Wieviele Dimensionen gibt es?

Mathematik ist oft sehr abstrakt, aber hier hilft räumliches Vorstellungsvermögen.
Stell Dir vor, an einer Stelle im ansonsten leeren Raum ist eine Pistole, die nacheinander 10.000 Kugeln in völlig willkürliche Richtungen feuert.
Es herrscht keine Gravitation, also fliegen alle Kugeln ewig in die Richtung geradeaus weiter, in die sie geschossen wurden.
Jetzt stell Dir vor, es gibt eine riesige Hohlkugel, mit sagen wir 10 Metern Radius um die Pistole, also mit der Pistole genau im Mittelpunkt.
Wir müssen jetzt nicht wissen, in welche Richtung die einzelnen Pistolenkugeln fliegen, aber wir können trotzdem berechnen, wieviele Kugeln durchschnittlich pro Quadratmeter Kugeloberfläche ankommen werden. Die Oberfläche der Kugel beträgt 4*Pi*r², also etwa 1256,6m². Bei 10.000 Kugeln rechnen wir also mit knapp 8 Kugeln auf einen Quadratmeter.

Wenn wir unsere Hohlkugel größer machen, z.bsp. 100 Meter Radius, so wächst die Oberfläche mit dem Quadrat des Radius (das ist die einzige Variable in der Formel zur Oberflächenberechnung der Kugel) - bei einer 100m-Radius-Kugel rechnen wir also mit 0,08 Kugeln pro Quadratmeter. Die Anzahl der Kugeln pro Quadratmeter nimmt mit dem quadratischen Abstand ab.

So sieht es in drei Dimensionen aus.
Wenn die Pistole nur zwei Dimensionen zur Auswahl hätte, müßten wir statt der Formel zur Kugeloberfläche die Formel zum Kreisumfang benutzen. In diese geht der der Radius nicht quadratisch ein, sondern nur einfach. Im zweidimensionalen Fall rechnen wir also in 10 Meter Entfernung mit 159 Kugeln pro Meter und bei 100 Meter Abstand mit 16,9 Kugeln pro Meter.

Anstelle der Pistolenkugeln kann man auch die Helligkeit eines Sterns nehmen oder seine Gravitation oder seine elektrische Kraft - all diese Dinge sind vom Abstandsquadrat abhängig, und das ist nur dann so, wenn exakt drei Freiheitsgrade zur Verfügung stehen - drei Dimensionen.

Danke für den Refresher. Das hat mein Hirn wieder entrostet. Alle Lichter leuchten wieder.

Aber ... kann das nun in Fachkreisen als Beweis für die Dreidimensionalität des Raumes anerkannt werden? Stecken da nicht auch Vorraussetzungen drin, die so selbstverständlich gar nicht sind wie sie zunächst erscheinen?

Kann ich zum Beispiel beweisen, dass die Kugeln (oder Photonen oder Gammateilchen etc.) tatsächlich einem "geraden" Korridor folgen? Und so weiter.

Auf solche ungeklärte(?) Details wollte ich eigentlich hinaus: Bis in welche "Beweisebene" können wir vordringen (wenn man mal die "Cogito ergo sum"-Ebene außer acht lässt :-))? Welche Komponenten in diesem Beweis gehören zur reinen Logik und welche zur subjektiven Empirie?

G'Nacht.

Ohne den Begriff des Abstandes kann man auf jeden Fall keine Abhängigkeit vom Abstand definieren. Das heißt, um sagen zu können: "Die Intensität/Kraft/wasauchimmer fällt mit der zweiten Potenz des Abstandes ab", muß man bereits die Definition von Abstand kennen. Und ich denke, daß die Messung von Abständen alleine bereits ausreicht, um die Dreidimensionalität des Raumes zu zeigen, ganz ohne zusätzliche Annahmen über Reichweiten (daß Gravitation und elektromagnetische Wechselwirkung quadratisch abfallen, hängt mit ihrer unendlichen Reichweite ab, was wiederum aus der verschwindenden Ruhemasse der Felder folgt. Beispielsweise fällt die schwache Wechselwirkung exponentiell ab (mit einem zusätzlichen 1/r²-Faktor für den Raum), weil die Z- und W-Bosonen eine Masse haben.

