Willkommen in Manus Zeitforum
InformationenAnmelden Registrieren

Erweiterte Suche

Alternative Geometrische Darstellungen der Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie

Thema erstellt von Otto 
avatar
Beiträge: 863, Mitglied seit 7 Jahren
In diesem Thread wird auf Themen eingegangen, die wir bereits im Forum diskutiert haben, Beitrag Nr. 2345-87 bis Beitrag Nr. 2345-139.
Den neuen Thread habe ich nur eröffnet, um die Übersichtlichkeit zu verbessern.

Themen dieses Threads sollten sein:
Die Beziehungen der Allgemeinen Relativitätstheorie werden geometrisch dargestellt. Die Schwarzschild-Gleichung, die die Wirkung einer zentralen Masse beschreibt, wird im Kern auf eine Hyperbel reduziert.
Die Lemniskate, als Inversion der Hyperbel am Einheitskreis, wird physikalisch interpretiert. Durch Inversion werden das Innere und das Äußere des Einheitskreises durch Transformation mit reziproken Radien auf sich selbst abgebildet. Der Standpunkt eines Beobachters wird demzufolge vom Zentrum eines Koordinatensystems ins Unendliche verschoben.
Die gewählte geometrische Darstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie führt wiederum auf Raum- und Zeitkomponenten, jedoch als Änderung dieser Komponenten in Form von differentiellen Größen der Raumzeit. Die Änderungen, mittels Potentiallinien wie ein Gradientenfeld graphisch dargestellt, ähneln den Gravitationspotentialen zwischen zwei Massen mit den bekannten Lagrange-Punkten. Diese Potentiallinien werden in diesem Falle jedoch nicht von Massen verursacht, sondern beschreiben die mögliche Ursache von Masse.
Für die Einheitshyperbel ist der Spiegelkreis mit dem Ereignishorizont identisch, hat also einen Schwarzschildradius mit dem Wert von Eins. Das Schwarze Loch als Inneres des Einheitskreises weist ein Potentialfeld mit stabilen Bereichen zwischen Kern und dem instabilen Rand auf. Der Kern des Schwarzen Loches ist ohne Zustandsänderung, ohne Zeit und ohne Raum.

Otto
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 11.06.2020 um 09:47 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 863, Mitglied seit 7 Jahren
Dieser Beitrag beschäftigt sich mit den Ähnlichkeiten der Potentiallinien zweier Massen und den sogenannten Cassinische Kurven.

Die Cassinischen Kurven ähneln nur auf den ersten Blick den bekannten Potentiallinien zweier gravitativen Punktmassen (Punktladungen gleicher Polung).

Die Kurven sind natürlich verschieden, was auf mehrere Ursachen zurückzuführen ist.



(a) Gravitationsfelder
Die Potentiallinien zweier Massen wie Erde und Sonne oder Erde und Mond werden durch lineare additive Überlagerung zweier Potentiale superpositioniert, das heißt, dass sich die beiden Potentiale nicht gegenseitig beeinflussen und beide linearen Differentialgleichungen folgen.

Eine lineare Überlagerung gravitativer Wirkungen bedeutet eigentlich die Addition von Endwerten der iterativen Zustandsänderungen. Das ist gleichbedeutend mit einer zeitlosen Existenz der Gravitation wie ein Instantan-Zustand ohne Berücksichtigung einer Ausbreitung der Gravitation oder einer zeitlichen Änderung der Gravitation.
Seien zwei Massen (Punktladungen P1 und P2 gleicher Polung) voneinander |P1P2| entfernt. Dann addieren sich die Gravitationspotentiale linear.
Die Potentiale nehmen ab und zwar umgekehrt proportional zur Entfernung von den Massen. Ein Punkt L zwischen den Ladungen P1 und P2 habe die Entfernungen |LP2| und |LP1|.
Die Punktmassen P1 und P2 sind die "Brennpunkte" gravitativer Quellen.

Das führt zu der einfachen Gleichung für zwei Massen gleicher Größe.



(Für die Gleichung und ausführliche bildliche Darstellungen siehe beispielsweise auch folgender Link oder Wikipedia "Gravitationsfeld".

