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Parallelität in der Unendlichkeit ?

Thema erstellt von Maikli 
Beiträge: 38, Mitglied seit 14 Jahren
Hallo, ich bin neu hier und nach erstem Herumschnuppern total begeistert. Nun habe ich ein Problem mit meiner Vorstellungskraft. 2 Parallele im dreidimensionalen Raum sind ja zunächst parallel (was sonst), aber im Unendlichen sollen die sich dann schneiden (so sagt es zumindest mein Prof.). Wie soll das denn gehen?
Ich würde mich auch bereit erklären, die beiden Parallelen Meter für Meter zu begleiten, und sobald eine der Beiden anfängt zu flunkern, gibts eins auf die Mütze, um so oder auch anders ihre Parallelität beizubehalten. Für dieses Experiment wäre ich sogar bereit, unendlich alt zu werden und gleichzeitig mit angenäherter Lichtgeschwindigkeit die Begleitung zu meistern. Ab welchem Zeitpunkt oder geometrischen Punkt beginnt die Abweichung ? Wie gesagt, ich bin und bleibe wachsam ! Meine Vorstellungskraft läßt nur zu, wenn die z-Achse die Parallelenrichtung ist, dass die x- und y-Koordinaten konstant bleiben. Auch eine evtl. Ablenkung durch Schwerkräfte und Sonstiges lasse ich nicht zu. Meine Parallen bekommen keine Krümmung, sie bleiben gerade, und sollen sich denoch im Unendlichen schneiden. Ich fasse es einfach nicht. Wer kann helfen ?
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Beiträge: 3.476, Mitglied seit 18 Jahren
Hallo Maikli,

also wenn ich das richtig verstanden habe, kannst du solange die Geraden entlang laufen, wie du willst, denn die Geraden treffen sich an einem Punkt, der immer in der Ferne liegt.

Siehe:

http://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie
Signatur:
Diese Welt gibt es nur, weil es Regeln gibt.
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Beiträge: 1.503, Mitglied seit 17 Jahren
HAllo,
das Thema ist mir bekannt durch Lobatchevskíj Geometrie. Ich habe hier eine interessante Saite gefunden:
http://www.sgipt.org/biogr/matnat/lobat/Lobat.htm

DA etwa unter der Hälfte (sehen Roller seitlich) ist Ausschnitt Zum Verständnis des Parallelenaxioms und der nichteuklidischen Geometrie aus Meschovski, Herbert "Einführung in der moderne MAthematik"

GAnz kurz: die Parallenaxiom ist eben ein unbewiesene Axiom. ES geht nur aus unserer beschränkten Erfahrung hervor. In einem Unendlichem RAum können die PArallelenimmer sich noch immer treffen.

Maikli, wenn du deiner Vorstellungskraft etwas mehr zulässt, als in einem Käfig der eigenen Erfahrungen zu sitzen, wenn du es deine gedankliche Erfahrungen in Spiel lässt, dann wirst keine große Schwierigkeiten mit der Vorstellung haben. Hier etwas zum Nachdenken: du sprichst über die Geraden, aber wo sind die Geraden in der Realität? Es ist immer nur eine Annäherung. Trotz dem, scheint es dir keine Mühe machen, eine Gerade vorzustellen - obwohl es nur ein Gedankengut ist.

Gruß,
Irena

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Beiträge: 164, Mitglied seit 15 Jahren
Parallelen sind nun mal definitionsgemäß parallel. Sogar unendlich parallel.

Bestenfalls können parallele Linien so eng beieinander verlaufen, dass sie ab einem gewissen Abstand - zumindest rein optisch - als eine Linie wahrgenommen werden. Doch was passiert ab dem Vereinigungs- oder gar Kreuzungspunkt ? Bleiben sie "zusammen" oder driften sie wieder auseinander ? Rein optisch wahrgenommen bleiben sie beieinander. Einen echten Kreuzungspunkt kann ich mir also nicht denken.

