Einstein und Pythagoras oder der Lorentzfaktor und die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2380-36:

Die Vorstellung einer Bewegung "Strecke/Zeit" ist also vom Betrachtungsstandpunkt abhängig.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2380-39:

Das ist ein wichtiger Punkt.
Die Änderung des Verhältnisses "Strecke/Zeit" kann mathematisch sowohl als Änderung der Distanz als auch Änderung der Eigenzeit interpretiert werden.

Hallo Otto
Dies wurde auch schon von Einstein berücksichtigt. Relativ bedeutet: Eine Änderung vom Betrachtungsstandpunkt ändert nichts am mathematischen Ergebnis. Alles bleibt umkehrsymmetrisch gültig. Analogie: Distanz geteilt durch Zeit gleich Geschwindigkeit – oder A : B = C. Einsteins Gleichung gilt als bewiesen. Wenn man bei einer (bewiesenen) Gleichung die Vorstellung von A ändert, ändert sich auch B damit C weiterhin stimmt. Sonst stimmt die Gleichung nicht mehr. Dies gilt auch für Einsteins (komplexere) Gleichung - und wurde von Ihm berücksichtigt. Am (mathematischen) Gesamtergebnis ändert sich nichts.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2380-36:

Das hier verwendete (statische und eigentlich dimensionslose) Modell mit der Lichtgeschwindigkeit als "Einheitsvektor" ist m.E. universell einsetzbar, da es nur die Beziehungen zwischen den verschiedenen Phänomenen wiedergibt.

Hallo Claus
Dies beschreibt Einsteins Ausgangsgedanken für seine Formel. Dass Einsteins Gleichung „nur“ die mathematischen Verhältnisse zueinander bestimmt - war ihm bewusst. Deshalb das Wort „Relativ“ in seine Theorie. Dass A geteilt durch B zum Ergebnis C führt ist festgelegt. Solange aber bei der Gleichung von den Faktoren A, B oder C auch nur ein einzelner Faktoren physikalisch nicht definierbar ist – bleiben alle Faktoren eine Frage der Perspektive. Es ist aber nicht mehr möglich z.B. nur die Definition von Faktor A - unabhängig von B oder C - zu ändern.

Das Wort Relativ bedeutet auch: Nur in bestimmten Grenzen, unter bestimmten Gesichtspunkten, von einem bestimmten Standpunkt / Perspektive aus zutreffend.
Dieser Grundsatz der Perspektive - für die Objektivität von der Beobachtung - ist aber keine „Erfindung“ von Einstein, sondern beruht auf Kopernikus. Ein Inertialsystem in Ruhe, ist eine Frage der Perspektive. Es gibt schon seit Kopernikus im Universum kein objektives Bezugssystem und keine objektive Perspektive für Beobachtungen - was von Einstein beachtet wurde. Dies führt zur Umkehrsymmetrie - alles bleibt bei Einstein auch mit umgekehrter Perspektive gültig.

LG Utta

Hallo Utta,

Utta schrieb in Beitrag Nr. 2380-41:

Dass Einsteins Gleichung „nur“ die mathematischen Verhältnisse zueinander bestimmt - war ihm bewusst. Deshalb das Wort „Relativ“ in seine Theorie.

Ich weiß ehrlich gesagt nicht worauf du hinaus willst.

Falls du meinst, dass meine Darstellung "nichts Neues unter der Sonne" sei und mit Einstein's Gleichungen bereits bekannt sei, so will ich das gerne zugestehen. An Einstein's Gleichungen und an Kopernikus' relativer Bewegungsbetrachtung ändere ich in der Tat nichts.

Für mich ist allerdings die Darstellung in einem 3-D-Koordinatensystem neu, in der eine "Einheitsgeschwindigkeit" drei senkrecht aufeinander stehende Komponenten haben kann: eine zeitliche, eine räumliche und eine gravitative.

