Einstein und Pythagoras oder der Lorentzfaktor und die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

Hallo zusammen,

in diesem Forum findet man ab und zu mal eine Analogie von SRT zu Seitenverhältnissen im rechtwinkligen Dreieck, besonders Claus weist gerne darauf hin.
Ich finde das faszinierend und möchte diese Analogie im folgenden näher betrachten.
Meines Erachtens gibt dieses Thema ganz schön was her. Würde ich alles auf einmal schreiben, wäre der Beitrag viel zu lange, und lange Beiträge werden erfahrungsgemäß nicht gelesen. Deshalb serviere ich das häppchenweise :smiley15:

Nun, es ist tatsächlich so, der Lorentzfaktor γ, wie er in der SRT Anwendung findet


(Formel 1)

lässt sich ganz einfach mit einem rechtwinkligen Dreieck darstellen.

(Abbildung 1)

Dabei entspricht die Länge der Hypotenuse c der Lichtgeschwindigikeit c, die Länge einer Kathete v der Geschwindigkeit.
Die Länge der anderen Kathete, nennen wir sie erst mal a, ergibt sich dann zwangsläufig.

Es gilt dann: γ = c / a (Formel 2)

Das ist doch schon wesentlich übersichtlicher als in der Formel 1.

Dass das wirklich so ist,
wie man auf sowas kommt,
wie man das interpretieren kann und
was man noch damit machen kann folgt in meinen nächsten Beiträgen.

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Gruß
John

John schrieb in Beitrag Nr. 2380-1:

Danke für's Lesen.
Gruß John

Willkommen (wieder) im Forum,
Gruß, Otto

Hallo zusammen,

hier das zweite Häppchen.

Es stimmt wirklich: γ = c / a (siehe oben)

Das kann man mit ein bisschen Pythagoras und Formelumstellen leicht beweisen:

(Abbildung 2)

Wie kommt man auf sowas? => 3. Häppchen

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John

John schrieb in Beitrag Nr. 2380-3:

Wie kommt man auf sowas? => 3. Häppchen

Hallo John,
hier ein Häppchen von mir: Schau mal zum Beitrag Nr. 2353-1.
Gruß, Otto

Weiter geht es mit Häppchen Nr. 4: Wie kommt man denn auf sowas?

@ Otto:
Vielen Dank für den Hinweis auf Deinen Beitrag. Es ist mir klar, dass über dieses Thema schon im Forum geschrieben wurde. Ich habe auch gar nicht den Anspruch, hier
was völlig Neues zu präsentieren. Ich möchte nur die in der Formel für den Lorentzfaktor verborgene Geometrie aus meiner Sicht darstellen, interpretieren und Schlüsse
daraus ziehen. Ich versuche das nach dem Motto: ‚So einfach wie möglich, aber nicht einfacher.‘ und das auch noch in kleinen Portionen (Häppchen).
Wer weiß, vielleicht kommt am Ende dann doch was Neues dabei heraus :smiley33:

Wahrscheinlich erkennt ein Mathematiker sofort, dass sich in der Formel für den Lorentzfaktor der Satz des Pythagoras verbirgt, ich vermochte das nicht.
Ich weiß auch nicht, wie man auf sowas kommt, ich kann nur sagen wie ich damals darauf gekommen bin.

In einer Fernsehsendung, ich glaube es war Quarks, wurde mal versucht, darzustellen, warum bewegte Uhren langsamer gehen sollen.
Das Vergehen der Zeit wurde durch den Flug eines von einem Bogen abgeschossenen Pfeiles dargestellt, es wurde gesagt, dass die Geschwindigkeit dieses Pfeiles die Lichtgeschwindigkeit c sei.
Dann sah man einen Jungen, der parallel zum fliegenden Pfeil mit der Geschwindigkeit v rennt, für ihn bewegte sich der Pfeil jetzt nicht mehr mit c, sondern mit c – v.
Also vergehe für den Jungen die Zeit jetzt langsamer. Das ganze wurde dann mit einer Vektoraddition dargestellt.