Anmerkung: Erst eine Kopplungskonstante führt zur potentiellen Energie. Für Gravitationsfelder ist Masse die Kopplungskonstante.(1)


(b) Cassinische Kurven
Die Cassinischen Kurven, gespiegelt an einem Kreis, ergeben eine Hyperbelschar.
Die Gleichung der Cassinischen Kurven lautet



Diese Gleichung unterscheidet sich von der obigen darin, dass die Potentiale nicht addiert, sondern multipliziert werden.
Allein schon das muss zu unterschiedlichen Kurvenverläufen führen.
Hier sind P1 und P2 die Brennpunkte der Cassinischen Kurven und P ein Punkt auf der Kurve.
(Für weiter Einzelheiten siehe Wikipedia "Gassinische Kurven", Abschnitt Gleichungen mit Bild.).

Cassinischen Kurven beschreiben nichtlineare Kurven-Systeme, hängen im Unterschied zu linearen Systemen nicht nur vom Ist-Wert allein ab, sondern auch davon, wie der Ist-Wert erreicht wurde, das heißt vom Gradienten der Zustandsänderung.

(c) Gemeinsamkeiten beider Potentialfelder
Die Gleichungen sind beides implizite Gleichungen des Typs F(x,y,) = 0.
Implizite Kurven lassen sich anschaulich als Niveaulinien verstehen.
Eine implizite Kurve beschreibt die Nullstellen einer Funktion zweier (oder mehrerer) Variablen. Die Potentiallinien können mehrfache in sich geschlossene Kurven sein.

(d) Geometrische Darstellung der wesentlichen Beziehungen der ART
Die Schwarzschild-Gleichung der ART, die die Wirkung eines singulären Massezentrums beschreibt, wird im Kern auf eine Hyperbel reduziert.
Grundlage meiner geometrischen Darstellungen ist die Gleichung von Max von Laue (siehe mein Beitrag Nr. 2345-91).
Der Scheitelpunkt der Hyperbel und damit die Hyperbel selbst stellt eine Näherung einer Weltlinie dar.
Siehe hierzu mein Beitrag Nr. 2345-92 und Beitrag Nr. 2345-91 sowie die aktualisierte Auflage des Buches "Die Relativitätstheorie Einsteins" von Max Born, 5. Auflage, Abschnitt VIII "Neuere Entwicklungen der relativistischen Physik".

Die Hyperbel beschreibt die durch eine Masse verursachten Änderungen von differentiellen Raum- und Zeitkomponenten (dr/ds) und (dt/ds) der differentiellen Raumzeit "ds".
Die Lemniskate ist die Sicht auf die singuläre Masse-Gravitation aus dem Unendlichen.

Das Gebiet innerhalb der Lemniskate ist die Inversion des Gebietes "oberhalb" der Hyperbel. Beide Gebiete sind (nicht bijektive) Abbildungen von Ebenenbereichen auf sich selbst.


(d) Ähnlichkeiten der Cassinischen Kurven mit Masse-Potentialfeldern
Es sei noch einmal betont, dass es hier nur um eine Interpretationen der Cassinischen Kurven geht.
In Anlehnung an Gravitationspotentiale würden Cassinischen Kurven und ihrer Inversionen Massekonzentration in den Brennpunkten B, B', B'' und B'1 bedeuten. Der Punkt O entspräche dem Lagrange-Punkt L1 und S den Lagrange-Punkten L2/L3. Der Kreis c mit dem Schwarzschildradius rs wäre damit für eine Testmasse kräftefrei, labil in Richtung der Achse B-B'-O-B''-B'1.

(e) Zusammenfassung
Die von uns erlebte Gravitationswirkung, repräsentiert durch die Hyperbel, wäre nur eine Seite von zwei zueinander gespiegelter Welten - das Gebiet unserer Erlebniswelt und das Gebiet eines Schwarzen Loches.
Das Wesen des einen Zustandes ist mathematisch identisch (≡) mit dem anderen. Es sind übereinstimmende Zustände, nur unter einem anderen Blickwinkel betrachtet.
Der Schwarzschildradius ist der Radius des Spiegelkreises.

