Billiardspielen für Physiker

Hallo,
ich wollte einmal mein Hobby mit der Physik bzw. der Mathematik verbinden und habe da einmal ein Paar fragen:
Wie berechne und stelle ich folgendes mathematisch da:
1) NOCH EINFACH
Situation: Ich Spiel einen Ball mit einem Que (Spielschläger) um 1 Millimeter versetzt an. Um wieviel mm versetzt trifft der Ball auf eine 1m entfernten Bande(wand)?


2) KOMPLIZIERT
Situation: Wie wirkt sich das aus, wenn eine Kugel(r=26mm) eine andere Kugel mit dem gleichen Durchmesser um 1mm versetzt trifft, diese kugel hat 1 Meter zurück zu legen bevor sie auf die Spielbande(wand) trifft.
Wie wirkt sich dieser 1mm aus schlussendlich an der Wand aus?




3) SEHR KOMPLIZIERT
Situation:
Ich spiele den weißen Spielball(Radius=26mm) mitdem Que(Spielschläger). Dieser Spielball trifft nach 1 Meter auf einen weiteren roten Spielball(r=26mm). Der rote Spielball trifft nach einem weiterem Meter schlussendlich auf die Spielwand.
Um wieviel mm oder cm trifft der rote Spielball auf die Spielwand anders auf, wenn man den Weißen
Spielball mit dem Que um 1Millimeter versetzt trifft.

Wenn man Frage 1) und Frage 2) hat kann man auch Frage3) lösen. Ich denke, dass die 2. Aufgabe sehr schwierig ist und dass man SEHR VIELE DINGE ZU BEACHTEN hat.


Zusatzfragen: Ist es überhaupt über haupt theoretisch möglich beim Billiardspielen mit der einen Kugel eine andere Kugel so anzuspielen so dass diese eine Spielbahnaänderung von 90° einnimmt. Das heist: kann man eine Spielkugel auf eine andere Kugel z.B. ganz Rechts anspielen? Wenn nicht was ist der maximale Winkel, den man erreichen kann bei zwei Kugeln mit jeweils einen radius von 26mm?


2. Zusatzfrage: Theoretisch angenommen man bringe an den Umfang einer Billiardkugel gleichmäsig 8 Zahlen an.
Hier graphisch dargestellt:
--------------8--------------
----------1--------7--------
--------2-------------6-----
----------3--------5--------
---------------4-------------
Wenn diese Zahlen den Umfang einer Billardkuge darstellen sollen und eine andere Kugel von der Richtung der Zahl 4 kommt; kann man sich dann die situation so vorstellen? Man spielt die Ausgangskugel gerade, dann rollt diese auf die 4. Spielt man die Ausgangskugel um 1mm versetzt an, so trifft sie auf die 5. Und nun die Entscheidende Frage: Spielt man die Ausgangskugel einen weiteren Millimeter weiter rechts an so trifft sie auf die 6? Oder muss man nur noch einen Halben Millimeter weiter rechts anspielen.
Die Frage auf die ich hinaus will ist die: Muss man genauer spielen je mehr man die kugel anschneided oder wirkt sich ein Millimeter gleich aus, wenn man den Treffpunkt in der Mitte der Kugel versetzt und wenn man den Treffpunkt am Rand um 1 Millimeter versetzt.


Bitte entschuldigt, wenn ich mein Vorstellungen nicht so niederschreiben konnte, dass sie verständlich sind.
Aber wollte einfach mal von der Seele schreiben was mir einfiel und vielleicht habt ihr gute Lösungen und die Wege wie ihr zu eurer Lösung gekommen seit!

mfg Silvester Sabathiel

Hallo.

Ich möchte gerne einige Dinge zu deinen Fragen sagen.

Und zwar, vielleicht zur 1. Hauptfrage.

Also wenn man (der „Spielstock“ heißt übrigens „Queue“) mit einem Queue eine Kugel um 1mm versetzt anspielt…
Also soll das heißen, dass man die Kugel 1mm von der Mitte der Kugel weg anstößt?
Also, wenn die Kugel r = 26mm hat, man also, wenn man sich eine Verlängerung denk, der Queue bei r +/- 1mm, also bei 25 bzw. 27 mm, die Kugel anstößt?

Also einfach gesagt, du möchtest erreichen, dass die Kugel „schräg“ wegrollt?

Ich gehe jetzt einfach mal davon aus.

Da kann ich ja gleich deine andere Frage beantworten.

Also eine Winkeländerung von 90° ist zwar theoretisch begrenzt möglich (als Grenzwert), aber in der Praxis sicher nicht. Also Wenn eine Kugel exakt nach links oder rechts rollen soll, dann muss auch die Kraft, durch die die Kugel in Bewegung gesetzt wird, exakt von der jeweils anderen Seite auf die Kugel einwirken.

Das ist jetzt schwer zu erklären, eine Zeichnung wäre hier angebracht…

Also jedenfalls musst du mit deinem Queue bzw. mit einer anderen Kugel eine Kugel genau an der Gegenüberliegenden Seite von der Seite anstoßen, wo die angestoßene Kugel letztendlich hin soll.
Oder vielleicht noch einmal anders. Du stößt eine Kugel an einem beliebigen Punkt an.
Jetzt verbindest du diesen Punkt mit dem Mittelpunkt der Kugel und denkst dir eine Verlängerung dieser Verbindungslinie Anstoßpunkt – Mittelpunkt. In diese Verbindungslinie wirkt jetzt, einfach gesagt, die Kraft, die die Kugel bewegt.

So, ab jetzt geht die Erklärung in Richtung der Frage der Zusatzaufgabe 2.