(Abbildung 3)

Anmerkung: Im folgenden bezeichne ich die Geschwindigkeit durch den Raum mit v_R und die Geschwindigkeit durch die Zeit mir v_t


Diese Erklärung hatte mich in keinster Weise überzeugt. Wo fand ich hier den Lorentzfaktor? Wird die Zeit nicht als 4. Dimensiuon bezeichnet?
Wie kann man dann eine Räumliche Bewegung einfach so davon abziehen?

Dennoch brachte es mich zum Nachdenken :idea: . Was wäre, wenn man den Vektor der Geschwindigkeit im Raum v_R (rennender Junge) nicht parallel zum Vektor der Geschwindigkeit der Zeit v_t zeichnen würde, sondern um 90 Grad gedreht? So wie die 4. Dimension senkrecht zu allen anderen Dimensionen steht, als auch zu v_r.

(Abbildung 4)

Dann müsste das Verhältnis c/v_t gleich dem Lorentzfaktors sein.

Der Rest ist bekannt (siehe Beitrag 2380-3) Ich habe den Lorentzfaktor mit c/vt* gleichgesetzt und HEUREKA!!! :beer: die Gleichung ging auf.
Für mich war das neu und ich wollte wissen, ob das allgemein bekannt ist. Ich habe gegoogelt und bin auf dieses Forum gestoßen. Ich fand eine Ausarbeitung von Claus.
Da ist jetzt beinahe 20 Jahre her.

*) in der Herleitung (Beitrag 2380-3 Abbildung 2) hatte ich v_t noch als a bezeichnet.

Im nächsten Häppchen schreibe ich, wie ich das ganze interpretiere.

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John

Weiter geht es mit Häppchen Nr. 5: Interpretation

Eigentlich habe ich die Interpretation im letzten Beitrag schon vorweg genommen, ich denke aber, das sollte ich noch etwas ausführlicher tun.

Aus Formel 1 γ = c / a geht klar hervor, das die a die Einheit einer Geschwindigkeit haben muss, denn γ hat keine Einheit.
Damit die rechte Seite der Formel auch keine Einheit hat, müssen sich die Einheiten rauskürzen, also muss a die gleiche Einheit wie c haben, m/s, also muss a eine Geschwindigkeit sein.

Der Lorentzfaktor γ gibt an, um wieviel eine bewegte Uhr langsamer vergeht. Daraus schließe ich, dass a die Geschwindigkeit ist, wie die Zeit in einem bewegten System vergeht, deshalb ersetze ich a durch v_t, der Geschwindigkeit durch die Zeit.

Eine Geschwindigkeit ist ja ein Vektor, hat also eine Richtung. Aus Abbildung 4 wird deutlich, dass die Richtung von v_t senkrecht zu einer beliebigen Raumrichtung steht, also senkrecht zu allen drei Dimensionen, also zeigt sie in die vierte Dimension.

Es scheint also so, als könne man das Vergehen der Zeit als Bewegung in der vierten Dimension auffassen.
Das kann wohl nicht ganz stimmen, denn es entspricht nicht unserer täglichen Erfahrung:

Wir können uns in den ersten drei Dimensionen willkürlich, vorwärts, seitwärts und sogar nach oben bewegen, nicht aber in der vierten, hier scheinen wir irgendwie zu
treiben.

Wir können in den ersten drei Dimensionen auch in die Ferne blicken, vorwärts und rückwärts, der Blick in die vierte Dimension bleibt uns aber verwehrt.

Also, man kann die vierte Dimension wohl nicht mit den anderen drei räumlichen Dimensionen gleichsetzen!
Dennoch möchte ich mal so tun als ob das so wäre. Ich stelle also folgende Hypothese auf:

Hypothese:

Zeit ist die vierte Dimension, ähnlich einer räumlichen Dimension.

Das Vergehen der Zeit ist Bewegung in der vierten Dimension.

Wichtiger Nachtrag (hatte ich vorhin vergessen :smiley23: )
Die geometrische Addition aus der Geschwindigkeit durch den Raum und der Geschwindigkeit durch die Zeit ergibt immer die Lichgeschwindigkeit c.
(Zahlenbeispiel folgt)




Mit dieser Hypothese werde ich in weiteren Beiträgen Gedankenexperimente machen, da werden wir dann schon an ihre Grenzen stoßen.
Im nächsten Beitrag werde ich aber erst ein paar einfache Zahlenbeispiele bringen, die das ganze etwas verdeutlichen und Basis für die angekündigten Gedankenexperimente sein sollen.