Oder nehmen wir mal die Gewehrkugeln. Und nun machen wir die Kugeln aus Sprengstoff, und bauen Zünder ein, die statistisch die Kugeln unterwegs sprengen. Und schon wird der Abfall stärker als 1/r^2 sein, weil um so mehr Kugeln unterwegs explodiert sind, je weiter (und daher länger) die Kugeln unterwegs waren. Sprich: Das 1/r^2-Gesetz beruht hier u.a. auch auf einem Erhaltungssatz (die Menge der Kugeln bleibt erhalten); dasselbe gilt für die 1/r²-Abhängigkeit der Intensität für Strahlung (hier ist es die Energieerhaltung, die noch ins Spiel kommt).

Nehmen wir aber nochmal die Abstandsfunktion als gegeben an. Dann schlage ich jetzt die folgende neue Konstruktion zur Dimensionsbestimmung vor:

Können wir zweri Erbsen so anordnen, daß je zwei denselben Abstand zueinander haben? Ja -> mindestens eine Dimension.

Können wir drei Erbsen so anordnen, daß je zwei denselben Abstand zueinander haben? Ja -> mindestens zwei Dimensionen.

Können wir vier Erbsen so anordnen, daß je zwei denselben Abstand zueinander haben? Ja -> mindestens drei Dimensionen.

Können wir fünf Erbsen so anordnen, daß je zwei denselben Abstand zueinander haben? Nein -> keine vierte Dimension.

Also ist unser Raum dreidimensional.

Wobei hier bei genauerer Betrachtung nicht einmal die volle Abstandsfunktion verwendet wurde, sondern nur die Definition "derselbe Abstand".

Nehmen wir als Abstandsdefinition ein Streichholz (wobei wir annehmen, daß alle Streichhölzer gleich lang sind), dann kann man das Ganze auch als "Pyramidenbau-Methode" nehmen: Wir beginnen mit einem Streichholz (das zwei Enden hat). Die Existenz dieses Streichholzes beweist bereits, daß mindestens eine Dimension existiert.

Nun bauen wir an jedes Ende des Streichholzes ein weiteres, wobei alle neuen Streichhölzer mit ihren Enden zustammenstoßen. Das geht (und gibt ein gleichseitiges Dreieck), also haben wir mindestens zwei Dimensionen.

Nun bauen wir wieder an die Streichholzenden neue Streichhölzer an, die mit ihren anderen Enden alle zusammenstoßen. Das Ergebnis ist ein Tetraeder, und da auch das noch funktioniert, ist der Raum mindestens dreidimensional.

Versuchen wir es nochmal, dann stellen wir fest, daß das nicht mehr klappt. Also haben wir keine vierte Dimension.

Allerdings kann diese Methode bei gekrümmten Räumen erst mal zu viele Dimensionen liefern: Wenn wir auf der Kugeloberfläche die vier Eckpunkte eines räumlichen Tetraeders mit entsprechenden "Kugel-Streichhölzern" ausmessen, bekommen wir drei Dimensionen, obwohl die Kugeloberfläche nur zweidimensional ist. Das funktioniert aber nur, wenn die Streichhölzer die richtige Länge haben, daher dürfte es m.E. reichen, wenn man fordert, daß das mit beliebig kurzen Streichhölzern funktionieren muß (wenn man also alle Streichhölzer in der Mitte zerschneidet, muß es mit den Halb-Streichhölzern immer noch gehen).