Gruß, Otto

(1) Eine Kraft entsteht erst infolge des Potentialgradienten ∇V = grad V eines Gravitationspotentials V (∇ bedeutet Nabla-Operator).
Die Anwendung des Nabla-Operators ergibt einen Vektor mit den Komponenten der partiellen Ableitungen (δV/δx, δV/δy, δV/δz) des Potentialfeldes V.
[Gäste dürfen nur lesen]
Claus (Moderator)
Beiträge: 2.183, Mitglied seit 13 Jahren
Hallo Otto,

zum Thema Ähnlichkeit der additiven Gravitation zweier Massen versus Spiegelung nur 1er Masse:

Im Falle nur 1er Masse ergibt sich ein Trichter, im Falle 2er Massen ergeben sich Extrema (Sattelfläche). Von der Sattelfläche aus kann eine auf dem Sattel sitzende Probemasse in "beide Richtungen" labil abdriften. Im Falle nur 1er Masse gibt es diese Sattelfläche (Extrema, Hügel) nicht. Eine (klein im Verhältnis zur Hauptmasse befindliche) Probemasse am Schwarzschildradius der Hauptmasse fällt daher "in" den Trichter und kann nicht (wie im Falle 2er ähnlich großer Massen) in die andere Richtung (also in die Richtung der Hyperbel) entweichen. Der Punkt 1 auf dem Schwarzschildradius ist insoweit m.E. im Falle nur 1er Masse kein "labiler" Punkt, oder?
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 863, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-3:
Im Falle nur 1er Masse ergibt sich ein Trichter, im Falle 2er Massen ergeben sich Extrema (Sattelfläche).

Bisher haben wir darüber diskutiert, ob es Ähnlichkeiten zu den Gravitationslinien zweier Massen gibt, welche Unterschiede es gibt und wie die Extremwerte in Anlehnung an die Gravitationspotentiale gedeutete werden könnten.
Ein wesentlicher Unterschied besteht u.a. darin, dass, im Gegensatz zu dem Gravitationspotential, die Kurvenschar der Cassinischen Kurven kein Potential für Kräftewirkungen darstellt.
Hier geht es nur um Zeitanteil und Raumanteil der Raumzeit, hervorgerufen durch eine Einzelmasse in O(0,0).

Können die Cassinischen Kurven (rote Linien) und deren Spiegelungen (blaue Linien) als Niveaulinien eines "Gebirges" erklärt werden?

Betrachten wir die Schnittpunkte der Kurven mit der Geraden y = x.
Auf dieser Geraden befinden sich die Punkte O, B', S und B mit den Zahlenwerten O(0), B'(0.71=1/√2), S(1) und B'(1.41=√2) auf dem Strahl.
Im Punkt S ist der Krümmungsradius für beide Kurvenscharen am größten.
Sie bilden vom Betrag her eine Art "Berg" zwischen den Brennpunkten B und B'. Die Krümmungsradien nehmen in beiden Richtungen, von S nach B und von S nach B' ab.
Ich habe deshalb diesem Punkt S als labil bezeichnet, obwohl es hier nicht um ein Kräftegleichgewicht handelt.
Zum anderen sind die Krümmungsradien der blauen und roten Kurvenscharen in S verschieden.
Der Krümmungsradius im Scheitelpunkt der Lemniskate ist (1 – 0.71).
Der Krümmungsradius der Hyperbel y = 0.5/x hat dagegen den Wert 1.
Die Werte der Krümmungsradien ändern sich in S sprunghaft.

Es schein mir sinnvoller und zweckmäßiger, sich die Kurven als geometrische Schnitte durch Tori vorzustellen.
Die Tori der blauen Kurven bilden wulstförmige Ringe unterschiedlicher Dicke.
Für die Lemniskate, als Grenzfall der Cassinischen Kurven, wird der Innendurchmesser des Ringes zu Null. (1)

Die Tori der roten Kurven bilden sogenannte Spindeltori.
Für den Grenzfall der Hyperbel y = 0.5/x ist die Schnittfläche unendlich groß.
Aber das Rotationsvolumen dieses speziellen Torus hat den Wert π/2!
Genau dieses geometrische Grenzverhalten macht deshalb den Spiegelpunkt S mathematisch interessant.

Für beide Kurvenscharen sind die Brennpunkte B und B' nur ein Punkt auf einer Kreislinie.
Diese Kreise (als Meridian von Kugeln) habe ich als stabile Zentren angesehen und habe diese als mögliche Quellen bzw. Ursache von Masse interpretiert.