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Gruß
John

Hallo John,

John schrieb in Beitrag Nr. 2380-6:

Zeit ist die vierte Dimension, ähnlich einer räumlichen Dimension.

Das Vergehen der Zeit ist Bewegung in der vierten Dimension.

Die geometrische Addition aus der Geschwindigkeit durch den Raum und der Geschwindigkeit durch die Zeit ergibt immer die Lichgeschwindigkeit c.

Das war auch meine Vermutung. Auch L.C. Epstein hatte bereits diese Vorstellung:

siehe Beitrag Nr. 1171-26

Hallo Claus,

vielen Dank für Deine Antwort!
Ich weiß, dass Du auch so denkst, ich habe Dich auch extra in dieser Beitragsreihe erwähnt.

Wie schon geschrieben, habe ich nicht den Asnpruch, hier etwas vollkommen Neues zu schreiben.
Ich möchte den Zusammenhang zwischen Lorentz und Pytagoras nur etwas aufbereiten und Schlüsse daraus ziehen.
Bei der Unzahl von Beiträgen in diesem Forum kann ich nicht ausschließen, dass das was ich schreibe nicht schon mal geschrieben wurde.
Für Hinweise auf entsprechende Beiträge bin ich dankbar.

Also selbst auf die Gefahr hin, hier nur etwas zu wiederholen, mache ich weiter.
Mit dem bisher geschriebenen wollte ich nur etwas ausholen um die oben stehende Hypotese herzuleiten bzw. zu untermauern.

Nach ein paar einfachen Zahlenbeispielen (im nächsten Beitrag) nutze ich dann die Hypothese für Gedankenexperimte (ab dem übernächsten Beitrag).
Natürlich würde ich mich freuen, wenn dann tatsächlich was Neues dabei rauskommen würde, aber das wage ich nicht zu hoffen.

Gruß
John

Weiter geht es mit Häppchen Nr. 6: Zahlenbeispiele

Hall zusammen,

nach unfreiwilliger :-( Pause, mache ich mit dem versprochenen Zahlenbeispiel weiter:

Die Geschwindigkeit eines Raumschiffes sei 0,6c. Setzen wir diese 0,6c in die Formel 1 (Beitrag Nr. 2380-1) ein, dann erhalten wir Gamma = 1,25.
Das bedeutet, die Uhr in dem bewegten Raumschiff geht 1,25 mal langsamer,
oder anders ausgedrückt 0,8 mal so schnell wie die Uhr eines ruhenden Beobachters,
oder noch anders ausgedrückt, das Raumschiff bewegt sich mit 0,6c durch den Raum und mit 0,8c durch die Zeit.

Die 0,8c kann man auch ganz einfach grafisch ermitteln, in dem man ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert dessen Hypotenuse c und eine Kathete 0,6c entspricht die andere Kathete wird dann 0,8c sein. (siehe Abbildung 4)
Das ganze geht natürlich auch mit anderen Geschwindigkeiten, ich will aber im Folgenden mit 0,6 c weiter machen, weil es sich 0,6 ; 0,8 und 1 um ein pythagoräisches Tripel handelt das recht einfach zu händeln ist.

Beim nächsten mal schauen wir uns das ganze in einem Koordinatensystem an.
Diesmal wird es nicht so lange dauern. ;-)

Gruß
John

P. S. Ich bitte um Fragen bzw. Anmerkungen, falls irgendwas nicht stimmt oder ich irgendwas besser erklären soll.

Weiter geht es mit Häppchen Nr. 7: Koordinatensystem

Da wir es ja mit der 4. Dimension zu tun haben, brauchen wir ja ein vierdimensionales Koordinatensystem.



Das ist aber nur sehr schwer vorstellbar und noch schwerer zu zeichnen, so dass ich das gar nicht erst versuchen will.
Wenn wir uns darauf einigen, dass wir nur eine der drei Raumdimensionen nutzen, dann können wir die anderen zwei einfach ignorieren.