@timeout
Ich bin zwar nur ein dummer kleiner Schüler... Aber ist nicht nicht die Tatsache, dass zwei von deinen Erbsen zu unterschiedlichen Zeiten denselben Platz im Raum einnehmen können, ein Beweis dafür, dass man mindestens die Zeit noch als 4. Dimension annehmen müsste??
Wir unterscheiden doch im Prinzip nur in Längen- und Zeiteinheiten, weil wir es so verständlicher (eben greifbar) ist-- das ist aber nur historisch begründet.
Angenommen wir würden diesen 4 Dimensionen dieselbe Einheit geben, sie also als gleichwertig betrachten, mit gleicher Skalierung.... Dann wär es egal, ob die Erbsen nun in Länge, Breite, Höhe oder Zeit voneinander abweichen- wir hätten trotzdem 5 Erbsen im gleichen Abstand.
Andersrum: Wenn wir die Zeit nicht als 4. Dimension betrachten, wär ja ein bewegter Körper überall auf seiner Bahn gleichzeitig. Die Zeit ist also schon die erste "abstrakte" (wenn man so will) Dimension, was es für uns auch so schwer macht, sie zu begreifen.
Deshalb auch diese Seite hier, auf die ich eher zufällig gestoßen bin--> Kompliment @Manu ; )
Erst durch die Zeit wird es möglich, den exakten Aufenthaltsort meinetwegen deiner Erbsen in Raum und Zeit zu definieren. Das Problem liegt einfach darin, dass wir den uns bekannten Dimensionen unterschiedliche Wertigkeiten zuordnen (erkennbar an der Unterscheidung Raum (zusammengesetzt aus 3 Dimensionen) und Zeit).
Unser Raum-Zeit- Kontinuum besitzt nur diese 4 Dimensionen, das steckt schon im Namen. Das ist aber nur der Teil, in dem sich die klassische Physik bewegt.

Ich persönlich finde Georgs Beitrag (auf Seite 1 vom Thread) ganz logisch:
Punkte = keine Ausdehnungsrichtung und dimensionslos sind in unendlicher Anzahl in die eindimensionale Linie eingebettet.
Linien = 1 Ausdehnungsrichtung (Länge) sind in unendlicher Anzahl in die zweidimensionale Fläche eingebettet.
Flächen = 2 Ausdehnungsrichtungen (Länge, Breite) sind in unendlicher Anzahl in den dreidimensionalen Raum eingebettet.
Räume = 3 Ausdehnungsrichtungen (Länge, Breite, Höhe) sind in unendlicher Anzahl in die vierdimensionale Zeit eingebettet usw......

Das heißt also ich kann unendlich viele Erbsen in genau demselben Punkt im Raum vereinigen, wenn ich das nur zu unterschiedlichen ZEiten mache. Das ist auch praktisch nachvollziehbar.
Materie kann zu unterschiedlichen Zeiten genau denselben Platz im Raum einnehmen.
Könnte es also im nicht auch noch außerhalb von Raum und Zeit weitere Dimensionen geben?
Diese hätten dann wie gesagt keine Auswirkung auf unsere materielle Welt, weil diese durch Raum und Zeit definiert sind. Erst in einem Rahmen, in dem die Eigenschaften als Materie an ihre Grenze stoßen (s. Superstrings) wären dann diese Dimensionen von BEdeutung.
So, damit hätte ich mich ganz diplomatisch um alle Widersprüche gedrückt- vorausgesetzt ich hab nichts vergessen.....


Ich bitte um konstruktive Kritik, falls ich mich irre oder das Ganze falsch verstanden hab. Ich freu mich natürlich auch über Post ; )

Kleines Problem: "derselbe Ort zu einer anderen Zeit" läßt sich nicht definieren.
Jeder Ort könnte von sich behaupten, derselbe zu sein, nur zu einer anderen Zeit.
Ich glaube, Timeout schreib dies bereits einmal in einem anderen Thread.
Wir können untersuchen, ob eine Länge - also die Differenz zweier Orte - über die Zeit dieselbe bleibt, deshalb würde ich mich eher auf das Modell mit den Streichhölzern konzentrieren.

