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Alternative Geometrische Darstellungen der Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie

Thema erstellt von Otto 
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Stueps (Moderator)
Beiträge: 3.295, Mitglied seit 14 Jahren
Hallo Otto,

bei R=0 entartet also der Torus zur Kugel.
Nun, eben das unterscheidet den Torus von der Kugel: R>0.

Wenn du einen Torus zur Kugel machst, veränderst du die gesamte Topologie. Alle Mathematik, alle logischen Beziehungen müssen neu ausgerichtet werden.

Ein Torus ist keine Kugel:

Lege ein DIN A4 Blatt quer, verklebe die Unter- mit der Oberseite zu einer Röhre, klebe die "Röhren-Enden" zusammen, und du hast einen Torus (Anzahl Flächen - Anzahl Kanten + Anzahl Ecken = 0) .
Eine Kugel kannst du niemals daraus formen, ohne irgendwas zu zerstören (Anzahl Flächen - Anzahl Kanten + Anzahl Ecken = 2).

Wenn du darauf bestehst, eine Kugel zum Spezialfall eines Torus zu machen, musst du die gesamte grundlegende Mathematik, insbesondere die die Geometrie bestimmende Topologie, beachten.

Es geht laut deinem Link (das Loch zu Null schrumpfen lassen).

Also alles ok.
Und ich bleibe dabei: eine Kugel ist kein Spezialfall (oder Grenzfall) eines Torus. Beide unterscheiden sich mathematisch (und auch sonst) grundlegend. Gerade die mächtige Waffe der Topologie macht dies sehr deutlich: Es gibt ein Loch, oder es gibt keines.

Beste Grüße
Signatur:
Ein Universum, welches zufällig entsteht und zufällig ein Phänomen namens Humor hervorbringt, entbehrt nicht einer gewissen Komik.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Stueps am 26.07.2020 um 23:46 Uhr.
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Beiträge: 948, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Stueps,

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-21:
Und ich bleibe dabei: eine Kugel ist kein Spezialfall (oder Grenzfall) eines Torus. Beide unterscheiden sich mathematisch (und auch sonst) grundlegend. Gerade die mächtige Waffe der Topologie macht dies sehr deutlich: Es gibt ein Loch, oder es gibt keines.
Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-20:
Dabei ist der "Dellenparameter" durch den Abstand der Rotationsachse vom Kreismittelpunkt gegeben. Je größer dieser Abstand, desto größer die Delle.
Wird der Abstand der Rotationsachse vom Kreismittelpunkt im Grenzfall null, so verschwindet die Delle und der (Spindel)Torus geht in eine Kugel über.

Das ist nur eine Frage der Definition des Wortes Torus.
Wir verstehen inhaltlich das Gleiche.

Wichtig ist m.E. die Krümmung zur Unterscheidung eines Ring-Torus von einer Kugel oder eines Hyperboloids oder Tori mit Cassinischen Querschnitten (anstelle von Kreisen wie bei Ring-Tori). Genauer gesagt ist es die Summe der Krümmungen über die Oberflächen der Objekte.
Ich hatte es oben schon einmal am Rande erwähnt:
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-14:
Die Summe der Krümmungen der Oberfläche pro Ring-Torus ist Null.
Eine Ausnahme bilden die speziellen Tori als Hyperboloid und als Kugel.
Das spielt deshalb eine große Rolle, weil Krümmungen die Invarianten der ART sind,

Gruß, Otto
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Beiträge: 948, Mitglied seit 7 Jahren
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-22:
Wichtig ist m.E. die Krümmung zur Unterscheidung eines Ring-Torus von einer Kugel oder eines Hyperboloids oder Tori mit Cassinischen Querschnitten....

Ergänzung:
In der Topologie verwendet man den Begriff der Geschlechts zur Unterscheidung verschiedener topologischer Räume.

Gruß, Otto
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Beiträge: 1.522, Mitglied seit 12 Jahren
Hallo Stueps, Otto, Claus
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-22:
Das ist nur eine Frage der Definition des Wortes Torus.
Wir verstehen inhaltlich das Gleiche.

Ob zwei Objekte qualitativ oder quantitativ verschieden sind, hängt tatsächlich von der Definition ab, bzw. was man als wesentlich für jedes Objekt zugrunde legt.

