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Raum und Zeit
Eine Auflösung des "Zwillingsparadoxons" mithilfe der Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls
Raum und Zeit
Eine Auflösung des "Zwillingsparadoxons" mithilfe der Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls
Eine Auflösung des "Zwillingsparadoxons" mithilfe der Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls
Thema erstellt von Simpl
| Beiträge: 53, Mitglied seit 8 Jahren |
Hallo zusammen,
im Folgenden der Gedankengang, der mich nach viel Blut, Schweiß und Tränen hat verstehen lassen, wieso der reisende Zwilling am Ende jünger ist als der heimgebliebene Zwilling. Ich komme dabei ohne Beschleunigung, Dopplereffekt und "Inertialsystemwechel" aus.
Die Pointe ist findet sich in Ziffern 4. und 5.
1. Das Szenario
Heimzwilling HZ und Reisezwilling RZ begeben sich auf der Erde zur Raketenstartrampe.
Es findet das Ereignis Verabschiedung V statt.
RZ fliegt zum Zielstern ZS.
Es wird angenommen, dass Erde und ZS sich relativ zueinander in Ruhe befinden.
RZs Landung auf ZS ist das Ereignis AN (wie Ankunft).
RZ verschnauft ein wenig und tritt die Rückreise zur Erde an.
Sein Start von ZS ist das Ereignis AB (wie Abreise).
Bei seiner Landung auf der Erde trifft er HZ wieder.
Das Wiedersehen ist das Ereignis W.
Es gibt noch andere Szenarien, es wird aber dieses gewählt, weil es das einfachste ist.
2. Inertialsysteme
Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt. Es gibt kein ausgezeichnetes, „absolutes“ Inertialsystem.
Das setze ich als bekannt und Konsens voraus. Vorsorglich noch folgende Details:
Ein Inertialsystem ist unendlich groß. Das Ruhesystem des RZs existiert nicht etwa nur in seiner Rakete.
Ein Inertialsystem braucht keinen Beobachter. Wenn an bestimmten Zeit- und Ortskoordinaten eines bestimmten Inertialsystems ein Ereignis eintritt, dann tritt es an diesem Weltpunkt ein, egal, ob gerade ein Beobachter misst.
Wer auf den Akt der Messung besteht, möge sich vorstellen, dass an jedem Punkt eines jeden Inertialsystems Uhren angebracht sind, die ein Log über die dort stattfindenden Ereignisse schreiben. Diese Logs können später in Augenschein genommen werden, um Zeit und Ort eines Ereignisses für jedes Inertialsystem festzustellen. Es kommt also nicht auf Signallaufzeiten zwischen einem Ereignis und einem Beobachter an.
3. Das „Paradoxon“
Die SRT besagt:
In dem obigen Szenario ist RZ bei Ereignis W (dem Wiedersehen) jünger als HZ.
Für RZ ist weniger Zeit vergangen als für HZ.
Einwände, die ein vermeintliches Paradoxon begründen sollen:
Wenn alle Inertialsysteme gleichberechtigt sind, kann sich RZ mit demselben Recht als in Ruhe befindlich betrachten wie HZ. Und genau wie sich im Ruhesystem des HZ der RZ nach V entfernt, zurückkehrt und zu W wieder da ist, entfernt sich im Ruhesystem des RZ der HZ, kehrt zurück und ist zu W wieder da.
Die Situation ist „symmetrisch“.
Wieso also sollte nach W ein Altersunterschied festgestellt werden?
Und wenn man einen Altersunterschied feststellt, wieso ist RZ der Jüngere und nicht HZ?
4. Die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls
Die Situation ist nicht symmetrisch. Als Unterscheidungsmerkmal wird häufig angegeben, das RZ beschleunigt werde, HZ hingegen nicht, oder dass RZ anders als HZ das Inertialsystem wechsele. Es sei an dieser Stelle offen gelassen, ob der Altersunterschied auf diese Unterschiede zurückgeführt werden kann (s. aber Anhang).
Denn: Der Altersunterschied ist zurückzuführen auf die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls.
a)
Die SRT besagt, dass sowohl der zeitliche Abstand als auch räumliche Abstand zwischen zwei Ereignissen sich ändern je nach dem Inertialsystem, in dem man die Ereignisse betrachtet (dessen Logs man untersucht).
