Willkommen in Manus Zeitforum
InformationenAnmelden Registrieren

Erweiterte Suche

Komplexe Zahlen

Thema erstellt von Bauhof 
avatar
Beiträge: 1.375, Mitglied seit 16 Jahren
Hallo Stueps,

hier ein mathematischer Exkurs zu den komplexen Zahlen.

Die Motivation zur Schaffung der komplexen Zahlen entstand durch folgendes Problem: Die Gleichung x² + 1 = 0 hat im reellen Zahlenraum keine Lösung. Ist dir klar, warum? Wenn ja, dann bitte erklären. Wenn nein, dann bitte fragen.

Carl Friedrich Gauß hat den reellen Zahlenraum auf eine Ebene erweitert, die komplexe Zahlenebene. Sie wird aufgespannt durch die reelle Zahlengerade als Abszisse und durch die imaginäre Zahlengerade als Ordinate, die senkrecht dazu steht.

Man beging den historischen Fehler, den Ausdruck “imaginär“ zu verwenden. Das erweckte den Eindruck, als wäre diese Zahlen eingebildete Zahlen, die man nur hilfsweise braucht. Das ist falsch. Die imaginären Zahlen sind genau so real wie die reellen Zahlen.

Definition einer komplexen Zahl durch die Gaußsche Zahlenebene:



M.f.G. Eugen Bauhof
Signatur:
Der Kluge lernt aus allem und von jedem,
der Normale aus seinen Erfahrungen,
und der Dumme weiß alles besser.
Sokrates.
[Gäste dürfen nur lesen]
Beiträge: 1.128, Mitglied seit 13 Jahren
Zu was sollte das nützlich sein?
Signatur:
1=(h/s³)*(h/t) und 1/cc>0
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 3.476, Mitglied seit 18 Jahren
Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2006-1:
Die Gleichung x² + 1 = 0 hat im reellen Zahlenraum keine Lösung. Ist dir klar, warum? Wenn ja, dann bitte erklären. Wenn nein, dann bitte fragen.

Hallo Eugen, bin sehr unsicher, aber ich versuch´s mal:
Ich denke, weil x auf den ersten Blick nur eine negative Zahl sein kann. Passen tut bei mir für x nur -1 (mehr fallen mir nicht ein, ist aber auch unerheblich):

-1+1=0

Auf den zweiten Blick geht das dann jedoch nicht, denn:

12 ist 1.
-12 ist jedoch nicht -1, denn minus mal minus ergibt plus. Also ist -12 auch 1!

Und dann geht -1 für x eben doch nicht. Denn das Quadrat für eine reelle Zahl kann immer nur eine positive Zahl sein!

Da also jedes Quadrat einer reellen Zahl eine positive Zahl ist und sein muss, kann bei der Aufgabe x2 + 1 nur eine Zahl größer 0 herauskommen (m.E. sogar nur größer 1, aber egal).
Also kann für x bei x2+1=0 keine reelle Zahl gefunden werden, und diese Gleichung hat keine Lösung.

(Außerdem weiß ich noch, dass im Umkehrschluss aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann. Ich vermute, eben weil ja Quadrieren nur positive Zahlen hervorbringt, gibt es für das Gegenstück Wurzelziehen keine negativen Zahlen, sie existieren sozusagen für den Wurzelziehkobold nicht. Je weiter ich allerdings adrüber nachdenke, desto mehr Kopfschmerzen bekomme ich, da mein Name nicht Carl Friedrich Gauß ist...)

Hoffentlich hab ich mich jetzt nicht total blamiert und Unsinn geschrieben...

Mit dem Diagramm beschäftige ich mich nächste Woche, da habe ich ein paar Tage frei. Jetzt bin ich vom Nachdenken über das Quadrieren und Wurzelziehen, welche auf den ersten Blick reine Gegenstücke sind, es aber auf den zweiten Blick (im Bereich der negativen Zahlen) eben doch nicht sind, müüüde geworden :sleep:.