Beispiel: Ein Kreis und ein Rechteck sind qualitativ verschieden, wenn man das Vorhandensein von Ecken als wesentlich für beide Figuren betrachtet.
Ein Kreis und ein Rechteck sind insofern gleich, als bei beiden Figuren eine Fläche durch Linien begrenzt wird. Lässt man also die Form der Linien und die Ecken
aus der Definition heraus, ist eine Kreis eine spezielle Form einer umgrenzten Fläche und ein Rechteck ebenfalls.

Die Festlegung von Begriffsinhalten erfolgt in aller Regel aus Zweckmäßigkeit und ist mehr oder weniger durch Konvention festgelegt. Klärungsbedarf besteht in vielen Fällen, um unnötige Diskussionen zu vermeiden.

MfG
Harti
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Wichtig ist, dass man nicht aufhört zu fragen. A.E.
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Beiträge: 905, Mitglied seit 3 Jahren
Zitat von Otto:
Aber ich habe bisher dem Unterschied zwischen Kugel und Torus keine physikalische Bedeutung zuordnen können, auch nicht für die ART.

Hallo Otto,

gibt es nicht doch einen Unterschied in der physikalischen Bedeutung zwischen einem Spindeltorus, den man sich als das Innere einer geschälten Apfelsine vorstellen kann, und einer Kugel, die die vollständige Apfelsine symbolisiert?

Meine Begründung:

Ein unendlich kleines Loch im Spindeltorus spricht für eine Variante der kosmologischen Interpretation der ART mit der Singularität am Anfang des Universums, dem Urknall. Ein fehlendes Loch würde diesen Beginn ausschließen und somit eher ein statisches Universum beschreiben, wogegen sowohl die Rotverschiebung entfernter Galaxien und vor allem die Wirkung der Dunkle Energie spräche. Diese Kugel-Variante könnte dagegen auch die Urprall-Vorstellung stützen, wobei jedoch bisher (noch?) jedes Anzeichen des lochfreien Gegenpols fehlt.

Du weist in deinen Grafiken auf den Gegensatz von Schwarzen und (bisher noch unbekannten) Weißen Löchern hin. Denkbar wäre so auch ein statisches, sich beständig selbst erneuerndes Universum, wenn man die Nord-Süd-Achse des Spindeltoruns als Singularitätsfaden begreift, durch den die Materie an einem Pol einströmt und an dem anderen wieder ausströmt. Andererseits sind auch statische Halb-Spindeltori denkbar, wobei ein Materie-Konvektionsstrom nur die halbe Achse durchläuft, sich von dort in allen Radien nach außen wendet und wieder auf den halben Längsgraden sowohl im Nord- als auch Südpol verschwindet. Nord- und Südpol würden so keinen Unterschied aufweisen.

Anders als bei einem vollständig statischem Kugel-Universum, die einen Urknall ausschließen müsste, ließe deine Spindeltorus-Variante sowohl Urknall- als auch die Urprallvariante mit dem Unterschied zu, dass ein Urknall ein unendlich enges Loch erfordern würde, der Urprall dagegen die Lochweite völlig offen lassen kann.

Kirsche
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Die Vergangenheit ist über die Gegenwart verbrauchte Zukunft.
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Harti schrieb in Beitrag Nr. 2347-24:
Die Festlegung von Begriffsinhalten erfolgt in aller Regel aus Zweckmäßigkeit und ist mehr oder weniger durch Konvention festgelegt. Klärungsbedarf besteht in vielen Fällen, um unnötige Diskussionen zu vermeiden.

Genau, Harti.
Ich finde die Definition von Flächen topologischer Objekte nach "Geschlecht" eigentlich ganz praktisch.
Eine Kugel mit einer 2D-Oberfläche in einem 3D-Raum hat Geschlecht 0.
Eine wulstartig geformte Fläche mit Loch oder Löchern hat ein Geschlecht >=1.
Dann ist die Benennung des topologischen Objekts als Kugel, Torus oder Spindeltorus sekundär, obwohl anschaulicher.
Gruß, Otto
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Stueps (Moderator)
Beiträge: 3.295, Mitglied seit 14 Jahren
Hallo Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-26:
Ich finde die Definition von Flächen topologischer Objekte nach "Geschlecht" eigentlich ganz praktisch.