Hinsichtlich des räumlichen Abstands ist das ein alter Hut und war schon für Galileo/Newton so. Der räumliche Abstand ist kein Merkmal des betrachteten Ereignispaares, sondern des Bezugssystems, in dem man die Ereignisse betrachtet.
Die SRT brachte nun die Neuerung, dass sich auch der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ändert je nach dem Inertialsystem, in dem man die Ereignisse betrachtet. Auch der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ist nicht mehr Merkmal dieses Ereignispaares, sondern des jeweiligen Inertialsystems.
Wenn der eine Physiker sagt, „Der Sack Reis ist nach links umgefallen“, und der andere Physiker sagt, „Der Sack Reis ist nach rechts umgefallen“, sagt uns das über die Richtung, in die der Reissack umgefallen ist, nichts. Es sagt uns lediglich, dass die beiden Physiker einander gegenüber oder Rücken an Rücken gestanden haben dürften, als der Reissack umfiel. „Nach links“ und „nach rechts“ sind keine invarianten Merkmale des Ereignisses.
Analog ist es mit zeitlichem und räumlichem Abstand zwischen zwei Ereignissen. Zeitlicher und räumlicher Abstand sind keine invarianten Merkmale eines Ereignispaares, sondern abhängig vom Inertialsystem, eben „relativ“.
Die SRT stellt eine Regel zur Verfügung, nach der die Änderung von zeitlichem und räumlichem Abstand beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen vor sich geht. Die Regel lautet: Die Differenz zwischen dem Quadrat des zeitlichen Abstands und dem Quadrat des räumlichen Abstands zwischen zwei Ereignissen ist in jedem Inertialsystem der gleiche:
Raum-Zeit-Intervall = (zeitlicher Abstand)² – (räumlicher Abstand)² = const.
Die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit erlaubt es uns, die Zeit in Längeneinheiten anzugeben. Daher können wir die Differenz zwischen Zeit² und Länge² verwenden, ohne ein Einheitenproblem zu bekommen.
Bezogen auf ein Ereignis zum Zeitpunkt t = 0 kann die Zeitkoordinate des zweiten Ereignisses mit ct angegeben werden.
Beim Übergang von einem Inertialsystem S zu einem beliebigen Inertialsystem S' gilt also für das betrachtete Ereignispaar:
(ct')² - x'² = (ct)² – x².
Die y- und die z-Raumdimension sind hier - wie üblich - vernachlässigt.
Für die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls gibt es verschiedene Herleitungen. Auf die Darstellung wird an dieser Stelle verzichtet, obwohl sie den Kern der Raum-Zeit der SRT betrifft. Das wäre einen eigenen Thread wert.
b)
Die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls erlaubt uns den Schluss, dass der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen in demjenigen Inertialsystem kürzer ist, in dem der räumliche Abstand geringer ist. Andernfalls wäre (ct')² - x'² nicht gleich (ct)² – x².
Um in S' die zeitlichen Verhältnisse zwischen zwei Ereignissen zu ermitteln, müssen also auch die räumlichen Verhältnisse betrachtet werden.
c)
Im vermeintlichen Zwillingsparadoxon geht es um den zeitlichen Abstand zwischen den Ereignissen V und W. Die SRT behauptet: RZ ist bei W jünger als HZ, weil für ihn zwischen den Ereignissen V und W weniger Zeit vergangen ist als für HZ.
Die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls scheint da nicht zu helfen, denn auf den ersten Blick finden sowohl V als auch W in beiden Inertialsystemen am selben Ort statt. In beiden Inertialsystemen scheint daher der räumliche Abstand zwischen V und W gleich Null zu sein: x' = x = 0.
Das stimmt aber nicht, und hier versteckt sich die fiese Falle des obigen Szenarios. Tatsächlich ist zwar für den RZ x = 0, aber für den HZ ist x' > 0.
Dies wird deutlich, wenn man die Reise des RZ in Hinreise und Rückreise zerlegt.
