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Alternative Geometrische Darstellungen der Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie

Thema erstellt von Otto 
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
In diesem Thread wird auf Themen eingegangen, die wir bereits im Forum diskutiert haben, Beitrag Nr. 2345-87 bis Beitrag Nr. 2345-139.
Den neuen Thread habe ich nur eröffnet, um die Übersichtlichkeit zu verbessern.

Themen dieses Threads sollten sein:
Die Beziehungen der Allgemeinen Relativitätstheorie werden geometrisch dargestellt. Die Schwarzschild-Gleichung, die die Wirkung einer zentralen Masse beschreibt, wird im Kern auf eine Hyperbel reduziert.
Die Lemniskate, als Inversion der Hyperbel am Einheitskreis, wird physikalisch interpretiert. Durch Inversion werden das Innere und das Äußere des Einheitskreises durch Transformation mit reziproken Radien auf sich selbst abgebildet. Der Standpunkt eines Beobachters wird demzufolge vom Zentrum eines Koordinatensystems ins Unendliche verschoben.
Die gewählte geometrische Darstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie führt wiederum auf Raum- und Zeitkomponenten, jedoch als Änderung dieser Komponenten in Form von differentiellen Größen der Raumzeit. Die Änderungen, mittels Potentiallinien wie ein Gradientenfeld graphisch dargestellt, ähneln den Gravitationspotentialen zwischen zwei Massen mit den bekannten Lagrange-Punkten. Diese Potentiallinien werden in diesem Falle jedoch nicht von Massen verursacht, sondern beschreiben die mögliche Ursache von Masse.
Für die Einheitshyperbel ist der Spiegelkreis mit dem Ereignishorizont identisch, hat also einen Schwarzschildradius mit dem Wert von Eins. Das Schwarze Loch als Inneres des Einheitskreises weist ein Potentialfeld mit stabilen Bereichen zwischen Kern und dem instabilen Rand auf. Der Kern des Schwarzen Loches ist ohne Zustandsänderung, ohne Zeit und ohne Raum.

Otto
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 11.06.2020 um 09:47 Uhr.
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
Dieser Beitrag beschäftigt sich mit den Ähnlichkeiten der Potentiallinien zweier Massen und den sogenannten Cassinische Kurven.

Die Cassinischen Kurven ähneln nur auf den ersten Blick den bekannten Potentiallinien zweier gravitativen Punktmassen (Punktladungen gleicher Polung).

Die Kurven sind natürlich verschieden, was auf mehrere Ursachen zurückzuführen ist.



(a) Gravitationsfelder
Die Potentiallinien zweier Massen wie Erde und Sonne oder Erde und Mond werden durch lineare additive Überlagerung zweier Potentiale superpositioniert, das heißt, dass sich die beiden Potentiale nicht gegenseitig beeinflussen und beide linearen Differentialgleichungen folgen.

Eine lineare Überlagerung gravitativer Wirkungen bedeutet eigentlich die Addition von Endwerten der iterativen Zustandsänderungen. Das ist gleichbedeutend mit einer zeitlosen Existenz der Gravitation wie ein Instantan-Zustand ohne Berücksichtigung einer Ausbreitung der Gravitation oder einer zeitlichen Änderung der Gravitation.
Seien zwei Massen (Punktladungen P1 und P2 gleicher Polung) voneinander |P1P2| entfernt. Dann addieren sich die Gravitationspotentiale linear.
Die Potentiale nehmen ab und zwar umgekehrt proportional zur Entfernung von den Massen. Ein Punkt L zwischen den Ladungen P1 und P2 habe die Entfernungen |LP2| und |LP1|.
Die Punktmassen P1 und P2 sind die "Brennpunkte" gravitativer Quellen.

Das führt zu der einfachen Gleichung für zwei Massen gleicher Größe.



(Für die Gleichung und ausführliche bildliche Darstellungen siehe beispielsweise auch folgender Link oder Wikipedia "Gravitationsfeld".

Anmerkung: Erst eine Kopplungskonstante führt zur potentiellen Energie. Für Gravitationsfelder ist Masse die Kopplungskonstante.(1)


(b) Cassinische Kurven
Die Cassinischen Kurven, gespiegelt an einem Kreis, ergeben eine Hyperbelschar.
Die Gleichung der Cassinischen Kurven lautet



Diese Gleichung unterscheidet sich von der obigen darin, dass die Potentiale nicht addiert, sondern multipliziert werden.
Allein schon das muss zu unterschiedlichen Kurvenverläufen führen.
Hier sind P1 und P2 die Brennpunkte der Cassinischen Kurven und P ein Punkt auf der Kurve.
(Für weiter Einzelheiten siehe Wikipedia "Gassinische Kurven", Abschnitt Gleichungen mit Bild.).

Cassinischen Kurven beschreiben nichtlineare Kurven-Systeme, hängen im Unterschied zu linearen Systemen nicht nur vom Ist-Wert allein ab, sondern auch davon, wie der Ist-Wert erreicht wurde, das heißt vom Gradienten der Zustandsänderung.

(c) Gemeinsamkeiten beider Potentialfelder
Die Gleichungen sind beides implizite Gleichungen des Typs F(x,y,) = 0.
Implizite Kurven lassen sich anschaulich als Niveaulinien verstehen.
Eine implizite Kurve beschreibt die Nullstellen einer Funktion zweier (oder mehrerer) Variablen. Die Potentiallinien können mehrfache in sich geschlossene Kurven sein.

(d) Geometrische Darstellung der wesentlichen Beziehungen der ART
Die Schwarzschild-Gleichung der ART, die die Wirkung eines singulären Massezentrums beschreibt, wird im Kern auf eine Hyperbel reduziert.
Grundlage meiner geometrischen Darstellungen ist die Gleichung von Max von Laue (siehe mein Beitrag Nr. 2345-91).
Der Scheitelpunkt der Hyperbel und damit die Hyperbel selbst stellt eine Näherung einer Weltlinie dar.
Siehe hierzu mein Beitrag Nr. 2345-92 und Beitrag Nr. 2345-91 sowie die aktualisierte Auflage des Buches "Die Relativitätstheorie Einsteins" von Max Born, 5. Auflage, Abschnitt VIII "Neuere Entwicklungen der relativistischen Physik".