Hllko alle zusammen,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2380-32:

Die KI formuliert immer sehr freundlich.
Überrascht war ich, dass die KI die Lorentz-Invarianz erkannt hat. Das finde ich stark.

Eine wichtige Ergänzung:
Die KI hat nicht erkannt, dass es bei der geometrischen Darstellung der SRT um ähnliche Dreiecke handelt.
In der Darstellung wurde nicht die LG c = 1 gesetzt!
Hypotenuse, Kathete und Ankathete wurden nur durch "c" geteilt.
Erst durch diese Division wird auf der Ankathete (Raumanteil) "v" zu (v/c).
Auf der Gegenkathete (Zeitanteil der RZ) verschwindet "c". Es bleibt nur das Verhältnis von Eigenzeit des bewegten Objekts zur Zeit "t" = "t_r" des ruhenden Objekts übrig.
Erst durch diese simple Umstellung wird der Radius des Kreises, der den Wert der LG c der SRT repräsentiert, zu 1.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2380-33:

Die KI meint unter der Bezeichnung "Laue-Gleichung" hier die Schwarzschild-Gleichung der ART in Polarkoordinaten (und ohne die oft üblichen "Vereinfachungen" im Nenner!!!).

Ergänzung:
Die von mir verwendete Schreibweise der ART in Polarkoordinaten bedeutet, dass ein Raumpunkt allein durch den Radius "r" auf einer Kugeloberfläche (mit einer Punktmasse im Zentrum) bestimmt wird. Die beiden Winkel für den Breiten- und Längengrad auf der Kugeloberfläche spielen nur eine sekundäre Rolle.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2380-31:

Wäre jemand daran interessiert zu untersuchen, wie diese geometrische Darstellung erweitert werden könnte, um den Übergang von der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie zu visualisieren? Die Art und Weise, wie sich der Einheitskreis unter der Schwerkraft verformt, bietet faszinierende Einblicke in die Raumzeitkrümmung.

Ich arbeite daran.
Meine aktuelle Idee für eine graphische Verschmelzung von SRT und ART wäre "erschreckend" einfach.
Deshalb bedarf es noch meiner gründlichen Überprüfung, die etwas Zeit(dauer) erfordert.

Utta schrieb in Beitrag Nr. 2380-41:

Relativ bedeutet: Eine Änderung vom Betrachtungsstandpunkt ändert nichts am mathematischen Ergebnis. Alles bleibt umkehrsymmetrisch gültig. … Wenn man bei einer (bewiesenen) Gleichung die Vorstellung von A ändert, ändert sich auch B damit C weiterhin stimmt. Sonst stimmt die Gleichung nicht mehr. Dies gilt auch für Einsteins (komplexere) Gleichung - und wurde von Ihm berücksichtigt.
Am (mathematischen) Gesamtergebnis ändert sich nichts.

Sicher alles richtig.
Das hilft mir jedoch beim Versuch einer Lösung o.g. Problems nicht weiter.

Gruß, Otto

Utta schrieb in Beitrag Nr. 2380-28:

Hallo John
(...) Einsteins ART war eine Weiterentwicklung seiner SRT. Auch die Gravitation ist eine geometrische Lösung. Was (logisch, mathematisch und geometrisch) für die Zeit gilt, gilt auch für die Gravitation. (...) Es würde mich freuen, wenn du auch dafür eine einfache grafische Darstellung findest.

John schrieb in Beitrag Nr. 2380-29:

Phänomene der ART auf diese Weise darzustellen, habe ich bisher nicht in Betracht gezogen, ist aber vielleicht auch irgendwie möglich .. , vielleicht hast Du mich da auf was gebracht

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2380-43:

Meine aktuelle Idee für eine graphische Verschmelzung von SRT und ART wäre "erschreckend" einfach.

