Logarithmische (???) aufgabe

hallo alle zusammen^^
ich habe ein problem mit einer matheaufgabe, die ich über's wochenende lösen muss -__-

sie lautet: Die Halbwertszeit von Calcium 49 beträgt ungefähr 8,7 Minuten. Um wie viel Prozent zerfällt das Calcium pro Minute?

wir rechnen immer mit der formel " y=loga X" (wobei das "a" eigentlich tiefergestellt sein müsste) und es wäre toll wenn ihr auch mit dieser formel beispiele für den lösungsweg geben würdet : DD ich bin am verzweifeln... meine rechenweg ist nämlich falsch (wie man sich denken kann <_<)

lg Pju

Jo Pju,

Halbwertzeit bezieht sich wahrscheinlich auf die Zerfallsrate.
Das ist die Anzahl der Caesium-Atome, die pro Sekunde zerfallen.

1.) Die Gesamtzahl der R der Caesium-Atome zu einer Zeit verhält sich exponentiell. Das setze ich als bekannt voraus. Auch musst Du die Potenzgesetze kennen.

Allgemeiner Ansatz:
R(t) = R(0) * e^{-k t},

mit einem positiven reellem k.

2.) k ist durch die Halbwertszeit eindeutig festgelegft

R(t_1/2) = R(0) * e^{-k t_1/2} = R(0) * 1/2 ==>
-k t_1/2 = ln(1/2)

k = - ln(1/2) / t_1/2
= ln(2) / t_1/2 .

3.) Bezugszeitpunkt für die Abnahme der Zerfallsrate sei Zeitpunkt t₀ .

Die Frage nach der Prozentzahl der Abnahme ist wesentlich die Frage nach dem Quotient

Q = R(t₀ + 1min) / R(t₀)
= e^{-k (t₀+1min}) / e^{-k t₀}
= e^{-k (t₀+1min) + k t₀}
= e^{-k (t₀+1min-t₀)}
= e^{-k (t₀+1min-t₀)}
= e^{-k * 1min)}

Q ist der Anteil der Caseisum-Atome, die nach einer Minute noch da sind.
Er ist unabhängig von der Startzeit t₀ .

Für die gesuchte Prozentzahl x gilt nach Prozentformel.

Q = (100 +(-x)) / 100 <==>

100 - Q*100 = x <==>

100* (1-Q) = x

4.) k von 2.) eingesetzt:

Q = e^{-(ln(2) / t_1/2) * 1min)}
= e^{-(ln(2) * 1/ 8,7)}


5.) Zusammen

x = 100* ( 1- e^{-(ln(2) / 8,7)} )

---------------------------------------------------------------------------------------------


Die entsprechende Darstellung bezüglich Basis 1/2 ist etwas einfacher


1.) R(t) = R(0) * (1/2) ^{a t},


2.) R(t_1/2) = R(0) * (1/2) ^{a t_1/2} = 1/2 * R(0) <==>

(1/2) ^{a t_1/2} = 1/2 <==>

a t_1/2 = 1 <==

a = 1 / t_1/2

Damit R(t) = R(0) * (1/2)^{t / t_1/2}

3.) Q = R(t₀ + 1min) / R(t₀)
= (1/2) ^{((t₀ + 1min)/t_1/2)} / (1/2) ^{(t₀ / t_1/2)}
= (1/2) ^{((t₀ + 1min) / t_1/2 - t₀ / t_1/2)}
= (1/2) ^{(1min / t_1/2)}
= (1/2) ^(1/8.7)


5.) Zusammen

x = 100* ( 1- (1/2)^(1/8.7)))


Gruss
Thomas

@thomas der große: vielen dank für deine ausführliche erklärung =) leider bin ich nur ein 15-jähriger laie und habe demnach nur wenig von den formeln verstanden... íst es möglich, dass du einen lösungsweg postest, der zur formel " x= loga Y" passt? oder hast du das schon und ich bin nur zu dumm um das zu sehen?
lg Pju

Hallo Pju,

die Aufgabe ist an sich klar gestellt.
In Beitrag-Nr. 1143-2, letzte Formel ist das Ergebnis.

Da ist kein Logarithmus, auch nicht wenn Du eine Näherung verwendetest
und die Abnahme in der ersten Minute als linear annehmen würdest.

Ausgerechnet komme ich auf x = 7,658%.

D.h. Knapp 8% des Caesiums ist in einer Minute zerfallen.

Gruss
Thomas

Hallo Pju14,

vielleicht hilft es dir, wenn du Thomas´s Gleichung R(t) = R(0) * (1/2) ^{t / t_1/2} logarithmierst:
Dann kannst du obige Gleichung auch so schreiben:

log_1/2 ( R(t) / R(0) ) = 1 / t_1/2 = 0,1149

Die auf der rechten Seite ausgerechnete Zahl - also der Kehrwert der Halbwertszeit - entspricht somit dem Logarithmus zur Basis 1/2 des Anteils der Atome, die nach 1 Minute noch vorhanden sind.

Achtung: Dieser "Anteil" - also der Ausdruck R(t) / R(0) - ist immer eine Zahl zwischen null und eins (eins bedeutet: alle Atome sind noch da - null bedeutet: alle Atome sind zerfallen). Man kann den Anteil auch in % angeben, dann muss man ihn eben noch mit 100 multiplizieren.

Um nun den Zahlenwert der noch vorhandenen Atome zu erhalten, bleibt aber - wie Thomas schon sagte - nichts anderes übrig, als den Logarithmus wieder aufzulösen:

X (%) = (0,5 ^0,1149) * 100

Es kommt heraus: X = 92,35% noch vorhandene Atome

dementsprechend sind also 100 - 92,35 = 7,65% der Atome zerfallen.



Nachtrag:

Mir fällt noch ein: Vielleicht sollt ihr ja auch die logarithmischen Rechenregeln lernen bzw. anwenden. Dann kannst du´s auch folgendermaßen machen:

Einen Bruch hinter einem Logarithmus darf man auch als Differenz zweier Logarithmen schreiben.

log_1/2 ( R(t) / R(0) ) ist also dasselbe wie log_1/2 R(t) - log_1/2 R(0)
Die obige Gleichung kann man also auch wie folgt schreiben:

log_1/2 R(t) - log_1/2 R(0) = 0,1149

R(0) sind die Atome, die du zu Anfang hast, also alle. Wenn du "alle Atome" als "ein Ganzes" betrachtest, gilt R(0) = 1 (Ganzes). Der Logarithmus von 1 (egal zu welcher Basis) ist aber immer null. Daher kannst du den zweiten Logarithmus in obiger Gleichung - also den mit R(0) - wegfallen lassen, denn wenn du von irgendetwas null abziehst, ändert sich nichts und es bleibt alles beim Alten.

Die Gleichung vereinfacht sich also zu: log_1/2 R(t) = 0,1149

Nun löst du den Logarithmus auf und erhältst: R(t) = 0,5^0,1149 = 0,9235

Die zum Zeitpunkt t (d.h. in diesem Beispiel nach einer Minute) noch vorhandenen Atome sind also das 0,9235-fache vom Ganzen. Und das sind wieder die oben schon ausgerechneten 92,35%.

@thomas der große & claus: ich habe auch knapp 8% heraus =D ich habe von einer freundin gehört das dieses ergebnis richtig sein soll =DD auch wenn ich manches von eurem sehr detaillierten lösungsweg noch nicht verstehe, möchte ich mich trotzdem sehr bei euch bedanken. wenn ich morgen in der schule mathe habe, wird mir die lehererin bestimmt alles erklären =D
lg Pju