Die Hyperbel beschreibt die durch eine Masse verursachten Änderungen von differentiellen Raum- und Zeitkomponenten (dr/ds) und (dt/ds) der differentiellen Raumzeit "ds".
Die Lemniskate ist die Sicht auf die singuläre Masse-Gravitation aus dem Unendlichen.

Das Gebiet innerhalb der Lemniskate ist die Inversion des Gebietes "oberhalb" der Hyperbel. Beide Gebiete sind (nicht bijektive) Abbildungen von Ebenenbereichen auf sich selbst.


(d) Ähnlichkeiten der Cassinischen Kurven mit Masse-Potentialfeldern
Es sei noch einmal betont, dass es hier nur um eine Interpretationen der Cassinischen Kurven geht.
In Anlehnung an Gravitationspotentiale würden Cassinischen Kurven und ihrer Inversionen Massekonzentration in den Brennpunkten B, B', B'' und B'1 bedeuten. Der Punkt O entspräche dem Lagrange-Punkt L1 und S den Lagrange-Punkten L2/L3. Der Kreis c mit dem Schwarzschildradius rs wäre damit für eine Testmasse kräftefrei, labil in Richtung der Achse B-B'-O-B''-B'1.

(e) Zusammenfassung
Die von uns erlebte Gravitationswirkung, repräsentiert durch die Hyperbel, wäre nur eine Seite von zwei zueinander gespiegelter Welten - das Gebiet unserer Erlebniswelt und das Gebiet eines Schwarzen Loches.
Das Wesen des einen Zustandes ist mathematisch identisch (≡) mit dem anderen. Es sind übereinstimmende Zustände, nur unter einem anderen Blickwinkel betrachtet.
Der Schwarzschildradius ist der Radius des Spiegelkreises.

Gruß, Otto

(1) Eine Kraft entsteht erst infolge des Potentialgradienten ∇V = grad V eines Gravitationspotentials V (∇ bedeutet Nabla-Operator).
Die Anwendung des Nabla-Operators ergibt einen Vektor mit den Komponenten der partiellen Ableitungen (δV/δx, δV/δy, δV/δz) des Potentialfeldes V.
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Claus (Moderator)
Beiträge: 2.221, Mitglied seit 13 Jahren
Hallo Otto,

zum Thema Ähnlichkeit der additiven Gravitation zweier Massen versus Spiegelung nur 1er Masse:

Im Falle nur 1er Masse ergibt sich ein Trichter, im Falle 2er Massen ergeben sich Extrema (Sattelfläche). Von der Sattelfläche aus kann eine auf dem Sattel sitzende Probemasse in "beide Richtungen" labil abdriften. Im Falle nur 1er Masse gibt es diese Sattelfläche (Extrema, Hügel) nicht. Eine (klein im Verhältnis zur Hauptmasse befindliche) Probemasse am Schwarzschildradius der Hauptmasse fällt daher "in" den Trichter und kann nicht (wie im Falle 2er ähnlich großer Massen) in die andere Richtung (also in die Richtung der Hyperbel) entweichen. Der Punkt 1 auf dem Schwarzschildradius ist insoweit m.E. im Falle nur 1er Masse kein "labiler" Punkt, oder?
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-3:
Im Falle nur 1er Masse ergibt sich ein Trichter, im Falle 2er Massen ergeben sich Extrema (Sattelfläche).

Bisher haben wir darüber diskutiert, ob es Ähnlichkeiten zu den Gravitationslinien zweier Massen gibt, welche Unterschiede es gibt und wie die Extremwerte in Anlehnung an die Gravitationspotentiale gedeutete werden könnten.
Ein wesentlicher Unterschied besteht u.a. darin, dass, im Gegensatz zu dem Gravitationspotential, die Kurvenschar der Cassinischen Kurven kein Potential für Kräftewirkungen darstellt.
Hier geht es nur um Zeitanteil und Raumanteil der Raumzeit, hervorgerufen durch eine Einzelmasse in O(0,0).

Können die Cassinischen Kurven (rote Linien) und deren Spiegelungen (blaue Linien) als Niveaulinien eines "Gebirges" erklärt werden?

Betrachten wir die Schnittpunkte der Kurven mit der Geraden y = x.
Auf dieser Geraden befinden sich die Punkte O, B', S und B mit den Zahlenwerten O(0), B'(0.71=1/√2), S(1) und B'(1.41=√2) auf dem Strahl.
Im Punkt S ist der Krümmungsradius für beide Kurvenscharen am größten.
Sie bilden vom Betrag her eine Art "Berg" zwischen den Brennpunkten B und B'. Die Krümmungsradien nehmen in beiden Richtungen, von S nach B und von S nach B' ab.
Ich habe deshalb diesem Punkt S als labil bezeichnet, obwohl es hier nicht um ein Kräftegleichgewicht handelt.
Zum anderen sind die Krümmungsradien der blauen und roten Kurvenscharen in S verschieden.
Der Krümmungsradius im Scheitelpunkt der Lemniskate ist (1 – 0.71).
Der Krümmungsradius der Hyperbel y = 0.5/x hat dagegen den Wert 1.
Die Werte der Krümmungsradien ändern sich in S sprunghaft.

Es schein mir sinnvoller und zweckmäßiger, sich die Kurven als geometrische Schnitte durch Tori vorzustellen.
Die Tori der blauen Kurven bilden wulstförmige Ringe unterschiedlicher Dicke.
Für die Lemniskate, als Grenzfall der Cassinischen Kurven, wird der Innendurchmesser des Ringes zu Null. (1)

Die Tori der roten Kurven bilden sogenannte Spindeltori.
Für den Grenzfall der Hyperbel y = 0.5/x ist die Schnittfläche unendlich groß.
Aber das Rotationsvolumen dieses speziellen Torus hat den Wert π/2!
Genau dieses geometrische Grenzverhalten macht deshalb den Spiegelpunkt S mathematisch interessant.

Für beide Kurvenscharen sind die Brennpunkte B und B' nur ein Punkt auf einer Kreislinie.
Diese Kreise (als Meridian von Kugeln) habe ich als stabile Zentren angesehen und habe diese als mögliche Quellen bzw. Ursache von Masse interpretiert.