Labile und stabile Bereiche sind wie Zonen von "Zwiebelschalen" um eine Punktmasse in O(0,0). (2)

Gruß, Otto

(1) Der Mittelpunkt O(0,0) zwischen den beiden Brennpunkten der Lemniskate ist der einzige Punkt, der zweimal durchlaufen wird. Es ist ein s.g. Doppelpunkt.
(2) Besonders interessant finde ich die dynamischen Veränderungen eines dynamischen n-dimensionalen Clifford-Torus.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 14.06.2020 um 13:20 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 863, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Claus und Kirsche,

Noch einige Bemerkungen zu
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-4:
Es schein mir sinnvoller und zweckmäßiger, sich die Kurven als geometrische Schnitte durch Tori vorzustellen.

In meiner graphischen Darstellung der Spiegelung von Cassinischen Kurven am Einheitskreis, mit dem Grenzfall Lemniskate und Hyperbel, ergeben sich Potentiallinien in Form von Schnitten durch Tori (siebe Beitrag Nr. 2347-2 oben).
Die Kurven stellen Durchmesser und Form des Wulsts von Torus-Ringen dar.
Das betrifft die Kurven sowohl innerhalb als auch außerhalb des Einheitskreises.

Es lässt sich sogar eine Verbindung der Tori-Schnittflächen zur Energie herstellen, weil der Spiegelkreisdurchmesser durch die Masse M (als Kopplungskonstante) bestimmt ist.
Siehe hierzu Beitrag Nr. 2345-92.
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2345-92:
Kreisradius (1 - 2GM/c²r)

Die Quelle der Gravitation ist bisher völlig unbekannter Natur.
Es handelt sich um eine unbekannte Energieform, die s.g. Dunkle Energie, die nicht mit Licht reagiert und die mit 68.3 % der gesamten Masse-Energie-Bilanz ausmacht.

Dies weckt natürlich Erinnerungen an die sogenannte Dunkle Masse und Dunkle Energie.
Ganz gleich, ob es sich um eine Masseteilchen (ART) oder nur um ein Ereignis der Raumzeit handelt (SRT), lassen sich Vorgänge außerhalb des Einheitskreises nicht von innen her beobachten bzw. messen und von außen nicht der innere Bereich.
Die Vorgänge im "gegenüberliegenden" Bereich wären für einen Beobachter unsichtbar.

Gruß, Otto
[Gäste dürfen nur lesen]
Claus (Moderator)
Beiträge: 2.183, Mitglied seit 13 Jahren
Hallo Otto,

ich habe bislang nur wenig von dem, was du schreibst, verstanden.

Die blauen Linien sind die Cassinischen Kurven. Die roten die Hyperbeln.
All diese Kurven sollen (Äqui?)Potenziallinien sein. Von einer oder von verschiedenen Massen? Je kleiner die Masse, desto geringer die Krümmung der Kurve im Maximum? Bei Masse null wäre die "Cassinische Kurve" ein Punkt in (0,0) und die dazugehörige "Hyperbel" eine Gerade (ohne Krümmung)? Wenn dem so wäre, gäbe es dann eine "maximale Masse" für den Grenzfall der Lemniskate bzw. der Hyperbel 0,5/x?

Oder gelten alle Kurvenscharen jeweils für nur eine Masse (wobei irgendetwas anderes dann variabel sein müsste, z.B. r). Wenn die Cassinischen Kurven/ Hyperbeln nur eine Masse - und keine Wechselwirkung - darstellen, in Bezug auf wen/was werden dann die Raum- und Zeitanteile definiert? Spielt r dabei eine Rolle?

In Bezug auf was funktioniert die Normung, wenn die Cassinischen Kurven/ Hyperbeln eigenlich für jede Masse gleich aussehen (jeder Masse kann man einen Schwarzschildradius zuordnen)? Was ist dann aber der "Krümmungsradius", der offensichtlich von der Größe der Masse abhängt?

Bei den Tori kommen verschiedene R´s, r´s zum Ansatz (Innendurchmesser, Außendurchmesser, deren Verhältnis etc. Was bedeuten diese physikalisch? Was meinst du damit:

Zitat von Otto:
Für beide Kurvenscharen sind die Brennpunkte B und B' nur ein Punkt auf einer Kreislinie.

Ist damit der "Kreis des Torus", also eine ergänzende Dimension, gemeint?