Also stößt du die Kugel gerade an, also vorne, wo die Normale des Queue (also eine Linie, die senkrecht zu der Achse des Queue steht) die Tangente des Punktes der Kugel darstellt, wo du die Kugel triffst, dann wird die Kugel genau in die Richtung des Queue rollen.
Wenn du nun um 1mm versetzt anstößt, dann weicht die Normale um einen bestimmten Winkel von der Tangente dieses Punktes ab.
Dieser Winkel ist letztendlich auch der Winkel, von dem die Bahn der Kugel von einem geraden Stoß abweicht.
Dieser Winkel findet sich also durch Winkelbeziehungen beim Mittelpunkt wieder.
Wie gesagt, eine Zeichnung, wo man die Herleitung mit Trigonometrie gut erkennen kann, wäre gut, aber ich will dir einfach einmal die fertige Formel geben:

Sinus(Winkel) = a / r

Also arcsin(a/r) = Winkel

Dabei ist r dein Radius, also 26 mm und a deine Versetzung, also im Beispiel 1mm.
Das ergibt, wenn für den Winkel dann etwa 2,20423°

Also in diesem Winkel rollt die Kugel weg.

Nun, dass kennst du ja, und das ist auch logisch, kommt ein größerer Winkel raus, wenn du jetzt die Kugel z.B. versetzt um 5 mm anstößt.

Dann ergibt sich ein Winkel von etwa 11,0875°

Jetzt kannst du schon mal diese Werte vergleichen.
Wir haben die 5fache Versetzung, aber nicht den 5fachen Winkel!

Das ist die Antwort auf eine deiner anderen Fragen.

5 Mal 2,20423 = 11,02115

Also der Winkel, bei der 5fachen Versetzungsvergrößerung ist hier größer als das 5fache des ersten Winkels.

Noch extremer wird das, wenn du die Kugel nahe am Rand anstößt. Da wirkt sich eine Änderung noch extremer aus.

Beispiel:

a(1) soll jetzt 24mm sein und a(2) soll 25mm sein

dann ergibt sich nach der Formel folgendes:

Winkel(1) = 67,3801
Winkel (2) = 74,0576

Also hier ist die Winkelvergrößerung extrem angestiegen, obwohl wir nur 1mm weiter weg angestoßen haben.

Also jetzt auf dein Beispiel bzw. deine letzte Frage bezogen:

„Die Frage auf die ich hinaus will ist die: Muss man genauer spielen je mehr man die kugel anschneided oder wirkt sich ein Millimeter gleich aus, wenn man den Treffpunkt in der Mitte der Kugel versetzt und wenn man den Treffpunkt am Rand um 1 Millimeter versetzt.“

Erklärung:
Der eine Millimeter wirkt sich nicht gleich aus. Wenn man den Anstoßpunkt beim Mittelpunkt um 1mm versetzt, dann wird die Kugel nur eine kleine Winkeländerung erfahren. Wenn du aber die Kugel am Rand anstößt und jetzt da den Anstoßpunkt um 1mm versetzt, dann wird eine wesentlich größere Winkeländerung vorliegen.
Wir haben es ja eben ausgerechnet. Zuerst war die Winkeländerung bei etwa 2,2° und dann später, wo wir am Rand der Kugel waren, hatten wir eine Winkeländerung von etwa 6,7°, obwohl wir immer nur um 1mm versetzt haben.

So, jetzt weiß ich nicht, ob ich jetzt genau deine Frage beantwortet habe, weil du deine 2. Zusatzfrage etwas unverständlich (für mich) erklärt hast. Jedenfalls kann ich schon sagen, dass das nicht so einfach geht, also wenn du bei 1mm Änderung die bei 5 getroffen hast, dann heißt dass nicht automatisch, dass du bei 2mm Änderung die 6 triffst…

So, jetzt vielleicht noch mal zu den 90°

Also, um diesen Winkel zu erreichen, müsstest du ja ganz an der Seite die Kugel anspielen.
Also in diesem Fall, wäre a = 26mm und r = 26mm

26/26 = 1 und der arcsin von 1 ist 90°.

Also würdest du theoretisch 90° erreichen.

Nun kannst du diese Rechnung mal probieren, wenn a größer ist als 26mm

z.B. 26,000001mm. Ja, eine solche kleine Vergrößerung reichst schon aus…

Denn kommt bei dem Bruch raus: 1,000000038.
Oder anders gesagt, du würdest jetzt an der Kugel vorbeischießen…
Und wenn du an der Kugel vorbeischießt, dann wird sich diese Kugel doch auch sicher nicht bewegen…

Dass kannst du nun auch durch die Mathematik zeigen…

Versuche mal von 1,000000038 den arcsin zu bestimmen…

Wenn du sein Taschenrechner hast, dann wird der dir jetzt „Error“ zeigen…
Aus einem einfachen Grund: Der Sinus eines Winkels übersteigt niemals den Wert 1.
Also ist 90° ein Grenzfall bzw. ein Extremwert.

Dieser Grenzfall ist also theoretisch möglich.

Aber dieser Winkel ist in der Praxis nicht möglich. Denn in dem Moment, wo du genau bei 26mm treffen würdest, würde dein Queue (wir gehen jetzt einmal von einem unendlich dünnen Queue aus) auch schon wieder an der Kugel vorziehen ohne diese zu berühren.

Also wie du sieht, führt das auf eine Unendlichkeitsbetrachtung mit Infinitesimal kleinen Abständen zum Radius hinaus, und das hat praktisch keinen Sinn.

Man könnte vielleicht einen Kompromiss dies bezüglich eingehen, indem man folgenden sagt:

Es ist möglich, dass der Queue exakt bei 26mm Abstand trifft und somit die Kugel um 90° von der Stoßrichtung anlenken könnte, aber in dem Moment, wo der Queue die Kugel berührt, ist der Vektor der Kraft so ausgerichtet, dass keine Kraft auf die Kugel übergeht und somit sich diese natürlich auch nicht bewegt.

So, das Dazu.

Jetzt komme ich endlich zu der 1. Hauptaufgabe. (die anderen Aufgaben habe ich noch nicht so richtig verstanden, könntest du die noch mal erklären?)