>>> Kleines Problem: "derselbe Ort zu einer anderen Zeit" läßt sich nicht definieren. <<<
Es lässt sich nicht klassisch physikalisch definieren, weil wir gewohnt sind Raum und Zeit als Dimensionen mit unterschiedlicher "Wertigkeit" zu betrachten.
Das Streichholzmodell setzt doch shcon voraus, dass es nur 3 Dimensionen gibt. Er stützt sich also beim Beweis auf die zu beweisende Annahme.
Wenn wir aber davon ausgehen, dass starke Gravitationsfelder Raum und Zeit krümmen-- wenn also (der Einfachheit wegen nur) eins der Streichhölzer gebogen wird (und aber dabei seine Länge behält), dann würde es sich in Richtung von einer der zwei anderen Streichholzdimensionen biegen. Das ist aber praktisch nicht so-- die Krümmung erfolgt nicht in Richtung des Raumes- also nicht in Richtung der anderen Streichhölzer.
Die Raumkrümmung ist nach meinem Verständnis kein räumliches Phänomen, sondern ein Raum-Zeit- Phänomen. Damit setzt also die Raumkrümmung voraus, dass es schon eine 4. Dimension gibt, in deren Richtung der Raum (also die anderen 3 Dimensionen) gekrümmt werden können. Der Raum kann ja nicht ins Nichts gekrümmt werden, sondern auch nur in eine weitere Dimension, die nicht räumlich (!!) ist.
Wenn ich ein Blatt Papier (zweidimensional betrachtet) zusammenschiebe, also krümme, dann krümmt es sich auch in eine weitere Dimension: die dritte.
Wenn ich den 3- dimensionalen Raum krümme, muss er sich also in eine 4. Dimension krümmen-- und da bietet sich nur die Zeit an.

Zu Beitrag Nr. 19-43
„Können wir drei Erbsen so anordnen, daß je zwei denselben Abstand zueinander haben? Ja -> mindestens zwei Dimensionen.“
Einspruch! Wenn man Erbsen wie an einer Perlenschnur aufreiht, braucht man keine 2. Dimension – und trotzdem haben immer je 2 denselben Abstand zueinander. ;-)
Das gilt auch für mehr als 3 Erbsen :))
Also ist der „Raum“ eindimensional. :-D

"...setzt also die Raumkrümmung voraus, dass es schon eine 4. Dimension gibt, in deren Richtung der Raum (also die anderen 3 Dimensionen) gekrümmt werden können. Der Raum kann ja nicht ins Nichts gekrümmt werden, sondern auch nur in eine weitere Dimension, die nicht räumlich (!!) ist."

Ich habe schon oft gelesen, daß der Raum in sich selbst gekrümmt ist. "Gekrümmt" ist in diesem Zusammenhang ein irreführendes Wort, weshalb ich "gestaucht" bevorzuge.

Bernhard, ALLE Abstände zwischen zwei beliebigen Erbsen sollen gleich sein, oder anders gesagt: keine zwei Erbsen dürfen einen anderen Abstand zueinander haben als zwei andere (oder gleiche) Erbsen.
Ist gar nicht so einfach, diese Bedingung knapp, aber exakt auszudrücken (wie ich soeben bemerke)...

Wie wärs damit:
Können wir drei Erbsen so anordnen, daß jede zu jeder denselben Abstand hat?

"Können wir drei Erbsen so anordnen, daß jede zu jeder denselben Abstand hat?"

Du hast erst geschrieben, daß JE ZWEI den gleichen Abstand haben sollen!!!
Im ebenen, zweidimensionalen Raum bilden 3 Punkte mit gleichem Abstand ein gleichseitiges Dreieck.
Mit solchen Dreiecken kannst Du die zweidimensionale Ebene lückenlos unendlich weit füllen.
ABER:
Wenn Du Punkte im dreidimensionalen Raum so anordnen willst, daß jeder Punkt zum Nachbarn den Abstand n hat, dann geht das nicht bis in alle Unendlichkeit. Im Thread "Dimensionen, Universum, Zeit" habe ich das mit einer Grafik darzustellen versucht. In kleinen Klumpen funktioniert das noch (Tetraeder), aber nicht lückenlos für den GANZEN Raum.

@Bernhard K. (19-47):

Nein, wenn man die Erbsen an einer Perlenschnur aufreiht, haben eben nicht je zwei Erbsen denselben Abstand. Sondern nur je zwei aufeinanderfolgende Erbsen.

Also: Erbse 1 hat von Erbse 2 denselben Abstand, wie Erbse 2 von Erbse 3. Aber Erbse 1 hat zu Erbse 3 den doppelten Abstand.

Meine Forderung war aber, daß je zwei Erbsen denselben Abstand haben sollen, also jede Erbse von jeder anderen Erbse. Und damit scheidet die Erbsenkette aus. Wie übrigens auch die Dreieckspflasterung der Ebene.

Mathematisch ausgedrückt: ∀ x, y, z, w ∈ E: x ≠ y ∧ z ≠ w => d(x, y) = d(z,w)
wbei E die Menge der eingesetzten Erbsen und d(x, y) die Abstandsfunktion ist.