Vielen Dank und beste Grüße,

der Stüps
Signatur:
Diese Welt gibt es nur, weil es Regeln gibt.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Stueps am 09.02.2013 um 23:38 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 1.375, Mitglied seit 16 Jahren
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-3:
Da also jedes Quadrat einer reellen Zahl eine positive Zahl ist und sein muss, kann bei der Aufgabe x2 + 1 nur eine Zahl größer 0 herauskommen (m.E. sogar nur größer 1, aber egal).

Hallo Stueps,

das stimmt so nicht ganz. Wenn man die Gleichung

x2 + 1 = 0 nach x auflöst, erhält man:
x = sqrt( ─1) mit den zwei Lösungen:
x1 = + sqrt( ─1)
x2 = ─ sqrt( ─1)

Definiert man nun i2 = ─1, dann ergeben sich die zwei Lösungen:
x1 = + i
x2 = ─ i

Probe:
(+ i)2 +1 = 0
(─ i)2 +1 = 0

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-3:
(Außerdem weiß ich noch, dass im Umkehrschluss aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann. Ich vermute, eben weil ja Quadrieren nur positive Zahlen hervorbringt, gibt es für das Gegenstück Wurzelziehen keine negativen Zahlen, sie existieren sozusagen für den Wurzelziehkobold nicht. Je weiter ich allerdings adrüber nachdenke, desto mehr Kopfschmerzen bekomme ich, da mein Name nicht Carl Friedrich Gauß ist...)

Der ’Wurzelziehkobold’ treibt sich auch unter den komplexen Zahlen herum, das heißt, man kann auch Wurzeln aus komplexen Zahlen und damit auch aus negativen Zahlen ziehen. Davon aber später. Akzeptiere jetzt erst mal die Sinnhaftigkeit der komplexen Zahlen. Sie sind nicht mehr oder weniger eine Einbildung wie die natürlichen Zahlen.

M.f.G Eugen Bauhof
Signatur:
Der Kluge lernt aus allem und von jedem,
der Normale aus seinen Erfahrungen,
und der Dumme weiß alles besser.
Sokrates.
[Gäste dürfen nur lesen]
Beiträge: 1.128, Mitglied seit 13 Jahren
Es sind mehr die Komplexen Aufgaben als Zahlen gemeint?
Zahlen können nicht komplex sein.
Sollen Teilaufgaben herausgelöscht werden können wie beim kürzen einer Bruchrechnung?
Da kann der Fehlerteufel stark zuschlagen.
Signatur:
1=(h/s³)*(h/t) und 1/cc>0
Beitrag zuletzt bearbeitet von Wrentzsch am 10.02.2013 um 12:39 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
Beiträge: 2.307, Mitglied seit 13 Jahren
Wrentzsch schrieb in Beitrag Nr. 2006-5:
Es sind mehr die Komplexen Aufgaben als Zahlen gemeint?
Zahlen können nicht komplex sein.
Sollen Teilaufgaben herausgelöscht werden können wie beim kürzen einer Bruchrechnung?
Da kann der Fehlerteufel stark zuschlagen.

Hi, Wrentzsch,

es kommt darauf an, worauf man sich mit dem Begriff "Zahl" bezieht. Da die Mathematik Zahlen in verschiedene Bereiche zusammenfasst (natürliche, rationale, reelle, komplexe), ist es durchaus legitim, von "komplexen" Zahlen zu reden. Dein Einwand könnte sich eigentlich nur auf die "natürlichen" Zahlen beziehen. Man kann sich aber trefflich darüber streiten, ob nicht auch die "natürlichen" Zahlen eine Erfindung des Menschen sind.
Signatur:
Herr Oberlehrer

Die Wolken ziehen hin. Sie ziehen auch wieder her.
Der Mensch lebt einmal. Dann nicht mehr.