Labile und stabile Bereiche sind wie Zonen von "Zwiebelschalen" um eine Punktmasse in O(0,0). (2)

Gruß, Otto

(1) Der Mittelpunkt O(0,0) zwischen den beiden Brennpunkten der Lemniskate ist der einzige Punkt, der zweimal durchlaufen wird. Es ist ein s.g. Doppelpunkt.
(2) Besonders interessant finde ich die dynamischen Veränderungen eines dynamischen n-dimensionalen Clifford-Torus.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 14.06.2020 um 13:20 Uhr.
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Claus und Kirsche,

Noch einige Bemerkungen zu
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-4:
Es schein mir sinnvoller und zweckmäßiger, sich die Kurven als geometrische Schnitte durch Tori vorzustellen.

In meiner graphischen Darstellung der Spiegelung von Cassinischen Kurven am Einheitskreis, mit dem Grenzfall Lemniskate und Hyperbel, ergeben sich Potentiallinien in Form von Schnitten durch Tori (siebe Beitrag Nr. 2347-2 oben).
Die Kurven stellen Durchmesser und Form des Wulsts von Torus-Ringen dar.
Das betrifft die Kurven sowohl innerhalb als auch außerhalb des Einheitskreises.

Es lässt sich sogar eine Verbindung der Tori-Schnittflächen zur Energie herstellen, weil der Spiegelkreisdurchmesser durch die Masse M (als Kopplungskonstante) bestimmt ist.
Siehe hierzu Beitrag Nr. 2345-92.
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2345-92:
Kreisradius (1 - 2GM/c²r)

Die Quelle der Gravitation ist bisher völlig unbekannter Natur.
Es handelt sich um eine unbekannte Energieform, die s.g. Dunkle Energie, die nicht mit Licht reagiert und die mit 68.3 % der gesamten Masse-Energie-Bilanz ausmacht.

Dies weckt natürlich Erinnerungen an die sogenannte Dunkle Masse und Dunkle Energie.
Ganz gleich, ob es sich um eine Masseteilchen (ART) oder nur um ein Ereignis der Raumzeit handelt (SRT), lassen sich Vorgänge außerhalb des Einheitskreises nicht von innen her beobachten bzw. messen und von außen nicht der innere Bereich.
Die Vorgänge im "gegenüberliegenden" Bereich wären für einen Beobachter unsichtbar.

Gruß, Otto
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Claus (Moderator)
Beiträge: 2.221, Mitglied seit 13 Jahren
Hallo Otto,

ich habe bislang nur wenig von dem, was du schreibst, verstanden.

Die blauen Linien sind die Cassinischen Kurven. Die roten die Hyperbeln.
All diese Kurven sollen (Äqui?)Potenziallinien sein. Von einer oder von verschiedenen Massen? Je kleiner die Masse, desto geringer die Krümmung der Kurve im Maximum? Bei Masse null wäre die "Cassinische Kurve" ein Punkt in (0,0) und die dazugehörige "Hyperbel" eine Gerade (ohne Krümmung)? Wenn dem so wäre, gäbe es dann eine "maximale Masse" für den Grenzfall der Lemniskate bzw. der Hyperbel 0,5/x?

Oder gelten alle Kurvenscharen jeweils für nur eine Masse (wobei irgendetwas anderes dann variabel sein müsste, z.B. r). Wenn die Cassinischen Kurven/ Hyperbeln nur eine Masse - und keine Wechselwirkung - darstellen, in Bezug auf wen/was werden dann die Raum- und Zeitanteile definiert? Spielt r dabei eine Rolle?

In Bezug auf was funktioniert die Normung, wenn die Cassinischen Kurven/ Hyperbeln eigenlich für jede Masse gleich aussehen (jeder Masse kann man einen Schwarzschildradius zuordnen)? Was ist dann aber der "Krümmungsradius", der offensichtlich von der Größe der Masse abhängt?

Bei den Tori kommen verschiedene R´s, r´s zum Ansatz (Innendurchmesser, Außendurchmesser, deren Verhältnis etc. Was bedeuten diese physikalisch? Was meinst du damit:

Zitat von Otto:
Für beide Kurvenscharen sind die Brennpunkte B und B' nur ein Punkt auf einer Kreislinie.

Ist damit der "Kreis des Torus", also eine ergänzende Dimension, gemeint?

Spindeltori sind auf beiden Seiten endlich (die Schnittfläche eines Gouda-Käses). Die Hyperbeln sind dagegen nach einer Seite (in Richtung x- und y-Achse) offen.
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-6:
In Bezug auf was funktioniert die Normung, wenn die Cassinischen Kurven/ Hyperbeln eigentlich für jede Masse gleich aussehen (jeder Masse kann man einen Schwarzschildradius zuordnen)?

Jede Masse M "erzeugt" ihre eigene Lemniskate, eigene Hyperbel und einen eigenen Spiegelkreis.
Siehe hierzu das Bild im Beitrag Nr. 2345-76.
Die Lemniskaten haben, je nach Masse, unterschiedliche Scheitelwerte.
Die Scheitelpunkte der Hyperbeln haben ebenfalls, je nach Masse, verschiedene Entfernungen von O(0,0).
Eine "Einheitsmasse" lässt sich konstruieren mit rs = 1 = 2GM/c², also eine Einheitsmasse M = c²/2G.

Das Bild im Beitrag Nr. 2347-2, ganz am Anfang dieses Threads, unterscheidet sich von dem Bild im Beitrag Nr. 2345-76 deutlich.
In diesem Bild werden nicht verschieden Lemniskaten miteinander verglichen, sondern die Schar Cassinischer Kurven (und deren Spiegelbilder).

Ich war ganz einfach neugierig, was das bedeutet und wie man das physikalische interpretieren könnte.
Zuerst habe ich einen Vergleich mit dem Gravitationspotential zweier Massen angestellt. Das führt zu einer Reihe von Analogien und zu stabilen und labilen Punkten der Felder.
Das ist aber auch schon alles, weil Gravitationsfelder und die Schar der Cassinischen Kurven unterschiedlichen Gleichungen folgen.