Da hab ich natürlich keine Ahnung von.
Obwohl ich von deinen Betrachtungen nichts verstehe, ziehe ich doch den Hut, und ahne, dass da vielleicht etwas wirklich interessantes herauskommen könnte.
Die ART ist auch superschwer zu verstehen mit ihren ganzen Tensoren und komplizierten Berechnungen.
Ich weiß auch gar nicht, warum ich hier das Streiten über Tori und Kugeln angefangen habe, wahrscheinlich nur, um ein paar Details besser verstehen zu können.

Beste Grüße
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Beiträge: 948, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Stueps,
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-27:
Die ART ist auch superschwer zu verstehen mit ihren ganzen Tensoren und komplizierten Berechnungen.

Das ist wirklich nicht einfach.
Tensoren und Matrizen gehörten zu meiner Ausbildung. Deshalb verstehe ich wenigstens, worum es geht und kann solchen Ausführungen folgen.
Ich habe mich auf die geometrischen Darstellungen der Gleichungen der ART beschränkt, weil das ist für mich viel einfacher ist.
Ich mache also nichts Neues, sondern stelle Bekanntes nur anders dar.
Das ist alles.

Bleib so kritisch und interessiert wie bisher.
Gruß, Otto
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Beiträge: 948, Mitglied seit 7 Jahren
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-27:
Ich weiß auch gar nicht, warum ich hier das Streiten über Tori und Kugeln angefangen habe, wahrscheinlich nur, um ein paar Details besser verstehen zu können.

Hallo Stueps,
Deine Fragen und Kommentare sind wichtig, nicht nur für die anderen mitlesenden Forummitgliedern, sondern auch für mich. Eine Diskussion macht deutlich, dass meine Beschreibung nicht überzeugend genug war.
In meinen Überlegungen sind Grenzfälle, egal welcher Art, sehr wichtig. Diese Denkweise erfordert, dass allgemeine Zusammenhänge überhaupt erst einmal erkannt werden. Zum anderen sind die Grenzfälle Beschreibungen von physikalischen Zusammenhängen, auf die wir uns meist zur Vereinfachung beschränken.

Die Topologie ist auch für mich ein fremdes Gebiet und Neuland, das sich aber auch erst in letzter Zeit als Zweig der Mathematik besonders entwickelt hat.
Wenn Du bei Wikipedia unter "Torus" nachschaust, dann haben diese Tori immer ein Loch.
Auf zwei Grenzfälle werden dort nicht eingegangen, zum einen die Kugel und zum anderen der Fall, wenn der Innendurchmesser eines Ringtorus zu Null wird.
Diese Fälle findest Du nur unter dem Stichwort "Spindeltorus" bei Wikipedia oder im englischen Sprachraum unter "horn torus". Eigenartigerweise gibt es hier keine Referenz zum Stichwort Torus.

Der spezielle Fall eines Ringtorus mit r = R ergibt topologisch kein Loch, sondern einen Punkt.
Ist das nun Geschlecht 0 oder Geschlecht 1?
Ist ein Punkt schon ein Loch oder nicht?
Eine in sich geschlossene Kurve auf der Oberfläche dieses speziellen Spindeltorus lässt sich hier auch zu einem Punkt schrumpfen. Der Berührungspunkt in der Mitte dieses Spindeltorus wird zu einem Spezialfall des Loches.
Die geschlossene Kurve hat in diesem Fall einen Kreuzungspunkt, wie bei der Lemniskate.
Die Lemniskatenkurve ist eine geschlossene Kurve, die jedoch in sich verdrillt ist.

Das verstehe ich unter der Analyse von Grenzfällen.
Grenzfälle "rufen" regelrecht nach einer physikalischen Interpretation.

Kirsche stellt sich dazu die richtigen Fragen.
Kirsche schrieb in Beitrag Nr. 2347-25:
Ein unendlich kleines Loch im Spindeltorus spricht für eine Variante der kosmologischen Interpretation der ART mit der Singularität am Anfang des Universums, dem Urknall.

Gruß, Otto
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Stueps (Moderator)
Beiträge: 3.295, Mitglied seit 14 Jahren
Moin Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-29:
Der spezielle Fall eines Ringtorus mit r = R ergibt topologisch kein Loch, sondern einen Punkt.
Ist das nun Geschlecht 0 oder Geschlecht 1?
Ist ein Punkt schon ein Loch oder nicht?

Zwei Dinge dazu, die mir als Laie spontan einfallen:

Ein Punkt ist nulldimensional, hat also keinerlei Ausdehnung.

