Gekrümmter Raum

Zum Vierergeschwindigkeitsvektor:

Ich bin der festen Überzeugung, daß die Interpretation als "Bewegung durch die Raumzeit mit Geschwindigkeit c nicht korrekt ist. Warum, möchte ich im Folgenden darlegen:

Fangen wir erst einmal ganz von unten an: Eine Kurve im normalen Raum. Eine solche Kurve kann beschrieben werden durch eine Vektor-Funktion v(q), wobei q ein reeller Parameter ist, der die Punkte der Kurve durchnumeriert. Diese Funktion ist allerdings nicht eindeutig, man kann z.B. die Kurve statt in Abhängigkeit von q auch in Abhängigkeit von q'=2q schreiben, dann ergibt sich natürlich eine andere mathematische Funktion; die Kurve ist natürlich dieselbe.

Leiten wir nun die Funktion nach dem Parameter ab, dann bekommen wir einen Tangentialvektor an die Kurve. Die Länge des Tangentialvektors hängt von der gewählten Parametrisierung ab und enthält daher keinerlei Information über die Kurve als solche. Nur die Richtung ergibt Information über die Kurve.

Nun hat so eine Kurve natürlich eine Länge, und es ist insgesamt sinnvoll, die Länge s der Kurve als Parameter zu verwenden. Das hat insbesondere zur Folge, daß der mit dieser Parametrisierung berechnete Tangentialvektor stets ein Einheitsvektor ist. An ihm ändert sich also nur noch das, was relevante Information enthält: die Richtung.

Ok, nun in die Raumzeit. Vorweg: In der Raumzeit nimmt man üblicherweise Raumeinheiten, d.h. die räumlichen Koordinaten werden unverändert übernommen, während die Zeit durch ct beschrieben wird. Ich werde im Folgenden für Vierervektoren (=Vektoren in der Raumzeit) die Schreibweise (x₀, x₁, x₂, x₃)=(ct, x, y, z) verwenden.

Die Weltlinie eines Objektes ist eine Kurve in der Raumzeit. Diese Kurve kann man nun parametrisieren. Wählt man als Parameter z.B. die Eigenzeit in einem bestimmten Bezugssystem, so hat der mit dieser Parametrisierung der Vektor in diesem Bezugssystem die Komponenten (c, v_x, v_y, v_z). Wie man sieht, steckt in diesem Tangentialvektor die Geschwindigkeit. Da Umparametrisierungen nur die Länge des Vektors ändern, und ein gemeinsamer Faktor bei Divisionen herausfällt, gilt also unabhängig von der Parametrisierung v_i/c = u_i/u₀.

Nun hat obige Parametrisierung den Nachteil, bezugssystemabhängig zu sein (nich aber die zuletzt angeführte Gleichung, denn die ist ja parametrisierungsunabhängig). Nun möchten wir aber gerne eine parameterunabhängige Skalierung. Wenn die Geschwindigkeit nicht die Lichtgeschwindigkeit ist (siehe unten), dann bietet sich dafür – wie im Raum – natürlich die Länge der Kurve an, also cτ, wobei τ die Eigenzeit ist. In dieser Parametrisierung hat dann der Tangentialvektor die Länge 1. Nun ist es aber aus verschiedenen Gründen vorteilhaft, stattdessen nur die Eigenzeit τ zu verwenden – der fehlende Faktor c taucht dann natürlich im Tangentialvektor auf. Diesen Tangentialvektor bei Parametrisierung nach Eigenzeit nennt man Vierergeschwindigkeit.

Wie schon erwähnt, ist für den Tangentialvektor die Länge absolut irrelevant und von der gewählten Parametrisierung abhängig. Daß die Vierergeschwindigkeit die Länge c hat, ist also nur eine Folge der speziell gewählten Parametrisierung mit der Eigenzeit (und nicht etwa – konsistent mit der Zeitachse – mit dem c-fachen der Eigenzeit). Schon hieraus ergibt sich, daß die Interpretation als "Bewegung durch die Raumzeit mit Geschwindigkeit c" zumindest fragwürdig ist. Aber es gibt auch einen physikalischen Grund: Wenn man die Definition der Geschwindigkeit nimmt, dann ist sie die Änderung des Wegs in der Zeit. Die Eigenzeit ist aber gerade der zurückgelegte Weg. Es gibt keine unabhängige "zweite Zeit", in der sich der Punkt durch die Raumzeit bewegt.

Nun noch zur lichtschnellen Bewegung: Der Tangentialvektor ist hier stets lichtartig, d.h., seine Länge ist Null (also insbesondere nicht c, unabhängig von der Parametrisierung). Da auf dem Weg des Lichts auch die Eigenzeit Null ist, kann der Lichtweg nicht danach parametrisiert werden.