Von einem theoretischen Aufeinandertreffen in undenkbarer Unendlichkeit haben wir nichts und die Parallelen natürlich auch nichts.
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... meint der kleine
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Beiträge: 38, Mitglied seit 14 Jahren
Hallo, ich habe schon mal in Euren Links gestöbert. Hier muß ich mir sicher Zeit lassen, das zu begreifen.
Ich möchte gern Irenas Gedanken aufgreifen. Sicher, es ist ein abstraktes Thema. In der Realität fällt mir gerade kein einziges Beispiel ein, wo eine "richtige" Gerade vorkommt. Hat von Euch jemand ein Bsp. parat? Aber mir fällt es da noch leicht, eine Gerade und eine 2. daneben, parallel versteht sich, vorzustellen, sehr abstrakt also. Ich bleibe abstrakt und begleite sie ins Unendliche und stelle fest, dass sie parallel bleiben. Es gibt also in meiner Vorstellung keinen Schnittpunkt im Unendlichen. Drifte ich aber jetzt wieder ins Reale ab, gibt es sehr wohl einen oder gar mehrere Schnittpunkte. Ich meine, wenn ich gar kein Abstrahieren zulasse, scheitert es schon an der Geraden, wie Irena richtig schreibt. Abstrakt betrachtet (nach maikli) gibt es keine Schnittpunkte im Unendlichen. Vermische ich allerdings Abstrahieren und Realität, so schneiden sich 2 Geraden im Unendlichen. Ich hoffe, meine momentane Feststellung ist nicht zu provokativ. Dass ich mich mit der Theorie der genannten Axiome intensiver auseinander setzte, scheint nun gesichert unausweichlich, leider gerade eine Zeitfrage. Ich danke Euch erst einmal. Freuen würde ich mich, wenn mir jemand noch ein plausibles Beispiel anbieten könnte.
Bisher gehe ich davon aus, dass der Schnittpunkt zweier Parallelen im Unendlichen knochentrockene Theorie ist.
Liebe Grüße von Maikli
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Beiträge: 2.939, Mitglied seit 17 Jahren
Hallo Maikli, ich grüße Dich.
Als Pragmatiker hätte ich zwei Vorschläge für Dich wie man an eine "lange Gerade" kommt.

Wir wissen...."Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g."

Nummer eins: (die kurze Gerade)
Der Burdsch Chalifa, auch Turm von Dubai genannt, ist ein Wolkenkratzer in Dubai (Vereinigte Arabische Emirate).
Bei einer Höhe von 828 Metern ist die Spitze aus hundert Kilometern Entfernung bei klarer Sicht zu erkennen.
Man schlägt einen Nagel irgentwo hinein und hat nun eine Gerade vom Kopf des Nagels
bis zur Antennenspitze des Gebäudes mit einhundert Kilometern Länge.

Nummer zwei: (die längere Version)
Der Pluto ist zwar 2006 als Planet degradiert worden aber für unsere Zwecke reicht er völlig aus.
Der sonnenfernste Punkt des Pluto liegt 49,305 AE (astronomische Einheiten) oder 7.375.923.014,419 Km von der Sonne weg.
Der sonnenfernste Punkt der Erde ist 1,017 AE von der Sonnenmitte entfernt oder 152.141.034,492 Km.
Nehmen wir an, beide Planeten erreichen ihren sonnenfernsten Punkt und stehen sich dabei gegenüber, mit der Sonne in der Mitte.
Dann würde die Gerade zu einem Zeitpunkt x zwischen beiden Planeten eine Länge von 7.528.064.048,912 Km erreichen.
Länger geht es nicht mehr.... ;-)

Zu.... "Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g."
wissen wir ferner....
Zwei Geraden können zueinander echt parallel sein:
Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam und lassen sich durch eine Verschiebung ineinander überführen.

Wenn dem so ist, warum sollten unsere Geraden,
wenn wir sie unendlich verlängern und eine Parallele hinzufügen,
(Abstand z.B. 5mm oder auch 100 Meter, das ist völlig uninteressant)
sich jemals irgentwo oder irgentwann berühren?