0,999 ... (Periode) und 1 sind wohl mathematisch dasselbe (lässt sich wohl logisch zeigen).
Also kein Loch, damit kein Torus. Eine Kugel mit einer Delle (statt Loch) lässt sich topologisch immer zu einer Kugel ohne Delle vereinfachen.
Der von mir schon erwähnte Stewart schreibt in genanntem Buch, dass es gar nicht so einfach ist, mathematisch zu definieren, was ein Loch ist. Er schreibt dann davon, wie ein Gebilde intrinsisch in einen Raum eingebettet ist. Wenn du willst, schlag ich das nochmal nach.

Ich weiß nicht, ob meine Beiträge hier wirklich wichtig sind. Ich verstehe einfach viel zu wenig von der ART und der dazugehörigen (höheren) Mathematik. Ich habe mich deshalb bisher auch größtenteils zurückgehalten - eben weil ich nicht wirklich etwas beitragen kann. Ich verfolge die beiden Threads jedoch aufmerksam, in der Hoffnung, dass ihr zu gegebener Zeit mal eure Erkenntnisse (insbesondere deine) zusammenfasst, und dem Laien verständlich macht. Spannend finde ich das allemal, weil gerade deine unkoventionelle Sicht die ART mal ganz anders beleuchtet. Für solcherlei bin ich ja immer zu haben.

Beste Grüße
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Beitrag zuletzt bearbeitet von Stueps am 28.07.2020 um 08:52 Uhr.
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Beiträge: 1.346, Mitglied seit 12 Jahren
Hallo zusammen,

vielleicht sind meine Gedanken zu euren Ausführungen etwas weit hergeholt, etwas wirr und zusammenhangslos, aber egal, ich teile sie einfach einmal mit.

Zitat von Stueps:
Obwohl ich von deinen Betrachtungen nichts verstehe, ziehe ich doch den Hut, und ahne, dass da vielleicht etwas wirklich interessantes herauskommen könnte.
Die ART ist auch superschwer zu verstehen mit ihren ganzen Tensoren und komplizierten Berechnungen.

Dem muss ich mich zunächst anschließen.
Ich bin mir grundsätzlich nicht so recht darüber im Klaren, welche Bedeutung du, Otto, in deiner alternativen geometrischen Darstellung der ART siehst. Geht es lediglich um eine grafische Darstellung zum besseren Verständnis der für Laien doch recht abstrakten mathematischen Formulierungen der ART oder geht es darüber hinaus um ein Abbild der Natur?
Die Machbarkeit des Letzteren möchte ich grundsätzlich in Frage stellen; diese Frage ist aber nicht naturwissenschaftlicher, sondern eher philosophischer Natur.

Was mich an der Natur fasziniert sind Strukturen, die sich bei Vorgängen zeigen, die scheinbar nichts miteinander zu tun haben. So zeigt sich z.B. die Bewegungsstruktur des Wassers auf einem rotierenden Planeten nachdem der Stöpsel gezogen wurde das gleiche Muster wie die Akkretionsscheibe eines schwarzen Lochs.
Eure Vorstellung von Kugel versus Torus als Modell der Raumzeit erinnert mich kurioserweise an die „Menschwerdung“. Im Mutterleib bildet sich durch Zellteilung zunächst eine Kugel, die sich eindellt und sich schließlich förmlich umstülpt zu einem torusähnlichen Gebilde, wobei das Innere des Torus den gesamten späteren Verdauungstrakt vom Mund bis zum Anus ausmacht und somit den Kanal des Energieflusses, der uns am Leben hält, darstellt.
Vielleicht ist ja auch das Universum im Urknall als Kugel gestartet und hat sich danach erst durch „Umstülpung“ während der Expansion zum Torus entwickelt; wie Zigarrenraucher Ringe blasen können. (ich habe eingangs gewarnt . . . ziemlich weit hergeholt).
Aber dennoch – für alles was wir beobachten finden wir Naturgesetze; ich halte aber übergeordnete Strukturen und Prinzipien für bedeutungsvoller:
Vorne weg die Symmetrien, dann die sich daraus ergebenen Erhaltungssätze und schließlich Prinzipien wie das „Prinzip der minimalen Wirkung“ und in Erweiterung dessen das „Prinzip der maximalen Eigenzeit“. Im Tal altert man langsamer als auf dem Berg, deswegen rollt alles den Berg hinunter.
So, jetzt bin ich da, wo ich hinwollte. Das „Prinzip der maximalen Eigenzeit“ scheint mir als Grundprinzip der Natur sehr mächtig; alles verhält sich so, dass die Eigenzeit maximiert wird. Alles bewegt sich auf Geodäten und ist bestrebt zu fallen, bis die Zeit stillsteht – am Ereignishorizont für Außenstehende, und vielleicht im SL für Hineinfallende.
Ich denke, eine Darstellung der Raumzeit sollte dieses Prinzip berücksichtigen.