Spindeltori sind auf beiden Seiten endlich (die Schnittfläche eines Gouda-Käses). Die Hyperbeln sind dagegen nach einer Seite (in Richtung x- und y-Achse) offen.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 863, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-6:
In Bezug auf was funktioniert die Normung, wenn die Cassinischen Kurven/ Hyperbeln eigentlich für jede Masse gleich aussehen (jeder Masse kann man einen Schwarzschildradius zuordnen)?

Jede Masse M "erzeugt" ihre eigene Lemniskate, eigene Hyperbel und einen eigenen Spiegelkreis.
Siehe hierzu das Bild im Beitrag Nr. 2345-76.
Die Lemniskaten haben, je nach Masse, unterschiedliche Scheitelwerte.
Die Scheitelpunkte der Hyperbeln haben ebenfalls, je nach Masse, verschiedene Entfernungen von O(0,0).
Eine "Einheitsmasse" lässt sich konstruieren mit rs = 1 = 2GM/c², also eine Einheitsmasse M = c²/2G.

Das Bild im Beitrag Nr. 2347-2, ganz am Anfang dieses Threads, unterscheidet sich von dem Bild im Beitrag Nr. 2345-76 deutlich.
In diesem Bild werden nicht verschieden Lemniskaten miteinander verglichen, sondern die Schar Cassinischer Kurven (und deren Spiegelbilder).

Ich war ganz einfach neugierig, was das bedeutet und wie man das physikalische interpretieren könnte.
Zuerst habe ich einen Vergleich mit dem Gravitationspotential zweier Massen angestellt. Das führt zu einer Reihe von Analogien und zu stabilen und labilen Punkten der Felder.
Das ist aber auch schon alles, weil Gravitationsfelder und die Schar der Cassinischen Kurven unterschiedlichen Gleichungen folgen.

Den beiden Gleichungen war jedoch gemeinsam, dass sie Potentiale darstellten.
Nun ging es um die Frage, ob diese Kurvenscharen im Beitrag Nr. 2347-2 ein Potentialfeld sein könnte, das die "Ursache/Quelle" der singulären Masse in O(0,0) ist.
Max von Laue verwendet dafür den Begriff "Führungsfeld", allerdings in einem anderen Zusammenhang.
Anders ausgedrückt: Ist die Kurvenschar der Lemniskaten und deren Spiegelung eine Art Stammfunktion einer singulären Masse?

Auf der Suche nach der geometrischen Darstellung des Potentials als "Gebirge" stieß ich auf die anschaulichen Schnittflächen von Tori.
Jede Cassinische Kurve stellt für sich einen Schnitt durch einen Torus dar.
Die Kurvenschar repräsentiert ineinander geschachtelte Tori mit verschiedenen Wulstdurchmessern.
Allen diesen Tori ist gemeinsam, dass sie den gleichen Ringdurchmesser besitzen.
Der Ringradius ist der Brennpunkt der Cassinischen Kurven.

Das gleiche gilt natürlich auch für die gespiegelten (ineinander geschachtelten) Tori außerhalb des Spiegelkreises.

Es bleibt natürlich die Frage offen, ob die These für eine mögliche Ursache/Quelle von Masse (und damit Gravitation) richtig ist oder auch nicht.
Es ist nur eine These.
Insbesondere bleibt zu klären, was die geometrischen Eigenschaften des Spiegelpunktes S physikalisch zu bedeuten haben.

Gruß, Otto
[Gäste dürfen nur lesen]
Claus (Moderator)
Beiträge: 2.183, Mitglied seit 13 Jahren
Hallo Otto,

hatte mir schon gedacht, dass du zur Veranschaulichung der Cassinikurven als Potenzial-"Höhenlinien" eine "Landschafts"-Dimension hinzunehmen wolltest und so zu den Tori kamst. Nun aber: Bildet die zusätzliche, dritte Dimension der Tori die gewünschten Potenzialhöhen ab? M.E. nein. Denn du sprichst von "ineinander geschachtelten" Tori mit verschiedenen Wulstdurchmessern. Es ist also nicht der aus der Zusatzdimension geformte Ring, sondern der Wulstdurchmesser des Torus, der in seinem Schnitt die jeweilige Potenziallage repräsentiert. Die zusätzlich eingebrachte (Torus-)Dimension baut dagegen jede dieser Potenziallagen zu einem (eigenen) Kreis (senkrecht auf den Cassinikurven stehend) aus. Kommt diesen (zusätzlichen) Kreisen nun eine (weitere) physikalische Bedeutung zu?

