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Ottos Welt – Maßstabsänderungen für Raum und für Zeit

Thema erstellt von Otto 
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Beiträge: 1.048, Mitglied seit 8 Jahren
In der klassischen Physik ist die aktuelle Distanz eine räumliche Entfernung zwischen zwei Punkten, die konstant oder zeitlich veränderlich ist und die nach einem definierten Normalmaß, einem Talon, bemessen wird.
Für die Zeitdauer ist die s.g. Atomuhr als Normalmaß vereinbart. Die Maßeinheit der Zeit ist als Vielfaches einer Periode einer elektromagnetischen Wellenresonanz des Cäsium-Atoms definiert. Die Periode ist die Zahl der Wellenzüge des Überganges eines Elektrons von einem Energiezustand auf einen anderen.

Längendilationen, Raumkrümmung und Zeitdilationen sind aus der ART und SRT bekannt.
Die räumliche Volumendilatation (dx = dy = dz) ist durch die Rotverschiebung nachweisbar.
Roger Penrose schlug vor, die räumliche Expansion des Alls mittels veränderlichen Maßstabes mathematisch zu beschreiben. Er nennt dies "mitbewegte Entfernung" (commoving distance) und versteht darunter einen Maßstab, der mit dem Universum wächst. Es ist ein Maßstab, dessen Abstände sich zwischen den Markierungen dehnen, die Zahlen der Abstandsmarken sich jedoch nicht ändern (wie auf ein Gummi-Lineal). Die "mitbewegte Entfernung" ist eine dimensionslose prozentuale Größe, die sich mit der Zeitdauer ändert. (1)

Weiterhin unterscheidet Roger Penrose (Nobelpreisträger 2020) zwischen der üblichen normalen Zeit (time) und der s.g. "konformen Zeit" (conformal time), eine veränderliche Zeit, deren Maßstab sich in gleicher Weise ändert wie die mitbewegte Entfernung (dx = dy = dz =dt). In einem Koordinatensystem mit der mitbewegten Entfernung auf der X-Achse und der konformen Zeit auf der Y-Achse, wird dann die Weltlinie eines Lichtstrahls zu einer Geraden Y = X (das heißt eines um 45° "winkeltreu" geneigten Strahls).

Im Folgenden wird analysiert, ob sich diese Gendanken von Roger Penrose, den er für das expandierende Universum applizierte, ganz allgemein auf Geschwindigkeiten anwenden lässt.
Die Idee der mitbewegten Entfernung von Penrose wird auf die "Laufzeit-Entfernung" angewendet und analysiert.

Gruß, Otto

(1) Die Länge einer Strecke nimmt im Vakuum gegenwärtig um 0,00000000757% pro Jahr zu.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 07.06.2021 um 08:34 Uhr.
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Beiträge: 1.048, Mitglied seit 8 Jahren
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2363-1:
Die Idee der mitbewegten Entfernung von Penrose wird auf die "Laufzeit-Entfernung" angewendet und analysiert.

Zusammenfassung - Maßstabsänderung von Raum und Zeit für die Laufzeitentfernung

Die Ergebnisse sind überraschend.

1. Der Zeitfluss ist nicht konstant, sondern eine veränderliche Größe. Über die Zeitdauer verändert sich der Zeitablauf.
Der Maßstab der Zeit folgt dem Logarithmus naturalis.
Die Zeit verläuft kurz nach einem Ereignis anfangs schneller.

2. Die Definition eines Einheitswertes 1 als Maßzahl für die Zeit und der Maßzahl 1 für die räumliche Entfernung lässt sich rein mathematisch begründen (völlig unabhängig von den willkürlich festgelegten Maßstäben wie Urmeter und Atomuhr).

3. Die Raumzeit ist bei jeder Relativbewegung gekrümmt (nicht verursacht durch eine Masse).
Merkmal von Licht ist, dass die Krümmungen von Zeit und von räumlicher Dimension gleich sind.

4. Die Krümmungen der Zeitdauer und der Distanz gehen mit zunehmender Zeit/Entfernung gegen Null (konstanter Zeitfluss).
Zeitdauer und räumliche Entfernung wachsen gegen Unendlich. Dies gilt allerdings nur für eine 1-dimensionale räumliche Beziehung zwischen Beobachter und Objekt. Für den dreidimensionalen Raum streben Zeit/Entfernung gegen einen endlichen Grenzwert (π).

5. Die Veränderung des Maßstabes, d.h. die Änderung der Skalierung, ist im Grunde nur eine Koordinatentransformation.
Der γ-Faktor der SRT lässt sich als Verhältnis verschiedener Maßstäbe beschreiben.
Es ist γ² = 1/[1 – (Yc/Yv)²] mit den unterschiedlichen Zeitmaßstäben Y für Licht und für eine Relativgeschwindigkeit v bzw. γ² = 1/[1 – (Xv/Xc)²] mit den unterschiedlichen Zeitmaßstäben X der räumlichen Dimension.

6. Die Änderung des Entfernungsmaßstabes und die Änderung des Zeitmaßstabes sind durch eine Hyperbelgleichung miteinander verknüpft.
Der Wert des Krümmungsradius im Scheitelpunkt der Hyperbel ist identisch mit dem Radius bis zum Scheitelpunkt - wie vom Schwarzschildradius her bekannt - hier jedoch nicht durch eine Masse verursacht.
Dieser Kreisradius beschreibt in diesem Falle keine Grenze für Information und kausale Zusammenhänge, sondern ist der Spiegel von Zeitdauer und Distanz.
Die Spiegelung erfolgt am Kreisumfang, die das Äußere des Kreises auf das Innere des Kreises abbildet. So werden Zeit und Raum zueinander Spiegelungen ein und desselben.
Zeit und Raum sind zueinander austauschbar.
Die Kreislinie markiert den Ist-Zustand, den Augenblick.
Den Raum erleben wir. Er ist unsere Erlebniswelt.
Zeit erleben wir nicht; Zeit können wir mit keinem unserer Sinnesorgane wahrnehmen. Die Daten einer Zustandsänderung, der Zeit, existiert nur als gespeicherte Information in unserem Gedächtnis.