Also natürlich kann man hier das Ganze auch wieder ausrechen.
Den Winkel hatten wir ja schon vorhin ausgerechnet, wenn wir um 1mm versetzt stoßen…

Dieser war: 2,2042275°

Ich nehme jetzt mal den Kugelmittelpunkt als Ausgangspunkt an und rechne von da an 1m bis zur Wand. Natürlich wird die Kugel (da sie ja 26mm ist) dann etwas früher auf die Wand auftreffen und somit ist der Abstand dann etwas kleiner, aber da es sich um einen kleinen Winkel handelt, können wir dies vernachlässigen, wir arbeiten ja sowieso nicht mit exakten Winkeln und du wirst ja auch sicher nicht exakt 1mm treffen…

Diese Aufgabe lässt sich also auch wieder mit Trigonometrie lösen…

Dabei gilt:

tan(Winkel) = b / d und cos(Winkel) = d / c

(Da gibt noch viele andere Möglichkeiten, wie man das Berechnen kann…)

Dabei ist als c die Hypotenuse, also die Strecke, die die Kugel zurücklegt, bis sie auf die Wand trifft.

b ist der Abstand an der Wand, nach dem gefragt war.

d ist die Entfernung zur Wand, also 1m

Wir können die Gleichungen oben umstellen:

b = tan(Winkel) * d

c = d / cos(Winkel)

damit ergibt sich:

b = 0,0385m = 3,85 cm

c = 1,007405 m

Wie du siehst, ist hier die Versetzung an der Wand sehr klein, noch nicht einmal 4 cm, aber das kommt eben daher, dass der Winkel nur so klein ist, und der Winkel hat seinen Ursprung in den 1mm Versetzung.

Die Strecke, die die Kugel dabei zurücklegt, bevor sie an die Wand trifft, ist auch nur minimal größer als der Abstand zur Wand.

Wie gesagt, in Wirklichkeit ist c um 26mm kleiner und auch b müsste kleiner werden, da die Kugel ja eine Ausdehnung hat und wir vom Mittelpunkt aus gerechnet hatten.
Aber selbst wenn wir jetzt um b auszurechnen mit 97,4 cm rechnen, ergibt sich für b immer noch gerundet derselbe Wert, also der Abstand liegt also um die 3,85 cm…

So, das wäre jetzt erst einmal Alles, die 2. und 3. Aufgabe müsste also noch gelöst werden…

Ich hoffe, dass ich keinen Fehler gemacht habe. Wenn doch, dann bitte ich um Entschuldigung, da aber die Ergebnisse und Schlussfolgerungen logisch sind, denke ich, dass alles stimmen müsste (auch wenn ich es manchmal vielleicht etwas undeutlich ausgedrückt habe).

Lieben Gruß,

Steven

Steven schrieb in Beitrag Nr. 1169-2:

Wenn du nun um 1mm versetzt anstößt, dann weicht die Normale um einen bestimmten Winkel von der Tangente dieses Punktes ab.
Dieser Winkel ist letztendlich auch der Winkel, von dem die Bahn der Kugel von einem geraden Stoß abweicht.
Dieser Winkel findet sich also durch Winkelbeziehungen beim Mittelpunkt wieder.
Wie gesagt, eine Zeichnung, wo man die Herleitung mit Trigonometrie gut erkennen kann, wäre gut, aber ich will dir einfach einmal die fertige Formel geben:

Sinus(Winkel) = a / r

Also arcsin(a/r) = Winkel

Dabei ist r dein Radius, also 26 mm und a deine Versetzung, also im Beispiel 1mm.
Das ergibt, wenn für den Winkel dann etwa 2,20423°

Also in diesem Winkel rollt die Kugel weg.

Lieben Gruß,

Steven

So einfach ist das nicht, weil die tangentiale Kraftkomponente die Kugel in eine zusätzliche Rotation versetzt, die Kugel rollt deshalb nicht geradlingig sondern in einem Bogen, weil sich hier zwei Drehbewegungen der Kugel überlagern.

MfG
Horst

Ja, stimmt, ganz so einfach ist das auch nicht, besonders dass mit den Kraftpunkten und Kraftrichtungen und so… Aber ich denke für diese Zwecke müsste es reichen.
Man kann ja auch noch relativistische Effekte betrachten....
Nein. Ich denke, letztendlich muss man immer einen Kompromiss eingehen und bestimmte Zustände idealisieren, sonst könnte man unendlich viele Berechnungen dazu durchführen...

Hallo,
danke für eure Informationen, Die waren sehr hilfreich
Aber ich habe da noch überlegt und habe so eine Rechnung aufgestellt was beim Snooker der Realität entsprechen sollte:
Balldurchmesser: 52,5mm
Weg bis zur Bande: 3,5m
Ausweichung der Bande?

u/2=180° od. u=360°
u=2*r*π
82,425mm=180°
1mm=2,184

tan(2,184)=Ausweichstrecke/3,5
Ausweichstrecke=3*tan(2,184)
Ausweichstrecke=13,34cm

Wenn man die Kugel einen Millimeter versetzt trifft wirkt sich das nach 3,5 Metern mit ca. 13cm aus!
Stimmt das so oder habe ich da einen Denkfehler?


Außerdem habe ich beim Einschlafen darüber nachgedacht ob es möglich ist die eine Kugel mit einer anderen Kugel ganz rechts zu treffen, also bei 90°. Ich bin darauf gekommen, dass der Abstand zwischen diesen beiden Kugeln unendlich groß sein müsste um dies zu schaffen. Denn stellt euch vor die eine Kugel liegt direkt vor der anderen. Da ist die Toloranz an der man die Spielkugel anspielen kann sehr gering.

mfg Silvester

Hallo.