Der Außenradius des Torus repräsentiert die Masse. Der Innenradius repräsentiert dagegen, wie weit man sich im "Gebirge der Cassinikurven" der Lemniskate (also der Cassinikurve mit höchstmöglicher Krümmung im Wendepunkt) annähert. Wird der Innenradius gerade 0, erreicht man die Lemniskate. Mit den Spindeltori geht es dann noch über den Innenradius "0" hinaus? Frage: Entspräche das dann einem "negativen" Innenradius, wenn sich der Torus - dann ohne "Loch in der Mitte" - mehr und mehr einer Kugel annähert?

Und nochmals zur Frage des "Schnitts" eines Spindeltorus. Der Schnitt sieht immer geschlossen aus. Entsprechend der Abbildung rechts in deinem Link vermute ich, dass der Schnitt beim anfänglichen Hinausgehen über die Lemniskate zunächst zunehmend aussieht, wie ein Wasserstoffmolekül, danach, (so wie in der dortigen Abbildung dargestellt) wie eine doppelte Goudakäsescheibe und im Grenzfall dann zu einem Kreis wird. Der Schnitt wird m.E. jedoch nie zu einer nach einer Seite offenen Hyperbel, oder?
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 863, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-8:
Und nochmals zur Frage des "Schnitts" eines Spindeltorus. Der Schnitt sieht immer geschlossen aus. Entsprechend der Abbildung rechts in deinem Link vermute ich, dass der Schnitt beim anfänglichen Hinausgehen über die Lemniskate zunächst zunehmend aussieht, wie ein Wasserstoffmolekül, danach, (so wie in der dortigen Abbildung dargestellt) wie eine doppelte Goudakäsescheibe und im Grenzfall dann zu einem Kreis wird.
Mit wachsender "Größe" der Cassinischen Kurven nähert sich die Form der geschlossenen Kurven von der Lemniskate über ein eingedrücktes und ein ellipsenförmiges Oval immer mehr einem Kreis an.
Allerdings überschreitet der Scheitelpunkt der Cassinischen Kurven "nach" der Lemniskate den Umfang des Spiegelkreises.
Diesen Fall habe ich ebenfalls untersucht und geometrisch dargestellt. Auch diese Cassinischen Kurven habe ich am Einheitskreis gespiegelt.
Das Ergebnis hat mir nicht viel gebracht. Wenn Du möchtest, kann ich das Bild hier im Forum gern zeigen.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-8:
Der Schnitt wird m.E. jedoch nie zu einer nach einer Seite offenen Hyperbel, oder?
Nur die Spiegelung der Lemniskate ergibt eine Hyperbel.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-8:
Es ist also nicht der aus der Zusatzdimension geformte Ring, sondern der Wulstdurchmesser des Torus, der in seinem Schnitt die jeweilige Potenziallage repräsentiert. Die zusätzlich eingebrachte (Torus-)Dimension baut dagegen jede dieser Potenziallagen zu einem (eigenen) Kreis (senkrecht auf den Cassinikurven stehend) aus. Kommt diesen (zusätzlichen) Kreisen nun eine (weitere) physikalische Bedeutung zu?
Hier wird es richtig durchwachsen und kompliziert.
Diesen Weg habe ich deshalb nicht weiter in der Tiefe verfolgt und mich nur auf zwei Fälle beschränkt.

Wenn es Dich interessiert hier einige Links:
- Torus Theorie
" Geometrische Struktur und physikalische Eigenschaften eines Torus werden im Detail untersucht. Newtonsche und elektromagnetische Potentiale des Torus werden in kurzen und langen Entfernungen verdichtet. Es wird gezeigt, dass Toruspotential in kleinen Entfernungen ein attraktives Oszillatorverhalten hat. … Darüber hinaus wird gezeigt, dass die elektrischen Torusladungen abgestrahlt oder absorbiert werden … Der Zweck dieses Beitrags ist es, geometrische und physikalische Probleme des Torus in der klassischen physikalischen Ebene zu untersuchen und seine relativistischen und Quanten-Beschreibungen weiter vorzubereiten. "
- Gravitationspotential eines homogenen kreisförmigen...: ein neuer Ansatz

Es gibt sicher verschieden Möglichkeiten, Potentialfelder von Ring-Tori zu untersuchen.
So kann zum Beispiel der Durchmesser der Wulst sich bei einem Umlauf über den Ring-Umfang ändern. Dazu gibt es mathematische Beschreibungen.