Im Prinzip muss man doch nur die am Anfang dieses Beitrags beschriebenen grafischen Darstellungen mit der gleichen Methodik erweitern. Zeit und Gravitation – beides sind geometrische Lösungen. Was für die Zeit gilt, gilt auch für die Gravitation. Im Prinzip brauch man bei den (schon vorhandenen) Grafiken, nur die Bezeichnungen ersetzen.

Klar ist aber auch, diese grafische Darstellung würde nur den Stand der Dinge beschreiben - und wäre nichts Neues.
LG Utta

Utta schrieb in Beitrag Nr. 2380-44:

Im Prinzip brauch man bei den (schon vorhandenen) Grafiken, nur die Bezeichnungen ersetzen.

Utta, einfach machen.
Bin gespannt auf Dein Ergebnis.
Gruß, Otto

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2380-45:

Utta, einfach machen.
Bin gespannt auf Dein Ergebnis.

Hallo Otto
Vor meinem geistigen Auge steht diese grafische Darstellung der logischen Zusammenhänge. Ich bin aber viel zu faul, um dies mit der Mathematik gegenzurechnen. Da bist du besser als ich. Diese Mühsal überlasse ich gerne dir, John oder Claus.

Für mich ist die grafische Darstellung (der ART) „das Gleiche in Grün“. Im Prinzip darf sich die grafische Beschreibung der ART nicht von der logischen oder mathematischen Beschreibung der ART unterscheiden – sonst wäre sie ungültig. Bei den bisherigen Grafiken (der SRT) gab es keine Überraschung. Ich erwarte da auch bei der ART keine neue Überraschung (da bleib ich faul). Ich würde mich aber freuen, wenn ich mich da täusche und es neue überraschende Erkenntnisse gibt.

Utta schrieb in Beitrag Nr. 2380-17:

Hallo John
Die logischen zusammenhänge lassen sich mit deiner Darstellung einfacher begreifen als mit der Formel. Gefällt mir. Ich vergesse zu oft - und Du zeigst gut auf - dass (mitunter komplizierte) mathematische Formeln nur einfache logische zusammenhänge beschreiben.

In diesem Sinne freue ich mich auf eine neue grafische Darstellung.
LG Utta

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2380-42:

Ich weiß ehrlich gesagt nicht worauf du hinaus willst.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2380-43:

Sicher alles richtig.
Das hilft mir jedoch beim Versuch einer Lösung o.g. Problems nicht weiter.

Hallo Claus, – dies bezog sich auf deiner Bemerkung von Inertialsystem ("in Ruhe") – und die Abhängigkeit dieses Systems vom Betrachtungsstandpunkt (der Perspektive).

Sorry, war nicht deutlich. Im Prinzip ging es um die Frage: Gibt es eine mathematische Beweisführung für die Gültigkeit einer Perspektive? Thomas Kuhn untersuchte den Wechsel der Perspektive durch Kopernikus. Er kam zu der Schlussfolgerung, dass dieser Wechsel der Perspektive im Universum sich damals weder logisch noch mathematisch ableiten ließ – und deshalb dieser Wechsel nur als Postulat möglich war. Diese Grundüberlegungen führten zu dem, durch ihn, berühmt gewordenen Terminus „Paradigmenwechsel“. Kuhn schrieb schon 1962: Der Tausch der Perspektive (im Universum) durch Kopernikus änderte das Paradigma (des Universums). Dieses neue Paradigma wiederum änderte die mathematische Beweisführung. Kuhn bewies, dass der Tausch der Perspektive dazu führte, dass die logischen und die mathematischen Beweis-Systeme vor und nach Kopernikus nicht identisch waren.