Übrigens – faszinierend - lässt sich heute schon der Gangunterschied zweier Uhren bei einem Höhenunterschied von 30 Zentimetern messen.

Mfg okotombrok

P.S. ich muss mich korrigieren was den letzten Satz anbelangt: Spiegel
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"Der Kopf ist rund, damit die Gedanken die Richtung wechseln können"
(Francis Picabia)
Beitrag zuletzt bearbeitet von Okotombrok am 28.07.2020 um 14:43 Uhr.
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Stueps (Moderator)
Beiträge: 3.295, Mitglied seit 14 Jahren
Hallo Okotombrok,

Okotombrok schrieb in Beitrag Nr. 2347-31:
Im Tal altert man langsamer als auf dem Berg, deswegen rollt alles den Berg hinunter.

Ja, das macht Martin Bäker in seinem Buch "Isaac oder die Entdeckung der Raumzeit" deutlich. Ich habe dort zum ersten Mal davon gelesen und es hat mich umgehauen.

Beste Grüße
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Claus (Moderator)
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Ja, Okotombrok,

Okotombrok schrieb in Beitrag Nr. 2347-31:
Was mich an der Natur fasziniert sind Strukturen, die sich bei Vorgängen zeigen, die scheinbar nichts miteinander zu tun haben. So zeigt sich z.B. die Bewegungsstruktur des Wassers auf einem rotierenden Planeten nachdem der Stöpsel gezogen wurde das gleiche Muster wie die Akkretionsscheibe eines schwarzen Lochs.
Eure Vorstellung von Kugel versus Torus als Modell der Raumzeit erinnert mich kurioserweise an die „Menschwerdung“.

ich finde auch interessant, dass es an vielen Stellen der Natur solche Analogien gibt.

Deswegen: Wenn man irgendwo in einem physikalischem Modell nicht weiter kommt, sollte man m.E. Analogien suchen. Vielkeicht bekommt man so einen Einfall/ eine Idee.

In meiner Jugend schaute ich "Qwai Chung Caine", aus der Serie Kung Fu, der von seinen Lehrern immer als "Grünschnabel" bezeichnet wurde. Der wurde von seinen Lehrern auch immer auf solche Analogien hingewiesen und lernte dadurch.
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Beiträge: 948, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Kirsche,
Kirsche schrieb in Beitrag Nr. 2347-25:
Ein unendlich kleines Loch im Spindeltorus spricht für eine Variante der kosmologischen Interpretation der ART mit der Singularität am Anfang des Universums, dem Urknall. Ein fehlendes Loch würde diesen Beginn ausschließen und somit eher ein statisches Universum beschreiben, wogegen sowohl die Rotverschiebung entfernter Galaxien und vor allem die Wirkung der Dunkle Energie spräche. Diese Kugel-Variante könnte dagegen auch die Urprall-Vorstellung stützen, wobei jedoch bisher (noch?) jedes Anzeichen des lochfreien Gegenpols fehlt.
...

Ich hatte Deinen Beitrag fast übersehen, weil ich gleichzeitig am Beitrag Nr. 2347-26 schrieb.
Es gibt sehr viele interessante Theorien zur Entstehung des Universums. Darüber denke ich jedoch im Moment nicht nach.
Mich interessiert viel eher die Frage, was eine Dimension überhaupt ist.

Ich habe sehr oft den Begriff "Sicht aus dem Unendlichen" verwendet.
Das betrifft zwei Sichten eines Beobachters in einer gemeinsamen 2D-Welt, einmal von (0,0) eines willkürlich gewählten Koordinatensystem aus und zum anderen eine Sicht des Beobachters von Unendlich (∞,∞) im gleichen Koordinatensystem.