(Donald Duck)
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 3.476, Mitglied seit 18 Jahren
Hallo Eugen,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2006-4:
Wenn man die Gleichung

x2 + 1 = 0 nach x auflöst, erhält man:
x = sqrt( ─1) mit den zwei Lösungen:
x1 = + sqrt( ─1)
x2 = ─ sqrt( ─1)

Hä???

Wenn man nach x auflöst, erhält man also x = √(-1). Und das ist ja eine "verbotene", oder unsinnige Lösung, weil Wurzelziehen aus negativen Zahlen nicht geht. Hab nochma meinen Rechner befragt, und der meckert wie erwartet.
Und selbst wenn man obiges so stehen lässt, wieso dann eine Minuswurzel und eine Pluswurzel??? Wurzel ist Wurzel oder nicht? Es gibt ja auch keine Minusdivision und Plusdivision. Wenn ich 9 durch 3 dividiere, dann kann ich ja nicht schreiben: 9 minusdividiert durch 3, und 9 plusdividiert durch 3.
Minus- und Pluswurzel ... hat uns der Herr Gauß alle mal so kräftig verarscht??? Ich weiß nicht, ich weiß nicht....:smiley29:.

Beste Grüße
Signatur:
Diese Welt gibt es nur, weil es Regeln gibt.
[Gäste dürfen nur lesen]
Beiträge: 2.307, Mitglied seit 13 Jahren
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-7:
Hallo Eugen,

Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2006-4:
Wenn man die Gleichung

x2 + 1 = 0 nach x auflöst, erhält man:
x = sqrt( ─1) mit den zwei Lösungen:
x1 = + sqrt( ─1)
x2 = ─ sqrt( ─1)

Hä???

Wenn man nach x auflöst, erhält man also x = √(-1). Und das ist ja eine "verbotene", oder unsinnige Lösung, weil Wurzelziehen aus negativen Zahlen nicht geht. Hab nochma meinen Rechner befragt, und der meckert wie erwartet.
Und selbst wenn man obiges so stehen lässt, wieso dann eine Minuswurzel ussnd eine Pluswurzel??? Wurzel ist Wurzel oder nicht? Es gibt ja auch keine Minusdivision und Plusdivision. Wenn ich 9 durch 3 dividiere, dann kann ich ja nicht schreiben: 9 minusdividiert durch 3, und 9 plusdividiert durch 3.
Minus- und Pluswurzel ... hat uns der Herr Gauß alle mal so kräftig verarscght??? Ich weiß nicht, ich weiß nicht....:smiley29:.

Beste Grüße

Stuebs,

der Witz ist - i IST die Lösung, das IST die "Zahl" (das Quadrat der Zahl -1), man kann sie nicht mit 5,Irgendwas oder so darstellen.

Nachtrag (sorry, hab die "falsche Grippe") i zum Quadrat ist eine Zahl sodass die Wurzel aus i zum Qudrat gleich -1 ist.
Signatur:
Herr Oberlehrer

Die Wolken ziehen hin. Sie ziehen auch wieder her.
Der Mensch lebt einmal. Dann nicht mehr.

(Donald Duck)
Beitrag zuletzt bearbeitet von Henry am 10.02.2013 um 20:43 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 1.375, Mitglied seit 16 Jahren
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-7:
Wenn man nach x auflöst, erhält man also x = √(-1). Und das ist ja eine "verbotene", oder unsinnige Lösung, weil Wurzelziehen aus negativen Zahlen nicht geht.

Hallo Stueps,

die Lösung war verboten, spätestens seit Gauß nicht mehr. Indem ich die Gleichung nach x aufgelöst habe, wollte ich dir die Lösung mit der imaginären Einheit i näher bringen. Hat offenbar noch nicht ganz geklappt. Aber du schaffst es noch, denke ich. Ich habe einen Taschenrechner, der zieht die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. Kein Scherz.