7. Die mathematisch-geometrische Spiegelung von Raum und Zeit am Kreis lässt sich auch prosaisch formulieren:
Der Raum ist der "Schatten" der Zeit. Dieser Schatten ist unsere Erlebniswelt.
Diese Interpretation beantwortet die Frage nach einer (möglichen) Ursache von Raum bzw. einer räumlichen Dimension.

8. Wenn die Zeit Ausdruck einer Zustandsänderung ist, dann gibt es ohne Zustandsänderung keine Zeit.
Die Relativgeschwindigkeit ist eine Zustandsänderung. So, wie sich eine Entfernung ändert, ändert sich bei einer konstanten Geschwindigkeit im gleichen Maße auch die Zeitdauer. Das gilt für jede Relativgeschwindigkeit, einschließlich der Lichtgeschwindigkeit.
Merkmal der Lichtgeschwindigkeit sind identische Maßstäbe für Raum und für Zeit.
Eine Relativgeschwindigkeit v unterscheidet sich von der Lichtgeschwindigkeit c nur durch unterschiedliche Maßstäbe für Raum und für Zeit.
Die Lichtgeschwindigkeit lässt sich als "Normalzustand" unserer Welt verstehen.
Die Relativbewegung ist nur eine Abweichung von diesem Normalzustand.
Roger Penrose ist der Auffassung, dass die Lichtgeschwindigkeit deshalb ihren Sinn als Naturkonstante verliert.

9. Die Zustandsänderung der Distanz bzw. des Raumes ist Ausdruck von Zeit und gleichbedeutend mit der Zeit.
Folglich kann infolge der Symmetrie von Zeitdauer und Distanz die Relativgeschwindigkeit zwischen zwei Objekten als die Wirkung unterschiedlicher Eigenzeiten zweier Punkte (2) interpretiert werden.
Der Zeitmaßstab definiert die Eigenzeiten.
Das Resultat sind unterschiedliche Zeitdauern für einen Beobachter und einem dazu relativ bewegten Objekt.
Für das bewegte Objekt ändert sich also eigentlich nicht die Entfernung.
Wir erleben es nur so und definieren die Differenz der unterschiedlichen Eigenzeiten als Relativgeschwindigkeit.

10. Zeitdauer und Distanz als Integral dieser Änderungen lassen sich zweckmäßig in einem doppelt-logarithmischen Koordinatensystem darstellen. Zur graphischen Darstellung von Zeitdauer und Distanz bietet sich ein ln-ln-Plot mit einer Teilung n auf Basis en und der Eulerzahl e = 2.72… als Basis an.
Durch diese Darstellung wird eine Hyperbel im logarithmischen Koordinatensystem zu einer Geraden (3) Die Gerade gilt für jede beliebige Relativgeschwindigkeit, auch für die Lichtgeschwindigkeit.

11. Für den speziellen Fall der Lichtgeschwindigkeit wird diese Gerade zum bekannten Lichthorizont bzw. Ereignishorizont.

12. Der veränderliche Maßstab der Zeit ist durch unsere logarithmische Erlebniswelt verdeckt.
Unsere Welt ist eigentlich eine logarithmische Welt.
Erst die geometrische Darstellung mittels eines ln-ln-Plots führt zu den bekannten linearen Zusammenhängen von Raum und Zeit (für konstante Relativgeschwindigkeiten), wie wir sie erleben und messen.

Gruß, Otto


(2) Die Relation eines Punktepaares lässt sich als Eigenschaft eines einzelnen Punktes interpretieren. Denn jedes einzelne Ding kann nach der Mengenlehre zu sich selbst in Relation stehen, als s.g. reflexive Beziehung. Die Relation des Punktepaares ist der Einzelpunkt selbst.
Die Relation ist das Verhältnis der beiden Maßstäbe der Zeit und der Raumdimension.
Das ganze Universum bestünde dann nur aus sich ständig verändernden Relationen eines einzigen Punktes.
Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Relation_(Mathematik) und Beitrag Nr. 2358-24 und Beitrag Nr. 2358-36.

(3) Die Gerade ist ein geometrisches Objekt ohne innere Eigenschaften. Von Bedeutung sind nur die Beziehungen zwischen Punkten.
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Strecke (Distanz, Entfernung).
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 07.06.2021 um 08:39 Uhr.
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Beiträge: 1.048, Mitglied seit 8 Jahren
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2363-2:
1. Der Zeitfluss ist nicht konstant, sondern eine veränderliche Größe. Über die Zeitdauer verändert sich der Zeitablauf.

Änderung des Zeit-Maßstabes und Änderung des Weg-Maßstabes

In der klassischen Physik ist der Betrag der durchschnittlichen Geschwindigkeit das Verhältnis von Distanz zu Zeitdauer. Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert dieses Verhältnisses, wenn das Zeitintervall gegen Null strebt.
Diese Auffassung geht von einem kontinuierlichen Zeitfluss aus, dessen Maßstab stets konstant ist.

Die folgenden Ausführungen gehen von dem Gedankenspiel aus, dass sich nicht nur der Weg, sondern auch die Zeit ändern kann.