Die Gleichung v_i/c = u_i/u₀ ist natürlich auch für die "Vierergeschwindigkeit" des Lichts gültig.

Die durchgehende Kursivschreibung ab dem 7. Absatz war keine Absicht.

Aus dem Ortsvektor der Raumzeit, dem Vierervektor x = ( ct, x1,x2,x3 ) können wir die Vierergeschwindigkeit u = dx/d tau ableiten, wobei tau die Eigenzeit ist, die durch
d tau^2 = dt^2 -1/c^2 (dx1^2+dx2^2+dx3^2) definiert wird. Dann ist die "Geschwindigkeit durch die Raumzeit", der Betrag des Vierervektors u, sqrt((c^2 dt^2 - dx123^2) /( dt^2 -1/c^2 dx123^2), gerade gleich der Lichtgeschwindigigkeit c. Nun können wir aber die Gleichung c^2 (dt/d tau)^2 -( dx123/d tau)^2 = c^2 umformen in c^2 (d tau/dt)^2 + (dx123/dt )^2 = c^2.
Dies zeigt, dass wenn die Geschwindigkeit eines Objekts durch den Raum, (dx123/dt)^2, anwächst, gleichzeitig eine Abnahme von d tau/dt stattfinden muss. Letzteres ist aber gerade so etwas wie die Geschwindigkeit des Objekts durch die Zeit ( die Rate, mit der die Zeit auf der eigenen Uhr des Objekts verstreicht, d tau, verglichen mit der Rate auf unserer Uhr, d tau ).

Nachdem ich in diesem Thread scheinbar nur Mist baue, hab ich das jetzt aus Brian Greenes Buch "Das elegante Universum" abgeschrieben. Leider kann ich mit meinem Schreibprogramm keine mathematischen Symbole schreiben. Ich hoffe man versteht trotzdem was gemeint ist. Z.B. x123 = (x1,x2,x3)

Diese Interpretation der Vierergeschwindigkeit zeigt sehr schön, dass jedes Objekt sich immer durch díe Raumzeit bewegt. Ich hoffte damit Äitschiwells Frage nach der Bewegung beantworten zu können.

In diesem Forum liebe ich es die Dinge ab und zu etwas spektakulär zu formulieren., um damit manche Leute wieder wachzukitzeln. ( wie in diesem Fall Bernhard)
Nach wie vor halte ich meine Interpretation der Vierergeschwindigkeit für vertretbar, bin aber sehr froh, dass wir Timeout dabeihaben, der nicht alles durchgehen läßt.

Mir ist ebenfalls nicht ganz wohl dabei, von einer 'Bewegung durch die Raumzeit' zu sprechen - weil 'Bewegung' im herkömmlichen Sinne die unabhängigen Parmeter Raum und Zeit voraussetzt.

@Timeout:
Der Ausdruck U/Uo taucht in Deinem Beitrag völlig unvermittelt auf.
Der müßte noch erklärt werden.

Im Bezugssystem der Photonen gibt es keine Zeit mehr. Insofern ist mein Ausdruck sie wären überall gleichzeitig etwas unglücklich und legt Missverständnisse nahe. Besser könnte man sagen, Photonen sind zeitlos, ihr Universum ist 3 dimensional.

Warum nicht gleich so? :-)

Warum habe ich 236-6 geschrieben. Ich hatte in einer Mini Erleuchtung die vage Hoffnung Raumkrümmung erklären zu können.
Ich behaupte jetzt nicht das folgende sei richtig, sondern im Gegenteil, es ist wahrscheinlich nicht ganz korrekt. Ich schreibs also mit der Bitte, mich zu korregieren.

Wenn die Raumzeit nicht gekrümmt ist, bewegt sich jedes kräftefrei bewegte Objekt auf einer Geraden im 4dim Minkowskiraum, seiner Weltlinie.
Die Vierergeschwindigkeit u zeigt immer in die gleiche Richtung (die der Weltlinie ) und hat immer den gleichen Betrag, nämlichen den der Lichtgeschwindigkeit c.
DieProjektion der Vierergeschwindigkeit in den 3dimensionalen Raum ergiebt die uns vertraute Dreiergeschwindigkeit v = Weg/ Zeit, v = dx/dt. In der ungekrümmten Raumzeit gilt v = konstant.