Die "Sicht aus dem Unendlichen" ist jedoch gleichbedeutend mit der "Sicht aus einer anderen Dimension", die senkrecht zur 2D-Welt steht.
Hier sehe ich die Verbindung zur "Entstehung einer Dimensionen" die nichts anderes ist als ein Wechsel des Standpunktes eines Beobachters in einer n-dimensionalen Welt auf eine andere Dimension.

Das ergibt sich aus geometrischen Projektion einer Lemniskate auf der 2D-Fläche einer Kugel (mit einer Krümmung) auf eine 2D-Fläche ohne Krümmung, wie im Bild des Beitrag Nr. 1247-15 oben dargestellt.
Zur Erinnerung an einen anderen bildlichen Vergleich von mir mit den Hasenohren, Beitrag Nr. 2345-115 und Beitrag Nr. 2345-118:
Auch im Bild des Beitrag Nr. 1247-15 befinden sich zwei Hasenohren auf der Oberfläche einer Kugel. In dieser räumlichen Darstellung kreuzen sich die Linien der Ohren (am Kopf des Hasen) am Nordpol. Die Ohren erstrecken sich vom Nordpol gen Südpol. Die Spitzen der Ohren enden jedoch am Äquator.

Gruß, Otto
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 29.07.2020 um 09:23 Uhr.
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Hallo Stueps,

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-30:
Ein Punkt ist nulldimensional, hat also keinerlei Ausdehnung.

Das ist richtig.
Eine Linie ist die geometrische Darstellung der Aneinanderreihung von Punkten in eine bestimmte Richtung.
Eine in sich geschlossene Kurve hat kein Anfang und kein Ende.
Der Kurvenverlauf der geschlossenen Kurve kann sich jedoch selbst kreuzen.
Dann sind zwei Punkte der Kurve zwar "örtlich" identisch, haben aber gleichzeitig verschieden Richtungen (1. Ableitungen).
Die Kreuzung dieser Art unterscheidet sich vom einfachen nulldimensionalen singulären Punkt. Er wird als Doppelpunkt bezeichnet.
Dieser Punkt unterscheidet sich nicht nur geometrisch, sondern auch physikalisch von anderen Punkten, wenn die Kurve einen physikalischen Zusammenhang darstellt.
Im Zusammenhang mit meiner geometrischen Darstellung der ART ist der Kreuzungspunkt der Lemniskate ein physikalischer Zustand ohne Änderung - ohne Zeitdauer und ohne räumliche Distanz.

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-30:
Der von mir schon erwähnte Stewart schreibt in genanntem Buch, dass es gar nicht so einfach ist, mathematisch zu definieren, was ein Loch ist. Er schreibt dann davon, wie ein Gebilde intrinsisch in einen Raum eingebettet ist. Wenn du willst, schlag ich das nochmal nach.
Ja, das würde mich sehr interessieren.

Gruß, Otto
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Beiträge: 948, Mitglied seit 7 Jahren
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-30:
in der Hoffnung, dass ihr zu gegebener Zeit mal eure Erkenntnisse (insbesondere deine) zusammenfasst, und dem Laien verständlich macht.

Hallo Stueps,
das werde ich mal machen, braucht aber etwas Zeit.

Mein Beitrag Nr. 2347-12 zu den Kruskal-Szekres-Koordinatensystem war nur ein Ausflug in die alternativen geometrischen Darstellungen der ART.
Ich habe den Vergleich mit meiner geometrischen Darstellung nur ins Forum gestellt, um das lange Schweigen im Forum zu unterbrechen.
Hat ja auch funktioniert. Das Forum lebt noch.
Gruß, Otto
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 29.07.2020 um 09:18 Uhr.
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Beiträge: 905, Mitglied seit 3 Jahren
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-34:
Mich interessiert viel eher die Frage, was eine Dimension überhaupt ist.

Hallo Otto,

das ist eine sehr interessante Frage. Aus meiner Sicht kann eine Null-Dimension ein Gedanke sein, der in deinen theoretischen Überlegungen seine volle Berechtigung hat, jedoch für die physikalische Wirklichkeit wohl eher keine Rolle spielen dürfte. Nicht umsonst wird bei der Entwicklung des Universums kein Null-Universum unterstellt, sondern von Quantenfluktuationen ausgegangen, die mindestens um Null herum auftreten, nicht aber bei exakt Null. Daher halte ich es für völlig richtig, wenn deine Überlegungen bisher von einem Spindeltorus ausgingen, und sei dessen Inneres 0,0 Periode 1. Da bleibt etwas extrem Haarfeines, was innerhalb des Torus vorhanden ist, nicht aber in einer massiven Kugel. Ob eine Loch vorhanden ist oder nicht, diese Tatsache hat m.E. eine grundlegende physikalische Bedeutung, die du gegenüber Stueps in deinem Beitrag 2347-17 in Abrede stelltest. Lediglich darauf sollte sich meine Frage in Beitrag 2347-25 beziehen.