Den beiden Gleichungen war jedoch gemeinsam, dass sie Potentiale darstellten.
Nun ging es um die Frage, ob diese Kurvenscharen im Beitrag Nr. 2347-2 ein Potentialfeld sein könnte, das die "Ursache/Quelle" der singulären Masse in O(0,0) ist.
Max von Laue verwendet dafür den Begriff "Führungsfeld", allerdings in einem anderen Zusammenhang.
Anders ausgedrückt: Ist die Kurvenschar der Lemniskaten und deren Spiegelung eine Art Stammfunktion einer singulären Masse?

Auf der Suche nach der geometrischen Darstellung des Potentials als "Gebirge" stieß ich auf die anschaulichen Schnittflächen von Tori.
Jede Cassinische Kurve stellt für sich einen Schnitt durch einen Torus dar.
Die Kurvenschar repräsentiert ineinander geschachtelte Tori mit verschiedenen Wulstdurchmessern.
Allen diesen Tori ist gemeinsam, dass sie den gleichen Ringdurchmesser besitzen.
Der Ringradius ist der Brennpunkt der Cassinischen Kurven.

Das gleiche gilt natürlich auch für die gespiegelten (ineinander geschachtelten) Tori außerhalb des Spiegelkreises.

Es bleibt natürlich die Frage offen, ob die These für eine mögliche Ursache/Quelle von Masse (und damit Gravitation) richtig ist oder auch nicht.
Es ist nur eine These.
Insbesondere bleibt zu klären, was die geometrischen Eigenschaften des Spiegelpunktes S physikalisch zu bedeuten haben.

Gruß, Otto
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Claus (Moderator)
Beiträge: 2.221, Mitglied seit 13 Jahren
Hallo Otto,

hatte mir schon gedacht, dass du zur Veranschaulichung der Cassinikurven als Potenzial-"Höhenlinien" eine "Landschafts"-Dimension hinzunehmen wolltest und so zu den Tori kamst. Nun aber: Bildet die zusätzliche, dritte Dimension der Tori die gewünschten Potenzialhöhen ab? M.E. nein. Denn du sprichst von "ineinander geschachtelten" Tori mit verschiedenen Wulstdurchmessern. Es ist also nicht der aus der Zusatzdimension geformte Ring, sondern der Wulstdurchmesser des Torus, der in seinem Schnitt die jeweilige Potenziallage repräsentiert. Die zusätzlich eingebrachte (Torus-)Dimension baut dagegen jede dieser Potenziallagen zu einem (eigenen) Kreis (senkrecht auf den Cassinikurven stehend) aus. Kommt diesen (zusätzlichen) Kreisen nun eine (weitere) physikalische Bedeutung zu?

Der Außenradius des Torus repräsentiert die Masse. Der Innenradius repräsentiert dagegen, wie weit man sich im "Gebirge der Cassinikurven" der Lemniskate (also der Cassinikurve mit höchstmöglicher Krümmung im Wendepunkt) annähert. Wird der Innenradius gerade 0, erreicht man die Lemniskate. Mit den Spindeltori geht es dann noch über den Innenradius "0" hinaus? Frage: Entspräche das dann einem "negativen" Innenradius, wenn sich der Torus - dann ohne "Loch in der Mitte" - mehr und mehr einer Kugel annähert?

Und nochmals zur Frage des "Schnitts" eines Spindeltorus. Der Schnitt sieht immer geschlossen aus. Entsprechend der Abbildung rechts in deinem Link vermute ich, dass der Schnitt beim anfänglichen Hinausgehen über die Lemniskate zunächst zunehmend aussieht, wie ein Wasserstoffmolekül, danach, (so wie in der dortigen Abbildung dargestellt) wie eine doppelte Goudakäsescheibe und im Grenzfall dann zu einem Kreis wird. Der Schnitt wird m.E. jedoch nie zu einer nach einer Seite offenen Hyperbel, oder?
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-8:
Und nochmals zur Frage des "Schnitts" eines Spindeltorus. Der Schnitt sieht immer geschlossen aus. Entsprechend der Abbildung rechts in deinem Link vermute ich, dass der Schnitt beim anfänglichen Hinausgehen über die Lemniskate zunächst zunehmend aussieht, wie ein Wasserstoffmolekül, danach, (so wie in der dortigen Abbildung dargestellt) wie eine doppelte Goudakäsescheibe und im Grenzfall dann zu einem Kreis wird.
Mit wachsender "Größe" der Cassinischen Kurven nähert sich die Form der geschlossenen Kurven von der Lemniskate über ein eingedrücktes und ein ellipsenförmiges Oval immer mehr einem Kreis an.
Allerdings überschreitet der Scheitelpunkt der Cassinischen Kurven "nach" der Lemniskate den Umfang des Spiegelkreises.
Diesen Fall habe ich ebenfalls untersucht und geometrisch dargestellt. Auch diese Cassinischen Kurven habe ich am Einheitskreis gespiegelt.
Das Ergebnis hat mir nicht viel gebracht. Wenn Du möchtest, kann ich das Bild hier im Forum gern zeigen.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-8:
Der Schnitt wird m.E. jedoch nie zu einer nach einer Seite offenen Hyperbel, oder?
Nur die Spiegelung der Lemniskate ergibt eine Hyperbel.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-8:
Es ist also nicht der aus der Zusatzdimension geformte Ring, sondern der Wulstdurchmesser des Torus, der in seinem Schnitt die jeweilige Potenziallage repräsentiert. Die zusätzlich eingebrachte (Torus-)Dimension baut dagegen jede dieser Potenziallagen zu einem (eigenen) Kreis (senkrecht auf den Cassinikurven stehend) aus. Kommt diesen (zusätzlichen) Kreisen nun eine (weitere) physikalische Bedeutung zu?
Hier wird es richtig durchwachsen und kompliziert.
Diesen Weg habe ich deshalb nicht weiter in der Tiefe verfolgt und mich nur auf zwei Fälle beschränkt.