So sieht das doch schon viel einfacher aus.

Jetzt platzieren wir eine Rakete in unserem Koordinatensystem.


Die Rakete soll sich in Ruhe befinden, sie steht quasi auf dem Boden.
Die Rakete soll eine Länge von 5 Längeneinheiten haben, das kann man an der senkrechten Koordinatenachse ganz leicht abzählen.

:smiley11: Da ist mir doch glatt ein Fehler unterlaufen. Hat es jemand gemerkt? Tipp: Es ist nicht die Position der Rakete.

Auflösung beim nächsten mal.

Gruß
John

Weiter geht es mit Häppchen Nr. 8: Der Weltvektor eines ruhenden Objektes

Hallo zusammen,
hat jemand den Fehler im letzten Bild gefunden?



So anschaulich es auch sein kann, leider können wir in unserem Koordinatensystem nicht wirklich eine Rakete malen :smiley3:
denn wir haben ja nur eine Raumdimension zur Verfügung und für die bildliche Darstellung der Rakete benötigen wir ja mindestens zwei Dimensionen :smiley33:
Gut, dass wir die Breite oder Tiefe der Rakete nicht benötigen werden, Länge und Richtung reichen uns für die weiteren Betrachtungen völlig aus.
Deshalb stelle ich Raketen ab jetzt als Vektor da. Um die Rakete (Vektror) von anderen Vektoren unterscheiden zu können, zeichen ich diese Vektoren dicker.
Ein Vektor hat eine Richtung und einen Betrag aber keine Postiion. Wir werden sehen, dass Positionen auch nicht wirklich wichtig sind. Aus Anschaulichkeitsgründen habe ich die am Boden stehende Rakete im Bild 'unten' platziert.

Die Rakete 'ruht', das heißt die Geschwindigkeit durch den Raum ist 0, ihr Vektor für die räumliche Geschwindigkeit vr hat die Länge 0 und kann hier nicht angezeichnet werden.
Sie bewegt sich aber duch die Zeit. Da der Betrag der Vektoraddition von vr + vt immer c ergibt muss in diesem Fall der Betrag von vt gleich c sein.

Ich habe vt eingezeichnet und dafür 5 Längeneinheiten gewählt.

Das Ergebnis der Vektoraddition vt + vr nenne ich den Weltvektor (grün).
Der Weltvektor hat immer den Betrag c.

In diesem Fall ist der Weltvektor mit dem Vektor der Geschwindigkeit durch die Zeit identisch.
Für ein "ruhendes" Objekt gilt das immer.

So, das ist m. E. schon ein bisschen viel zu verarbeiten.

Im nächstenHäppchen schauen wir uns den Weltvektor eines "bewegten" Objektes an.

Anmerkung: Ich habe "ruhendes" und "bewegten" in Anführungszeichen geschrieben,
denn Ruhe und Bewegung sind relativ.


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Danke
Gruß
John

Weiter geht es mit Häppchen Nr. 9: Der Weltvektor eines "bewegten" Objektes

Gespräch zwischen Student und Professor:

Student: "Wenn man auf die Borduhr eines schnellen Raumschiffes schaut, dann bewegt sich der Sekundenzeiger der Borduhr langsamer als der Sekundenzeiger der Uhr des
Beobachters?

Professor: Ja, wenn man die Signallaufzeit und den Dopplereffekt ignoriert, dann könnte man das so sagen.

Student: Wenn der Pilot des Raumschiffes auf die Uhr des Beobachters schaut, dann muss sich ja der Sekundenzeiger dieser Uhr schneller bewegen als der seiner Borduhr?

Professor: Eben nicht, auch die Uhr des Beobachters geht langsamer als die Borduhr des Raumschiffes. Das ist ja das Unbegreifliche an der SRT.

Na ja, ich hoffe, dass das 'Unbegreifliche' mit den nächsten Beiträgen etwas begreiflicher wird.