Also bei 3,5 m möchtest du also von der einen Wand (fast) zur anderen Wand spielen…
Der Balldurchmesser ist 52,5 mm…

Du hast eine andere Methode verwendet, um den Winkel auszurechnen, mit dem die Kugel wegrollt. Daraus ergeben sich nun für mich einige Fragen…
Ich habe bis jetzt eigentlich angenommen, dass du die Kugel um 1mm versetzt, aber trotzdem noch von vorne anspielen willst, und dass sich die 1mm auf den Abstand von der Mitte zum Queue beziehen…(dann wäre deine Rechnung falsch).
Wenn du natürlich 1mm versetzt, auf den Umfang bezogen meinst, dann ist deine Rechnung natürlich richtig und die anderen Ergebnisse mit der 26mm Kugel falsch.
Hm, jetzt weiß ich nicht so richtig, wie du das gemeint hast…
Das müssen wir jetzt erst einmal klären, bevor wir weitermachen…

Variante 1:

Hier befindet sich die Strecke von 1mm auf dem Kugelumfang (wie in deiner Rechnung).
Der Queue wird schräg (der Winkel zur Mitte ist beliebig) zur gedachten Mittellinie angesetzt.

Variante 2:

Hier wird der Queue parallel zur gedachten Mittellinie angesetzt. Jedoch befinden sich die 1 mm immer noch auf dem Kugelumfang (wie in deiner Rechnung).

Variante 3:

Hier kann man die Darstellung von Variante 2 verwenden. Also der Queue ist parallel zur gedachten Mittellinie. Nur jetzt beziehen sich die 1mm nicht auf den Kugelumfang, sondern auf den Abstand von der Mittellinie zum Queue. Die Strecke, die jetzt auf dem Kugelumfang liegt, wäre in dieser Variante größer als diese 1mm, da der Umfang der Kugel ja gekrümmt ist. (Von dieser Variante bin ich bei meinen Rechnungen zur 26mm Kugel ausgegangen.)

So, das wären die 3 Varianten, die ich hier für möglich halte.

Da wir keine Kräfte betrachten, sondern nur die Winkel und Abstände, gibt es zwischen Variante 1 und Variante 2 eigentlich keinen Unterschied, da der Queue in beiden Fällen an derselben Stelle trifft. Natürlich, wie Horst H. schon bemerkt hat, gibt es in Realität sehr wohl einen Unterschied zwischen Variante 1 und 2, um aber hier ein Ergebnis zu erzielen, welches die Vektoren der Kräfte berücksichtigt, müssten wir die Masse der Kugel kennen, die Kraft, mit der der Stoß ausgeführt wird, den Winkel zwischen dem Queue und der Tangente der Kugel im Anstoßpunkt und sicher noch einige Mehr Größen.

Und da wir mit 1mm nur einen kleinen Abstand betrachten, dürfte das Ergebnis von Variante 1 und Variante 2 sowieso nahe beieinander liegen.

Aber zwischen Variante (1,2) und Variante (3) besteht schon ein Unterschied, da hier der Anstoßpunkt verschieden ist. Zwar wichen die Ergebnisse hier auch nicht sehr stark voneinander ab, weil bei 1mm die Krümmung der Kugel noch nicht so groß ist, dass hier die Strecke auf dem Umfang und die Strecke zwischen Mittellinie und Queue stark voneinander Abweichen, aber ich denke, wenn wir schon die Kräfte vernachlässigen, sollten wir wenigstens hier genau sein.

Also, nun frage ich dich, welche Variante deiner Situation entspricht.

Also eigentlich müsstest du nur sagen, ob Variante 2 bzw. 1 (zwischen denen es bei unserer Rechnung keinen Unterschied gibt) oder Variante 3 zutrifft.
Oder anders gefragt: Liegt der 1mm auf dem Umfang der Kugel, so wie du es bei der 52,5mm Kugel gerechnet hast (Variante 1,2), oder ist mit 1mm der Abstand zwischen gedachter Mittellinie und Queue gemeint, so wie ich es gerechnet habe bei der 26mm Kugel (Variante 3)?

Bevor ich sagen kann, welche Rechnungen nun Falsch oder Richtig sind, müssen wir diese Frage klären…

Aber dein „Einschlafproblem“ kann ich ja schon mal beantworten.
Also, wenn ich es richtig verstanden habe, dann hast du damit (Unendlicher Abstand) Recht. Das ist ja eigentlich die Folge davon, dass es sich hier um eine Kugel handelt…
Je größer der Abstand, desto kleiner der Winkel und die Strecke, die daran hindert, die Kugel genau bei 90° zu treffen. Ja, das war jetzt sehr unverständlich erklärt, aber du hast ja eigentlich schon die Richtige Antwort gefunden. Das ist also wieder so ein Unendlichkeitsproblem. Wenn man das Ganze als Funktion betrachtet, dann bilden die 90° wieder einen Grenzwert, an den sich die Funktion zwar annähert, aber nie erreicht.
Also wenn man sagt, dass sich Parallelen im Unendlichen schneiden, und 1 / 0 = Unendlich ist, dann kann man auch durchaus sagen, dass man eine Kugel genau bei 90° treffen kann, wenn die Kugeln Unendlich weit entfernt sind.

Also wie gesagt, ich stimme da mit deiner Überlegung überein…

Lieben Gruß,

Steven

hallo steven,
Im Falle der mid dem Queue gespielten Kugel würde ich Variante 1 hernehmen, denn mann nimmt an, wenn man versetzt spielt so viel Verstand einsetzt, dass man nicht neben die Kugel spielt.

Anders bei den beiden Kugeln, die aufeinandertreffen. Hierbei würde Variante 2 oder 3 nehmen. Wobei es hier doppelt schwer wird dabei beide Objekte gekrümmt sind.
Andererseits ist weder Variante 1 noch 2 noch 3 hier anzuwenden. Denn es wäre doch interessant, wie es sich auswirkt wenn man mit der Weißen die Rote etwas falsch anspielt und darum denke muss man die Abweichungen NICHT IN MILLIMETER IM ZEITPUNKT DES TREFFPUNKTS, denn das wäre zu einfach und würde das gleiche Beispiel wie im 1. abgeben. Sondern ich würde viel mehr vom WINKEL der Bahn der Weißen ausgehen.
Denn dann wirds richtig kompliziert.
-----1. Zu beachten sind Winkel der ersten Kugel
-----2. Der Treffpunkt der beiden Kugeln(mit berücksichtigung auf die 2 Krümmungen)

mfg Silvester

?

Hallo.