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-7:
Und selbst wenn man obiges so stehen lässt, wieso dann eine Minuswurzel und eine Pluswurzel??? Wurzel ist Wurzel oder nicht?

x2 + 1 = 0 ist eine quadratische Gleichung, also eine Gleichung zweiten Grades. Warum? Weil die Unbekannte x in der 2. Potenz vorkommt. Eine quadratische Gleichung hat im Allgemeinen immer zwei Lösungen. Deshalb gibt hier es einen positiven und einen negativen Wurzelausdruck. Und eine Gleichung dritten Grades hat sogar drei Wurzeln. O je, alles Schulwissen schon vergessen?

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-7:
... hat uns der Herr Gauß alle mal so kräftig verarscht???

Ganz bestimmt nicht. Er war extrem sorgfältig. Er hat sogar mal ein Ergebnis aus der nichteuklidischen Geometrie lange Zeit zurückgehalten, weil er seine Mathematiker-Kollegen noch nicht reif dafür erachtete, sein Ergebnis zu verstehen.

M.f.G Eugen Bauhof
Signatur:
Der Kluge lernt aus allem und von jedem,
der Normale aus seinen Erfahrungen,
und der Dumme weiß alles besser.
Sokrates.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 3.476, Mitglied seit 18 Jahren
Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2006-9:
O je, alles Schulwissen schon vergessen?

Ich möchte behaupten, dass ich so etwas gar nicht mehr hatte. Ich habe seinerzeit eine polytechnische Oberschule bis zur zehnten Klasse besucht, dort die schriftliche Mathematik-Prüfung mit einer glatten Eins gemeistert. Im sozialistischen Schulwesen kam danach die "Erweiterte Oberschule", die nur eine Handvoll ausgesuchter Schüler besuchen durfte - je nachdem, inwieweit die Eltern in der Arbeiterklasse und in der sozialistischen Einheitspartei integriert waren. Sehr gute Noten waren wichtig, jedoch lange nicht alleiniger Faktor. Da u.a. mein Engagement für den Sozialismus und mein Interesse für die marxistisch-leninistischen Lehren doch eher schon in Desinteresse mündeten (Heavy Metal, Partys und Mädchen waren wesentlich interessanter), kam ich nicht einmal in die nähere Auswahl für die Erweiterte Oberschule. Mein Bildungsgrad damals entsprach also eher der heutigen Realschule. Und das ist ja nun auch schon gute zwanzig Jahre her...
Das mit Gauß war natürlich ein Scherz. Ich bewundere diesen Mann ob seines genialen Geistes. Er hat ja sogar richtig viel Wissen Zeit seines Lebens zurückgehalten. Einerseits, weil er die Welt für noch nicht reif für diese Erkenntnisse hielt, andererseits, weil er Gefundenes für "Pipifax" hielt - "Pipifax", für den Kollegen seinerzeit wahrscheinlich "gemordet" hätten. Ich denke, unsereins kann nicht erahnen, wie genial der Mann wirklich war.
Zum Rest des Beitrages schreibe ich morgen!

Beste Grüße

Hallo Henry, zu dem Witz wollte sich noch kommen :smiley32:. Hab mir da schon was bereitgelegt. So die Richtung: Die Zahl i ist eine Zahl, unter der man sich nix vorstellen kann??? Also unter einer drei beispielsweise kann ich mir sehr wohl etwas vorstellen... Aber das kommt später ;-).
Signatur:
Diese Welt gibt es nur, weil es Regeln gibt.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 3.476, Mitglied seit 18 Jahren
Hallo Eugen,

kurz nach dem Aufwachen habe ich die besten Gedanken. Bevor ich den einen wieder vergesse, möchte ich einmal eine kurze Zwischenfrage stellen.

(Nebenbei: Gleichungen zweiten und dritten grades muss ich wohl doch in der Schule gehabt haben, jedoch - wie du richtig vermutest - kann ich mich daran wirklich nicht mehr erinnern.)

