. http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6niglich-S%C3%A4...
Die Punkte liegen etwa 50 Km von einander getrennt und befinden sich allesamt auf Anhöhen, die man eigentlich noch zu den Beobachtungsshöhen hinzuzählen müsste.

Zitat:
Weiß jemand, wie weit es am Meer bis zum Horizont ist? Ich meine, wenn man am Strand steht und aufs Meer schaut...
Nehmen wir deine Augenhhöhe 1,80 m. DAzu addierst noch Erdradius. DAnn ziehest eine Tangente zu dem Erdkreis - es ist dein Blickrichtung, den Abstand den du möchtest wissen. Denn erinnerst an Pithagor: L2+R2=(R+H)2=R2+2RH+H2 --> L2=2RH+H2
L2=3,6*6371+3,24
Viel Spaß beim nachrechnen.

Das ist mir jetzt zu kompliziert :-)
Da helfe ich mir lieber mit Google http://www.mathematik-online.de/F80.htm
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Dieser Beitrag wurde 666 mal geändert, zuletzt durch GOTT, morgen um 6.23 Uhr
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Hallo zusammen,

Irena hat hier sicherlich km mit m verwechselt.
Ich komme mit meinen Berechnungen auf eine Turmhöhe von 12,58 km.

Die Sichtweite bei einer Augenhöhe von 1,8 m beträgt nach meinen Berechnungen mit dem Pythagoras 4,789 km.

Bei beiden Berechnungen habe ich einen mittleren Erdradius von 6371 km angenommen (Wikipedia).

Anmerkung zur ersten Aufgabe:
Ich weiß nicht, woher diese Aufgabe stammt. Wenn aber angegeben ist, dass sich der Turm auf der nördlichen Halbkugel befinden soll und man in südwestlicher Richtung schaut, muss sicherlich berücksichtigt werden, dass die Erde keine Kugel, sondern ein Ellipsoid ist. Dann benötigt man aber den genauen Standort des Turmes, oder etwa nicht? Fehlt hier vielleicht noch eine Angabe? Das würde die Aufgabe allerdings erst richtig interressant machen, wahrscheinlich müsste ich dann aber passen.

mfg okotombrok
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"Der Kopf ist rund, damit die Gedanken die Richtung wechseln können"
(Francis Picabia)
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@Uwe.
Zitat:
Das ist mit Sicherheit falsch.
HAst du recht. Sicher haben wir in km gerechnet. Warum bin ich auf Meter übergestiegen - weiß ich selbst nicht, vielleicht verblendet aus Überzeugung daß es muss nicht hoch sein.

@Horst
Danke für Information. Muss mal probieren.

@Okotombrok
Die Angaben "Nordkugel" und "Süd-West" ist eigentlich überfüßig. Erde ist nicht einfach abgeflacht, sie ist wie ein s.g. Potsdamer Kartoffel - also nur vereinfacht kann man als abgeflachten Kugel sehen. Wenn man exakt nachrechnen müsste - ist sehr kompliziert.
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Hallo Uwe,
Uwe. schrieb in Beitrag Nr. 1179-13:
Weiß jemand, wie weit es am Meer bis zum Horizont ist? Ich meine, wenn man am Strand steht und aufs Meer schaut...
Dies ist die Umkehrung deiner ersten Aufgabe, falls man nicht die Länge der direkten Sichtlinie bis zum Horizont, sondern die Bogenlänge b entlang der Erdkrümmung meint. Ich rechne es mal ganz ausführlich vor, denn bisher sind ja einige Irritationen aufgetreten.

Die Grundgleichung zur Auffindung der Lösung beider Aufgaben lautet wie folgt:

(1) R / (R + H) = cos[360·b / (2·R·Pi)]

Darin bedeutet:
R = Erdradius = 6370km (gemäß deiner Angabe)
H = gesuchte Höhe des Turmes
b = Bogenlänge = 400km (gemäß deiner Angabe)
Pi = Kreiszahl

Lösung der ersten Aufgabe:
Wenn man nach H umstellt folgt aus (1):
H = - R + R / cos[360·b / (2·R·Pi)]
H = - 6370 + 6370 / cos[360·400 / (2·6370·Pi)]
H = - 6370 + 6370 / cos[144000 / 40023,89041]
H = - 6370 + 6370 / cos[3,597851147]
H = - 6370 + 6370 / 0,998029083
H = - 6370 + 6382,579537
H = 12,579km.

Lösung der zweiten Aufgabe:
Wenn man nach b umstellt folgt aus (1):
b = arccos[R / (R + H)]·2·R·Pi / 360
Wenn man z.B. von einer Augenhöhe von 1,80m = 0,0018km ausgeht, ergibt sich:
b = arccos[6370 / (6370 + 0,0018)]·2·6370·Pi / 360
b = arccos[6370 / 6370,0018] · 40023,89041 / 360
b = arccos[0,999999717] · 111,1774734
b = 0,043072863 · 111,1774734
b = 4,788km.
Die Länge der Luft-Sichtlinie dürfte bei diesem kleinen Wert nur sehr wenig von dieser Bogenlänge abweichen.

Fragen dazu?

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

P.S.
Meine Rechnungen scheinen richtig zu sein, denn gerade sehe ich, dass Okotombrok auf die gleichen Ergebnisse kommt.Eine kleine Zusatz-Knobelaufgabe zur zweiten Aufgabe für die "Mathefüchse", die schon etwas weiter fortgeschritten sind: Wie weit könnte man theoretisch maximal sehen, wenn die Augenhöhe über dem Meeresspiegel unbegrenzt hoch sein dürfte? Betrachtet zur Auffindung der Lösung die obige Formel: b = arccos[R / (R + H)]·2·R·Pi / 360.

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Beitrag zuletzt bearbeitet von Bauhof am 17.05.2008 um 16:08 Uhr.
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Hallo Irena,
Irena schrieb in Beitrag Nr. 1179-18:
@Horst Danke für Information. Muss mal probieren.
Hinsichtlich Horst H. bis du nicht auf den neuesten Stand.
Siehe dazu diesen Beirag von Manu: Beitrag-Nr. 1174-4

M.f.G. Eugen Bauhof
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