Ich habe meine Untersuchungen auf nur auf die zwei folgenden Fälle beschränkt:
(a) Umlauf um den Wulstumfang.
Hier ist der Drehsinn der geschlossenen Kurven innerhalb und außerhalb des Spiegelkreises gegenläufig. Eine geometrische Darstellung dazu kann ich bei Interesse zur Verfügung stellen.

(b) Umlauf auf der Lemniskate.
Das Überraschende dieser Analyse ist, dass dieser Umlauf fast deckungsgleich mit den bekannten Sinus- bzw. Kosinusfunktionen ist, mit denen in der klassischen Physik Schwingungen beschrieben werden.
Damit erhielte die Ursache des Doppelcharakters von Photonen (Licht) mit Masse und Schwingung eine Erklärung.
Einzelheiten dazu im nächsten Beitrag.

Gruß, Otto
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 863, Mitglied seit 7 Jahren
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-9:
Damit erhielte die Ursache des Doppelcharakters von Photonen (Licht) mit Masse und Schwingung eine Erklärung.
Einzelheiten dazu im nächsten Beitrag.

Nach der Funktionentheorie stellt die Lemniskate einen 1 Zyklus dar, einen in sich geschlossenen Weg. Der Zyklus ist ein Weg in einem Graphen, bei dem Start- und Endpunkt gleich sind. Der Zyklus kann eine Wiederkehr haben oder auch nicht.
Auch die Hyperbel stellt als Spiegelbild der Lemniskate einen Zyklus dar, wenn wie in der Minkowski-Ebene der Zykel (1) durch (∞,∞) geht.

Wellen werden im Allgemeinen auf Basis der bekannten trigonometrischen Funktionen wie Sinus- oder Cosinus-Funktion oder auch in komplexer Schreibweise dargestellt. Wellen sind sich räumlich (im Vakuum) ausbreitende Störungen in Form von periodischen Schwingungen. Eine Welle transportiert Energie, aber keine Materie.

Wie bei der bekannten Sinusfunktion [sin()] an einem Kreis korreliert die Länge des Lemniskatenbogens mit dem Abstand des Bogenpunktes L bzw. des eingeschlossenen Winkels φ. So lassen sich Schwingungen auch mit dem Lemniskatischen Sinus, Sinus lemniscatus [sl()], und dem Cosinus lemniscatus [cl()] beschreiben. (2)

Es ist also durchaus möglich, Schwingungen auf Basis des Lemniskatenbogens zu beschreiben.
Wie im Folgenden gezeigt wird, sind die Unterschiede zu den bekannten trigonometrischen Funktionen gering.


Bild: Sinusfunktion, normierter Lemniskatischer Sinus und Lemniskatischer Sinus

Im Bild ist der Lemniskatische Sinus sinL() rot, der normierte Lemniskatische Sinus siL() blau und die Sinusfunktion sin() blau gepunktet dargestellt.
Der Vektor OB mit dem Endpunkt B entspricht den Punkten SinLP und SinLnorm auf den Kurven sinL() und sinLnorm().

Auf Grund der geringen Unterschiede zwischen sin() und normierten sinL() wäre zu überdenken, ob für sehr kleine Räume wie im atomaren Bereich, der Lemniskatische Sinus für die Beschreibung von Schwingungen zweckmäßig wäre.
Die Anwendung von normierten trigonometrischen Funktionen (Sinus cardinalis) hat sich bereits in vielen Gebieten der Physik als zweckmäßig erwiesen, wie in der Informationstheorie, der digitalen Signalverarbeitung, der Beugung am Spalt und in der Kernphysik (Paar-Korrelations-Verteilung der Energien der Eigenzustände von Atomkernen).
Es wäre durch Messungen im atomaren Bereich zu überprüfen, welche der beiden normierten Funktionen si(x) = sin(x)/x und siL(x) = sinL(x)/x die geeignetere mathematische Methode zur Beschreibung von Zustandsänderungen in der Natur liefern würde.
Üblich sind die mathematischen Schreibweisen si(x) = sin(x)/x oder sinc(x) = sin(πx)/πx.