Es geht darum, dass die (eigentlich banale) logische Regel - bei einem Tausch der Perspektive ändert sich an den mathematischen Verhältnissen nichts – seit Kopernikus auch für das Universum gilt. Diese logische Regel der Perspektive ist so banal, dass wir kaum beachten, dass sie auch bestimmt, was sich (im Universum) mathematisch beweisen lässt und was nicht. Mathematische Verhältnisse bleiben bei einem Wechsel der Perspektive gleich. Sie können deshalb nicht beweisen ob die Perspektive stimmt. Kuhn bewies, dass seit Kopernikus gilt: Auch mit bewiesenen mathematischen Verhältnissen bleibt unbekannt, ob die Perspektive für unser Inertialsystem oder für unsere Beobachtung/Wahrnehmung stimmt. Thomas Kuhn bewies, dass diese Regel der (relativen) Beobachtung nicht erst seit Einstein, sondern schon seit Kopernikus gilt. Die Perspektive bleibt (auch bei Einsteins Formel) eine (unbewiesene) Vorgabe (Paradigma / Prämisse). Zeit und Gravitation sind bei Einstein geometrische Lösungen. Ein Raum oder eine geometrische Raumlösung hat keine Richtung und beweist auch keine Richtung. Alle Beobachtungen bleiben relativ. Jede Beobachtung einer Wahrgenommenen Richtung (auch die von Zeit oder Gravitation) im Universum bleibt (auch mit bewiesenen mathematischen Verhältnissen) eine ungeklärte Frage der Perspektive. Seit Kopernikus gilt bei der Beobachtung die Regel: Die Perspektive bestimmt die Wahrnehmung. Bei ungeklärter Perspektive bleibt auch eine umgekehrte Perspektive gültig. Alles (auch die Richtung bei Zeit oder Gravitation) bleibt daher auch umkehrsymmetrisch gültig.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2380-36:

Welche physikalische Dimension diesem zu Grunde gelegt wird, hängt von der Betrachtungsweise (dem Paradigma das man zu Grunde legt), ab. Bei Strecke/Zeit impliziert man immer, es müsse sich etwas bewegen. So bewegt sich bspw. ein Objekt für einen Beobachter mit v durch den Raum des Beobachters. Für das Objekt dagegen bewegt sich nichts. Es ruht still in seinem Raum und es vergeht nur Zeit. Die Vorstellung einer Bewegung "Strecke/Zeit" ist also vom Betrachtungsstandpunkt abhängig.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2380-39:

Das ist ein wichtiger Punkt.
Die Änderung des Verhältnisses "Strecke/Zeit" kann mathematisch sowohl als Änderung der Distanz als auch Änderung der Eigenzeit interpretiert werden.

Hallo Otto
Dass diese möglichen Interpretationen vom Betrachtungsstandpunkt abhängen, ist nichts neues, dies war schon Einstein klar. Deshalb seine Definition: Relativ. Otto, ich wollte darauf hinweisen, egal wie du dies interpretierst – es ändert sich am mathematischen Ergebnis nichts. Jede Interpretation führt zu: ist gültig. Auch da gilt: "ist das Gleiche in Grün". Kann man machen - aber wozu? Es darf nicht zu einem anderen Ergebnis führen. Nach Kuhn bestimmt die Vorgabe Paradigma auch die Gleichungen der mathematische Beweisführung. Die Interpretation von Faktoren, innerhalb einer Gleichung, verändert nichts. Eine Gleichung beschreibt einen gesamt-Zusammenhang (etwas Gesamtes). Eine Verschiebung innerhalb einer Gleichung ändert nicht die Perspektive im Universum (auf das Gesamte). Seit der Untersuchung von Kopernikus durch Kuhn gilt, dass auch die Perspektive ein Paradigma ist - und auch die mathematischen Beweisführung auf diesem Paradigma beruht. Die Mathematik kann deshalb die Gültigkeit einer vorgegebenen Perspektive weder beweisen, noch ändern. Das Problem - welche Perspektive (Betrachtungsstandpunkt) ist gültig? - lässt sich, meiner Meinung nach, mit der mathematischen Beweisführung nicht lösen.