Jetzt will ich beginnen diese gerade Weltlinie sozusagen von hand zu krümmen.
Wenn ich auf einen beliebigen Vierervektor eine Lorentztransformation anwende, wird dieser Vektor in der Raumzeit gedreht. Seine Länge bleibt konstant. Das gilt natürlich auch für die Vierergeschwindigkeit u. Was sich ändert ist die Projektion auf den 3 dim. Raum, sprich v. v wird größer oder kleiner, wobei c nie zu erreichende Grenzgeschwindigkeit ist. Das ist intuitiv klar, da u nun mal die Länge c hat und durch eine Lorentztransformation sich diese Länge nicht ändert.
Fangen wir an die Weltlinie zu krümmen.
Wie bewegt sich unser Objekt? Nehmen wir an, es würde sich in infinitesimal kleinen Sprüngen, immer um den Betrag von u in Richtung von u bewegen.
Um die resultierende Weltlinie zu krümmen, müssen wir also nach einem solchen Sprung u drehen, so dass es nun in eine neue Richtung zeigt und nach jedem ininitesimalen Sprung wieder und wieder.
Gedreht wird u aber durch eine Lorentztransformation. Diese Lorentztransformation muss natürlich auch infinitesimal klein sein.
Um die Raumzeit zu krümmen, ordnen wir also jedem ihrer Punkte eine infinitesimale Lorentztransformation zu. Dann ändert u in jedem Punkt seine Richtung ( natürlich nur um einen ebenfalls infinitesimalen Winkel ). Der Betrag von u bleibt immer konstant gleich c, nur seine Projektion in den 3 dim. Raum, die Dreiergeschwindigkeit v ändert sich natürlich von Sprung zu Sprung, oder besser gesagt von Punkt zu Punkt. Eine vormals gerade Weltlinie wird zu einer Kurve.
Die Raumzeit ist somit gekrümmt.
Jetzt müssten wir die Raumzeit so krümmen, dass diese Krümmung genau die beobachteten Gravitationseffekte erzeugt.
D.h. die jedem Punkt der Raumzeit zugeordneten infinitesimalen Lorentztransformationen müssen eine Funktion der das Gravitationsfeld verursachenden Masse/Energie und deren Koordinaten werden.
So, das soll mal reichen für den Anfang. Wahrscheinlich hab ich mich schon heillos vergallopiert.

Hab den ersten Fehler schon selbst entdeckt:Wie bewegt sich unser Objekt? Nehmen wir an, es würde sich in infinitesimal kleinen Sprüngen, immer um den Betrag von u in Richtung von u bewegen.
Es muss sich natürlich um ds = u dt bewegen.

Die Raumzeit der Relativitätstheorie ist in gewissem Sinne statisch. Und zwar in dem Sinne, in dem auch ein Film statisch ist: Wenn wir einen Film in der Hand halten, dann bewegt sich nichts. Der Zeitablauf der Handlung ist nur durch die Aufeinanderfolge der Bilder gegeben, aber die Bilder bewegen sich nicht.

Erst dadurch, daß wir den Film in einen Projektor einlegen, erhalten wir die Illusion eines bewegten Bildes. Auf dem Film selbst bewegt sich nichts. Insofern ist es auch nicht sinnvoll, von der Geschwindigkeit zu sprechen, mit welchem sich etwas durch den Film bewegt. Sinnvoll ist nur, die Geschwindigkeit zu definieren, mit der sich etwas in der Serie der Bilder ändert. Also z.B. "pro Bild bewegt sich dieses Objekt zwei Millimeter nach rechts". Eine von dieser dreidimensionalen Film-Metrik (zwei Bildkoordinaten und eine Bildabfolge = 3. Dimension – auch wenn sie im Filmmaterial in derselben Dimension wie die Bildhöhe gespeichert werden kann, weil die Bilder in der Größe beschränkt und die Zeit in Einzelschritte eingeteilt ist, ist das doch nur ein Codierungsschema für eine dreidimensionale "Flächenzeit") unabhängige Zeit gibt es im Film nicht. Erst der Projektor bildet die "Film-Zeit" in eine unabhängige Zeit ab – und das kann er im Prinzip auf beliebige Weise. Nur sind Filme i.a. so gedreht, daß uns der Film nur in einer ganz bestimmten Geschwindigkeit gefällt :-)

Ebenso ist es in der Raumzeit: Es gibt nicht so etwas wie eine "Bewegung in der Raumzeit". Es gibt Bewegung durch den Raum in der Zeit, die man durch Aufteilung der Raumzeit in "Zeitscheiben" erhält. Aber es gibt eben keine unabhängige Zeit in der Raumzeit, anhand der man eine Bewegung durch die Raumzeit (und insbesondere einer Geschwindigkeit derselben) definieren könnte. der Projektor (= unsere Wahrnehmung) macht daraus einen zeitlichen Ablauf.