@Garfield (19-46):

"Derselbe Ort zu einer anderen Zeit" läßt sich aus genau demselben Grund nicht definieren, aus dem sich auch "genausoweit links ein Stück weiter vorne" nicht allgemein definieren läßt: Was "derselbe Ort" ist, hängt benso vom Beobachter ab, wie was "genausoweit links" ist (wenn wir in unterschiedliche Richtungen schauen, dann ist das, was für mich "weiter links" ist, für Dich vielleicht "weiter vorne". Und die Tasse, die für den Reisenden im ICE "am selben Ort" bleibt (vor ihm auf dem Tisch, völlig unbewegt), ist für den Beobachter außerhalb des Zuges zu verschiedenen Zeiten an verschiedenen Orten (weil sich der Zug samt Tasse ja bewegt).

In der Tat gilt genau das Gegenteil dessen, was Du gesagt hast: Um den Begriff "derselbe Ort zu einer unterschiedlichen Zeit" definieren zu können, muß man der Zeit radikal unterschiedliche Eigenschaften vom Raum zuweisen.

Aber amsonsten lagst Du mit der vierten Dimension nicht ganz falsch: Wenn wir zu einem bestimmten Zeitpunkt (bezüglich eines bestimmten Beobachters – denn auch die Gleichzeitigkeit hängt vom Beobachter ab) den ganzen Raum mit Erbsen anfüllen könnten (so daß keine weitere Erbse mehr in den Raum reinpaßt), dann können wir dennoch ohne Probleme zu einem anderen Zeitpunkt eine weitere Erbse im Universum haben.

Allerdings haut das mit dem gleichen Abstand nicht ganz so gut hin. Es zeigt sich nämlich, daß die Zeit – obwohl eine vollwertige Dimension der vierdimensionalen Raumzeit – sich doch ein wenig vom Raum unterscheidet (das ist der Grund, warum wir uns nicht einfach so umdrehen können, daß wir in die Vergangenheit schauenb, und es ist auch z.B. der Grund, warum beim "Zwillingsparadoxon" der gereiste Zwilling weniger gealtert ist (während doch im Raum Umwege immer ein mehr an Wegstrecke bedeuten).

@Bernhard K. (19-48):
Während der übliche Audsruck "gekrümmt" in der Tat das falsche Bild einer Krümmung in eine zusätzliche Dimension hervorruft, finde ich "gestaucht" aus zwei Gründen nicht gut:
* Zum einen ist "stauchen" eine ganz bestimmte Veränderung (Strecken werden verkürzt), und die Änderung der Raumzeit-Metrik ist vielgestaltiger.
* Zum anderen verbirgt der Begriff "stauchen" die Tatsache, daß auch nichttriviale Topologien vorkommen könnten (wenn man etwas staucht, dann verändert man nicht dessen Topologie).

Das erste Problem könnte man vielleicht mit dem Begriff "verzerrt" beheben.

Ach ja, es ist die Raumzeit, die gekrümmt (oder verzerrt) ist, nicht einfach nur der Raum (aus der Raumzeitkrümmung folgt natürlich auch eine Raumkrümmung – wobei der Raum dann neben der inneren Krümmung auch eine äußere Krümmung (Einbettung in die Raumzeit!) aufweist, also auch im anschaulichen Sinne gekrümmt ist).

"...also jede Erbse von jeder anderen Erbse. Und damit scheidet die Erbsenkette aus."

Und damit wird alles begrenzt auf ein Erbsenpaar, ein Dreieck und ein Tetraeder. Die Welt ist klein.

Verlassen wir in Gedanken unsere Erbsen und nehmen wir statt dessen Punktteilchen.
Jedes Teilchen verbinden wir mit jedem anderen durch eine Schnur bestimmter Länge. Diese Schnüre müssen nicht gleichlang sein. Eigentlich sollte es kein Paar gleichlanger Schnüre geben.
Kann man nun diesen Schlamassel so auseinanderziehen, dass alle Schnüre gleich straff gespannt sind. Beim Auseinanderziehen sollen keine Knoten entstehen, die Schnüre können sich durchdringen.