Ich denke, dass man auch bei einer grafischen Darstellung diese Thematik nicht vermeiden kann. Es sprengt aber diesen Thread. Werde eine neuen eröffnen.*
LG Utta
* Dauert etwas, ich habe gerade viel um die Ohren.

Utta schrieb in Beitrag Nr. 2380-47:

Es sprengt aber diesen Thread. Werde eine neuen eröffnen

Hallo Utta, das wäre gut.
Gruß, Otto

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2380-31:

Wäre jemand daran interessiert zu untersuchen, wie diese geometrische Darstellung erweitert werden könnte, um den Übergang von der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie zu visualisieren? Die Art und Weise, wie sich der Einheitskreis unter der Schwerkraft verformt, bietet faszinierende Einblicke in die Raumzeitkrümmung.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2380-34:

Ich schlage vor, dem kartesischen Koordinatensystem noch eine weitere "z-Achse" hinzuzufügen, welche im Sinne der ART den Einfluss eines Gravitationspotenzials beschreibt. Der Lichtgeschwindigkeitsvektor kann dann nicht mehr nur eine räumliche Komponente bekommen, sondern auch eine gravitative.

Hallo Claus,
ich komme auf Deinen Kommentar, Beitrag Nr. 2380-34, und die Bemerkung der KI, Beitrag Nr. 2380-31, zurück.
Ich habe versucht, Deine vorgeschlagene graphische Darstellung zu quantifizieren.

Mein aktueller Beitrag beschäftigt sich mit der graphischen Darstellung einer gleichzeitigen Zeitdilatation auf Grund einer relativen Bewegung und auf Grund der Zeitdilatation im Gravitationsfeld.
Die geometrische Darstellung der Gleichung der SRT als Einheitskreis, mein Beitrag Nr. 2380-23, wird um die Zeitdilation der ART ergänzt.



ART und SRT zusammen lassen sich geometrisch als Ellipse darstellen.
Anschaulich formuliert "dreht" sich die Ebene des Einheitskreises der SRT um die x-Achse (v/c). Durch die Drehung des Kreises entsteht eine Ellipse.
Der Einheitskreis der SRT wird zum Grenzfall der ART.

Im Falle des Ereignishorizont eines "Schwarzen Loches" (r → rs) geht der Scheitelpunkt der Ellipse auf der y-Achse gegen Null und der Scheitelpunkt auf der x-Achse nimmt den Wert (v/c) = 1 an.
Die Ellipse wird zu einer Geraden mit der Länge seiner Halbachse "a" auf der x-Achse.
Der Ereignishorizont beschreibt damit einen Zustand der Lichtgeschwindigkeit ohne Zeit.

Aus Sicht aus Unendlich, eines s.g. FIDO ⁽¹⁾, steht die Zeit im Schwarzschildradius des Schwarzen Loches.

- Die SRT beschreibt die Zeitdilatation in einem gravitationsfreien Raum.
Die Messwerte sind invariant zum Bezugssystem und hängen nicht vom Bewegungszustand des eines Koordinatensystems ab.

- Die ART beschreibt die Wirkung eines Gravitationsfeldes auf die Zeitdilatation.
Die Beobachtung ist absolut und nicht gegenseitig (im Gegensatz zur SRT) und nicht invariant.
Eine Uhr zum Beispiel auf der Erdoberfläche läuft langsamer als im Orbit.

Nach Einstein vergeht die Zeit von Zustandsänderung (innerer Prozesse) in einem bewegten System langsamer und wird als Eigenzeit bezeichnet.
Die Eigenzeit ist die Zeit, die jeder Beobachter in seinem System auf seiner eigenen Uhr abliest.

Unter dem Begriff Beobachter ist ein Messapparat oder Sinnesorgan zu verstehen, das einen Ist Zustand und/oder die Zustandsänderung eines Phänomens erfasst.