Das Maß der Zustandsänderung (vs) des Weges s ist zu einem Zeitpunkt t0.
vs = ds/t0



Das Maß der Zustandsänderung (vt) der Zeit t ist an einem Ort s0
vt = s0/dt


Beide Zustandsänderungen, die des Weges und die der Zeit, sind dann identisch, wenn vs = vt ist.
Daraus ergibt sich die Gleichung einer Hyperbel mit den Variablen ds und dt.
ds∙dt = s0∙t0 = S0/N


S0 ist die physikalische Größe einer Wirkung mit der Einheit [Js].
1 N (Newton) = eine Kraft, die die Geschwindigkeit oder Richtung der Geschwindigkeit eines Körpers verändert.
Die Wirkung ist das Produkt aus Energie und Zeit. Die Wirkung ist das Merkmal von Bewegungsgleichungen, die dem Prinzip der kleinsten Wirkung folgen (Hamiltonsches Prinzip). Das bedeutet, dass der Weg zwischen zwei festen Punkten so erfolgt, dass dafür ein Minimum an Energie erforderlich ist.
Ein Joule [J] ist die Grundeinheit der Energie, definiert als Leistung von einem Watt [W], die in der Zeitdauer von einer Sekunde umgesetzt wird.
Weiterhin ist 1 J = 1 Nm und somit hat ds∙dt = s0∙t0 = S0/N die Maßeinheit [m·s] = [J·s/N] = [Nm·s/N].


Wird vereinfachend S0/N = 1 gesetzt, dann ist die Änderung des Wegmaßstabes der Änderung des Zeitmaßstabes umgekehrt proportional (Längendilatation = 1/Zeitdilatation).
ds∙dt = 1


Auf Wirkungen S0 ungleich 1 wird später weiter unten eingegangen.


Daraus ergibt sich die folgende graphische Darstellung:



Bild: Relativbewegung als differentielle mitbewegte Entfernung und differentielle mitbewegte (konforme) Zeit in einem dezimalen x-y-Koordinatensystem

Im Diagramm sind auf der Abszisse x die Entfernung-Maßstabsänderung und auf der Ordinate y die Zeit-Maßstabsänderung aufgetragen. Beide Maßstäbe sind durch die Hyperbelgleichung y = 1/x miteinander verknüpft.
Weiter unten in diesen Ausführungen wird gezeigt, dass die Hyperbel den Lichthorizont (Nachkegel) präsentiert. In einem logarithmischen X-Y-Diagramm mit Zeitdauer und Distanz wird die Hyperbel zur Geraden des Lichthorizonts.

Der Krümmungsradius im Scheitelpunkt A der Hyperbel y = 1/x ist identisch mit dem Kreisradius rS um den Koordinatenursprung L(0,0).
Diese Beziehung ist aus der ART als Schwarzschildradius bekannt, wird hier jedoch nicht durch eine Masse verursacht. Auf eine physikalische Interpretation dieser geometrischen Zusammenhänge wird später weiter unten noch näher eingegangen.

Diese Stammfunktion F(x) = ln(x) stellt das Integral der Hyperfunktion y = 1/x dar. Für x = e nimmt die Stammfunktion F(x) den Wert 1 an. Anders ausgedrückt, die Fläche unter der Hyperbelkurve hat im Bereich x = 0 … e den Wert 1.

So ist es möglich, einen Einheitswert 1 für die Zeitdauer und für die räumliche Entfernung als rein mathematische Größe in Verbindung mit der Eulerzahl e zu begründen.
Euler hat übrigens genau auf diese Weise die Zahl e hergeleitet, allerdings seinerzeit durch Annäherungen mittels veränderlichen breiten Balkens und deren Höhen y = 1/x.

Es bedarf experimenteller Messungen, um diese mathematischen Einheitswerte mit Werten des internationalen Einheitensystems von physikalischen Größen bzw. Naturkonstanten zu ermitteln.

Die im Diagramm dargestellte Funktion F* stellt die Spiegelung der Funktion F an der Geraden y=x dar. Die Funktion F* = F*(x(t), y(t)), in Parameterdarstellung mit dem Parameter t (t ist hier nicht die Zeit!), lässt sich auch in folgernder Form schreiben:



Die Zeitdauer F*, bezogen auf die y-Achse, wächst genauso wie die Entfernung, anfangs schnell, später nur schwach progressiv.
Die Darstellung der ln-Funktion F* mittels eines Parameters t ist interessant.
Sie zeigt den engen Zusammenhang zwischen der ursprünglichen Funktion F = ln(x), überlagert von der linearen Funktion des Parameters t auf der y-Achse.

Der "Zeit-Fluss" ist nicht linear, sondern folgt dem Logarithmus naturalis mit der Eulerzahl e = 2,718281828… als Basis.
Das hat keinen Einfluss auf eine gemessene Relativgeschwindigkeit, da sich nicht nur die Zeit, sondern auch die Distanz in gleicher Weise nach einer ln()-Funktion entwickelt.

Die Änderung der Distanz ergibt sich aus der 2. Ableitung der der Stammfunktion F(x) = ln(x), bzw. der 1. Ableitung der Hyperbel y = 1/x.

F''(x) = f'(x) = -1/x²


Die Krümmung F'' beschreibt die Abweichung von einer Geraden. Sie ist negativ, weil die Hyperbel y = 1/x für x > 1 eine fallende Kurve ist.
Der Betrag der Änderung der Funktion F(x) ist für x = 1 am größten.
Für große Distanzen (und Zeitdauern) wird die progressive Änderung immer kleiner und nähert sich einem nahezu konstanten "Zeitfluss" immer mehr an.

Interessant wäre eine analoge Analyse von Zustandsänderungen, die sich nicht unmittelbar auf einen Weg beziehen. Dazu gehören zum Beispiel radioaktive Zerfallsprozesse bzw. die Masse-Energie-Äquivalenz (mit und ohne Abgabe von Masse) eines quantenphysikalischen Zerfallkanals.
Wachstumsprozesse folgen in der Natur jedoch ohnehin einer e-Funktion, deren Zustandsänderung vom aktuellen Ist-Wert bestimmt wird.

