Zwillingsparadoxon

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-721:

Hier noch eine Idee, die ich dich einmal zu prüfen bitte:

Hallo Claus,
ich erinnere mich an die Ausführungen in Wikipedia "Beschleunigung und Gravitation: die rotierende Scheibe", kann aber leider im Moment nicht gut nachlesen.
Ich melde mich in sechs Wochen im Forum zzurück, wenn ich dann mit einer speziellen Brille hoffentlich ausreichend wieder lesen kann.
Otto

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-717:

Henry-Dochwieder schrieb in Beitrag Nr. 13-716:

Und dass die Uhren auf der Erdoberfläche langsamer gehen ist unbestritten.

Hier, Abschnitt 2.1 "Beschleunigung und Gravitation: die rotierende Scheibe" wird behauptet (Zitat):

"Nach dem Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie kann man lokal nicht zwischen einem ruhenden System in einem Gravitationsfeld und einem beschleunigten System unterscheiden. "

Wenn dieser Satz zutrifft, heißt das entweder:

a) gleiche Beschleunigung der beiden Uhren ist äquivalent mit Aufenthalt der Uhren an Orten mit gleichem Gravitationsfeld - oder
b) unterschiedliche Beschleunigung der Uhren ist äquivalent mit Aufenthalt der beiden Uhren an Orten mit verschiedenem Gravitationsfeld

Wenn die Uhren also, wie eingangs vorausgesetzt, unterschiedlich beschleunigt sind, so muss dies einem Aufenthalt der beiden Uhren an Orten mit verschiedenem Gravitationsfeld entsprechen - und das würde entsprechend der von Henry unbestrittenen Eingangsthese bedeuten, dass die Uhren Gangunterschiede aufweisen müssten. Oder?

Hallo, Claus, Otto!
Die Folgerung a) bzw. b) ist nach meiner Ansicht aber nicht richtig. In einem Gravitationsfeld befindet sich ein Körper vollkommen unabhängig von der Stärke des Feldes im freien Fall, es gibt aber keine unterschiedlichen „freie Fälle“, wenn ich diesen komischen Plural benutzen darf. Erst mit einem Vergleich einer Uhr im frei fallenden System mit einer Uhr in einem anderen System können Unterschiede gemessen werden, und das geschieht dann, wenn die Uhren zusammengebracht werden, wenn also Kräfte den freien Fall beenden.
Nach der ART ist es für einen Beobachter nicht möglich, ohne Information von „außen“ zu entscheiden, ob er sich in einem Gravitationsfeld oder fern von allen Massen befindet. Das „lokal“ in obiger Aussage bedeutet, dass die ART lokal und für kurze Zeit wie die SRT behandelt werden kann, also so, als ob es keine Beschleunigung gäbe. Die ART ist eine Verallgemeinerung der SRT unter Einbeziehung der Gravitation, wobei zu überlegen ist, wie die SRT ihre Gültigkeit behält, die ja ohne Gravitation formuliert wurde und wie die Beschleunigung zu behandeln ist, wenn doch Körper auf Massen hin zu beschleunigen SCHEINEN.

Die Lösung: Gravitation wird in der ART nicht als Kraft betrachtet, sondern geometrisch als Krümmung der Raumzeit. Eine Beschleunigung wird durch eine von außen wirkende Kraft hervorgerufen, äquivalent dazu ist es nicht die Gravitation, die beschleunigend wirkt, sondern es ist z. B. die Kraft der Elektronen in Atomen auf der Erdoberfläche, die eine abstoßende Wirkung auf die Elektronen in den Atomen eines Körpers ausübt.

