Dimensionen und Nachbarn, wie mathematisch herleiten?

Man kann mit Dimensionen folgende Beobachtung machen:
1.) Auf einer Linie hat ein Punkt mit sich selbst = 3^1 Nachbarn
2.) In der Fläche hat ein Punkt mit sich selbst= 3^2 Nachbarn
3.) Im Volumen = 3^3 = 27 Nachbarn (mit sich selbst)

Diese Formel gilt übrigens auch für ein Null dimensionales Universum:
0.) Es hat ein Punkt=3^0 Nachbarn (mit sich selbst).

Gilt diese Formel für die Nachbarn auch für höher als dreidimensionale Universen?
Wie kann diese Formel, die den Freiheitsgraden für Bewegung in verschiedenen Dimensionen entspricht, mathematisch hergeleitet werden?

Warum ist die Basis der Formel eigentlich genau 3 und koinzidiert damit mit unserem dreidimensionalen Universum. OK, Physiker sprechen von der 4 dimensional Raumzeit. Ist es nur Zufall, dass diese Formel die Zahl Drei wie für unseren Raum beinhaltet?

Ulenrich schrieb in Beitrag Nr. 1807-1:

Man kann mit Dimensionen folgende Beobachtung machen:
1.) Auf einer Linie hat ein Punkt mit sich selbst = 3^1 Nachbarn
2.) In der Fläche hat ein Punkt mit sich selbst= 3^2 Nachbarn
3.) Im Volumen = 3^3 = 27 Nachbarn (mit sich selbst)

Diese Formel gilt übrigens auch für ein Null dimensionales Universum:
0.) Es hat ein Punkt=3^0 Nachbarn (mit sich selbst).

Gilt diese Formel für die Nachbarn auch für höher als dreidimensionale Universen?
Wie kann diese Formel, die den Freiheitsgraden für Bewegung in verschiedenen Dimensionen entspricht, mathematisch hergeleitet werden?

Warum ist die Basis der Formel eigentlich genau 3 und koinzidiert damit mit unserem dreidimensionalen Universum. OK, Physiker sprechen von der 4 dimensional Raumzeit. Ist es nur Zufall, dass diese Formel die Zahl Drei wie für unseren Raum beinhaltet?

Hallo Ulenrich,

Du konstruierst den Raum als n-dimensionalen Würfel, wobei Du jeweils Würfelmittelpunkt und die Kantenmittelpunkte hinzunimmst.
Aus Deiner Konstruktion ergeben sich 3^n Gitterpunkte.

Der Bezug Deines Würfels zum physikalischen Raum ist für mich nicht zwingend.
Das ist reine Geometrie.
Z.B. könntest Du jeweils einen von den drei Punkten weglassen und hättest dann 2^n Punkte, die ebenfalls einen n-dimensionalen Würfel aufspannen, bzw. einen n-dimensionalen Raum.

Das einfachste Modell, um einen n-dimensionalen Raum aufzuspannen ist ein n-dimensionales "Simplex". Dazu braucht man n+1 Punkte:
Punkt --> Strecke --> Dreieck --> Pyramide ...

lg
Thomas

Thomas der Große schrieb in Beitrag Nr. 1807-2:

Punkt --> Strecke --> Dreieck --> Pyramide ...

Ich frage aber nicht nach reiner Geometrie, sondern nach der Verbindung von Geometrie zu unserem Raum und welche Bedeutung dies für höher dimensionale Räume hat. Deswegen ist Deine Folge für mich nicht relevant:
Eine Strecke ist eben keine unendliche Gerade, die auf einer vollständigen Dimension liegt. Auf einer Strecke kann der Punkt nur einen Nachbarn haben, auf einer unendlich dimensionierte Gerade hat er auf jeden Fall zwei.

Dein Einwand brachte mich jetzt auf das formal rekursive Konstruktionsprinzip für zusätzliche Dimensionen:

Addiere zu jedem Punkt zwei Punkte (äquivalent zu "nehme mal drei") und zähle alle Punkte zur Nachbarschaft.