Tut mir Leid, dass ich nicht gleich geantwortet habe, aber in der Woche habe ich meinst wenig oder gar keine Zeit…

„Im Falle der mit dem Queue gespielten Kugel würde ich Variante 1 hernehmen, denn man nimmt an, wenn man versetzt spielt so viel Verstand einsetzt, dass man nicht neben die Kugel spielt.“

OK, ich spiele nicht so oft Billard, daher hab ich wohl nicht gleich verstanden, wie du es meinst…
Im Nachhinein ist es natürlich logisch, dass man immer die Kugel beim Stoß mit dem Queue in der Mitte treffen sollte…

Gut, Variante 1 für den Stoß mit dem Queue.
Dann betrachten wir also 1mm Strecke auf dem Umfang der Kugel.

Da ich ja nun die 1. Aufgabe mit einer Falschen Vorraussetzung gerechnet habe, will ich erst mal diese 1. Aufgabe versuchen zu lösen.

Wie du schon erkannt hast, kann man den Winkel, der durch eine 1mm Versetzung entsteht, leicht über ein Verhältnis bestimmen.

Der Umfang der Kugel ist 2*Pi*r
Der Radius war bei der 1. Aufgabe 26mm = 2,6 cm
Dann ergibt sich für den Umfang: ca. 1846 / 113, also etwa 16,3363cm.
Dann gilt:

16,3363 / 0,1 = 360 / x

X = 2,203684° = Winkelabweichung relativ zum Ausgangspunkt.

Jetzt sollte die Kugel auf eine 1m entfernte Wand gespielt werden.
Es gilt:

tan(x) = b / d

b ist der Abstand an der Wand, nach dem gefragt war.
d ist die Entfernung zur Wand, also 1m

Wir können die Gleichungen oben umstellen: b = tan(x) * d
Damit ergibt sich:

b = 0,0384805 m = 3,84805, etwa 3,85 cm.

Also, immer noch dasselbe gerundete Ergebnis wie in meiner 1. Rechnung, aber trotzdem genauer.

Gut, nun zu deiner Aufgabe mit den anderen Spielbällen und so…

Also der Durchmesser war 52,5 mm = 5,25cm, damit der Radius = 2,625 cm.
Gut, damit hat sich ja jetzt nicht sehr viel geändert an den Maßen der Kugel, also dürfte schon mal annähernd der gleiche Winkel rauskommen.

U = 2*Pi*r = 16,49336 cm

16,49336 / 0,1 = 360 / x

X = 2,1827°

Gut, du hast einen ähnlichen Winkel rausbekommen (auf einen etwas anderen Weg, aber im Prinzip das Selbe). Die Unterschiede ergeben sich durch die mehrmaligen Rundungen, man könnte es ja noch mal rechnen ohne Rundung…
Dann müsste genau rauskommen: etwa 2,182696362.

Ich will mal mit diesem Winkel weiterrechnen.

Dann kommt wieder die „Tangens-Formel“ zur Anwendung:

tan(x) = b / d

b ist der Abstand an der Wand, nach dem gefragt war.
d ist die Entfernung zur Wand, also 3,5m.

Nach umstellen (b = tan(x) * d) ergibt sich:

b = 0,1333978707m = etwa 13,34 cm.

Gut, das Ergebnis hast du auch, also scheint ja Alles zu stimmen…

Jetzt kannst du natürlich die ganzen Gleichungen etwas umstellen, und dann kannst du z.B., wenn du b gegeben hast, auf die Versetzung schließen.

Natürlich kann man sich jetzt darüber streiten, ob man Billard so mathematisch betrachten sollte, aber man kann es ja mal ausprobieren.
In Realität wirst du sich sowieso mehr auf dein Gefühl verlassen, da du besser abschätzen kannst, wo der Ball hinrollt, aus Erfahrung. Wir haben ja in unseren Rechnungen Einiges vernachlässigt.
Ach, übrigens fällt jetzt die von Hort H. angesprochene „zusätzliche Rotation“ weg, da wir die Kugel immer noch in der Mitte treffen, das vereinfacht natürlich die Sache, aber trotzdem gibt es noch viele Parameter, die Einfluss auf das Ergebnis haben, die wir aber nicht berücksichtigen können.

Wir können ja mal das mit den Gleichungen umstellen versuchen und eine „Universalgleichung“ basteln.

Also wir haben ja bis jetzt immer mehrere Rechnungen durchgeführt, erst Zwischenwerte ausgerechnet und dann schließlich auf das Ergebnis geschlossen. Aber man könnte ja leicht diese ganzen Gleichungen zusammenfügen, die erleichtert spätere Berechnungen.

Wir haben folgende Gleichungen verwendet:

2*Pi*r = Umfang

(Versetzung * 360) / U = Winkel

Tan(Winkel) * Entfernung zur Wand = Abstand an der Wand

Jetzt können wir wieder das Ganze durch die Variabeln von Oben ersetzen:

v = Versetzung
r = Radius
u = Umfang
x = Winkel
d = Entfernung zur Wand
b = Abstand an der Wand

Jetzt können wir die ganzen Gleichungen zusammenfügen:

(v*360) / (2*Pi*r) = x

tan[(v*360) / (2*Pi*r)] * d = b

So, dass wäre Alles. Etwas könnte man noch machen, und zwar die 2 mit der 360 Kürzen, dann bleibt unsere „Universalgleichung“ übrig:

tan[(v*180) / (Pi*r)] * d = b

Dabei darf man nicht vergessen, dass man immer nur gleiche Einheiten verwenden darf.
Also z.B. v = 1mm, r = 26,25mm, d = 3500mm
Oder eben v = 0,1cm, r = 2,625cm, d = 350 cm
Oder wie du willst…

So, und nun kannst du, wie gesagt, die Gleichung umstellen, wie du willst und kannst so auch einmal andere Dinge berechnen…

Aber ich denke ja nicht, dass du dich mit Lineal und Taschenrechner an den Billardtisch stellst… :-)

Gut, du hattest noch viele andere Fragen bzw. Aufgaben gestellt, die muss ich mir erst mal anschauen.