Laut SRT sind es nicht beschleunigte Systeme, in denen eine Zeitdilatation gemessen wird, sondern es sind BEWEGTE Systeme. Der Grund liegt in der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit; kein System kann die Lichtgeschwindigkeit erreichen, es ist die Zeit, die verlangsamt wird, wenn ein System sich der Lichtgeschwindigkeit nähert, denn wenn gilt Weg/Zeit und der Weg sich nicht ändert, muss es die Zeit sein, die sich ändert (Weg/Zeit=konstant). Jede Bewegung eines Systems ist ein mehr oder weniger großer Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit. In dem allem zusammengenommen liegt der Grund für die Zeitdilatation.

Auch für Geschwindigkeit gilt doch, dass ausgehend von einer Durchschnittsgeschwindigkeit ein Grenzwert berechnet wird, Punkt A nähert sich Punkt B, wobei das Zeitintervall gegen null strebt (Momentangeschwindigkeit). Es ist also nichts Ungewöhnliches, eine Strecke – wie z. B. auf unserem Karussell - „lokal“ zu betrachten.

Die Aussage lautet: BEWEGTE Uhren gehen langsamer (als ruhende). Es heißt nirgendwo „beschleunigte“ Uhren gehen langsamer. Der Grund für die Zeitdilatation ist eben nicht die Änderung der Geschwindigkeit, sondern es ist die Geschwindigkeit selbst. Was geschieht denn in einer Beschleunigungsphase bzgl. der Zeitdilatation? Die Zeit wird immer mehr verlangsamt, weil sich die Geschwindigkeit ständig erhöht. Wäre tatsächlich die Beschleunigung der Grund für die Zeitdilatation, gäbe es wenigstens zwei Wirkungen, die für eine Zeitdilatation der Grund sind, denn dann müsste man erklären, warum es eine Zeitdilatation gibt, obwohl das beobachtete System nicht beschleunigt. Und weiter: Es gilt für Satelliten und für Uhren auf dem Karussell, dass es einen konstanten Faktor gibt (γ-Faktor), der bestimmt, um wie viel die entsprechende Uhr der Zeitdilatation unterliegt, wie gesagt, ein konstanter Faktor und kein sich ändernder, wie es für eine beschleunigte Bewegung zu erwarten wäre.

Soweit von mir, also meine Überlegungen, nachdem ich meine Ansicht aus Einsicht geändert habe. Ich denke, so viel Konsequenz sollte dann schon sein. Ich kann auch nicht nachvollziehen, weshalb nun eine Ansicht richtig sein soll, für die ich Spott und Hohn geerntet hatte. WENN die Beschleunigung nicht für die Zeitdilatation zuständig ist, dann muss halt überlegt werden, wie man sie aus den Überlegungen heraushält. Und nach meiner neu gewonnenen Ansicht wird in der ART genau so argumentiert.

Hallo Henry,

Henry-Dochwieder schrieb in Beitrag Nr. 13-723:

Ich kann auch nicht nachvollziehen, weshalb nun eine Ansicht richtig sein soll, für die ich Spott und Hohn geerntet hatte.

Das ist mir natürlich auch aufgefallen, dass ich bei Volker1967s Frage genau andersherum argumentiert hatte. Aber da ging es ja m.E. genau darum, Volker1967 (nur) die geschwindigkeitsbedingte Zeitdilatation zu erklären, eben weil er genau danach gefragt hatte. Da hätte der (dort von dir eingebrachte) zusätzliche gravitative Effekt m.E. nur verwirrt.

Tatsache ist aber, dass es die gravitativ bedingte Zeitdilatation eben auch (also zusätzlich) gibt. Du hattest bei Volker1967 ja auf die beiden (in diesem Fall gegenläufigen) Effekte in den Flugzeugexperimenten mit den Atomuhren hingewiesen.

Und da geht es m.E. nicht um das "frei Fallen" in einem Gravitationsfeld. Die gravitative Zeitdilatation kommt vielmehr bei stationärem Aufenthalt im Gravitationsfeld zum Tragen. Also z.B., wenn man die eine Uhr auf dem Erdboden und die andere auf einem Berg "aufhängt". Die Uhr, die sich weiter unten (dort wo das Gravitationsfeld stärker ist) befindet, geht dann langsamer. (Auch die Atomuhr im Flugzeug beim Hafele-Keating Experiment fällt nicht frei, weil das Flugzeug nicht im Parabelflug sondern "normal" in eine bestimmte Richtung fliegt und im Flugzeug keine Schwerelosigkeit herrscht.)