Wir wollte uns den Weltvektror eines bewegten Objektes anschauen.
Dazu zeichnen wir erst mal den Vektor seiner räumlichen Geschwindigkeit vr ein. vr sei 0,6c also ist Vektor vt 3 Längeneinheiten lang.
Aus dem Zahlenbeispiel (Beitrag 2380-9) wissen wir, dass bei vr = 0,6c die Geschwindigkeit durch die Zeit, vt nur noch 0,8 c beträgt.
Wir zeicnen auch vt ein, vt hat dann 4 Längeneinheiten.
Der Weltvektor des bewegten Objektes ist dann nichts weiter, als die Vektroaddition vt + vr.



Wir erkennen, dass der Weltvektror eines "ruhenden" Objektes eine andere Richtung hat als der Weltvektor eiens "bewegten" Objektes.

Beim nächsten mal schauen wir uns das ganze aus der Sicht des Raumschiffes an.

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Gruß
Johnn

Weiter geht es mit Häppchen Nr. 10: Aus Sicht des "bewegten" Raumschiffes.

Es mag sein, dass der Kapitän des "bewegten' 'Raumschiffes etwas egozentrisch ist, denn er behauptet steif und fest, dass sich sein Schiff gar nicht bewege,
sondern in absoluter Ruhe befände.

Anmerkung: Ab jetzt bezeichnen wir wir dieses Raumschiff als rotes Raumschiff und stellen es auch durch einen roten dicken Vedtor dar. Bis auf die Farbe seien beide
Raumschiffe baugleich, haben also eine Länge von 5 Längeneinheiten.

Da es in der SRT keine bevorzugten Systeme gibt, kann der Kapitän des roten Raumschiffes das mit dem gleichen Recht behaupten wie der Kapitän des immer noch "am Boden stehenden" blauen Raumschiffes.

Wenn man also das rote Raumschiff als ruhend betrachtet, dann haben wir die gleichen Verhältnisse wie beim blauen Raumschiff:
1. Sein Vektor der Geschwindigkeit durch die Zeit vt ist mit seinem Weltvektor identisch.
2. Alle seine Raumdimensionen (also auch die Richtung des roten Raumschiffes) stehen senkrecht zum Weltvektor.



Das war jetzt ein großer Schritt!
Was man aus dieser Darstellung ablesen kann fasse ich beim nächsten mal zusammen.

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Danke fürs Lesen
Gruß
John

Weiter geht es mit Häppchen Nr. 11: Bezugssysteme.

Es gibt kein bevorzugtes System, deshalb kann der Kapitän des roten Raumschiffes, genau so gut wie der Kapitän des blauen Raumschiffes behaupten, er sei in Ruhe.
Im folgenden Bild habe ich nun auch das rote Bezugssystem eingezeichnet.



Das rote Raumschiff ruht im roten Bezugssystem genau wie das blaue Raumschiff im blauen Bezugssystem ruht.

Wenn etwas in seinem Bezugssystem ruht (das tut es eigentlich immer), dann:

- hat es keine Geschwindigkeit in Raumrichtung seines Bezugssystems
- bewegt es sich nur in Zeitrichtung seines Bezugssystems (Geschwindigkeit= c)
- ist sein Weltvektor gleich dem Vektor der Geswchwindigkeit durch die Zeit.

Jede Raumrichtung steht immer senkrecht auf der Zeitrichtung! So wie z. B. die rote Rakete senkrecht auf ihrer Zeitrichtung steht.
Vom blauen Bezgssystem ausgesehen erscheint die rote Rakete nicht etwa schief, sondern verkürzt.
Im blauen Bezugssystem können wir die rote Rakete nur als Projektion auf die blaue Raumachse wahrnehmen (ist in magenta auf die blaue Raumachse eingezeichnet)

Ich finde, das war jetzt ein großer und wichtiger Schritt!
Ausgehend von den drei Hypothesen (Beitrag 2380-06)

Zeit ist die vierte Dimension, ähnlich einer räumlichen Dimension.

Das Vergehen der Zeit ist Bewegung in der vierten Dimension.

Die geometrische Addition aus der Geschwindigkeit durch den Raum und der Geschwindigkeit durch die Zeit ergibt immer die Lichgeschwindigkeit c.

haben wir jetzt ganz einfach die Längenkontraktion hergeleitet.