Wenn ich was hab, melde ich mich…

Lieben Gruß,

Steven

Silvester schrieb in Beitrag Nr. 1169-1:

1) NOCH EINFACH
Situation: Ich Spiel einen Ball mit einem Que (Spielschläger) um 1 Millimeter versetzt an. Um wieviel mm versetzt trifft der Ball auf eine 1m entfernten Bande(wand)?
mfg Silvester Sabathiel

Schon diese 1. Frage ist interessant:
Theoretisch müsste die weisse Kugel nicht genau geradeaus laufen sondern schräg (wikipedia: elastischer stoss)
Auf einem wirklichen Pooltable tut sie's aber trotzdem,
Selbst wenn ich mit den Queue die weisse Kugel um einige mm versetzt treffe, läuft sie genau in die Richtung des Stosses. Genauer gesagt, sie rollt.
Zusätzlich dreht sie sich im die Hochachse (Effet).
Diese Drehung hat keine Auswirkung auf Geschwindigkeit und Richtung, bis die weisse Kugel auf eine andere oder die Bande trifft. Dann wirds erst interessant.

Die Anwort auf deine Frage würde demnach lauten: 0 mm
Erstaunlich, nicht?

Nachtrag:
Warum ist das so? Ich hab noch ein bißchen nachgedacht.
Stoß Queue/Kugel ist kein elastischer Stoß.
Das heißt, Energieerhaltung kann nicht angewandt werden, ein Teil der Bewegungsenergie wird in Verformungsenergie an dem Leder an der Queuespitze umgewandelt.
Darum muss da auch Kreide dran, sonst würde sich die Oberfläche des Leders erhitzen und verkleben.
Weil das Leder etwas nachgibt, dauert die Berührung auch viel zu lange. Beim idealen elastischem Stoß geht die Zeitdauer der Berührung gegen 0.
Auch die Impulsübertragung ist nicht ideal. Weil der Queue mit der linken Hand seitlich geführt wird, kann ein Impuls nur in Stoßrichtung übertragen werden.

Mfg
Roderic

Silvester schrieb in Beitrag Nr. 1169-1:

2) KOMPLIZIERT
Situation: Wie wirkt sich das aus, wenn eine Kugel(r=26mm) eine andere Kugel mit dem gleichen Durchmesser um 1mm versetzt trifft, diese kugel hat 1 Meter zurück zu legen bevor sie auf die Spielbande(wand) trifft.
Wie wirkt sich dieser 1mm aus schlussendlich an der Wand aus?
mfg Silvester Sabathiel

Nicht kompliziert, im Gegenteil recht einfach:

Weisse Kugel trifft rote Kugel 1mm versetzt (ohne zusätzlichen Drehbewegung-Effet):

Die getroffene rote Kugel läuft nach dem Stoß genau (und zwar ziemlich genau) in Richtung der Geraden durch den Mittelpunkt der roten Kugel und dem Punkt, an dem sich die beiden Kugeln berühren.
Die weisse Kugel läuft nach dem Stoß genau (und zwar auch ziemlich genau) im rechten Winkel zur roten weg.
Warum das so ist, ist erstaunlich, läßt sich allerdings allein aus der Impulserhaltung herleiten.
Aber die weisse Kugel interessiert ja nicht mehr

Das macht deine Rechnung schön einfach:

Skizze von oben:
Koordinatensysten x y
Kreis bei (0,0) mit radius 26 (alles in mm) entspricht der roten Kugel vor dem Stoß.
Eine waagerechte Linie f(x)=1, die Linie, die die weisse Kugel läuft bis zur Berührung.
Diese Linie schneidet den Kreis zweimal bei (x₁,y₁) und (x₂,y₂) mit f(x)=Wurzel(26² -x²) Kreisgleichung oder Tangens, wie Du willst.
Der Schnittpunkt mit dem Kreis ist: (1,f(1)).

Na, siehst Du es:
Jetzt eine Gerade durch einen dieser Schnittpunkte und durch (0,0) verlängern bis x=1000
Und ein bißchen Strahlensatz: f(x)/x = gesuchtes Ergebnis/1000

Voilá

Fall 3 kommt morgen dran.
MfG
Roderic

Nachtrag: Kleiner Denkfehler von mir: Wenn die weisse Kugel um 1 mm versetzt zur roten gestoßen wird, dann liegt der Punkt der Berührung nur ¹/₂ mm von der x-Achse entfernt. Also oben die waagerechte Linie entspricht f(x)=0.5, der Schnittpunkt mit dem Kreis ist: (0.5,f(0.5))

Silvester schrieb in Beitrag Nr. 1169-1:

Zusatzfragen: Ist es überhaupt über haupt theoretisch möglich beim Billiardspielen mit der einen Kugel eine andere Kugel so anzuspielen so dass diese eine Spielbahnaänderung von 90° einnimmt. Das heist: kann man eine Spielkugel auf eine andere Kugel z.B. ganz Rechts anspielen? Wenn nicht was ist der maximale Winkel, den man erreichen kann bei zwei Kugeln mit jeweils einen radius von 26mm?
mfg Silvester Sabathiel

Auch eine gute Frage, aber auch einfach zu lösen.
Du kannst den Stoß so ausführen, daß die weisse Kugel die rote Kugel geradeso an einer Seite berührt.
Auch das ist ein vollwertiger elastischer Stoß (häh?), nur:
Es findet eine Berührung statt, aber es wird kein Impuls übertragen.
Die rote Kugel hat danach die Richtung 90° aber den Impuls 0 und damit die Geschwindigkeit 0.
Der gesamte Impuls verbleibt in der weissen Kugel, die läuft gerade aus weiter mit v₁=v₂ ohne Richtungsänderung.


