Komplexe Zahlen

schrieb in Beitrag Nr. 2006-17:

Er hat sich historisch so ergeben, darf also nicht mehr allzu wörtlich genommen werden. Tatsache ist: Mit den "Wurzeln" eines Polynoms sind seine "Nullstellen" gemeint — und das ganz unabhängig davon, welchen Grad das Polynom hat und aus welchem Zahlkörper seine Koeffizienten kommen.

Hallo Grtgrt,

so sehe ich es auch.
Über die Motivation kann man vielleicht folgendes spekulieren: Weil die Lösungen der Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades in der allgemeinen Form Wurzelausdrücke enthält, hat man die Lösungen als “Wurzeln“ bezeichnet.

Beispiel:
Die Lösungen der folgenden Gleichung zweiten Grades (n=2):
a•x² + b•x + c = 0 hat zwei “Wurzeln“, dargestellt in allgemeiner Form:

x₁ = [─ b + sqrt(b² ─ 4•a•c)] / (2•a)
x₂ = [─ b ─ sqrt(b² ─ 4•a•c)] / (2•a)

Dass die Lösungen der Gleichungen mit n>4 gar nicht mehr in allgemeiner Form mit Wurzelausdrücken [1] darstellbar sind, wurde erst später bewiesen, aber die Sprachregelung wurde offenbar beibehalten.

M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Genauer gesagt: Nicht mehr in "geschlossener" Form darstellbar sind.

Kurzer Zwischenstand:

Mir schwirrt der Kopf, wenn ich mir die Zahl i² versuche, vorzustellen:

Ich versuche, i² als eine Fläche zu begreifen. Eine Fläche, die ich gedanklich mit der Zahl -1 versuche, gleichzusetzen ( i² = -1). Diese Zahl ist jedoch keine Fläche, sondern ein nulldimensionaler Punkt auf einer eindimensionalen Zahlenstrecke. Also bekomme ich eine zweidimensionale Fläche und einen nulldimensionalen Punkt nicht gleichgesetzt, weil sie es natürlich nicht sind. Es sind zwei völlig verschiedene Dinge. Also verstehe ich nicht, wie i² = -1 sein kann.
Bei i = √(-1) hab ich dann das gleiche Problem. Wo soll ich i in einem Koordinatensystem hinpacken, so dass ich dort dann die √(-1) ablesen könnte??? Oh mann...
Und jetzt beides:
Ein Koordinatensystem, wo ich gleichzeitig ganz bequem gucken kann, wo i² und √(-1) sind... Das übersteigt mein Vorstellungsvermögen bei weitem.

Also muss ich noch einmal von ganz vorn mit meinem Denken anfangen, da ich augenscheinlich vollkommen falsch denke. Also, lieber Eugen, werde ich wieder einmal von Beitrag 1 beginnen. Das nervt vielleicht...

Grüße:smiley4:

Hallo Stueps,

ganz normale 2² sind doch auch keine "Fläche" sondern nur 4... :psst:

Ja Claus, der Gedanke ist mir natürlich auch schon gekommen. Aber der Ausdruck 2² beschreibt eine Fläche, 4 kann das nicht. Und: i kann ich nicht auf einem Zahlenstrahl zwischen -1 und Null einordnen, da gibts keinen Punkt i, sondern nur z.B. - 1. Bei √4 gelingt mir das prima. Und wenn ich i² einfach auf dem Zahlenstrahl hinschreibe statt -1, bringt mich das auch nicht weiter: Wenn ich dann die Wurzel aus i² ziehe, liegt das Ergebnis ja nicht als Punkt bei -1, denn dann wären ja i und i² das selbe, was sie nicht sind. Bei 4 jedoch kann ich die Wurzel ziehen, und das Ergebnis bequem auf dem Zahlen strahl eintragen.
Verstehste, was ich meine?
Glaub ich nicht, denn ich versteh´s grad selber nicht mehr. Ich war lange nicht so verwirrt. Ich werd heut abend ne Pause einlegen und mich mit vollkommen anderen Dingen beschäftigen, so!

Ich machs halt grundlegend falsch, aber ich muss begreifen, was das Wesen von i ist, sonst werd ich´s wohl nie begreifen.

Grüße

 

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-24:

 
..., aber ich muss begreifen, was das Wesen von i ist, sonst werd ich´s wohl nie begreifen.

Hi Stueps,

das Wesen von i ist es, eine Wurzel des Polynoms  X² + 1 = 0  zu sein.