Zwischenfrage:

Kann ich mir eine komplexe Zahl so vorstellen:
Im Diagramm in Beitrag Nr. 2006-1 ist die Menge der reellen Zahlen als eindimensionaler Strahl dargestellt, der sich aus unendlich vielen nulldimensionalen Punkten - den reellen Zahlen - zusammensetzt. Senkrecht zu diesem ist der ebenfalls eindimensionale Strahl der (ebenfalls nulldimensionalen) imaginären Zahlen aufgesetzt.
Diese zweidimensionale Fläche, die hierdurch aufgespannt wurde, repräsentiert diese nun das Feld der komplexen Zahlen? Ist also eine komplexe Zahl gegenüber den eindimensionalen reellen und imaginären Zahlen eine höherdimensionale Zahl? Also eine Zahl, die um eine Dimension erweitert wurde? Mir ist das wichtig, weil ich - falls ich richtig liege - einen ganz anderen intuitiven Zugang zu diesen komplexen Zahlen erschließen kann! So könnte ich das Gebiet der komplexen Zahlen als eine Fläche auffassen - und damit könnte ich dann durchaus was anfangen! Wehe, du schreibst, das geht so nicht!!!!:smiley29:

So, nun mache mich mich ans Werk, und versuche zu begreifen, was eine imaginäre Zahl ist.
Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2006-4:
Akzeptiere jetzt erst mal die Sinnhaftigkeit der komplexen Zahlen. Sie sind nicht mehr oder weniger eine Einbildung wie die natürlichen Zahlen.

Das akzeptiere ich natürlich! Nur muss ich mich erst durch die Plus- und Minuswurzeln kämpfen, deren Sinn sich mir einfach noch nicht erschließen will. Dazu muss ich Schritt für Schritt deinen Rechenweg in Beitrag Nr. 2006-4 intuitiv nachvollziehen lernen. Ich bin aber auch optimistisch, zu begreifen, was imaginäre Zahlen und deren Sinn sind.

(Nochmal nebenbei: Wenn eine Gleichung dritten Grades sogar drei Lösungen hat, wie heißt dann die dritte Wurzel dort? Pluswurzel, Minuswurzel, Kugelwurzel? Ich vermute immer noch einen Scherz des Wurzelkobolds, dem Nimmersatten.)

Also, später mehr, ich würde mich aber über eine Zwischenantwort auf diesen Beitrag freuen!

Beste Grüße
Signatur:
Diese Welt gibt es nur, weil es Regeln gibt.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Stueps am 11.02.2013 um 08:44 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 1.375, Mitglied seit 16 Jahren
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-11:
Kann ich mir eine komplexe Zahl so vorstellen:

Im Diagramm in Beitrag Nr. 2006-1 ist die Menge der reellen Zahlen als eindimensionaler Strahl dargestellt, der sich aus unendlich vielen nulldimensionalen Punkten - den reellen Zahlen - zusammensetzt. Senkrecht zu diesem ist der ebenfalls eindimensionale Strahl der (ebenfalls nulldimensionalen) imaginären Zahlen aufgesetzt.

Diese zweidimensionale Fläche, die hierdurch aufgespannt wurde, repräsentiert diese nun das Feld der komplexen Zahlen? Ist also eine komplexe Zahl gegenüber den eindimensionalen reellen und imaginären Zahlen eine höherdimensionale Zahl? Also eine Zahl, die um eine Dimension erweitert wurde? Mir ist das wichtig, weil ich - falls ich richtig liege - einen ganz anderen intuitiven Zugang zu diesen komplexen Zahlen erschließen kann! So könnte ich das Gebiet der komplexen Zahlen als eine Fläche auffassen - und damit könnte ich dann durchaus was anfangen!

Hallo Stueps,

1. Jeder Punkt der gewöhnlichen Zahlengeraden repräsentiert eine reelle Zahl.

2. Jeder Punkt dieser zweidimensionalen Fläche repräsentiert eine komplexe Zahl und besteht aus zwei Bestimmungszahlen: eine reelle Zahl und eine imaginäre Zahl.