Mfg
Roderic

Silvester schrieb in Beitrag Nr. 1169-1:

2. Zusatzfrage: Theoretisch angenommen man bringe an den Umfang einer Billiardkugel gleichmäsig 8 Zahlen an.
Hier graphisch dargestellt:
--------------8--------------
----------1--------7--------
--------2-------------6-----
----------3--------5--------
---------------4-------------
Wenn diese Zahlen den Umfang einer Billardkuge darstellen sollen und eine andere Kugel von der Richtung der Zahl 4 kommt; kann man sich dann die situation so vorstellen? Man spielt die Ausgangskugel gerade, dann rollt diese auf die 4. Spielt man die Ausgangskugel um 1mm versetzt an, so trifft sie auf die 5. Und nun die Entscheidende Frage: Spielt man die Ausgangskugel einen weiteren Millimeter weiter rechts an so trifft sie auf die 6? Oder muss man nur noch einen Halben Millimeter weiter rechts anspielen.
Die Frage auf die ich hinaus will ist die: Muss man genauer spielen je mehr man die kugel anschneided oder wirkt sich ein Millimeter gleich aus, wenn man den Treffpunkt in der Mitte der Kugel versetzt und wenn man den Treffpunkt am Rand um 1 Millimeter versetzt.


Bitte entschuldigt, wenn ich mein Vorstellungen nicht so niederschreiben konnte, dass sie verständlich sind.
Aber wollte einfach mal von der Seele schreiben was mir einfiel und vielleicht habt ihr gute Lösungen und die Wege wie ihr zu eurer Lösung gekommen seit!

mfg Silvester Sabathiel

Hallo Silvester,
Stimmt, Du hast ein herrliches Talent, Deine Frage von hinten durch die Brust ins Auge zu formulieren.
Aber Deine ASCII-Skizze ist klasse.
:-}

Deine 1. Frage (die entscheidende) lautet eigentlich, wie muss die weisse Kugel die rote treffen, damit die rote Kugel nach dem Stoß in die gewünschte Richtung rollt.
Frag ich mich jedesmal beim Billard.

Nehmen wir Deine Grafik:
Du willst die 5 treffen, damit die rote 45° nach links läuft....
nein anders:
Du willst die 4 treffen, damit die rote gerade läuft, also 0 mm daneben zielen
Du willst die 6 treffen, damit die rote 90° läuft (äh, siehe oben), also ->2 * r = 52 mm daneben

Gut, jetzt kommt Mathe:
Damit haben wir das Werteintervall der gesuchten Funktion abgesteckt: x = [ 0 , 52 ) in mm
linke Seite das gleiche: die 3 --> -45°, die 2 --> -90°: x = ( -52 , 0 ]
linkes Intervall wie rechtes, spiegelsymmetrisch zur x=0 Achse.
Du triffst die Kugel nur von vorn und die rote läuft nur nach hinten, d.h. Wertebereiche und Funktionenbereich wechseln innerhalb des Intervalls nicht das Vorzeichen und können alle positiv gesetzt werden.
o.B.d.A.:
x = [ 0 , 52 )
f(x) = [ 0° , 90° ]

Mach in Gedanken schon mal eine erste Skizze:

Koordinatensystem x y Funktion beginnt bei [ 0 , 0 ] und endet bei ( 52 mm, 90° )
Einheiten brauchen wir nicht: Funktion endet bei ( 52 , pi/₄), sieht schöner aus

kleine Änderungen von x bewirken kleine Änderung von f(x)
ich meine damit, zielst Du ein bißchen mehr nach rechts, rollt die rote auch nur ein bißchen weiter links
-> Funktion ist zusammenhängend und damit stetig.

Mach mal in Gedanken eine zweite Skizze:
Koordinatensystem x y, rote Kugel mit Radius 26 bei ( 0 , 0 ), weisse Kugel mit Radius ebenfalls 26, die die
rote berührt, wo ist egal, aber nur ein Punkt.
Von diesem Punkt ein Lot zur x-Achse, der Abstand ist Dein x-Wert
ein zweites Lot zur y-Achse, nur zum Verständnis, damit Du die Funktion schneller erkennst.
und eine Gerade von diesem Berührungspunkt nach ( 0 , 0 ), der Winkel dieser Gerade zur x-Achse ist Dein gesuchter Wert f(x).

Mist:

http://www.wasistzeit.de/zeitforum/viewthread.php?T...

hat Recht, eine Möglichkeit, Grafik einzubinden wär hier von Nutzen.
Ich borg mir mal eine bei der Wikipedia:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/...

_{(GNU Free Documentation License)}

Aber eigentlich willst Du ja garnicht die genaue Funktion wissen sondern nur, wie sie ansteigt.
Also kürzen wir das mal ab.
Bei ( 0 , 0 ) ist sie ganz flach, im ganzen intervall monoton wachsend, stetig, bei x-> 52, geht f(x) -> pi/4
wird bei x->52 ganz steil, nämlich senkrecht, f' (x) -> unendlich (erste Ableitung)
Kann also kein Polynom sein,...,
es ist eine Ellipse mit Mittelpunkt bei ( 0 , pi/4), senkrechte Halbachse pi/2, waagerechte Halbachse (2 * 52)
Klingt grauslig, aber wenn Du das Koordinatensystem so wählst, das dx/dy = 26/pi
dann ist es genau der Kreis von Skizze 1, der auf der x- Achse aufliegt.

Dann kannst Deine eigentlich Kernfrage beantworten:
Ich versuchs mal wie deine Frage zu formulieren:
Willst Du die Kugel in der Mitte treffen, mußt Du nicht sehr genau zielen.

Edit: Blöd ausgedrückt: Ich meine eigentlich:
Triifst Du genau die Mitte, rollt die rote genau gerade weiter 0° Abweichung,
Ein kleines bißchen daneben und der Winkel der roten Kugel bleibt immer noch fast 0°.
Ein Fehler beim Danebentreffen in der Mitte wird so gut wie garnicht bestraft,
Soll die rote Kugel im 45° Winkel weiterlaufen, musst Du 26 * wurzel(2) daneben zielen, also mehr als die Hälfte (0,71 * 26).
Je näher du auf den Rand zielst, umso mehr und umso schneller nähert sich der Winkel der roten Kugel der 90° und wird aber immer unpräziser.
Je näher zum Rand umso epfundlicher reagiert die Funktion f(x) auf dx.
Die sagen wir mal 89° kannst Du gar nicht mehr genau erreichen, weil Du dazu ein Intervall treffen müsstest, das wohl so klein wie ein Atom ist.
Ein Fehler am Rand wird mehr bestraft als ein Fehler in der Mitte.
Dazu kommt:
Je näher Du auf den Rand zielst, umso weniger Impuls geht beim Stoß von der weissen auf die rote über.
Das macht die Sache doppelt schwierig, du musst die weisse Kugel immer stärker stoßen, damit überhaupt noch ein bisschen Impuls bei der roten ankommt.
Verstehst Du, wie ich das meine?