Ich stehe also weiterhin auf dem Standpunkt, dass ein Punkt zwingend zumindest 2 und eine Linie sogar 3 Dimensionen haben muss, eine Null-Dimension dagegen nur ein allerdings berechtigtes Gedankenspiel bleibt. Daher würde mich besonders interessieren, was dich zu diesen Gedanken antreibt: Eine Urknall-Theorie auf neuer Basis, vielleicht? Kann vielleicht doch aus Nichts etwas Werden und dann auch Sein, also bleiben, bis es vergeht? Was ist dann?

Deine Betrachtungen bleiben für mich sehr interessant

Kirsche
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Die Vergangenheit ist über die Gegenwart verbrauchte Zukunft.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Kirsche am 29.07.2020 um 11:04 Uhr.
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Stueps (Moderator)
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Hallo Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-35:
Ja, das würde mich sehr interessieren.

jetzt muss ich höllisch aufpassen, was ich hier schreibe, gerade in der Mathematik sollte Exaktheit herrschen.

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-30:
Er schreibt dann davon, wie ein Gebilde intrinsisch in einen Raum eingebettet ist.

Das ist schonmal missverständlich: wenn ein Objekt intrinsisch ist, heißt das, dass es ohne Einbettung in einen höherdimensionalen Raum beschrieben wird/werden kann.
Die Formel F (face/Fläche) - E (edge/Kante) + V (vertex/Ecke) erfüllt für jeden Polyeder (Würfel, Quader, Tetradeder, Pyramide ... beliebige Körper mit geraden Flächen) das Ergebnis 2 ( 2 ist nicht das Geschlecht!). All diese Körper lassen sich mit "Gummituch-Technologie" zu einer Kugel verformen. Was dabei zählt, ist Stetigkeit: die Flächen dürfen nicht auseinander gerissen werden.
Bei Bilderrahmen geht das nicht mehr: das einfachste Gebilde ist ein Torus. Das berüchtigte Loch. Hier kommt bei der Formel F-E+V dann 0 ( 0 ist nicht das Geschlecht!) heraus.
Die Formel ist jedoch eine Invariante: Körper mit demselben Ergebnis gehören also zusammen (und zwar intrinsisch/in diesem Fall können sie alle zu demselben "Grundkörper" vereinfacht werden), Körper mit unterschiedlichem Ergebnis unterscheiden sich topologisch und grundlegend. Warum grundlegend? Weil die Topologie grundlegender als Geometrie ist. Sie kommt ohne z.B. Strecken oder Winkel aus.

Fügt man dem Körper ein Loch hinzu, verändert sich das Ergebnis der Formel F-E+V (und der Körper gehört einem anderen "Geschlecht" an, wie du ja schon angemerkt hast, siehe weiter unten). "Geschlecht" steht hier synonym für "Anzahl der Löcher". Du zählst die Löcher, und kannst dadurch den Körper grundlegend zuordnen.
Was ist aber ein Loch mathematisch gesehen? Intuitiv kann man sagen: es ist der Raumbereich, in dem der Körper sich nicht befindet. Allerdings trifft das ja auch für den Raum zu, der den Körper komplett umgibt, und niemand würde hier von einem Loch sprechen (und auch auf den Raum, der eine Kugel umgibt - die gar kein Loch hat!).
Denkt man weiter darüber nach, führt das irgendwann in den Wahnsinn, da sich Gebilde konstruieren lassen, in denen ein Loch sich durch ein Loch schieben lässt, das ein Loch in einem weiteren Loch ist :confused::smiley15:.