Mit den besten Grüßen
Ernst Ellert II.
Signatur:
Deine Zeit war niemals und wird niemals sein.
Deine Zeit ist jetzt und hier, vergeude sie nicht.
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Beiträge: 1.728, Mitglied seit 16 Jahren
Hallo Maikli,

es gibt mehrere geometrische Modelle und zugehörige Axiomensysteme,
in denen Geraden parallel sind und sich schneiden.

1.) Im Anschauungsraum, den Ernst beschreibt, im 3-dim. euklidischen Raum gibt es keinen Schnitt paralleler Geraden: Auch wenn der Raum unendlich groß ist, gibt es nicht das Unendliche.

2.) In Stueps' projektivem Raum werden Fernpunkte an die Geraden d'rangeklebt und definiert, daß die Fernpunkte die Schnittpunkte paralleler Geraden sind: Pro Richtung gibt es einen Fernpunkt. In einer perspektivischen Projektion zweier paralleler Geraden ist der Fernpunkt der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Beispiel: Photographie von geraden Eisenbahngleisen.
Axiomatisch haben in der projektiven Geomtrie zwei Geraden immer genau einen gemeinsamen Punkt.

3.) Für Irena's Lobatchevskíj-Geometrie, die auch elliptische Geometrie heißt, ist die Kugel ein Modell: Die Gerade sind sie Großkreise, z.B. Meridiane. Zwei Meridiane sind am Äquator parallel und schneiden sich in den Polen.
@Irena Sehr schöner Artikel!

lg
Thomas

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Beitrag zuletzt bearbeitet von Thomas der Große am 28.01.2010 um 22:31 Uhr.
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Beiträge: 164, Mitglied seit 15 Jahren
Beispiel für eine lange Gerade in der Praxis: Eisenbahngleise

hier ist die notwendige Unendlichkeit der Parallelität unübersehbar: es macht keinen praktischen Sinn, die beiden Schienen eines Gleises zu kreuzen. (nicht einmal im Sackbahnhof)

Übrigens verlaufen auch in einem geschlossenen Eisenbahnkreis die Schienen unendlich parallel, wenn auch nicht gerade. Immerhin findet sich zu jedem Punkt auf der inneren Schiene ein Punkt auf der äußeren Schiene und umgekehrt.

Anderes praktische Beispiel: Parallele Lichtstrahlen, theoretisch unendlich, praktisch haben sie jedoch sowohl einen Ursprung und ein Ende, und sei es erst nach Lichtjahren.

Man kann sie optisch beugen, so dass sie sich in der Endlichkeit (der Punkt ist durch die optischen Gesetze definierbar) treffen und danach auseinanderdriften (weitere optische Einflüsse hier ausgeschlossen)

Signatur:
... meint der kleine
Beitrag zuletzt bearbeitet von Zampano am 28.01.2010 um 18:55 Uhr.
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Beiträge: 1.728, Mitglied seit 16 Jahren
Zampano schrieb in Beitrag Nr. 1563-8:
Beispiel für eine lange Gerade in der Praxis: Eisenbahngleise
hier ist die notwendige Unendlichkeit der Parallelität unübersehbar: es macht keinen praktischen Sinn, die beiden Schienen eines Gleises zu kreuzen. (nicht einmal im Sackbahnhof)

Sei gegrüßt Zampano,

die perspektivische Projektion, speziell die Zentralprojektion hat folgende Eigenschaften:
http://de.wikipedia.org/wiki/Zentralprojektion
1.) Sie ist Geraden-treu, d.h. das Bild einer Geraden ist wieder gerade.
2.) Das 2-dim Bild von Parallelen im 3-dim. Raum sind entweder
Parallelen
oder
nicht-parallele offene Strecken, deren Fortsetzung zu Geraden sich im sog. Fluchtpunkt schneiden.
Der letztere Fall ist der allgemeine.

Die Ergänzung des Fluchtpunktes im Bild der Parallelen entspricht genau der projektiven Fortsetzung der Parallelen des 3-dim. Anschauungsraumes zum projektiven Raum.
Der Fluchtpunkt repräsentiert die gemeinsame Richtung von parallelen Geraden.

Den wesentlichen Link hat Stueps schon in Beitrag-Nr. 1563-2 gegeben.

lg
Thomas
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