Greene hat vermutlich ganz bewußt Anführungszeichen um "Geschwindigkeit durch die Raumzeit" bzw. Formulierungen wie "so etwas wie" verwendet. Andererseits kann es natürlich auch sein, daß er tatsächlich eher Deiner Ansicht ist – schließlich geht es hier um Interpretation, die letztlich keinerlei physikalische Auswirkung hat (die Gleichungen scheren sich nicht darum, ob wir eine bestimmte Größe nun als Geschwindigkeit interpretieren).

Ich habe auch ganz bewußt geschrieben: Ich bin der festen Überzeugung daß ... nicht korrekt ist und nicht ... ist nicht korrekt. Weil es hier um eine Frage der Interpretation geht, und die Interpretation mit der "Raumzeit-Geschwindigkeit" scheint mir aus den angegebenen Gründen falsch, weil es m.E. nichts gibt, was diese Interpretation rechtfertigt, bzw. die einzige mir ersichtliche Rechtfertigung – die Tatsache, daß die Vierergeschwindigkeit die Einheit einer Geschwindigkeit und den Betrag c hat – eine Folge der letztendlich willkürlichen – und strenggenommen inkonsistenten – Wahl von τ statt cτ als Kurven-Parameter ist (inkonsistent deshalb, weil die Koordinatenzeit mit ct in Raumeinheiten gemessen wird, die Eigenzeit hingegen ohne c in Zeiteinheiten). Außerdem bricht die Argumentation bei Licht zusammen (lichtartige Vektoren haben stets die Länge 0).

@modran:
Stimmt, da ist eine (kleine) Lücke: Gemeint ist mit u an dieser Stelle der Tangentialvektor, also die Ableitung des Raumzeitpunktes nach dem Kurvenparameter. Wenn als Kurvenparameter die Zeit t eines Bezugssystems gewählt wird, dann erhält man den kurz davor angegebenen Vierervektor (c, v_x, v_y, v_z), nimmt man als Kurvenparameter die Eigenzeit τ, dann ist u gerade der übliche Vierergeschwindigkeitsvektor (in der Tat war die Buchstabenwahl hier vermutlich nicht ideal, weil mit u in der Regel eben dieser Vierergeschwindigkeitsvektor bezeichnet wird, während ich an dieser Stelle einen allgemeinen Tangentialvektor gemeint habe, der die Vierergeschwindigkeit sein kann, aber nicht muß).

Für der vorher angegebenen Tangentialvektor ist die angegebene Gleichung trivial zu sehen: u_i ist ja dort gerade v_i, und u₀ ist gerade c. Daß sie für jeden anderen Tangentialvektor ebenfalls gilt, folgt aus der Tatsache, daß alle diese Tangentialvektoren sich nur um einen Faktor unterscheiden, und der kürzt sich, wie im Text erwähnt, bei der Division heraus.

Ich bin mir, aufgrund anderer Stellen in seinem Buch, ziemlich sicher dass Greene meiner Meinung ist, respektive ich seiner. Habe diese Interpretation auch in anderen Veröffentlichungen gelesen.
Aber wie gesagt, es ist Ansichtssache, an der Physik ändert sich nichts, ob man jetzt diese Ansicht teilt oder auch nicht. Meiner Meinung nach macht es den von mir angepeilten Effekt durchsichtiger.

Die Statik der Einsteinschen Raumzeit ist natürlich auch ihr Schwachpunkt, wenn man bedenkt, dass sie auch den Menschen beinhaltet und eventuell sowas wie freien Willen. Aber das ist ein anderes Thema.

Ich weiß nicht ob es einer schon genannt hat, aber wenn man sich die physikalischen Kräfte mal genauer Anschaut, dann wird einem Auffallen, das alle Kräfte durch Energiedifferenzen entstehen, sprich Potenziale.

Zwei elektrische Ladungen ziehen sich an, weil sie bestrebt sind, sich ausgleichen. Das ist ein allgemeingültiges Naturprinzip, das alles versucht in einen Zustand niedrigerer Energie zu gelangen.
Für die Gravitation gilt das gleiche, wenn eine Gegenstand zum Beispiel im Gravitationsfeld angehoben wird, dann wird diese Energie im Gravitationsfeld gespeichert. Lasse ich ihn los, dann ist er bestrebt dieses Potenzial wieder auszugleichen.
Durch diesen Potenzialausgleich, kommt es zu einer Bewegung. Nicht anders kommt auch der Strom aus der Steckdose in Bewegung, die aufgebaute Spannung ist bestrebt sich auszugleichen, gegen Null.