Die im Bild an der Geraden y = x dargestellte Spiegelung von Zeitdauer und Distanz im x-y-Diagramm bedarf einer genaueren Verifizierung:

Die Fläche eines Rechtecks mit der Kantenlänge x und y zum Punkt (x,y) auf der Kurve ist stets konstant und hat die Fläche x∙y = a². Die Funktion y = a²/x stellt eine Hyperbel (4) dar.

Im folgenden Bild wird der spezielle Fall a = 1 und x = e graphisch dargestellt.



Bild: Äquivalenz der Flächen für Zeitdauer und Distanz

Der Punkt C auf der Hyperbelkurve y = 1/x hat die Koordinaten (x,y) = (e,1/e).
Der Augenblick E'2 und der aktuelle Ort E sind geometrisch über den Kehrwert verknüpft.

Die orangefarben schraffierte Fläche stellt die Zeitdauer dar, die grüne Fläche die Distanz.
Mit fortschreitender Zeit werden auf der Hyperbel, beginnend mit Punkt A (x = 1) und endend mit Punkt C (x = e), gleichzeitig zwei Flächen aufgespannt, die grüne Fläche und die orange schraffierte Fläche. Die grüne Fläche Areas und die orange schraffierte Fläche Areat1 haben den gleichen Zahlenwert.

Aber auch die violette Fläche Areat2 hat den gleichen Wert wie die grüne Fläche Areas.
Das lässt sich durch die folgenden Gleichungen begründen.

Die Distanz ist für einen (beliebigen) Parameterwert t




Die Zeitdauer ist



Die Integrale verdeutlichen, dass Zeitdauer und Distanz in der geometrischen Darstellung einen gemeinsamen Ursprung im Scheitelpunkt der Hyperbel haben, markiert durch die Integrationsgrenze mit dem Wert 1.
Der Scheitelpunkt A ist eine Art gemeinsamer "Quelle" von Zeit und Raum.

Die Integrationsgrenze 1 ist bei beiden Integralen einmal als untere, im anderen Fall als obere Integrationsgrenze eingesetzt. So wird erreicht, dass beide Werte positiv bleiben.

Die zweite Integrationsgrenze ist der Parameter t bzw. der Kehrwert 1/t.
Die Integrationsgrenzen t und 1/t sind Spiegelungen am Einheitskreis.
Damit wird das Integral (bildlich dargestellt als Fläche) zwischen 1 und einem beliebigen Punkt t >1 außerhalb des Kreises zu einer Spiegelung des Integrals zwischen 1 und einem Punkt 1/t <1 im Inneren des Kreises.

Die beiden Gleichungen führen zum gleichen Ergebnis ln(x).
Die Flächen für Zeitdauer und Distanz ergeben den gleichen Wert, wenn die Integrationsgrenzen Spiegelwerte sind.

So werden Zeitdauer (duration) und Distanz (distance) zueinander spezielle konforme Transformation mittels reziproker Radien.

Raum und Zeit sind mathematisch nur Spiegelbilder zueinander.
Raum und Zeit existieren nur zusammen als ein mathematisches Objekt. (5)

Deshalb lässt sich aus den geometrischen Darstellungen nicht die Frage beantworten, ob während des s.g. Urknalls nur die Zeit oder nur der Raum existierte.

Was wir mit unseren Sinnen erleben ist nur der Raum.
Zeit erleben wir nicht mit unseren Sinnen. Zeit als geschichtliche Ereignisse registrieren wir nur Dank unseres Gedächtnisses.

Die mathematisch-geometrische Spiegelung von Raum und Zeit am Kreis lässt sich auch prosaisch formulieren:
Der Raum ist der "Schatten" der Zeit. Dieser Schatten ist unsere Erlebniswelt.
Diese Interpretation beantwortet die Frage nach einer (möglichen) Ursache von Raum bzw. einer räumlichen Dimension.


Groß, Otto



(4) Die Gleichung Hyperbel y = a²/x mit a = 1, wie im x-y-Diagramm dargestellt, lässt sich auch allgemeiner als Gleichung x² - y² = a² = 1 (in einem um 45° gedrehten Koordinatensystem) umstellen.
Genau diese mathematische Form entspricht der Ausgangsgleichung der ART von Einstein.

(5) Eine Analogie ist bei Wellenfunktionen zu finden; Wellenfunktionen haben sowohl Eigenschaften von Teilchen als auch von Wellen gleichzeitig. Licht ist weder Welle noch Teilchen allein.

Anmerkung: Am 15-JUN-2021 das Hamiltonsche Prinzip (Wirkung) eingeführt und die Gleichung ds∙dt = s0∙t0 entsprechend korrigiert.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 17.06.2021 um 19:31 Uhr.
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Otto schrieb in Beitrag Nr. 2363-2:
4. Die Krümmungen der Zeitdauer und der Distanz gehen mit zunehmender Zeit/Entfernung gegen Null (konstanter Zeitfluss).
Zeitdauer und räumliche Entfernung wachsen gegen Unendlich. Dies gilt allerdings nur für eine 1-dimensionale räumliche Beziehung zwischen Beobachter und Objekt. Für den dreidimensionalen Raum streben Zeit/Entfernung gegen einen endlichen Grenzwert (π).

Unendliche Entfernung und unendliche Zeitdauer

(a) Entfernung und die Zeitdauer A
werden beide im Integrationsbereich x = 1…∞ bzw. y = 1…∞ jeweils unendlich groß.