5. Die Hinreise
Die Hinreise sieht in den Ruhesystemen von HZ und RZ so aus:
Bei Ankunft RZs auf ZS ist das „Zwillingsparadoxon“ schon vollständig eingetreten. Da sich HZ auf der Erde und RZ auf ZS relativ zueinander (wieder) in Ruhe befinden, kann ihr Alter (wieder) verglichen werden - für den Altersvergleich ist es egal, ob die beiden voreinander stehen oder Lichtjahre voneinander entfernt sind, wenn sie nur relativ zueinander ruhen. Und die SRT besagt: RZ ist schon jetzt jünger als HZ.
Gegen diese Behauptung könnten schon jetzt die Paradoxon-Einwände (oben Ziffer 3.) erhoben werden.
Dass die Situation auf der Hinreise jedoch hinsichtlich der räumlichen Verhältnisse mitnichten „symmetrisch“ ist, wird sofort deutlich: Im Ruhesystem vom HZ bewegt sich nämlich nur der RZ, im Ruhesystem des RZ bewegen sich hingegen Erde und Zielstern ZS (sowie das Universum und der ganze Rest).
Diese „Asymmetrie“ konkretisiert sich hinsichtlich der Ereignisse V und AN: Der räumliche Abstand V-AN ist im Ruhesystem des RZ (= S) gleich Null, im Ruhesystem des HZ (= S') hingegen größer Null. Für das Ereignispaar V/AN gilt also x = 0, x' > 0.
Also ist auch ct' > ct und mithin t' > t. Für RZ ist also zwischen V und AN weniger Zeit vergangen als für HZ.
Die Paradoxon-Einwände sind damit widerlegt: Die Situation ist nicht „symmetrisch“, denn x' ≠ x, und wegen der Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls (ct')² - x'² = (ct)² – x² ist RZ jünger als HZ.
Das Tückische (für mich war es jedenfalls tückisch):
Die üblichen Szenarien lassen RZ zu HZ zurückkehren, damit der vermeintlich paradoxe Altersunterschied richtig schön augenfällig wird, wenn sich beide bei W direkt gegenüberstehen.
Am Ende sehen sich unsere Zwillinge also an der Raketenstartrampe wieder, und auch für HZ scheint zu gelten, dass der räumlich Abstand zwischen V und W gleich Null ist. Das scheint aber nur so.
Denn es ist nicht etwa so, dass der bereits jetzt jüngere RZ seinen Altersrückstand auf der Rückreise wieder einbüßt, im Gegenteil:
6. Die Rückreise
Für die Rückreise gilt alles unter 5. geschriebene analog. Der räumliche Abstand zwischen Abreise des RZ von ZS und Wiedersehen W ist im Ruhesystem des RZ gleich Null, im Ruhesystem des HZ hingegen ungleich Null.
Zwar ist der räumliche Abstand AB-W im Ruhesystem des HZs -x. Aber es wird ja quadriert! In (ct')² - x'² = (ct)² – x² ist x'² also erneut größer als x² (da ja erneut x = 0). Also gilt ct' > ct und mithin t' > t.
Der HZ bleibt also der Ältere, denn zwischen den Ereignissen AB und V wächst der Altersunterschied weiter.
Grüße
Simpl
--------------------------------------------------------------
Anhang - Nicht beschleunigte Zwillinge
Wenn wir RZ einen fliegenden Start gönnen und an HZ sowie später an ZS vorbeirasen lassen, wird RZ nicht beschleunigt. Er wechselt auch nicht das Inertialsystem. Trotzdem vergeht in seinem Ruhesystem zwischen V und AN weniger Zeit als im Ruhesystem des HZ.
Beispiel:
1.
Wir wählen die Zeiteinheiten (ZE) und Längeneinheiten (LE) so, dass c = 1 LE/1 ZE.
HZ befinde sich auf der Erde, neben sich eine Uhr, die nicht läuft und auf 0 steht.
RZ kommt von links ins Bild mit v = 0,6 c = 3/5 c. Er hat neben sich ebenfalls eine Uhr, die nicht läuft und auf 0 steht.
2.
Wenn RZ an HZ vorbeirast, berühren sich die Schalter der beiden Uhren (RZ-Uhr/HZ-Uhr), sodass sie beide angehen. In beiden Systemen ist die Zeitkoordinate für die Schalterberühung also Null, t = t' = 0.