Die Formel F-E+V ist eine kombinatorische Invariante, ein Merkmal für eine bestimmte Art, einen Körper zu beschreiben (ihn mit Flächen, Kanten und Ecken zu erfassen). Das Geschlecht g ist eine topologische Invariante, die sich nicht verändert. Egal wie man den Körper verformt, solange diese Verformung stetig ist.
g erlaubt die Zuordnung eines Körpers, F-E+V erlaubt die Berechnung dieser Zuordnung.
Man fand eine neue Formel, die das Thema, wie man ein Loch definiert, umgeht. Man definiert "Anzahl der Löcher" als Ganzes (man definiert oder zählt Löcher gar nicht):

g = 1 - F/2 + E/2 - V/2

(Diese Formel ist also eine Art "Verallgemeinerung", die die kombinatorische und topologische Invariante zusammenführt, denn beide zusammen sind ungeheuer leistungsfähig.)

Der Clou:

Suche einen beliebigen Körper aus, male Flächen usw. drauf, zähle dann F, E und V, setze sie in die Formel und rechne. Schwuppdiwupp hast du das Geschlecht (Anzahl der Löcher), ohne zu wissen, was ein Loch ist, oder irgendein Loch gezählt zu haben. Genial!
Es lässt sich noch viel mehr sagen, aber der Übersicht halber habe ich es auf das Nötigste beschränkt, bin aber hoffentlich noch verständlich geblieben.

Ich hoffe, das hilft zum Thema "Loch" :). Wer hätte gedacht, dass Löcher in der Mathematik so wichtig und mächtig sein können. Zumal sie ja eigentlich "Nichts" sind. Nicht einmal mathematisch definiert.

Beste Grüße
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Beitrag zuletzt bearbeitet von Stueps am 29.07.2020 um 14:50 Uhr.
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Hallo Stueps,

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-38:
Suche einen beliebigen Körper aus, male Flächen usw. drauf, zähle dann F, E und V, setze sie in die Formel und rechne. Schwuppdiwupp hast du das Geschlecht (Anzahl der Löcher), ohne zu wissen, was ein Loch ist, oder irgendein Loch gezählt zu haben. Genial!
Es lässt sich noch viel mehr sagen, aber der Übersicht halber habe ich es auf das Nötigste beschränkt, bin aber hoffentlich noch verständlich geblieben.

Danke für Deinen Beitrag, für mich alles gut verständlich.
Anwenden könnte ich es im Moment auf verschiedene Fälle allerdings noch nicht.
Ein interessantes Gebiet. Im (deutschsprachigen) Internet habe dazu fast nichts gefunden, erst recht nicht zum Fall r = R eines Spindeltorus.
Der Spezialfall r = R wäre nach Deinen Ausführungen vermutlich ein topologisches Objekt ohne Loch und demnach aus topologische Sicht die Sonderform einer Kugel mit dem Geschlecht 0.

Gruß, Otto
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Hallo Kirsche,
Kirsche schrieb in Beitrag Nr. 2347-37:
Ob eine Loch vorhanden ist oder nicht, diese Tatsache hat m.E. eine grundlegende physikalische Bedeutung, die du gegenüber Stueps in deinem Beitrag 2347-17 in Abrede stelltest.
Ganz im Gegenteil.
Für mich ist es nur ein Sonderfall topologischer Objekte.
Das entspricht genau dem Beitrag Nr. 2347-38 von Stueps und der Gleichung für g.

Kirsche schrieb in Beitrag Nr. 2347-37:
Ich stehe also weiterhin auf dem Standpunkt, dass ein Punkt zwingend zumindest 2 und eine Linie sogar 3 Dimensionen haben muss, eine Null-Dimension dagegen nur ein allerdings berechtigtes Gedankenspiel bleibt. Daher würde mich besonders interessieren, was dich zu diesen Gedanken antreibt:
Ich gehe nicht davon aus, dass Raum und Zeit, wie bei Einstein, einfach so existieren.
Es ist mathematisch absolut nicht zwingend, dass drei Dimensionen existieren müssen.

Geometrische Darstellungen wie Kurven existieren doch in der Natur überhaupt nicht!
Kurven und Koordinatensysteme sind nur Hilfsmittel, um Zustandsänderungen und Beziehungen zwischen verschiedenen Eigenschaften (Zuständen) anschaulich darzustellen.

Wie bereits erwähnt, treibt mich nur an, zu verstehen, was eine Dimension (einschließlich Durchlaufsinn) überhaupt ist, wie sie entsteht oder verschwindet.
Die Theorien zum Urknall spielen bei meinen Überlegungen dabei keine Rolle. Diese Theorien sind erst die Konsequenz auf der Grundlage des Verstehens von Raum (mit mehreren Dimensionen) und Zeit als Zustandsänderung.

Gruß, Otto
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