Bislang geht man in Erläuterungen zum gravitativen Effekt immer davon aus, dass ein Gravitationsfeld einer Beschleunigung äquivalent ist. Wenn also die Uhr auf dem Boden langsamer geht als in der Höhe, so deswegen, weil sie dort stärker beschleunigt ist, als weiter oben.

Zitat von Henry:

WENN die Beschleunigung nicht für die Zeitdilatation zuständig ist, dann muss halt überlegt werden, wie man sie aus den Überlegungen heraushält.

Genau darüber denke ich im Moment nach (vgl. Beitrag Nr. 13-721). In diesem Zusammenhang auch danke für den Link in Beitrag Nr. 13-712 zu SciLogs. Dort findet sich der Hinweis, dass der gravitative Effekt proportional zum Gravitationsppotenzial - nicht etwa zur Gravitationsfeldstärke - ist und dass das Potenzial die Dimension Meter²/Sekunden² aufweist.

Bin mir aber gar nicht sicher, ob es nicht ein Holzweg ist, denn nach meiner Kenntnis geht es in der ART nach derzeitigem Verständnis gerade um Beschleunigung.
Jedenfalls danke ich dir für die Anregung und für den Hinweis auf Kurt Fischer. Ihr scheint zumindest im Hinblick auf Kreisbewegungen recht zu haben, dass dort ausschließlich die Geschwindigkeit für die Zeitdilatation ausschlaggebend ist.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-724:

Hallo Henry,



Das ist mir natürlich auch aufgefallen, dass ich bei Volker1967s Frage genau andersherum argumentiert hatte. Aber da ging es ja m.E. genau darum, Volker1967 (nur) die geschwindigkeitsbedingte Zeitdilatation zu erklären, eben weil er genau danach gefragt hatte. Da hätte der (dort von dir eingebrachte) zusätzliche gravitative Effekt m.E. nur verwirrt.Tatsache ist aber, dass es die gravitativ bedingte Zeitdilatation eben auch (also zusätzlich) gibt. Du hattest bei Volker1967 ja auf die beiden (in diesem Fall gegenläufigen) Effekte in den Flugzeugexperimenten mit den Atomuhren hingewiesen.




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Hallo, Claus!
Ich will ganz sicher keine geschlagenen Schlachten aufleben lassen. Ich sehe so manches jetzt in anderem Licht und hoffe, nun nicht ganz gegen Grundsätzliches zu verstoßen.

Du schriebst damals in Bezug auf Inertialsysteme, dass es nicht auf die Beschleunigung ankommt, sondern nur auf die Relativgeschwindigkeit. Ich schrieb, für Inertialsystem gilt aber, dass die Uhr im jeweils anderen System langsamer geht. Du hattest nicht ganz Recht und ich nicht ganz Unrecht, denn deine Aussage gilt nur dann nicht wechselseitig, wenn eines der Systeme einen Wechsel des Inertialsystems vornimmt (wenn es also beschleunigt). Ich hatte fälschlicher Weise angenommen, dass es IMMER wechselseitig gelte. Tatsächlich gilt nur dann die Beobachtung im jeweils anderen System als gleich, wenn kein Wechsel des Inertialsystems erfolgte – aber WENN kein Wechsel erfolgte, habe ich Recht, denn dann ist die Geschwindigkeit eines Systems in Bezug auf das jeweils andere System gleich. So – ohne Beschleunigung – ist die SRT formuliert.
Weiter ist eben der springende Punkt: Es gibt natürlich eine Zeitdilatation im Bereich eines Gravitationsfeldes, Laut Einsteins Äquivalenzprinzip ist aber der Bewegung im Gravitationsfeld KEINE Beschleunigung, sondern sie ist dem freien Fall äquivalent. Selbstverständlich ist es eine idealisierte Vorstellung, aber damit wird wohl regelmäßig in der Physik gearbeitet: In einem homogenen Gravitationsfeld kann ein Beobachter, der sich in einem geschlossenen System ohne Information aus der Außenwelt befindet, NICHT feststellen, ob er sich eben in einem solchen Feld befindet, oder ob er sich im Raum weit ab von allen Massen befindet (auch wenn ich mich wiederhole). Das gilt für kurze Zeit und lokal.