Wenn es Dich interessiert hier einige Links:
- Torus Theorie
" Geometrische Struktur und physikalische Eigenschaften eines Torus werden im Detail untersucht. Newtonsche und elektromagnetische Potentiale des Torus werden in kurzen und langen Entfernungen verdichtet. Es wird gezeigt, dass Toruspotential in kleinen Entfernungen ein attraktives Oszillatorverhalten hat. … Darüber hinaus wird gezeigt, dass die elektrischen Torusladungen abgestrahlt oder absorbiert werden … Der Zweck dieses Beitrags ist es, geometrische und physikalische Probleme des Torus in der klassischen physikalischen Ebene zu untersuchen und seine relativistischen und Quanten-Beschreibungen weiter vorzubereiten. "
- Gravitationspotential eines homogenen kreisförmigen...: ein neuer Ansatz

Es gibt sicher verschieden Möglichkeiten, Potentialfelder von Ring-Tori zu untersuchen.
So kann zum Beispiel der Durchmesser der Wulst sich bei einem Umlauf über den Ring-Umfang ändern. Dazu gibt es mathematische Beschreibungen.

Ich habe meine Untersuchungen auf nur auf die zwei folgenden Fälle beschränkt:
(a) Umlauf um den Wulstumfang.
Hier ist der Drehsinn der geschlossenen Kurven innerhalb und außerhalb des Spiegelkreises gegenläufig. Eine geometrische Darstellung dazu kann ich bei Interesse zur Verfügung stellen.

(b) Umlauf auf der Lemniskate.
Das Überraschende dieser Analyse ist, dass dieser Umlauf fast deckungsgleich mit den bekannten Sinus- bzw. Kosinusfunktionen ist, mit denen in der klassischen Physik Schwingungen beschrieben werden.
Damit erhielte die Ursache des Doppelcharakters von Photonen (Licht) mit Masse und Schwingung eine Erklärung.
Einzelheiten dazu im nächsten Beitrag.

Gruß, Otto
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-9:
Damit erhielte die Ursache des Doppelcharakters von Photonen (Licht) mit Masse und Schwingung eine Erklärung.
Einzelheiten dazu im nächsten Beitrag.

Nach der Funktionentheorie stellt die Lemniskate einen 1 Zyklus dar, einen in sich geschlossenen Weg. Der Zyklus ist ein Weg in einem Graphen, bei dem Start- und Endpunkt gleich sind. Der Zyklus kann eine Wiederkehr haben oder auch nicht.
Auch die Hyperbel stellt als Spiegelbild der Lemniskate einen Zyklus dar, wenn wie in der Minkowski-Ebene der Zykel (1) durch (∞,∞) geht.

Wellen werden im Allgemeinen auf Basis der bekannten trigonometrischen Funktionen wie Sinus- oder Cosinus-Funktion oder auch in komplexer Schreibweise dargestellt. Wellen sind sich räumlich (im Vakuum) ausbreitende Störungen in Form von periodischen Schwingungen. Eine Welle transportiert Energie, aber keine Materie.

Wie bei der bekannten Sinusfunktion [sin()] an einem Kreis korreliert die Länge des Lemniskatenbogens mit dem Abstand des Bogenpunktes L bzw. des eingeschlossenen Winkels φ. So lassen sich Schwingungen auch mit dem Lemniskatischen Sinus, Sinus lemniscatus [sl()], und dem Cosinus lemniscatus [cl()] beschreiben. (2)

Es ist also durchaus möglich, Schwingungen auf Basis des Lemniskatenbogens zu beschreiben.
Wie im Folgenden gezeigt wird, sind die Unterschiede zu den bekannten trigonometrischen Funktionen gering.


Bild: Sinusfunktion, normierter Lemniskatischer Sinus und Lemniskatischer Sinus

Im Bild ist der Lemniskatische Sinus sinL() rot, der normierte Lemniskatische Sinus siL() blau und die Sinusfunktion sin() blau gepunktet dargestellt.
Der Vektor OB mit dem Endpunkt B entspricht den Punkten SinLP und SinLnorm auf den Kurven sinL() und sinLnorm().

Auf Grund der geringen Unterschiede zwischen sin() und normierten sinL() wäre zu überdenken, ob für sehr kleine Räume wie im atomaren Bereich, der Lemniskatische Sinus für die Beschreibung von Schwingungen zweckmäßig wäre.
Die Anwendung von normierten trigonometrischen Funktionen (Sinus cardinalis) hat sich bereits in vielen Gebieten der Physik als zweckmäßig erwiesen, wie in der Informationstheorie, der digitalen Signalverarbeitung, der Beugung am Spalt und in der Kernphysik (Paar-Korrelations-Verteilung der Energien der Eigenzustände von Atomkernen).
Es wäre durch Messungen im atomaren Bereich zu überprüfen, welche der beiden normierten Funktionen si(x) = sin(x)/x und siL(x) = sinL(x)/x die geeignetere mathematische Methode zur Beschreibung von Zustandsänderungen in der Natur liefern würde.
Üblich sind die mathematischen Schreibweisen si(x) = sin(x)/x oder sinc(x) = sin(πx)/πx.

Gruß, Otto
(1) Der Zyklus als mathematisches Objekt ist eine Verallgemeinerung einer geschlossenen Kurve. In der algebraischen Topologie ist es gebräuchlich, statt des Begriffs "1-Zyklus" den Begriff "1-Zykel" zu verwenden.
(2) Gauß nutzte eine Umkehrfunktion zur Berechnung der Bogenlänge, das so genannte elliptische Integral. Der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 18.06.2020 um 16:45 Uhr.
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Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-10:
Es ist also durchaus möglich, Schwingungen auf Basis des Lemniskatenbogens zu beschreiben.

Hier noch einige ergänzenden Interpretation des Lemniskaten-Zyklus.

Beide, Hyperbel und Lemniskate, stellen Änderungen der Raum- und Zeitanteile der Raumzeit dar, hervorgerufen durch eine singuläre Masse.
Im Scheitelpunkt der Hyperbel wird eine Weltlinie angenähert.
Der Scheitelpunkt der Lemniskate ist dann ein Blick auf diesen Näherungspunkt aus Sicht des Unendlichen.
Der Punkt O(0,0) entspricht dem Spiegelpunkt (∞,∞).

In diesen beiden Punkten ist die Änderung der Raumzeit Null.
Ist die Zeit nur Ausdruck einer Zustandsänderung, dann stellen O(0,0) und (∞,∞) Punkte ohne Zeit und ohne Raum dar.