Natürlich muss das für beide Bezugssysteme gelten, also auch der Kapitän des roten Raumschiffes sieht die blaue Rakete verkürzt und mit 0,6c von sich weg fliegen (er könnte sich höchstens wundern, warum sie rückwärts fliegt. :confused:

Leider kam bisher kam fast keine Rückmeldung zu meinen Beiträgen.
Ist das alles schon jedem bekannt?
Hält man das ganze für Unsinn?
Müsste ich was besser erklären?

Über Rückmeldungen würde ich mich freuen!

Danke
Gruß
John

Ich sehe es auch so, wie du. Aber das weißt du ja schon.
Grüße und frohe Weihnachten! Claus.

Hallo Claus,

vielen Dank!

Frohe Weihnachten!
John

Hallo John
Die logischen zusammenhänge lassen sich mit deiner Darstellung einfacher begreifen als mit der Formel. Gefällt mir. Ich vergesse zu oft - und Du zeigst gut auf - dass (mitunter komplizierte) mathematische Formeln nur einfache logische zusammenhänge beschreiben.
Mfg Utta

Hallo John und Claus
Das ist doch Einsteins geometrische Lösung. Die Formel beruht doch auf dieser Lösung und beschreibt diese. Eine gezeichnete Darstellung seiner geometrischen Lösung beschreibt das gleiche wie seine Formel. Ich verstehe nicht warum ihr schreibt: „nur eure Vermutung“.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2380-7:

Hallo John,

John schrieb in Beitrag Nr. 2380-6:

Zeit ist die vierte Dimension, ähnlich einer räumlichen Dimension.

Das Vergehen der Zeit ist Bewegung in der vierten Dimension.

Die geometrische Addition aus der Geschwindigkeit durch den Raum und der Geschwindigkeit durch die Zeit ergibt immer die Lichgeschwindigkeit c.

Das war auch meine Vermutung. Auch L.C. Epstein hatte bereits diese Vorstellung:

siehe Beitrag Nr. 1171-26

Wieso Vermutung? In dem Buch von Epstein gibt es keine neuen Vorstellungen. Seine Knobel-Aufgaben sollten nur Einsteins Vorstellungsmodell verdeutlichen. Er beschreibt nur Einsteins Vorstellungen. Wenn dies auch eure Vermutung ist – beschreibt eure Vermutung Einsteins Modell.
Vielen Dank für eure schöne, einfache und sinnvolle Darstellung der zusammenhänge.
Utta

Hallo John, hallo Utta,

ich denke Einstein hat sich als "seriöser" Physiker metaphysischer Spekulationen enthalten (etwa einer solchen, die - wie wir oben annehmen - von einer grundlegenden Bewegung aller Dinge - also auch solcher, die in einem Intertialsystem "in Ruhe" zu seien scheinen - ausgeht).

Also: "Alles bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit in vier Dimensionen" hätte er trotz Kompatibilität mit seiner Theorie wahrscheinlich nicht unterstützt. Daher meine vorsichtige Bezeichnung dieser Vorstellung als "Vermutung".

Ich glaube jedoch, dass eine tiefere Wahrheit darin verborgen ist, die mit der Expansion des Alls einhergeht:

Ich glaube, dass die Expansion des Universums eigentlich mit c in dessen "vierte" Dimension erfolgt - und dass die für uns sichtbar wahrnehmbare 3D-Expansion des Alls nur eine Konsequenz aus der Bewegung aller Teilchen, aus denen das Universum besteht, in die (aus ihrem jeweiligen Ruhesystem heraus betrachtete) vierte Dimension darstellt.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2380-19:

ich denke Einstein hat sich als "seriöser" Physiker metaphysischer Spekulationen enthalten

Hallo Claus,
Einstein soll gesagt haben:
"Zeit und Raum sind nur Methoden, anhand deren wir denken, und keine Bedingungen, in der wir leben."
Ist das wirklich Metaphysik?

Ich halte zum Beispiel die Frage "Was ist Zeit?" nicht für Metaphysik.
Allerdings hat Einstein diese Frage auch nicht gestellt oder versucht zu beantworten, so viel ich weiß.
Er hat Zeit mit (c·t) "nur verräumlicht".

Gruß, Otto