(b) Die differentielle Zeitänderung y = dtc geht gegen Null mit wachsender differentieller Wegänderung dsc. (Für die Hyperbel y =1/x geht y → 0 mit x → ∞.)

(c) Ebenso geht die differentielle Wegänderung dsc gegen Null mit wachsender differentieller Zeitänderung y = dtc.

(d) Das Integral über die Krümmung F''(x) = f'(x) = -1/x² im Integrationsbereich x = 1…∞ ergibt den endlichen Wert V*= -1.




V* ist negativ, weil die Kurve f(x) = 1/x mit zunehmendem x fällt.

Während das Integral der Kurve 1/x² (für den Bereich x = 1…∞) den endlichen Betrag |V*| = 1 aufweist, ergibt das Integral der Kurve 1/x für den gleichen Bereich den unendlich großen Wert A = ∞.

Der Vergleich zwischen der "Fläche" A (unter der Hyperbel y = 1/x) und dem Betrag |V*| erinnert daran, dass das Volumen dieses um die x-Achse (mit x → ∞) rotierenden Segments A den Wert π annimmt.
Die Schnittfläche des Rotationskörpers an der Stelle x hat die Größe einer Kreisfläche πy² = π(1/x)² (6). Das Rotationsvolumen der unendlich großen Fläche A im Bereich x = 1 … ∞ ist



Physikalisch betrachtet, wandelt die Einführung eines neuen Freiheitsgrades, der Rotation, den Wert Unendlich zu einem endlichen Wert.
"Rotation" bedeutet in diesem Falle zwei neue zusätzlichen Dimensionen quer zur x-Achse.
Das gleiche gilt natürlich auch aus Gründen der Symmetrie für eine Fläche zwischen Hyperbelast und y-Achse, welche um die y-Achse rotiert.

In unserem Fall stellt die Fläche A die Distanz dar, die gespiegelte Fläche zwischen Kurve und y-Achse die Zeitdauer.

Mit fortschreitender Zeitdauer wird die Änderung der Zeit immer geringerer und so zu einem kontinuierlichen Zeitfluss. Zeitdauer und Distanz wachsen kontinuierlich ohne Grenze gegen Unendlich.
Dies gilt jedoch nur für eine 1-dimensionale Betrachtung.

Für einen 3-dimensionalen (räumlichen) Raum dagegen haben Zeitdauer und Distanz einen endlichen Grenzwert, den Wert π.
Dieser Wert entspricht der Länge eines Kreisumfangs für einen Kreisdurchmesser 1.

Die physikalische Deutung dieses mathematischen Zusammenhangs für π als Grenzwert bleibt im Moment noch offen und bedarf der weiteren Diskussion.



Gruß, Otto


(6) Das Rotationsvolumen des Hyperbelsegments mit der Schnittfläche 1 ist

Das Volumen beträgt in diesem Falle ca. das Doppelte des Zahlenwertes der Fläche.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 08.06.2021 um 00:29 Uhr.
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Beiträge: 1.048, Mitglied seit 8 Jahren
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2363-2:
10. Zeitdauer und Distanz als Integral dieser Änderungen lassen sich zweckmäßig in einem doppelt-logarithmischen Koordinatensystem darstellen. Zur graphischen Darstellung von Zeitdauer und Distanz bietet sich ein ln-ln-Plot mit einer Teilung n auf Basis en und der Eulerzahl e = 2.72… als Basis an.
Durch diese Darstellung wird eine Hyperbel im logarithmischen Koordinatensystem zu einer Geraden (3) Die Gerade gilt für jede beliebige Relativgeschwindigkeit, auch für die Lichtgeschwindigkeit.

Doppelt-logarithmische Darstellung

Im Folgenden wird das obige dekadische x-y-Diagramm in ein doppelt-logarithmisches Koordinatensystem überführt.
Anstelle des meist verwendeten dekadischen Logarithmus y = lg(x) wird der natürliche Logarithmus y = ln(x) verwendet. (7)

Die Punkte B und D des x-y-Koordinatensystems werden in dem doppelt-logarithmischen X-Y-Koordinatensystem zu einem gemeinsamen Koordinatenursprung 0(0,0) zusammengeführt.



Bild: Relativbewegung als Maßstabsänderungen von Distanz und Zeitdauer in einem ln-ln-Plot mit der Abszisse X und der Ordinate Y

Das Diagramm im X-Y-Koordinatensystem gilt für alle Relativgeschwindigkeiten, einschließlich der Lichtgeschwindigkeit c.
Auf der Ordinate Y ist die Zeitdauer dargestellt, auf der Abszisse X die (räumliche) Distanz.
Die Geraden im Diagramm beschreiben die Zusammenhänge zwischen Distanz und Zeitdauer, sowohl für eine Unterlichtgeschwindigkeit v als auch für eine theoretisch mögliche Überlichtgeschwindigkeit.
Für eine Lichtgeschwindigkeit mit dem Wert c = 1 stellt die Gerade Y = 1 – X den aktuellen Licht-Vorkegel (der absoluten Vergangenheit) zum Zeitpunkt Y = 1 dar. Die Gerade Y = 2 – X präsentiert den Ereignishorizont zu dem zukünftigen Zeitpunkt Y = 2 und die Gerade Y = 1 + X stellt den zukünftigen Lichthorizont (Nachkegel der absoluten Zukunft) dar . (8)

Zum Zeitpunkt Y des Urknalls wird der Licht-Nachkegel zum Teilchenhorizont. Der Teilchenhorizont ist der kosmische Lichthorizont, der die maximale Entfernung des beobachtbaren Universums begrenzt.

Die Kurve des Lichtkegels resultiert aus der logarithmischen X-Y-Darstellung der Hyperbel y = 1/x im x-y-Diagramm.
Diese Hyperbel wird im X-Y-Diagramm zu

Y = ln(y) = ln(x-1) = - ln(x) = -X


und für den gegenwärtigen Zeitpunkt (now) Y = 1 die blau dargestellte Gerade

Y = 1 – X.