Außerdem wird durch die Schalterberührung ein Lichtsignal von HZs Uhr ausgelöst, das Richtung ZS läuft und dort eine weitere Uhr startet.
Da die Entfernung Erde/ZS im Ruhessytem von HZ 15 Längeneinheiten ist, kommt das Lichtsignal nach 15 Zeiteinheiten auf ZS an.
Wir lassen die Uhr auf ZS bei 15 Zeiteinheiten starten, sodass sie mit HZs Uhr auf der Erde synchron geht.
3.
Wenn RZ nun an der Uhr auf ZS vorbeirast, berühren sich wieder zwei Schalter, und beide Uhren (RZ-Uhr/ZS-Uhr) gehen aus.
RZs Uhr zeigt den Zeitabstand zwischen den Schalterberührungen in RZs Ruhesystem an.
Die Uhr auf ZS ging mit HZs Uhr synchron und zeigt den Zeitabstand zwischen den Schalterberührungen in HZs Ruhesystem an.
RZs Uhr zeigt weniger Zeit an als die ZS-Uhr. In RZs Ruhesystem ist zwischen den Schalterberührungen also weniger Zeit vergangen als in HZs Ruhesystem.
4.
Diese beiden Raum-Zeit-Diagramme zeigen, wie es in den beiden Inertialsystemen räumlich und zeitlich jeweils aussieht. RZs Weltlinie ist rot, die Weltlinien von Erde/HZ und ZS sind blau.
Auf den Weltlinien ist jeweils auch der Uhrenstand wiedergegeben.
Beispiel:
In HZs System (blau) zeigt HZs Uhr 05:00 an, wenn RZs Uhr 04:00 anzeigt.
In RZs System (rot) zeigt RZs Uhr 07:50 an, wenn HZs Uhr 06:00 und die ZS-Uhr 15:00 anzeigt (Gleichzeitigkeit ist relativ!)
im Folgenden der Gedankengang, der mich nach viel Blut, Schweiß und Tränen hat verstehen lassen, wieso der reisende Zwilling am Ende jünger ist als der heimgebliebene Zwilling. Ich komme dabei ohne Beschleunigung, Dopplereffekt und "Inertialsystemwechel" aus.
Die Pointe ist findet sich in Ziffern 4. und 5.
1. Das Szenario
Heimzwilling HZ und Reisezwilling RZ begeben sich auf der Erde zur Raketenstartrampe.
Es findet das Ereignis Verabschiedung V statt.
RZ fliegt zum Zielstern ZS.
Es wird angenommen, dass Erde und ZS sich relativ zueinander in Ruhe befinden.
RZs Landung auf ZS ist das Ereignis AN (wie Ankunft).
RZ verschnauft ein wenig und tritt die Rückreise zur Erde an.
Sein Start von ZS ist das Ereignis AB (wie Abreise).
Bei seiner Landung auf der Erde trifft er HZ wieder.
Das Wiedersehen ist das Ereignis W.
Es gibt noch andere Szenarien, es wird aber dieses gewählt, weil es das einfachste ist.
2. Inertialsysteme
Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt. Es gibt kein ausgezeichnetes, „absolutes“ Inertialsystem.
Das setze ich als bekannt und Konsens voraus. Vorsorglich noch folgende Details:
Ein Inertialsystem ist unendlich groß. Das Ruhesystem des RZs existiert nicht etwa nur in seiner Rakete.
Ein Inertialsystem braucht keinen Beobachter. Wenn an bestimmten Zeit- und Ortskoordinaten eines bestimmten Inertialsystems ein Ereignis eintritt, dann tritt es an diesem Weltpunkt ein, egal, ob gerade ein Beobachter misst.
Wer auf den Akt der Messung besteht, möge sich vorstellen, dass an jedem Punkt eines jeden Inertialsystems Uhren angebracht sind, die ein Log über die dort stattfindenden Ereignisse schreiben. Diese Logs können später in Augenschein genommen werden, um Zeit und Ort eines Ereignisses für jedes Inertialsystem festzustellen. Es kommt also nicht auf Signallaufzeiten zwischen einem Ereignis und einem Beobachter an.
3. Das „Paradoxon“
Die SRT besagt:
In dem obigen Szenario ist RZ bei Ereignis W (dem Wiedersehen) jünger als HZ.