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-11:
Wenn eine Gleichung dritten Grades sogar drei Lösungen hat, wie heißt dann die dritte Wurzel dort? Pluswurzel, Minuswurzel, Kugelwurzel? Ich vermute immer noch einen Scherz des Wurzelkobolds, dem Nimmersatten.)

Eine Gleichung 1. Grades hat 1 Lösung.
Eine Gleichung 2. Grades hat 2 Lösungen.
Eine Gleichung 3. Grades hat 3 Lösungen.
.
Eine Gleichung n. Grades hat n Lösungen.

Diese Lösungen werden auch Wurzeln genannt.

M.f.G. Eugen Bauhof
Signatur:
Der Kluge lernt aus allem und von jedem,
der Normale aus seinen Erfahrungen,
und der Dumme weiß alles besser.
Sokrates.
[Gäste dürfen nur lesen]
Beiträge: 1.566, Mitglied seit 11 Jahren
 
Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2006-12:
 
Eine Gleichung 1. Grades hat 1 Lösung.
Eine Gleichung 2. Grades hat 2 Lösungen.
Eine Gleichung 3. Grades hat 3 Lösungen.
.
Eine Gleichung n. Grades hat n Lösungen.

Diese Lösungen werden auch Wurzeln genannt.

Hi Stueps,

was Eugen sagt, ist richtig, wenn man hinzufügt, dass
  • die N Wurzeln eines Polynoms N-ten Grades — mit reellen und/oder komplexen Koeffizienten — reell oder komplex sein können,
  • aber nicht notwendig paarweise verschieden sein müssen.

Das Polynom ( X – 4 )5 etwa, hat 5 Nullstellen, die sämtlich die Zahl 4 sind.


Gruß, grtgrt
 
Beitrag zuletzt bearbeitet von Grtgrt am 11.02.2013 um 16:39 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 1.375, Mitglied seit 16 Jahren
Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2006-13:
Hi Stueps,

was Eugen sagt, ist richtig, wenn man hinzufügt, dass
  • die N Wurzeln eines Polynoms N-ten Grades — mit reellen und/oder komplexen Koeffizienten — reell oder komplex sein können,
  • aber nicht notwendig paarweise verschieden sein müssen.

Das Polynom ( X – 4 )5 etwa, hat 5 Nullstellen, die sämtlich die Zahl 4 sind.
Gruß, grtgrt
 

Hallo Grtgrt,

ja, klar.
Aber auf solche Feinheiten wollte ich zunächst nicht eingehen. Denn ich wäre schon froh, wenn Stueps den bisherigen Stoff verinnerlicht hätte.

M.f.G. Eugen Bauhof
Signatur:
Der Kluge lernt aus allem und von jedem,
der Normale aus seinen Erfahrungen,
und der Dumme weiß alles besser.
Sokrates.
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 3.476, Mitglied seit 18 Jahren
Bin bei, bin bei, Eugen! Ich meld mich heute, spätestens morgen auf jeden Fall!

Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2006-13:
was Eugen sagt, ist richtig, wenn man hinzufügt, dass
die N Wurzeln eines Polynoms N-ten Grades — mit reellen und/oder komplexen Koeffizienten — reell oder komplex sein können,
aber nicht notwendig paarweise verschieden sein müssen.

Das Polynom ( X – 4 )5 etwa, hat 5 Nullstellen, die sämtlich die Zahl 4 sind.