Ändern sich die Raum- und Zeitanteile zyklisch, dann ergeben sich Zustandsänderungen wie sie von Wellen, wie Licht, bekannt sind. Hier ändert sich in diesem Falle nur die Raumzeit selbst. Es ist eine dynamische Raumzeit.
Wenn man davon ausgeht, dass sich alle Objekte im Universum mit Lichtgeschwindigkeit als einem "Grundzustand" bewegen, dann bewegt sich auch die dynamische Raumzeit mit LG, genauso, wie wir Licht physikalisch messen und erleben.
Diese Interpretation würde auch den Doppelcharakter von Licht als Welle und einer (singulären) Ruhemasse erklären.

Die beiden Teilflächen der Lemniskate sind um 180° versetzte Schnittflächen eines Torus-Ringes.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Bewegung eines Punktes auf der Oberfläche des Torus zu interpretieren.
- Sie kann zum einen als eine Bewegung entlang einer in sich verdrillten geschlossenen Kurve in Form einer Acht aufgefasst werden.
- Sie kann aber auch als Überlagerung zweier kreisförmiger Bewegungen dargestellt werden, indem eine der Bewegungen sich auf der Oberfläche des Wulstringes um die Ringachse vollzieht und gleichzeitig sich der Punkt in Ringrichtung bewegt. In diesem Falle mäandert der Punkt spiralförmig auf der Oberfläche des Torus.

Gruß, Otto
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 20.06.2020 um 06:35 Uhr.
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Hallo Claus,

Claus schrieb in Beitrag Nr. 2347-8:
Mit den Spindeltori geht es dann noch über den Innenradius "0" hinaus? Frage: Entspräche das dann einem "negativen" Innenradius, wenn sich der Torus - dann ohne "Loch in der Mitte" - mehr und mehr einer Kugel annähert?
Ich habe Deine Frage nicht vergessen, habe aber leider keine befriedigende Antwort darauf.
Meine Gedanken dazu:

- Zwei sich überschneidende Wulst-Kreise könnten als negativer Innenradius interpretiert werden.
Das wäre dann ein Spindeltorus.


- Wie würde ein Torus von verschieden Standpunkten aus aussehen?

(a) Von einem Standpunkt innerhalb des Wulst-Ringes bleiben Wulst-Steifen und Ring-Streifen unverändert wie von einem Standpunkt außerhalb des Torus. Siehe auch.

(b) Von Interesse scheint mir eher eine Umstülpung der Fläche eines Ring-Torus zu sein.
Das wäre ein s.g. Punktierter Torus.
Die Umstülpung (engl. Eversion) führt zu einer Vertauschung der Wulst-Streifen mit den Ring-Streifen.
Das erinnert mich an die Spiegelung eines Strings, dessen Raumzeitpunkte an der Planck-Länge gespiegelt sind (zwei Universen mit gleichen Energieniveau).

Gruß, Otto
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Hallo alle zusammen,
vor einer ganzen Weile fragte mich Claus, ob mir die geometrische Darstellung der ART in Kruskal-Szekeres-Koordinaten bekannt sei.
Diese Darstellung war mir unbekannt.

Hier eine kurze Zusammenfassung.
Auf die Unterschiede zu meinen alternativen geometrischen Darstellungen gehe ich später in einem separaten Beitrag ein.

Die Gleichung der ART weist im Schwarzschild-Koordinatensystem zwei Singularitäten auf, eine für r = 0 im Zentrum des SL und eine für den Ereignishorizont mit dem Schwarzschildradius r = rs. Die beiden Singularitäten unterscheiden sich jedoch.
Für r = rs tritt eine mathematische, aber keine physikalische Singularität auf. So passiert für einen Beobachter nichts, wenn er den Schwarzschildradius überquert. Deshalb ist es sinnvoll, nach einem alternativen Koordinatensystem bzw. einer Transformation zu suchen, die diesen Makel behebt.

Die graphischen Darstellungen und Gleichungen sind bei Wikipedia "Kruskal-Szekeres-Koordinaten" zu finden.

Martin D. Kruskal und George Szekeres nutzten dafür Ende der 1950-iger Jahre ein sphärisches Koordinatensystem für die Feldgleichungen der ART. Die Teilung der Achsen für die raumartige und zeitartige Komponente der Raumzeit ist hier nicht metrisch, sondern weist eine Hyperbel-Teilung durch die Funktionen sinh() und cosh() auf.
Die veränderte Teilung, zum Beispiel durch eine logarithmischer Darstellung, ist bekannt. Physikalische Zusammenhänge lassen sich so anschaulicher darstellen, insbesondere wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst.
Die Nutzung einer Hyperbelteilung dagegen verdeutlicht physikalische Zusammenhänge speziell für kleine Wertebereiche (unabhängig von irgendwelchen zusätzlichen Faktoren).

Das führt in den geometrischen Darstellungen zu einigen Besonderheiten.
(a) Hyperbeln werden zu Geraden (Zeit t = const).
(b) Kreise werden zu Hyperbeln (Radius r = const).
(c) Der Schwarzschildkreis mutiert zu einem Punkt (u,v) = (0,0).
(d) Der Koordinatenursprung (0,0) wird durch zwei sich kreuzende Geraden u = 0 und v = 0 gebildet.
(e) Geraden mit der Steigung u/v = ±1 begrenzen den Bereich des Ereignishorizontes rs (mit t = ±∞). Damit ist in dieser geometrischen Darstellung für einen mitbewegten Beobachter der Ereignishorizont nicht mehr singulär!
Der Beobachter selbst bemerkt davon nichts, wenn er den Ereignishorizont überschreitet.
(f) Die Weltlinien sind Hyperbeln, sowohl für den Bereich r > rs, aber auch für r < rs.
Es existieren demzufolge in dieser geometrischen Darstellung auch Weltlinien innerhalb des SL!
(g) Der Mittelpunkt r = 0 des SL "mutiert" in dem Kruskal-Koordinatensystem zu zwei Bereichen, einer stellt das SL dar (das Masse verschlingt), der andere Bereich das s.g. Weißes Loch (das Masse ausstößt).
Für WL siehe auch das witzige Erklär-Video.