Für RZ ist weniger Zeit vergangen als für HZ.
Einwände, die ein vermeintliches Paradoxon begründen sollen:
Wenn alle Inertialsysteme gleichberechtigt sind, kann sich RZ mit demselben Recht als in Ruhe befindlich betrachten wie HZ. Und genau wie sich im Ruhesystem des HZ der RZ nach V entfernt, zurückkehrt und zu W wieder da ist, entfernt sich im Ruhesystem des RZ der HZ, kehrt zurück und ist zu W wieder da.
Die Situation ist „symmetrisch“.
Wieso also sollte nach W ein Altersunterschied festgestellt werden?
Und wenn man einen Altersunterschied feststellt, wieso ist RZ der Jüngere und nicht HZ?
4. Die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls
Die Situation ist nicht symmetrisch. Als Unterscheidungsmerkmal wird häufig angegeben, das RZ beschleunigt werde, HZ hingegen nicht, oder dass RZ anders als HZ das Inertialsystem wechsele. Es sei an dieser Stelle offen gelassen, ob der Altersunterschied auf diese Unterschiede zurückgeführt werden kann (s. aber Anhang).
Denn: Der Altersunterschied ist zurückzuführen auf die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls.
a)
Die SRT besagt, dass sowohl der zeitliche Abstand als auch räumliche Abstand zwischen zwei Ereignissen sich ändern je nach dem Inertialsystem, in dem man die Ereignisse betrachtet (dessen Logs man untersucht).
Hinsichtlich des räumlichen Abstands ist das ein alter Hut und war schon für Galileo/Newton so. Der räumliche Abstand ist kein Merkmal des betrachteten Ereignispaares, sondern des Bezugssystems, in dem man die Ereignisse betrachtet.
Die SRT brachte nun die Neuerung, dass sich auch der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ändert je nach dem Inertialsystem, in dem man die Ereignisse betrachtet. Auch der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ist nicht mehr Merkmal dieses Ereignispaares, sondern des jeweiligen Inertialsystems.
Wenn der eine Physiker sagt, „Der Sack Reis ist nach links umgefallen“, und der andere Physiker sagt, „Der Sack Reis ist nach rechts umgefallen“, sagt uns das über die Richtung, in die der Reissack umgefallen ist, nichts. Es sagt uns lediglich, dass die beiden Physiker einander gegenüber oder Rücken an Rücken gestanden haben dürften, als der Reissack umfiel. „Nach links“ und „nach rechts“ sind keine invarianten Merkmale des Ereignisses.
Analog ist es mit zeitlichem und räumlichem Abstand zwischen zwei Ereignissen. Zeitlicher und räumlicher Abstand sind keine invarianten Merkmale eines Ereignispaares, sondern abhängig vom Inertialsystem, eben „relativ“.
Die SRT stellt eine Regel zur Verfügung, nach der die Änderung von zeitlichem und räumlichem Abstand beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen vor sich geht. Die Regel lautet: Die Differenz zwischen dem Quadrat des zeitlichen Abstands und dem Quadrat des räumlichen Abstands zwischen zwei Ereignissen ist in jedem Inertialsystem der gleiche:
Die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit erlaubt es uns, die Zeit in Längeneinheiten anzugeben. Daher können wir die Differenz zwischen Zeit² und Länge² verwenden, ohne ein Einheitenproblem zu bekommen.
Bezogen auf ein Ereignis zum Zeitpunkt t = 0 kann die Zeitkoordinate des zweiten Ereignisses mit ct angegeben werden.
Beim Übergang von einem Inertialsystem S zu einem beliebigen Inertialsystem S' gilt also für das betrachtete Ereignispaar:
Die y- und die z-Raumdimension sind hier - wie üblich - vernachlässigt.
Für die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls gibt es verschiedene Herleitungen. Auf die Darstellung wird an dieser Stelle verzichtet, obwohl sie den Kern der Raum-Zeit der SRT betrifft. Das wäre einen eigenen Thread wert.
b)
Die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls erlaubt uns den Schluss, dass der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen in demjenigen Inertialsystem kürzer ist, in dem der räumliche Abstand geringer ist. Andernfalls wäre (ct')² - x'² nicht gleich (ct)² – x².