Ääääh, ja genau, Gebhard. Ist ja logisch! Das ergibt sich ja von selbst. n Wurzeln von Polynomen n-ten Grades mit reellen und/oder komplexen Koeffizienten sind immer reell oder komplex, aber nicht paarweise verschieden. Also nicht notwendig jedenfalls. 5 Nullstellen, die sämtlich die Zahl 4 sind, so ein Polynom ist doch bekannt! Ist ein Superpolynom sozusagen. Das Polynom der Polynome. Der Ferrari der Polynome. Hat die besten komplexen Koeffizienten in diesem Universum. Also die Wurzeln jedenfalls. Jetzt wird mir auch endlich einiges klar! Polynomwurzeln mit Komplex-Koeffizienten und Nullstellen sind nicht notwendigerweise paarweise verschieden - das ist wichtig! Da geht die Sonne gleich viel heller auf!
Kann es sein, dass ihr Mathematiker auch so ganz leicht einen an der Waffel habt? Nur ein Scherz! :] Deine Hilfe ist natürlich willkommen, bitte denke aber daran, dass du dich dann auf ein für deine Verhältnisse sehr niedriges Niveau begeben musst. Sonst versteh ich nur komplexe Wurzelpoynomkoeffizienten mit paarweise verschiedenen Nullstellen...

Beste Grüße ;-)
Signatur:
Diese Welt gibt es nur, weil es Regeln gibt.
[Gäste dürfen nur lesen]
Beiträge: 2.307, Mitglied seit 13 Jahren
Bauhof schrieb in Beitrag Nr. 2006-12:
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-11:
Kann ich mir eine komplexe Zahl so vorstellen:

Im Diagramm in Beitrag Nr. 2006-1 ist die Menge der reellen Zahlen als eindimensionaler Strahl dargestellt, der sich aus unendlich vielen nulldimensionalen Punkten - den reellen Zahlen - zusammensetzt. Senkrecht zu diesem ist der ebenfalls eindimensionale Strahl der (ebenfalls nulldimensionalen) imaginären Zahlen aufgesetzt.

Diese zweidimensionale Fläche, die hierdurch aufgespannt wurde, repräsentiert diese nun das Feld der komplexen Zahlen? Ist also eine komplexe Zahl gegenüber den eindimensionalen reellen und imaginären Zahlen eine höherdimensionale Zahl? Also eine Zahl, die um eine Dimension erweitert wurde? Mir ist das wichtig, weil ich - falls ich richtig liege - einen ganz anderen intuitiven Zugang zu diesen komplexen Zahlen erschließen kann! So könnte ich das Gebiet der komplexen Zahlen als eine Fläche auffassen - und damit könnte ich dann durchaus was anfangen!

Hallo Stueps,

1. Jeder Punkt der gewöhnlichen Zahlengeraden repräsentiert eine reelle Zahl.

2. Jeder Punkt dieser zweidimensionalen Fläche repräsentiert eine komplexe Zahl und besteht aus zwei Bestimmungszahlen: eine reelle Zahl und eine imaginäre Zahl.

Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-11:
Wenn eine Gleichung dritten Grades sogar drei Lösungen hat, wie heißt dann die dritte Wurzel dort? Pluswurzel, Minuswurzel, Kugelwurzel? Ich vermute immer noch einen Scherz des Wurzelkobolds, dem Nimmersatten.)

Eine Gleichung 1. Grades hat 1 Lösung.
Eine Gleichung 2. Grades hat 2 Lösungen.
Eine Gleichung 3. Grades hat 3 Lösungen.
.
Eine Gleichung n. Grades hat n Lösungen.

Diese Lösungen werden auch Wurzeln genannt.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hi, Eugen!

Ich möchte keineswegs zur Verwirrung beitragen und frage, um mich vor Verwirrung zu schützen: Weshalb sollten die Lösungen für Gleichungen "auch Wurzeln genannt" werden? Betrifft das nur die Lösungen, falls es sich um Gleichungen mit komplexen Zahlen handelt oder allgemein? Das wäre mir neu, oder doch zumindest entfallen. Soweit ich mich an meine Schulzeit erinnere, die zugegeben ebenfalls schon länger zurück liegt, kommt in Gleichungen 1. Grades z. B. doch überhaupt keine Wurzel vor? Und ist die Wurzel im einer Gleichung 2. Grades zwar Teil der Lösung, aber doch nicht die Lösung selbst? Ich erinnere mich da an die Diskriminante, also den Wert unter der Wurzel, die uns anzeigt, ob die Gleichung als Lösung eine leere Menge, eine Lösung (wenn die Diskriminante "Null" ist) oder eben zwei Lösungen (für x Index1 und x Index2), sorry, kann hier nichts direkt mit einem Index darstellen) liefert (was ja zusammengefasst bedeutet, dass eine Gleichung 2. Grades zwei Lösungen haben KANN).