Gruß, grtgrt
 

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-24:

Ja Claus, der Gedanke ist mir natürlich auch schon gekommen. Aber der Ausdruck 2² beschreibt eine Fläche, 4 kann das nicht. Und: i kann ich nicht auf einem Zahlenstrahl zwischen -1 und Null einordnen, da gibts keinen Punkt i, sondern nur z.B. - 1. Bei √4 gelingt mir das prima. Und wenn ich i² einfach auf dem Zahlenstrahl hinschreibe statt -1, bringt mich das auch nicht weiter: Wenn ich dann die Wurzel aus i² ziehe, liegt das Ergebnis ja nicht als Punkt bei -1, denn dann wären ja i und i² das selbe, was sie nicht sind. Bei 4 jedoch kann ich die Wurzel ziehen, und das Ergebnis bequem auf dem Zahlen strahl eintragen.
Verstehste, was ich meine?
Glaub ich nicht, denn ich versteh´s grad selber nicht mehr. Ich war lange nicht so verwirrt. Ich werd heut abend ne Pause einlegen und mich mit vollkommen anderen Dingen beschäftigen, so!

Ich machs halt grundlegend falsch, aber ich muss begreifen, was das Wesen von i ist, sonst werd ich´s wohl nie begreifen.

Grüße

Hi. Stuebs!

Mach´s dir doch nicht so schwer! Dieses Link könnte hilfreich sein: http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/...

Kleiner Nachtrag: http://www.mathe-online.at/mathint.html

Dort findest du die komplexen Zahlen unter "Zahlen" aufgeführt. Dieses Link kann ich ganz allgemein allen empfehlen, die sich für Mathematik interessieren.

Henry schrieb in Beitrag Nr. 2006-26:

Hi. Stuebs!Mach´s dir doch nicht so schwer! Dieses Link könnte hilfreich sein: http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/...

Hallo Henry,

ein guter Link.
Anhand dieses Links könnte Stueps seine Fragen formulieren, über Punkte, die er noch nicht versteht. Ich hoffe, dass Stueps nicht den Mut verliert, wenn er sieht, was alles noch in Sachen komplexe Zahlen auf ihn zukommt.

M.f.G. Eugen Bauhof

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-24:

Ich machs halt grundlegend falsch, aber ich muss begreifen, was das Wesen von i ist, sonst werd ich´s wohl nie begreifen.

Hallo Stueps,

das “Wesen“ von i musst du nicht begreifen. Denn es hat kein “Wesen“. Die imaginäre Einheit sqrt(─ 1) ist nur eine nützliche mathematische Begriffs-Definition, die du ganz einfach akzeptieren musst. Genau so eine nützliche mathematische Begriffs-Definition wie die natürlichen Zahlen, die negativen Zahlen, die reellen Zahlen, die rationalen Zahlen, die irrationalen Zahlen und die transzendenten Zahlen nützliche Begriffs-Definitionen sind, mit denen man sinnvoll weiterarbeiten kann.

Du musst dir immer vor Augen führen, dass die Mathematik nur eine menschliche Geisteswissenschaft ist. Alles davon ist menschliche Erfindung, da gibt es keine “Wesenheiten“ dahinter. Weder im realen Universum noch im “Geisterreich“. [1]

M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Die Platoniker sind da zwar anderer Meinung, aber die lassen wir mal bitte jetzt außen vor. Sonst wird es noch komplizierter für dich.

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-24:

Aber der Ausdruck 2² beschreibt eine Fläche, 4 kann das nicht. Und: i kann ich nicht auf einem Zahlenstrahl zwischen -1 und Null einordnen, da gibts keinen Punkt i, sondern nur z.B. - 1.

Hallo Stueps,

1. Der Ausdruck 2² beschreibt keine Fläche, sondern eine Potenz. Erst wenn man an diesen Zahlenwert eine physikalische Dimension, z.B. m² dranhängen würde, dann beschreibt das eine Fläche.

2. Du sollst doch gar nicht i auf einem Zahlenstrahl zwischen ─1 und Null einordnen, sondern auf den Zahlenstrahl, der senkrecht auf dem Zahlenstrahl steht, in dem die reellen Zahlen “zu Hause sind“. Also auf dem Zahlenstrahl, in denen z.B auch die ganzen Zahlen ─1 und Null vorkommen.

M.f.G. Eugen Bauhof

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2006-28:

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-24:

Ich machs halt grundlegend falsch, aber ich muss begreifen, was das Wesen von i ist, sonst werd ich´s wohl nie begreifen.