Um in S' die zeitlichen Verhältnisse zwischen zwei Ereignissen zu ermitteln, müssen also auch die räumlichen Verhältnisse betrachtet werden.
c)
Im vermeintlichen Zwillingsparadoxon geht es um den zeitlichen Abstand zwischen den Ereignissen V und W. Die SRT behauptet: RZ ist bei W jünger als HZ, weil für ihn zwischen den Ereignissen V und W weniger Zeit vergangen ist als für HZ.
Die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls scheint da nicht zu helfen, denn auf den ersten Blick finden sowohl V als auch W in beiden Inertialsystemen am selben Ort statt. In beiden Inertialsystemen scheint daher der räumliche Abstand zwischen V und W gleich Null zu sein: x' = x = 0.
Das stimmt aber nicht, und hier versteckt sich die fiese Falle des obigen Szenarios. Tatsächlich ist zwar für den RZ x = 0, aber für den HZ ist x' > 0.
Dies wird deutlich, wenn man die Reise des RZ in Hinreise und Rückreise zerlegt.
5. Die Hinreise
Die Hinreise sieht in den Ruhesystemen von HZ und RZ so aus:
Bei Ankunft RZs auf ZS ist das „Zwillingsparadoxon“ schon vollständig eingetreten. Da sich HZ auf der Erde und RZ auf ZS relativ zueinander (wieder) in Ruhe befinden, kann ihr Alter (wieder) verglichen werden - für den Altersvergleich ist es egal, ob die beiden voreinander stehen oder Lichtjahre voneinander entfernt sind, wenn sie nur relativ zueinander ruhen. Und die SRT besagt: RZ ist schon jetzt jünger als HZ.
Gegen diese Behauptung könnten schon jetzt die Paradoxon-Einwände (oben Ziffer 3.) erhoben werden.
Dass die Situation auf der Hinreise jedoch hinsichtlich der räumlichen Verhältnisse mitnichten „symmetrisch“ ist, wird sofort deutlich: Im Ruhesystem vom HZ bewegt sich nämlich nur der RZ, im Ruhesystem des RZ bewegen sich hingegen Erde und Zielstern ZS (sowie das Universum und der ganze Rest).
Diese „Asymmetrie“ konkretisiert sich hinsichtlich der Ereignisse V und AN: Der räumliche Abstand V-AN ist im Ruhesystem des RZ (= S) gleich Null, im Ruhesystem des HZ (= S') hingegen größer Null. Für das Ereignispaar V/AN gilt also x = 0, x' > 0.
Also ist auch ct' > ct und mithin t' > t. Für RZ ist also zwischen V und AN weniger Zeit vergangen als für HZ.
Die Paradoxon-Einwände sind damit widerlegt: Die Situation ist nicht „symmetrisch“, denn x' ≠ x, und wegen der Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls (ct')² - x'² = (ct)² – x² ist RZ jünger als HZ.
Das Tückische (für mich war es jedenfalls tückisch):
Die üblichen Szenarien lassen RZ zu HZ zurückkehren, damit der vermeintlich paradoxe Altersunterschied richtig schön augenfällig wird, wenn sich beide bei W direkt gegenüberstehen.
Am Ende sehen sich unsere Zwillinge also an der Raketenstartrampe wieder, und auch für HZ scheint zu gelten, dass der räumlich Abstand zwischen V und W gleich Null ist. Das scheint aber nur so.
Denn es ist nicht etwa so, dass der bereits jetzt jüngere RZ seinen Altersrückstand auf der Rückreise wieder einbüßt, im Gegenteil:
6. Die Rückreise
Für die Rückreise gilt alles unter 5. geschriebene analog. Der räumliche Abstand zwischen Abreise des RZ von ZS und Wiedersehen W ist im Ruhesystem des RZ gleich Null, im Ruhesystem des HZ hingegen ungleich Null.
Zwar ist der räumliche Abstand AB-W im Ruhesystem des HZs -x. Aber es wird ja quadriert! In (ct')² - x'² = (ct)² – x² ist x'² also erneut größer als x² (da ja erneut x = 0). Also gilt ct' > ct und mithin t' > t.
Der HZ bleibt also der Ältere, denn zwischen den Ereignissen AB und V wächst der Altersunterschied weiter.