In einem Gravitationsfeld ist das Verhältnis der Eigenzeiten für einen ruhenden FIDO
τ∞/τr = ξ
und eines zusätzlich bewegten Systems
τ∞/τr = γ·ξ .

mit dem Lorentz-Faktor γ = 1/√[1 – (v/c)²],
sowie der Schwarzschildmetrik ξ = √g++ = 1/√[(1 – (rs/r))]
mit dem Schwarzschildradius "rs" und
"r", einer Distanz zum Schwarzschildradius in der Raumzeit.
Siehe auch Wikipedia Zeitdilatation.

Nach der SRT ist τb/τi = 1/γ, mit der Eigenzeit des bewegten Systems τb und der Eigenzeit τi des Inertialsystems.
Wenn zusätzlich zur (Relativ)-Bewegung "v" gleichzeitig das Gravitationsfeld einer Masse wirkt, dann ändert sich sowohl die Eigenzeit des Inertialsystems als auch die Eigenzeit des beobachteten Objekts.

Das Verhältnis τb/τi ändert sich folglich zu
τb/τi = 1/(γ·ξ)
Das Quadrat dieses Ausdrucks ist

(τb/τi)² = [(1 – (v/c)²)]·[(1 – (rs/r))]

Eine Umstellung führt auf
(τb/τi)² [1/(1 – (rs/r))] = 1 – (v/c)²
und
(τb/τi)² [1/(1 – (rs/r))] + (v/c)² = 1

Diese Gleichung beschreibt den Satz des Pythagoras als Einheitskreis mit der Ankathete (v/c) und der Gegenkathete (τb/τi) √[1/(1 – (rs/r))].
Die Skalierung der "y-Achse" ändert sich um den Faktor √[1/(1 – (rs/r))] als Folge der Wirkung eines gravitativen Feldes.

Ist rs = 0 (keine Masse), dann wird der Faktor zu √[1/(1 – (rs/r))] = 1.
Dieser Grenzfall entspricht der Skalierung für den Fall der SRT (ohne jede gravitatives Feld).

Die Zeit verläuft langsamer in einem bewegten System (v → c).
Die Zeit verläuft ebenfalls langsamer in einem stärkeren Gravitationsfeld (r → rs).

Unter Berücksichtigung der Gravitation wird der Einheitskreis geometrisch zu einer Ellipse.
Die algebraische Gleichung der Ellipse ist:
(y/b)² + (x/a)² = 1.
Hier ist x = (v/c) mit der Halbachse der Ellipse a = 1.
Weiter ist y = (τb/τi) mit der Ellipsenhalbachse b = √[(1 – (rs/r))].

Die dimensionslose Variable (v/c) auf der x-Achse ist invariant in einem gravitativen Feld.
Die Geschwindigkeiten "v" und "c" ändern sich in gleichem Maße. Eine Maßstabsänderung der räumlichen Entfernung oder eine Maßstabsänderung der Zeit heben sich in dem Verhältnis (v/c) auf, ebenso eine Raumkrümmung oder eine Zeitkrümmung.

Interessant ist der Einfluss der Gravitation auf die Zeitdilatation im Verhältnis zur Zeitdilatation infolge Bewegung in einem gravitationsfreien Feld. Das ist von erheblicher Bedeutung für aktuelle Navigationsgeräte und Waffen zur zentimetergenauen Positionsangabe. Der Einfluss der Gravitation ist in diesem Falle 6,4-mal größer als die Zeitdilatation infolge Relativbewegung.
Siehe "Relativität in der realen Welt: Das GPS-Navigationssystem".

Gruß, Otto

⁽¹⁾ In der Fachliteratur wird ein Beobachter mit Blick aus dem Unendlichen als stationär ruhender FIDO (fiducal observer), dem s.g. "Koordinatenbuchhalter", bezeichnet.
Unter der Bezeichnung FFO (free following observer) wird ein in einem Gravitationsfeld "frei fallenden Beobachter" verstanden.
Siehe Wikipedia.