Gruß, Otto
(1) Der Zyklus als mathematisches Objekt ist eine Verallgemeinerung einer geschlossenen Kurve. In der algebraischen Topologie ist es gebräuchlich, statt des Begriffs "1-Zyklus" den Begriff "1-Zykel" zu verwenden.
(2) Gauß nutzte eine Umkehrfunktion zur Berechnung der Bogenlänge, das so genannte elliptische Integral. Der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 18.06.2020 um 16:45 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 863, Mitglied seit 7 Jahren
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-10:
Es ist also durchaus möglich, Schwingungen auf Basis des Lemniskatenbogens zu beschreiben.

Hier noch einige ergänzenden Interpretation des Lemniskaten-Zyklus.

Beide, Hyperbel und Lemniskate, stellen Änderungen der Raum- und Zeitanteile der Raumzeit dar, hervorgerufen durch eine singuläre Masse.
Im Scheitelpunkt der Hyperbel wird eine Weltlinie angenähert.
Der Scheitelpunkt der Lemniskate ist dann ein Blick auf diesen Näherungspunkt aus Sicht des Unendlichen.
Der Punkt O(0,0) entspricht dem Spiegelpunkt (∞,∞).

In diesen beiden Punkten ist die Änderung der Raumzeit Null.
Ist die Zeit nur Ausdruck einer Zustandsänderung, dann stellen O(0,0) und (∞,∞) Punkte ohne Zeit und ohne Raum dar.

Ändern sich die Raum- und Zeitanteile zyklisch, dann ergeben sich Zustandsänderungen wie sie von Wellen, wie Licht, bekannt sind. Hier ändert sich in diesem Falle nur die Raumzeit selbst. Es ist eine dynamische Raumzeit.
Wenn man davon ausgeht, dass sich alle Objekte im Universum mit Lichtgeschwindigkeit als einem "Grundzustand" bewegen, dann bewegt sich auch die dynamische Raumzeit mit LG, genauso, wie wir Licht physikalisch messen und erleben.
Diese Interpretation würde auch den Doppelcharakter von Licht als Welle und einer (singulären) Ruhemasse erklären.

Die beiden Teilflächen der Lemniskate sind um 180° versetzte Schnittflächen eines Torus-Ringes.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Bewegung eines Punktes auf der Oberfläche des Torus zu interpretieren.
- Sie kann zum einen als eine Bewegung entlang einer in sich verdrillten geschlossenen Kurve in Form einer Acht aufgefasst werden.
- Sie kann aber auch als Überlagerung zweier kreisförmiger Bewegungen dargestellt werden, indem eine der Bewegungen sich auf der Oberfläche des Wulstringes um die Ringachse vollzieht und gleichzeitig sich der Punkt in Ringrichtung bewegt. In diesem Falle mäandert der Punkt spiralförmig auf der Oberfläche des Torus.

Gruß, Otto
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 20.06.2020 um 06:35 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 863, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-8:
Mit den Spindeltori geht es dann noch über den Innenradius "0" hinaus? Frage: Entspräche das dann einem "negativen" Innenradius, wenn sich der Torus - dann ohne "Loch in der Mitte" - mehr und mehr einer Kugel annähert?
Ich habe Deine Frage nicht vergessen, habe aber leider keine befriedigende Antwort darauf.
Meine Gedanken dazu:

- Zwei sich überschneidende Wulst-Kreise könnten als negativer Innenradius interpretiert werden.
Das wäre dann ein Spindeltorus.


- Wie würde ein Torus von verschieden Standpunkten aus aussehen?

(a) Von einem Standpunkt innerhalb des Wulst-Ringes bleiben Wulst-Steifen und Ring-Streifen unverändert wie von einem Standpunkt außerhalb des Torus. Siehe auch.

(b) Von Interesse scheint mir eher eine Umstülpung der Fläche eines Ring-Torus zu sein.
Das wäre ein s.g. Punktierter Torus.
Die Umstülpung (engl. Eversion) führt zu einer Vertauschung der Wulst-Streifen mit den Ring-Streifen.
Das erinnert mich an die Spiegelung eines Strings, dessen Raumzeitpunkte an der Planck-Länge gespiegelt sind (zwei Universen mit gleichen Energieniveau).

Gruß, Otto
[Gäste dürfen nur lesen]
In diesem Forum dürfen nur Mitglieder schreiben. Hier kannst du dich anmelden
Zum Seitenanfang Nach oben