Grüße
Simpl
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Anhang - Nicht beschleunigte Zwillinge
Wenn wir RZ einen fliegenden Start gönnen und an HZ sowie später an ZS vorbeirasen lassen, wird RZ nicht beschleunigt. Er wechselt auch nicht das Inertialsystem. Trotzdem vergeht in seinem Ruhesystem zwischen V und AN weniger Zeit als im Ruhesystem des HZ.
Beispiel:
1.
Wir wählen die Zeiteinheiten (ZE) und Längeneinheiten (LE) so, dass c = 1 LE/1 ZE.
HZ befinde sich auf der Erde, neben sich eine Uhr, die nicht läuft und auf 0 steht.
RZ kommt von links ins Bild mit v = 0,6 c = 3/5 c. Er hat neben sich ebenfalls eine Uhr, die nicht läuft und auf 0 steht.
2.
Wenn RZ an HZ vorbeirast, berühren sich die Schalter der beiden Uhren (RZ-Uhr/HZ-Uhr), sodass sie beide angehen. In beiden Systemen ist die Zeitkoordinate für die Schalterberühung also Null, t = t' = 0.
Außerdem wird durch die Schalterberührung ein Lichtsignal von HZs Uhr ausgelöst, das Richtung ZS läuft und dort eine weitere Uhr startet.
Da die Entfernung Erde/ZS im Ruhessytem von HZ 15 Längeneinheiten ist, kommt das Lichtsignal nach 15 Zeiteinheiten auf ZS an.
Wir lassen die Uhr auf ZS bei 15 Zeiteinheiten starten, sodass sie mit HZs Uhr auf der Erde synchron geht.
3.
Wenn RZ nun an der Uhr auf ZS vorbeirast, berühren sich wieder zwei Schalter, und beide Uhren (RZ-Uhr/ZS-Uhr) gehen aus.
RZs Uhr zeigt den Zeitabstand zwischen den Schalterberührungen in RZs Ruhesystem an.
Die Uhr auf ZS ging mit HZs Uhr synchron und zeigt den Zeitabstand zwischen den Schalterberührungen in HZs Ruhesystem an.
RZs Uhr zeigt weniger Zeit an als die ZS-Uhr. In RZs Ruhesystem ist zwischen den Schalterberührungen also weniger Zeit vergangen als in HZs Ruhesystem.
4.
Diese beiden Raum-Zeit-Diagramme zeigen, wie es in den beiden Inertialsystemen räumlich und zeitlich jeweils aussieht. RZs Weltlinie ist rot, die Weltlinien von Erde/HZ und ZS sind blau.
Auf den Weltlinien ist jeweils auch der Uhrenstand wiedergegeben.
Beispiel:
In HZs System (blau) zeigt HZs Uhr 05:00 an, wenn RZs Uhr 04:00 anzeigt.
In RZs System (rot) zeigt RZs Uhr 07:50 an, wenn HZs Uhr 06:00 und die ZS-Uhr 15:00 anzeigt (Gleichzeitigkeit ist relativ!)
Beitrag zuletzt bearbeitet von Simpl am 28.09.2015 um 18:34 Uhr.
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Moin Claus,
Da bin ich mir nicht sicher, weil ich schwerste Zweifel habe, dass man von "jünger" und "älter" sprechen kann, so lange die Zwillinge in Bewegung sind. Das muss ich noch mal durchdenken und komme darauf zurück (was - wie du gemerkt hast - bei mir etwas dauern kann).
Richtig - meine Verwendung von "V" und "AN" war an dieser Stelle falsch. Richtig wäre - wie du schreibst - "-Start- und -ZS passiert RZ-" und "-Start- und -RZ passiert ZS-" gewesen.
Da habe ich Bedenken hinsichtlich "während des Vorbeiflugs (aus beiderlei Sichten eindeutig) jünger" , s.o.
Das beruhigt mich außerordentlich! :-)
Auch darauf werde ich noch mal zurück kommen. Ich vermute nämlich, dass der unterschiedliche Gang (nicht Ganggeschwindigkeit) von HZ-Uhr und ZS-Uhr nicht mit dem Doppler-Effekt zusammenhängt, sondern mit der Relativität der Gleichzeitigkeit.