Hallo Stueps,

das “Wesen“ von i musst du nicht begreifen. Denn es hat kein “Wesen“. Die imaginäre Einheit sqrt(─ 1) ist nur eine nützliche mathematische Begriffs-Definition, die du ganz einfach akzeptieren musst. Genau so eine nützliche mathematische Begriffs-Definition wie die natürlichen Zahlen, die negativen Zahlen, die reellen Zahlen, die rationalen Zahlen, die irrationalen Zahlen und die transzendenten Zahlen nützliche Begriffs-Definitionen sind, mit denen man sinnvoll weiterarbeiten kann.

Du musst dir immer vor Augen führen, dass die Mathematik nur eine menschliche Geisteswissenschaft ist. Alles davon ist menschliche Erfindung, da gibt es keine “Wesenheiten“ dahinter. Weder im realen Universum noch im “Geisterreich“. [1]

M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Die Platoniker sind da zwar anderer Meinung, aber die lassen wir mal bitte jetzt außen vor. Sonst wird es noch komplizierter für dich.

Lass das blos nicht Gebhard lesen! :devil:

Hallo Henry,

vielen Dank für den schönen Link! Ich beschäftige mich gerade mit ihm.

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2006-27:

Ich hoffe, dass Stueps nicht den Mut verliert, wenn er sieht, was alles noch in Sachen komplexe Zahlen auf ihn zukommt.

Oh Gott!

Hallo Stueps,

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-31:

Hallo Henry,

vielen Dank für den schönen Link! Ich beschäftige mich gerade mit ihm.

weißt du überhaupt, auf was du dich da einlässt?

Folgendes steht da geschrieben:

Zitat von http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/...:

. . . Das ist schwer zu akzeptieren, aber das waren die irrationalen Zahlen auch. Pythagoras ließ einen seiner Schüler, der behauptete, daß es irrationale Zahlen wirklich gäbe, sogar hinrichten

:rofl:

Aber Spaß beiseite, ich fürchte, ich werde mich auch einmal mit der Seite beschäftigen müssen. :-(

mfg okotombrok

Hallo Okotombrok,

man muss auch mal was riskieren ;-).
Ich glaube jedoch eher, dass dies eine Legende ist. Jedenfalls übersteigt es mein Vorstellungsvermögen, dass ein so vernunftbegabter Mensch wie Pythagoras so etwas wirklich tut. Allerdings waren es auch andere Zeiten...

Hallo Leute,

ich bin langsam bereit, die Zahl i als das zu akzeptieren, was sie ist: √(-1). Daraus ergeben sich natürlich Fragen, z.B. wie rechnet man mit einer solchen Zahl? Welchen Regeln gehorcht sie. Was für einen Sinn hat sie? So richtig grün bin ich mit ihr noch nicht, aber es wird.

Leider sind meine freien Tage erst einmal wieder vorbei, dieses Wochenende und nächste Woche liegt einiges an. Ich werde aber Zeit haben, mich weiter damit zu beschäftigen. Nur kann es sein, dass ich nicht zeitnah antworte. Ins Forum schauen tue ich allerdings täglich.

Beste Grüße und euch allen ein schönes Wochenende wünscht der

Stüps

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-33:

...ich bin langsam bereit, die Zahl i als das zu akzeptieren, was sie ist: √(-1). Daraus ergeben sich natürlich Fragen, z.B. wie rechnet man mit einer solchen Zahl? Welchen Regeln gehorcht sie. Was für einen Sinn hat sie? So richtig grün bin ich mit ihr noch nicht, aber es wird.

Hallo Stueps,

betrachte nicht allein eine imaginäre Zahl, wie z.B. sqrt(─ 1), sondern sehe eine imaginäre Zahl als eine der zwei Komponenten einer komplexen Zahl z. Das Rechnen mit komplexen Zahlen gehorcht den gleichen Regeln, die du kennst. Man kann komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren, potenzieren und radizieren.

Die Summe z zweier komplexen Zahlen z1 und z2:

z1 = a1 + i•b1
z2 = a2 + i•b2

z = z1 + z2 = a1 + a2 + i•(b1 + b2)

Das heißt, die Summanden a1 und a2 der reellen Komponente werden addiert und die Summanden b1 und b2 der imaginären Komponente werden addiert.

Ein Zahlenbeispiel:
a1 = 3; b1 = 5; a2 = 4; b2 = 7;
z1 = 3 + i•5
z2 = 4 + i•7

Die Summe von z1 und z2 ergibt:
z = 7 + i•12

M.f.G. Eugen Bauhof