Diese Gerade im logarithmischen X-Y-Diagramm interpretiert die Hyperbel des dekadischen x-y-Diagramms als aktuellen Lichthorizont (Vorkegel).

Die rot dargestellte Gerade Y = 1 + X, der zukünftige Lichtkegel (Nachkegel der absoluten Zukunft), ist die Spiegelung des (blauen) Lichthorizonts Y = 1 – X an der Gegenwart Y = 1.

Diese Spiegelung erfolgt an der Gegenwart (now), also am Ist-Zustand!
Die Zukunft wird allein durch den Ist-Zustand (mit seiner Geschichte) bestimmt.

Bisher wurde vereinfachend v = 1 bzw. c = 1 gesetzt.
Für andere Werte ≠1 ändern sich nur die Maßstäbe X und Y. Die Kurven selbst ändern sich dabei nicht.
Wird der Maßstab der Ordinate zum Beispiel durch die alternative Skalierung Y' = 2Y ersetzt, dann werden die Skalenpunkte 1, 2, 3, … zu Y'-Punkten 2, 4, 6, … .
Infolge dieser Maßstabsänderung der Skala auf Y' wird doppelt so viel Zeit zum Zurücklegen der (konstanten) Strecke benötigt. Die ursprüngliche Geschwindigkeit wird auf den Wert v/2 halbiert.

Natürlich kann auch der Maßstab der Abszisse verändert werden.
Wird zum Beispiel der Maßstab der Abszisse auf X' = 2X verändert, dann wird in der gleichen Zeitdauer die doppelte Wegstrecke zurückgelegt. Durch diese Maßstabänderung wird die ursprüngliche Geschwindigkeit v auf 2v verdoppelt.

Die Geschwindigkeit, als das Verhältnis von Weg zu Zeit, wird so zu einem Verhältnis zweier Maßstäbe.

v = X/Y


Die Veränderung des Maßstabes, das heißt der Skalierung, ist nichts anderes als eine Koordinatentransformation.

Die Beziehung zwischen v und c nach der SRT findet in dieser Darstellung keine Berücksichtigung, da sowohl im x-y-Diagramm als auch im X-Y-Diagramm nur die Beziehungen zwischen Zeit und Weg bzw. Distanz und Zeitdauer dargestellt sind und nicht die Beziehungen zwischen zwei verschiedenen Geschwindigkeiten.

Das Verhältnis der Maßstäbe von zwei Geschwindigkeiten v1 und v2 ist

v1/v2 = (X1/Y1)/(X2/Y2)



Legen zwei Objekte mit verschiedenen Geschwindigkeiten v1 und v2 die gleiche Entfernung X1 =X2 zurück, dann ist das Verhältnis der Zeitmaßstäbe

v1/v2 = Y2/Y1 = 1/(Y1/Y2)


Diese Beziehungen zwischen unterschiedlichen Zeitmaßstäben für zwei unterschiedliche Abweichungen v1 und v2 von der Lichtgeschwindigkeit c haben die gleiche Eigenschaft wie die bekannte Eigenzeiten τ eines bewegten Objektes und der Eigenzeit t des "ruhenden" Beobachters.
Für das bewegte Objekt hat sich der Zeitmaßstab mit der fortlaufenden Zeit anders logarithmisch als der Zeitmaßstab des Beobachters verändert.
Es ändert sich also eigentlich mathematisch nicht die Entfernung.
Wir erleben es nur so und beschreiben die Differenz der unterschiedlichen Eigenzeiten als Geschwindigkeit.

Für den Zustand der Ruhe v1 = v2 haben Beobachte und beobachtetes Objekt die gleiche Eigenzeit.

Abweichungen von der Lichtgeschwindigkeit lassen sich mit den Gleichungen wie folgt schreiben:
Ist v1 = c und v2 = v eine Relativgeschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c, dann ist

v/c = Yc/Yv


Die Zeitdauer Yc , die das Licht braucht, um eine feste Strecke zurück zu legen, ist nach der SRT immer kürzer als die Zeitdauer, die für eine Geschwindigkeit v < c benötigt wird.
Deshalb ist Yc/Yv immer kleiner als 1.

Der Zustand der Lichtgeschwindigkeit c ist in diesem Sinne ein "Normal-Zustand"..
Erst die Abweichung von c ist dann eine Bewegung, verbunden mit einer räumlichen Dimension.
Roger Penrose beschreibt diesen Normal-Zustand so, dass die Lichtgeschwindigkeit c deshalb als Naturkonstante ihren physikalischen Sinn verliert.


Die Abweichung vom Normalzustand (v/c) = 1 lässt sich mathematisch auch durch den Ausdruck [1 – (v/c)] beschreiben.
Die Abweichung [1 – (v/c)] ist minimal für v → 0, gleichbedeutend mit Yv → ∞. Die Zeitskala dehnt sich so, als würde die Zeit bei der Lichtgeschwindigkeit stehen bleiben.

Da in unserer erlebten Realität alles einer Zustandsänderung unterliegt, gibt es keine 100-prozentige Abweichung von der Lichtgeschwindigkeit.
Das entspricht dem Verständnis, dass die Lichtgeschwindigkeit in der Praxis nicht erreichbar ist.

Eine alternative mathematische Formulierung für die Abweichung von v = c wäre natürlich auch der Ausdruck [1 – (v/c)²], wie von der SRT her bekannt und geschrieben als (1/ γ)² = 1 – (v/c)².
Der γ-Faktor der SRT lässt sich demzufolge auch als Verhältnis verschiedener Zeit-Maßstäbe formulieren.