Grüße
Simpl
Claus schrieb in Beitrag Nr. 2223-16:Hallo Simpl,
Simpl schrieb in Beitrag Nr. 2223-15:"Bewegte Uhren gehen langsamer" ~ "bewegte Zwillinge altern langsamer".
Dann sind wir uns in der Sache wohl einig: Für den RZ ist HZ solange jünger, wie letzterer bewegt ist, also bis RZ auf ZS landet.
Da bin ich mir nicht sicher, weil ich schwerste Zweifel habe, dass man von "jünger" und "älter" sprechen kann, so lange die Zwillinge in Bewegung sind. Das muss ich noch mal durchdenken und komme darauf zurück (was - wie du gemerkt hast - bei mir etwas dauern kann).
Zitat von Claus:Deine ursprüngliche Formulierung:war m.E. nicht eindeutig.Zitat von Simpl:Wenn wir RZ einen fliegenden Start gönnen und an HZ sowie später an ZS vorbeirasen lassen, wird RZ nicht beschleunigt. Er wechselt auch nicht das Inertialsystem. Trotzdem vergeht in seinem Ruhesystem zwischen V und AN weniger Zeit als im Ruhesystem des HZ.
Mit dem letzten Satz meintest du:
" Trotzdem vergeht in seinem Ruhesystem zwischen -Start- und -ZS passiert RZ- weniger Zeit als im Ruhesystem des HZ zwischen -Start- und -RZ passiert ZS-" .
Richtig - meine Verwendung von "V" und "AN" war an dieser Stelle falsch. Richtig wäre - wie du schreibst - "-Start- und -ZS passiert RZ-" und "-Start- und -RZ passiert ZS-" gewesen.
Zitat von Claus:Ich hatte dagegen verstanden, du wärest der Auffassung, dass RZ bereits während des Vorbeiflugs (aus beiderlei Sichten eindeutig) jünger geblieben wäre. Deswegen hatte ich in Beitrag Nr. 2223-3 rückgefragtund war umso erstauter, als du das verneintest.Zitat von Claus:Wenn RZs Uhr 07:50 anzeigt und HZs Uhr zum selben Zeitpunkt 06:00 anzeigt, dann ist doch aus der Sicht von RZ nicht bei ihm selbst, sondern bei HZ weniger Zeit vergangen.
Offensichtlich hattest du die Formulierung "aus der Sicht von" nicht - wie ich - mit "im Inertialsystem von" gleichgesetzt. Dadurch kam es möglicherweise zu einem Missverständnis.
Da habe ich Bedenken hinsichtlich "während des Vorbeiflugs (aus beiderlei Sichten eindeutig) jünger" , s.o.
Zitat von Claus:Zitat von Simpl:Bist du der Meinung, der Gangunterschied zweier zueinander bewegter Uhren hänge davon ab, ob sie sich "aufeinander zu" oder "voneinander weg" bewegen?
Nein, dieser Meinung bin ich nicht. Ich stimme dir also zu, dass der Gang der Uhren ausschließlich von der Relativgeschwindigkeit abhängt.
Das beruhigt mich außerordentlich! :-)
Zitat von Claus:Ich wollte an dieser Stelle darauf hinweisen, dass RZ während der gesamten Reise beobachtet, dass die Uhr von ZS um den Faktor 2 schneller läuft, als seine eigene. Aus diesem Grund kann die ZS-Uhr schließlich, wenn ZS bei RZ ankommt, 25:00 anzeigen, obwohl RZs Uhr nur 20:00 anzeigt und obwohl die ZS-Uhr aus der Sicht von RZ langsamer gelaufen ist, als seine eigene (was auf den ersten Blick widersprüchlich erscheint). Wenn RZ den Doppler-Effekt (Faktor 2,5) aus dem beobachteten Gang der ZS-Uhr herausrechnet, erhält er den tatsächlichen Gang der ZS-Uhr (Faktor 0,8).
Auch darauf werde ich noch mal zurück kommen. Ich vermute nämlich, dass der unterschiedliche Gang (nicht Ganggeschwindigkeit) von HZ-Uhr und ZS-Uhr nicht mit dem Doppler-Effekt zusammenhängt, sondern mit der Relativität der Gleichzeitigkeit.
Grüße
Simpl
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