MfG
Roderic

hallo roderic,
Ich habe mir das selber nochmals daheim aufgezeichnet und entdeckte einen großen AHA-effekt.
Danke vielmals für deine Erklärung.
ALLERDINGS: Ich denke wir sind lediglich einen großen Schritt weiter, denn.....
wir haben nun eigentlich nur das berechnet wenn man die Bahn der weißen parallel verschiebt, das heist wenn man die Weiße sich einfach um 1mm versetzt hinlegt. Was aber nun wenn man von der gleichen position um eine 1° versetzte Spielbahn spielt.

mfg Silvester

hallo,
die folgende Überlegung stammt von meinem Bruder!
wenn man sich zwei aneinander liegende Kugeln vorstellt und von diesen beiden den Schwerpunkt hernimmt hat man den Treffpunkt. Wenn man nun mit diesem Schwerpunkt arbeitet wird allerdings nicht das Volumen, welches ebenfalls Platz einnimmt und dafür sorgt das die beiden Kugeln früher aufeinander treffen, nicht berücksichtigt, vielleicht kann wer etwas mit diesem Ansatz anfangen. Aber vielleicht hat roderic dass alles eh schon richtig interpretiert.
mfg Silvester

Silvester schrieb in Beitrag Nr. 1169-14:

hallo roderic,
Ich habe mir das selber nochmals daheim aufgezeichnet und entdeckte einen großen AHA-effekt.
Danke vielmals für deine Erklärung.
ALLERDINGS: Ich denke wir sind lediglich einen großen Schritt weiter, denn.....
wir haben nun eigentlich nur das berechnet wenn man die Bahn der weißen parallel verschiebt, das heist wenn man die Weiße sich einfach um 1mm versetzt hinlegt. Was aber nun wenn man von der gleichen position um eine 1° versetzte Spielbahn spielt.

mfg Silvester

[Nachricht zuletzt bearbeitet von Silvester am 01.05.2008 um 22:19 Uhr]

Ich weiss schon, was du meinst.
Nun, das macht das Problem nur unnötig komplizierter.
Kompliziert, weil ich jetzt den Berührungspunkt nicht mehr so einfach ermitteln kann (versuchs mal!).
Unnötig, weil sich die Änderung im Abschusswinkel nahezu linear auf einen Rechts/Links Versatz abbilden läßt.
Es war eine Vereinfachung der Aufgabe, die ich angenommen habe.
Praktischer Hintergrund: Du wirst ja wohl kaum auf eine rote Kugel zielen, die nur wenige cm hinter der weissen liegt.
Aber Du hast recht, ich werds mir durch den Kopf gehen lassen.

Es gibt noch einen Ansatz nur mit den E-, I- und DI-Erhaltungssätzen.
Der wäre dann universal anwendbar.
Musst Du aber warten, ich bin erst Ende nächster Woche wieder im Lande.

Silvester schrieb in Beitrag Nr. 1169-15:

hallo,
die folgende Überlegung stammt von meinem Bruder!
wenn man sich zwei aneinander liegende Kugeln vorstellt und von diesen beiden den Schwerpunkt hernimmt hat man den Treffpunkt. Wenn man nun mit diesem Schwerpunkt arbeitet wird allerdings nicht das Volumen, welches ebenfalls Platz einnimmt und dafür sorgt das die beiden Kugeln früher aufeinander treffen, nicht berücksichtigt, vielleicht kann wer etwas mit diesem Ansatz anfangen. Aber vielleicht hat roderic dass alles eh schon richtig interpretiert.
mfg Silvester

Das Problem ist:
Wenn die beiden Kugel ersteinmal aneinander liegen, ist es einfach den Berührungspunkt zu ermitteln: Hälfte der Linie zwischen den beiden Mittelpunkten.
Aber ich weiss ja nicht, wo die weisse Kugel gerade sein wird, wenn sie die rote Kugel gerade trifft.
Das war doch die Vereinfachung, die ich angenommen habe, nicht Winkel sondern links/rechts von der normalen.
Denn dann weiss ich es schon, bevor ich stoße.
Geh ich von einem Abschusswinkel aus und nicht von einem rechts links versatz, muss ich erstmal ermitteln, wo die weisse Kugel auf die rote treffen wird.

MfG
Roderic

Ich habs:
Wie findet man den Treffpunkt:
Die Kugeln berühren sich in dem Moment, wenn die beiden Mittelpunkte genau R₁+R₂ voneinander entfernt sind.
Der Abstand von der weissen Kugel (Mittelpunkt) zur roten Kugel (Mittelpunkt) rot vor dem Stoß ist bekannt.
Der Winkel zwischen Laufrichtung der weissen und verbindungslinie Weiss/Rot (vor dem Stoß) wird von dir mit 1° vorgegeben oder ist Parameter.
Ein Dreieck kann durch drei Größen genau bestimmt werden:
Hier der Fall Seite + Seite + Winkel.

http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck#Berechnung_ein...

Jetzt kommt das beste:
Den Treffpunkt haben wir gebraucht für den Winkel, mit dem die rote nach dem Stoß wegrollt.
Aber genau dieser Winkel fällt hier so nebenbei gleich mit an.
Brauchen wir die Koordinaten des Treffpunktes gar nicht mehr bestimmen. Heja!
Und ich hätte mir den ganzen 1169-13 sparen können ;-]

Mfg
Roderic