γ² = 1/[1 – (Yc/Yv)²]


Es ist noch der alternative Fall zu beschreiben, dass sich der Entfernungsmaßstab ändert, während der Maßstab für die Zeitdauer konstant ist.

Legen zwei Objekte mit verschiedenen Geschwindigkeiten in der gleichen Zeit Y1 =Y2 unterschiedliche Strecken zurück dann ist das Verhältnis der Entfernungsmaßstäbe

v1/v2 = X1/X2

und
v/c = Xv/Xc

und somit
γ² = 1/[1 – (Xv/Xc)²]


Xv ist kleiner als die durch die Lichtgeschwindigkeit zurückgelegte Strecke Xc.
Deshalb ist auch hier für v < c das Verhältnis der zurückgelegten Strecken Xv/Xc < 1.

Ändern sich die beiden Maßstäbe für Zeit und Raum im gleichen Maße, dann hat das auf die Relativgeschwindigkeit v = X/Y keinen Einfluss. Einen Raum, der expandiert oder komprimiert oder pulsiert würde man nicht bemerken.



Gruss, Otto


(7) Auf Grund der Wahl des natürlichen Logarithmus anstelle des üblichen dekadischen Logarithmus weist dieses spezielle X-Y-Koordinatensystem einige Besonderheiten auf:
- Im lg-Koordinatensystem ist der Koordinatenursprung (0,0) nicht definiert, weil der Wert lg(0) nicht existiert.
- Im ln-Koordinatensystem ist dagegen der Koordinatenursprung (0,0) mit x(D) und y(B) wohl definiert. Die Bereiche x = 0…<1 und y = 0…<1 werden ausgeblendet.
- Bei der lg-Skalierung bilden die Potenzen n der Potenzfunktion 10n die Zahlen der Skalierung. Der Abstand zwischen den Werten von n beträgt 10n (10, 100, 1000, …)
- Bei einer ln-Skalierung bilden die Potenzen n der Potenzfunktion en die Zahlen der Skalierung. Der Abstand zwischen den Werten von n beträgt en (e1, e2, e3, …)

(8) Ein ähnliches Diagramm ist bei "ScienceBlogs" mit dem Titel "Das zyklische Universum des Sir Roger Penrose" zu finden. In dem dort gezeigten Diagramm "Commoving Distance" / "Conformal Time" für die Expansion des Universums ist die Ordinate die Zeit (auf der rechten Seit des Bildes) mit einem logarithmischen Skalenfaktor dargestellt, die Entfernung auf der Abszisse ist dekadisch skaliert.
Siehe die Publikation von Aldemarin vom 9-Sep-2019:
https://scienceblogs.de/alpha-cephei/2019/09/09/ccc...
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Beiträge: 1.402, Mitglied seit 13 Jahren
Hallo Otto,

anspruchsvolles Thema anspruchsvoll aufgearbeitet.

Ich habe alles einmal überflogen und bin sehr interessiert.
Da ich ab morgen für eine Woche endlich wieder einmal Urlaub machen werde und ich nicht weiß,
ob ich in der Zeit Zugriff auf das Internet habe, kann eine intensivere Beschäftigung mit deinem Beitrag noch ein paar Tage dauern.

Als Einstieg in das Thema mag nachstehendes Video hilfreich sein.
Es behandelt keine neuen Ideen, sondern stellt die Problematik der Entfernungsmessung im Universum und deren Interpretation bzw. deren Bedeutung dar.
Es werden unterschiedliche Methoden der Entfernungsmessungen weit entfernter Galaxien beschrieben und festgestellt,
dass bei relativ kurzen Entfernungen, z.B. innerhalb unseres Galaxienhaufens, identische Ergebnisse ermittelt werden,
bei größeren Entfernungen sich aber signifikannte Unterschiede ergeben.

Auch die "mitbewegte Entfernung" wird angesprochen und festgestellt, dass sie im Gegensatz zu Messungen,
die auf Lichtlaufzeiten, Leuchtichteverluste, Zeitdilatationen und Rotverschiebungen fußen, nicht die Entfernung,
wie sie vor mehreren Milliarden Jahren bestanden haben, sondern die heutige aktuelle Entfernung beschreibt.

Andreas Müller - Entfernungen

bis bald

okotombrok
Signatur:
"Der Kopf ist rund, damit die Gedanken die Richtung wechseln können"
(Francis Picabia)
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Okotombrok schrieb in Beitrag Nr. 2363-6:
Auch die "mitbewegte Entfernung" wird angesprochen und festgestellt, dass sie im Gegensatz zu Messungen,
die auf Lichtlaufzeiten, Leuchtichteverluste, Zeitdilatationen und Rotverschiebungen fußen, nicht die Entfernung,
wie sie vor mehreren Milliarden Jahren bestanden haben, sondern die heutige aktuelle Entfernung beschreibt.

Andreas Müller - Entfernungen

Hallo Okotombrok,

Vielen Dank für Deinen interessanten Link.
Dieses Video geht auf die verschiedenen Arten der Entfernungsmessungen im Kosmos ein, die für in der Nähe befindlichen Objekte fast identische Entfernungsmaße ergeben, aber für weiter entfernte Objekte große Unterschiede, je nach Messmethode, aufweisen wie
- der mitbewegte Entfernung,
- der Leuchtkraft-Entfernung,
- der Winkel-Entfernung,
- der Lichtlauf-Entfernung.
Ein schöner Vergleich der Messmethoden-Ergebnisse wird in der Minute 25 des Videos gezeigt.

Mein Beitrag geht auf diese kosmologischen Messmethoden nicht ein.