Hier das Bild zur geometrischen Darstellung von Kruskal und Szekeres:


Wie bereits erwähnt, gehe ich auf die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu meiner alternativen geometrischen Darstellung der ART später in einem separaten Beitrag ein.
Gruß, Otto
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Unterschied der Kruskal-Szekeres-Koordinaten-Darstellung zu Ottos alternativen geometrischen Darstellungen der ART

Die Mathematik der ART Einsteins verknüpft lokale Punkt der Raumzeit mit der Metrik, macht aber über die Topologie keinerlei Aussagen.
Ich habe eine alternative geometrische Darstellung in Form eines um -45° gedrehten Koordinatensystems genutzt, die die Änderung des zeitartigen und raumartigen Anteils eines Linienelementes der Raumzeit darstellt.
Diese Kurve wird am Schwarzschildkreis gespiegelt.
Als Grundlage benutze ich die von Max von Laue entwickelte Beziehung der ART, dargestellt in einem räumlichen polaren Koordinatensystem.
Die Ergebnisse werden topologisch untersucht und geometrisch dargestellt.

Zu (a) und (b):
Ich stelle die Änderung von Raum- und Zeit-Komponenten eines Raumzeitpunktes dar, während Kruskal/Szekeres Zeitdauer (t) und Distanz (r) graphisch präsentieren.
Zeitdauer und Distanz ergeben sich in meiner Darstellung erst durch Integration der Hyperbel, d.h. der Stammfunktion F(x) = ln(x).
Siehe dazu die Graphik, Beitrag Nr. 2345-67.
Die Hyperbel zeigt anschaulich, dass bei einem dominanten Zeitanteil die Änderung der Raumanteils verschwindend gering wird (und umgekehrt).

Zu (c), (d), (e):
Der Umfang des Schwarzschildkreises stellt den Ereignishorizont rs dar.
Im Gegensatz zum Kruskal-Koordinatensystem im euklidischen unendlichen Raum transformiere ich die Hyperbel auf die Oberfläche einer Kugel, dem Spezialfall eines Torus. Dadurch verschwinden die Hyperbeläste nicht im Unendlichen, sondern bilden eine geschlossene Kurve, die sich im Nadir der Kugel kreuzt.

Zu (f):
Bei Otto werden keine Weltlinien dargestellt, sondern die Änderungen der Weltlinien.
Die Hyperbeläste beschränken sich auf den 1. und 3. Quadranten, also den Bereich r > rs.
Anstelle von Weltlinien innerhalb des SL, r < rs, interpretiere ich die Lemniskate als Begrenzung des "inneren" Bereiches des SL. Die Lemniskate ergibt sich aus der Sicht des Nadirs der Kugeloberfläche auf die Hyperbel. Anders ausgedrückt, es ist das Bild einer Hyperbel aus Sicht des Unendlichen in einer unendlichen zweidimensionalen Fläche.
An die Stelle der Weltlinien des Kruskal-Koordinatensystem treten Cassinische Kurven innerhalb der Lemniskate.
Es existieren demzufolge in dieser geometrischen Darstellung ebenfalls Weltlinien innerhalb des SL, jedoch als Cassinische Kurven!

Zu (g):
Der Mittelpunkt des SL (0,0) für r = 0 ist ein Punkt der Kreuzung der Lemniskatenkurve für den die Änderung der Zeit und die Änderung des Raumes beide gleichzeitig Null werden.
Wenn Zeit Ausdruck der Zustandsänderung ist, dann präsentiert der Mittelpunkt des SL einen Zustand ohne Zeit und ohne Raum.
Ein Weißes Loch (das Masse ausstößt) existiert in meiner geometrischen Darstellung nicht.
Möglich wäre die Spiegelung der Hyperbel als y = -1/x im Diagramm mit aufzunehmen. Dann würden diese Hyperbeläste im 2. und 4. Quadranten verlaufen und die zugehörigen Kreissegmente des Spiegelkreises könnten dann als s.g. Weiße Löcher in diesen Quadranten interpretiert werden.
Das macht jedoch m.E. wenig Sinn.


Ich kenne keine Publikation zu Schwingungen in Verbindung mit dem Kruskal-Koordinatensystem.
Ich gehe auf dieses Problem in meinen Ausführungen ein, siehe Beitrag Nr. 2347-10.
Ich interpretiere Licht und andere Schwingungen als eine dynamische Raumzeit, deren Raum- und Zeitkomponenten sich zyklisch ändern.
Der Punkt (0.0) der Lemniskate mit einer Änderung = Null (erste Ableitung) entspricht dem Maximum und Minimum von Schwingungen.


Noch einige Bemerkungen zu den Cassinischen Kurven, der Hyperbel und der Lemniskate.
Im Beitrag Nr. 2345-105 habe ich diese Kurvenschar bereits einmal dargestellt. Der Einfachheit halber wiederhole ich das Bild hier noch einmal.
Es kann als Schnitt durch verschiedene Tori aufgefasst werden.
Die Summe der Krümmungen der Oberfläche pro Torus ist Null.
Eine Ausnahme bilden die speziellen Tori als Hyperboloid und als Kugel.



Der Hyperboloid (rote Linie), mit der Kreisebene B1'-B''-O-B'-S-B, trennt zwei Gebiete (rot und blau markiert) mit Ring-Tori.

Die Radien O-B = OB'1 der äußeren (roten) Tori weden durch die Brennpunkte B und B'1 bestimmt.
Die inneren (blauen) Tori mit den Brennpunkten B' und B'' haben die Radien O-B' = O-B''.
Die Tori sind ineinander verschachtelt.

Das Wechselspiel vieler Entitäten lässt sich durch das „Ineinanderschachteln” mehrerer Dorntori darstellen.

Die Lemniskate bildet die Schnittfläche eines Horntorus.

Der Einheitskreis c ist der Meridian eine Kugel.

Ein um den Umfang des Großkreises veränderlicher Wulstdurchmesser, der s.g. Zyklide, wird hier nicht weiter untersucht und physikalisch interpretiert.

Im Internet sind weitere interessante Darstellungen zu Tori zu finden, deren Oberflächen sich drehen.
Sehr anschaulich ist die Darstellung zweier ineinander geschachtelter Dorntori.

Hier eine Übersicht über Dorntori, deren Oberflächen sich drehen.
Darunter sind z.B. Darstellungen von Tori, die Fermionen präsentieren, Photonen/Elektronen und Nucleon/Gluon/Quarks.