Wie gesagt, die Frage ist durchaus ernst gemeint.
Signatur:
Herr Oberlehrer

Die Wolken ziehen hin. Sie ziehen auch wieder her.
Der Mensch lebt einmal. Dann nicht mehr.

(Donald Duck)
Beitrag zuletzt bearbeitet von Henry am 12.02.2013 um 11:25 Uhr.
[Gäste dürfen nur lesen]
Beiträge: 1.566, Mitglied seit 11 Jahren
 
Henry schrieb in Beitrag Nr. 2006-16:
 
Weshalb sollten die Lösungen für Gleichungen "auch Wurzeln genannt" werden? Betrifft das nur die Lösungen, falls es sich um Gleichungen mit komplexen Zahlen handelt oder allgemein?

Hi Henry,

es handelt sich hier um einen Fachausdruck (ein Element mathematischer Fachsprache).

Er hat sich historisch so ergeben, darf also nicht mehr allzu wörtlich genommen werden. Tatsache ist: Mit den "Wurzeln" eines Polynoms sind seine "Nullstellen" gemeint — und das ganz unabhängig davon, welchen Grad das Polynom hat und aus welchem Zahlkörper seine Koeffizienten kommen.

Beste Grüße,
grtgrt
 
[Gäste dürfen nur lesen]
Beiträge: 2.307, Mitglied seit 13 Jahren
Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 2006-17:
 
Henry schrieb in Beitrag Nr. 2006-16:
 
Weshalb sollten die Lösungen für Gleichungen "auch Wurzeln genannt" werden? Betrifft das nur die Lösungen, falls es sich um Gleichungen mit komplexen Zahlen handelt oder allgemein?

Hi Henry,

es handelt sich hier um einen Fachausdruck (ein Element mathematischer Fachsprache).

Er hat sich historisch so ergeben, darf also nicht mehr allzu wörtlich genommen werden. Tatsache ist: Mit den "Wurzeln" eines Polynoms sind seine "Nullstellen" gemeint — und das ganz unabhängig davon, welchen Grad das Polynom hat und aus welchem Zahlkörper seine Koeffizienten kommen.

Beste Grüße,
grtgrt
 

Also die Schnittpunkte mit der x-Achse? Na, ist ja ein wenig nachzuvollziehen.
Signatur:
Herr Oberlehrer

Die Wolken ziehen hin. Sie ziehen auch wieder her.
Der Mensch lebt einmal. Dann nicht mehr.

(Donald Duck)
[Gäste dürfen nur lesen]
Beiträge: 1.566, Mitglied seit 11 Jahren
 
Stueps schrieb in Beitrag Nr. 2006-15:
 
Kann es sein, dass ihr Mathematiker auch so ganz leicht einen an der Waffel habt? Nur ein Scherz! :]
Beste Grüße ;-)

Hi Stueps,

wenn du schon glaubst, wir Mathematiker hätten "einen an der Waffel", was sagt du dann erst zu den Quantenphysikern?

Mathematische Modelle sind (nur) exakt. Quantenphysikalische aber sind GENAU.

Gruß, grtgrt
 
[Gäste dürfen nur lesen]
avatar
Beiträge: 3.476, Mitglied seit 18 Jahren
Hehehe,

gutes Argument!
Signatur:
Diese Welt gibt es nur, weil es Regeln gibt.
[Gäste dürfen nur lesen]
In diesem Forum dürfen nur Mitglieder schreiben. Hier kannst du dich anmelden
Zum Seitenanfang Nach oben