Ich habe mir nur eine ganz einfache Frage gestellt:
Ist die Laufzeitentfernung das Resultat einer Entfernungs-Änderung oder ist sie das Resultat einer Zeit-Änderung?
Dazu kommt die zweite Frage:
Wann führen die beide (theoretisch möglichen) Ursachen zum gleichen Ergebnis?

Die Antwort führt zu der simplen Gleichung ds∙dt = 1
Die Änderung der Entfernung ds ist gleich dem Kehrwert der Änderung der Zeit dt.

Die Hyperbel ds∙dt = 1 beschreibt die enge Verbindung zwischen Zeit und Raum und lässt eine mögliche Erklärung der Ursache einer räumlichen Dimension zu.

Der Ausdruck dt meint hier eine Veränderung der Zeit selbst und nicht die differentielle Änderung eines Zustandes mit der Zeit (wie sonst üblich v = s' = ds/dt).

Die Zeit wird im Sprachgebrauch als Folge von Augenblicken verstanden, wobei der Abstand zwischen den Augenblicken konstant angenommen wird (konstanter Zeitfluss).
Ich analysiere dagegen den Fall, wenn sich nur der Abstand zwischen den zeitlichen Augenblicken ändert und nicht die Entfernung.
Die Variable "Zeit" weist mit dieser Annahme einen Gradienten auf.
Unter diesem Betrachtungswinkel werden Entfernung und Entfernungsänderung zu einer Art "optischen Täuschung" unserer Erlebniswelt.

Gruß, Otto
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 10.06.2021 um 13:21 Uhr.
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Beiträge: 1.588, Mitglied seit 13 Jahren
Hallo Otto,

ich habe deine Ausführungen mit Interesse gelesen und mir auch den Vortrag von Andreas Müller angesehen.
Meine mathematischen Kenntnisse sind allerdings nicht ausreichend, um alles zu verstehen.

Ich habe deshalb eine wesentliche einfachere Vorstellung wie man zu einem Wert 1 der Lichtgeschwindigkeit in der SRT kommt.

Geschwindigkeit ist als Beziehung zwischen Strecke (Raum) und Zeit definiert. Eine solche Beziehung hat immer dann den Wert 1, wenn, als Quotient betrachtet, Zähler und Nenner gleichwertig angenommen werden. Die Einheiten für die Betrachtung von Bewegungen kann man beliebig wählen. Gleichwertigkeit für Strecke und Zeit erhält man, indem man als Längenmaß eine Einheit wählt, die das Licht genau in der Einheit der Zeit zurücklegt, also z.B. Jahr und Lichtjahr. In einem kartesischen Koordinatensystem ergibt sich dann für die Geschwindigkeit des Lichts eine Gerade, die in einem 45°-Winkel verläuft.
Werte unter 1, der Zeitraum ist größer als die Strecke, bedeuten Unterlichtgeschwindigkeit, Werte über 1, die Strecke ist größer als der Zeitraum, bedeuten Überlichtgeschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit (der Elektromagnetismus) ist auch bei dieser Darstellung eine naturgegebene Grenze unserer Bewegungs- und Wahrnehmungsmöglichkeiten.

Diese geometrische Darstellung entspricht m.E. der SRT am besten, weil die Lichtgeschwindigkeit (der Elektromagnetismus) die einzige naturgegeben Grundlage der Theorie ist und als absolut vorgestellt wird. Raum und Zeit werden im Gegensatz zu Newton`s Annahmen nicht mehr absolut vorgestellt.
Masse/Energie und daraus folgend Gravitation bleiben in der SRT unberücksichtigt.
Das Relativitätsprinzip, das ebenfalls als Grundlage der SRT genannt wird, ist eine Vorstellung, also keine Naturerscheinung, die eine konkrete Betrachtung des Naturgeschehens von einem Standpunkt (Bezugssystem) aus vermeidet und damit allein Beziehungen in den Blick nimmt. Messungen sind z.B. auf der Grundlage des Relativitätsprinzips nicht möglich, dazu muss ich immer ein Bezugssystem festlegen.

MfG
Harti
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Wichtig ist, dass man nicht aufhört zu fragen. A.E.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Harti am 12.06.2021 um 11:18 Uhr.
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Beiträge: 1.048, Mitglied seit 8 Jahren
Hallo Harti,

Harti schrieb in Beitrag Nr. 2363-8:
Eine solche Beziehung hat immer dann den Wert 1, wenn, als Quotient betrachtet, Zähler und Nenner gleichwertig angenommen werden.
Ja, das ist eine übliche und zweckmäßige Annahme, die ich auch benutzt habe.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2363-5:
Bisher wurde vereinfachend v = 1 bzw. c = 1 gesetzt.
und
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2363-3:
Wird vereinfachend v0 = 1 gesetzt (analog Lichtgeschwindigkeit c = 1), dann ist die Änderung des Wegmaßstabes der Änderung des Zeitmaßstabes umgekehrt proportional (Längendilatation = 1/Zeitdilatation).


Harti schrieb in Beitrag Nr. 2363-8:
Diese geometrische Darstellung entspricht m.E. der SRT am besten, weil die Lichtgeschwindigkeit (der Elektromagnetismus) die einzige naturgegeben Grundlage der Theorie ist und als absolut vorgestellt wird.
Ich halte die LG durchaus für eine variable Größe (wie Max von Laue).
Darauf bin ich jedoch in diesem Thread nicht weiter eingegangen.

Ergänzung:
Ich habe mich in diesem Thread mit der Frage beschäftigt, ob die Zeit eine variable Größe ist und einen Gradienten aufweist.

Allgemeiner formuliert:
Liegt die Raumzeit nur im Auge von uns als Betrachter?
Ist unsere Erlebniswelt die objektive Realität und Wahrheit?


Gruß, Otto
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 12.06.2021 um 23:03 Uhr.
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