Gruß, Otto
Beitrag zuletzt bearbeitet von Otto am 20.07.2020 um 22:01 Uhr.
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-14:
Im Gegensatz zum Kruskal-Koordinatensystem im euklidischen unendlichen Raum transformiere ich die Hyperbel auf die Oberfläche einer Kugel, dem Spezialfall eines Torus. Dadurch verschwinden die Hyperbeläste nicht im Unendlichen, sondern bilden eine geschlossene Kurve, die sich im Nadir der Kugel kreuzt.

Hier noch eine graphische Darstellung dazu.



Bild: Projektion der Hyperbel y = 1/x in der x-y-Ebene auf die Oberfläche einer Kugel
x-Achse rot, y-Achse grün, z-Achse blau, Kugel mit Radius 1

Wenn die Oberfläche der Nordhalbkugel mit der darauf befindlichen Lemniskate auf die zweidimensionale x-y-Ebene abgebildet wird, entsteht eine Hyperbel mit Ästen im 1. und 3. Quadranten. Die Enden der Hyperbeläste, die nach Unendlich gehen, werden auf der Kugeloberfläche als Kreuzungspunkt (0,0,1) auf der blauen z-Achse abgebildet.


Bild: Frontalansicht der räumlichen Darstellung

Gruß, Otto
P.S.: Mein Dank geht für die räumlichen Darstellungen nach Spanien an "mathmagic" des Forums GeoGebra.
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Stueps (Moderator)
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Hallo Otto,

ich seh zwar hier kein bisschen durch, aber eines ist mir hier doch mehrmals aufgefallen, und ich möchte doch mal ein Detail nachfragen. Inwiefern das für deine Betrachtungen wichtig ist, weiß ich nicht.
Ich habe gerade ein Buch von Ian Stewart ("Weltformeln") gelesen. In diesem macht er auf den topologischen Unterschied zwischen Kugel und Torus aufmerksam.

Zitat von Otto:
auf die Oberfläche einer Kugel, dem Spezialfall eines Torus

In diesem Buch führt Stewart den Beweis
(Würfel (später zur Kugel vereinfacht): Anzahl Flächen - Anzahl Kanten + Anzahl Ecken = 2;
Bilderrahmen (später zum Torus vereinfacht): Anzahl Flächen - Anzahl Kanten + Anzahl Ecken = 0), der besagt, dass eine Kugel etwas grundverschiedenes von einem Torus ist, und deshalb natürlich niemals ein Spezialfall eines Torus sein kann. Das Loch im Torus macht ihn topologisch zu etwas völlig anderem. Es scheint allgemein, dass die Anzahl der Löcher in einem Gebilde den grundlegenden Unterschied von Körpern ausmacht (neben anderen Dingen wie Kompaktheit usw.). Ich habe zwar keine Ahnung von Topologie, aber der Beweis, den Stewart erläutert, scheint mir plausibel.
Wie gesagt, ich weiß nicht, ob das für deine Betrachtungen von Bedeutung ist.

Beste Grüße
Signatur:
Ein Universum, welches zufällig entsteht und zufällig ein Phänomen namens Humor hervorbringt, entbehrt nicht einer gewissen Komik.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Stueps am 26.07.2020 um 11:19 Uhr.
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
Hallo Stueps,

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-16:
In diesem macht er auf den topologischen Unterschied zwischen Kugel und Torus aufmerksam.
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-16:
.....der besagt, dass eine Kugel etwas grundverschiedenes von einem Torus ist, und deshalb natürlich niemals ein Spezialfall eines Torus sein kann. Das Loch im Torus macht ihn topologisch zu etwas völlig anderem.

Ich habe im Internet verschiedene Aussagen dazu gefunden.
Sicherlich gibt es zwischen einer Kugel und den Tori einen deutlichen mathematischen Unterschied (eine in sich geschlossene Kurve auf der Oberfläche einer Kugel läßt sich immer zu einem Punkt schrumpfen [Innendurchmesser der Kurve → 0], was für einen Ringtorus mit einem Loch in der Mitte natürlich über den Umfang des Loches nie gelingen kann!)
Allerdings empfinde ich einen Volltorus mit einer "Eindellung" (ohne Loch) einer Kugel sehr ähnlich. Wenn die Delle in den Rotationsachsen verschwindet, dann haben wir den Spezialfall einer "Kugel".

Mich hat das Problem auch beschäftigt.
Aber ich habe bisher dem Unterschied zwischen Kugel und Torus keine physikalische Bedeutung zuordnen können, auch nicht für die ART.

Gruß, Otto
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Stueps (Moderator)
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Hallo Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-17:
Aber ich habe bisher dem Unterschied zwischen Kugel und Torus keine physikalische Bedeutung zuordnen können, auch nicht für die ART.

und da du diese untersuchst, ist das wohl auch in Ordnung.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 2347-17:
Allerdings empfinde ich einen Volltorus mit einer "Eindellung" (ohne Loch) einer Kugel sehr ähnlich.

Genau das unterscheidet mathematisch und vor allem topologisch (also noch grundlegender als geometrisch) einen Torus von einer Kugel.

Das Loch.

Beste Grüße
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Beiträge: 947, Mitglied seit 7 Jahren
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2347-18:
Genau das unterscheidet mathematisch und vor allem topologisch (also noch grundlegender als geometrisch) einen Torus von einer Kugel.

Hallo Stueps,
Siehe Wikipedia Spindeltorus.
Gruß, Otto
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Claus (Moderator)
Beiträge: 2.221, Mitglied seit 13 Jahren
Hi Stueps,

wie Otto zuvor zeigte, ist der (Voll)Torus mit Loch in der Mitte nur ein Spezialfall unter den möglichen Tori. Es gibt auch welche ohne Loch (nämlich solche, die wie Plattpfirsiche an der Stelle, wo sonst das Loch ist, nur eine Delle haben), die sogenannten "Spindeltori".

Tori mit Löchern ergeben sich durch Rotation eines Kreises um eine Achse außerhalb des Kreises.

Spindeltori ergeben sich analog, wenn die Rotationsachse innerhalb des Kreises liegt.

Dabei ist der "Dellenparameter" durch den Abstand der Rotationsachse vom Kreismittelpunkt gegeben. Je größer dieser Abstand, desto größer die Delle.

Wird der Abstand der Rotationsachse vom Kreismittelpunkt im Grenzfall null, so verschwindet die Delle und der (Spindel)Torus geht in eine Kugel über.
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