Siehe dazu vielleicht: http://www.einstein-online.info/vertiefung/Aequival... und
http://www.einstein-online.info/vertiefung/Fahrstuh...


Und die Zeitdilatation der „aufgehängten Uhr“ auf dem Erdboden ist in Betrachtung nach der ART eben KEINE Folge der Gravitation, sondern es ist die Folge der (elektromagnetischen Kraft) Das ist aber eine Kraft (eine Information), die von außen wirkt. Selbst wenn aber die Gravitation als Kraft betrachtet würde bleibt ja das Postulat, dass nicht die Beschleunigung die Zeitdilatation bewirkt, sondern die Geschwindigkeit.

Mir ist ja klar geworden, dass ich falsch argumentiert hatte, und nach meinem neu gewonnenen Verständnis ist nicht die Änderung der Geschwindigkeit der Grund für eine Zeitdilatation, sondern es ist die Geschwindigkeit selbst, die aber durch die Beschleunigung eine stete Änderung erfährt. Diese Änderung bewirkt als stets neue Geschwindigkeit eine sich stets verändernde Zeitdilatation, denn mit dem Anstieg (oder auch mit dem Abbremsen) muss für jeden Raumzeitpunkt die Zeitdilatation neu berechnet werden; in der Formel für die Zeitdilatation steckt der γ-Faktor (Lorenz-Faktor), der den Wert der Zeitdilatation für jeweils eine bestimmte Geschwindigkeit angibt.

ϒ=1/√1-(v/c)² für gleichförmige Bewegung,

ϒ=√1+(p/mc)² für gleichförmig beschleunigte Bewegung (p ist Impuls, m ist Masse), falls es jemanden interessiert.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-724:

Hallo Henry,



Tatsache ist aber, dass es die gravitativ bedingte Zeitdilatation eben auch (also zusätzlich) gibt. Du hattest bei Volker1967 ja auf die beiden (in diesem Fall gegenläufigen) Effekte in den Flugzeugexperimenten mit den Atomuhren hingewiesen.

Und da geht es m.E. nicht um das "frei Fallen" in einem Gravitationsfeld. Die gravitative Zeitdilatation kommt vielmehr bei stationärem Aufenthalt im Gravitationsfeld zum Tragen. Also z.B., wenn man die eine Uhr auf dem Erdboden und die andere auf einem Berg "aufhängt". Die Uhr, die sich weiter unten (dort wo das Gravitationsfeld stärker ist) befindet, geht dann langsamer. (Auch die Atomuhr im Flugzeug beim Hafele-Keating Experiment fällt nicht frei, weil das Flugzeug nicht im Parabelflug sondern "normal" in eine bestimmte Richtung fliegt und im Flugzeug keine Schwerelosigkeit herrscht.)

So, Claus, ich noch mal bzgl. der Atomuhren in Flugzeugen. Hätte ich sicher erläutern sollen, sorry, ich dachte, der Beitrag wäre ausreichend. Auch geht es nicht um den Parabelflug selbst, die bekannten Tests fanden in Maschinen statt, die gleichförmig bewegt waren, da hast du natürlich Recht (wenn auch – genau genommen – beschleunigt, ein Flugzeug fliegt schließlich mit Antrieb).

Es geht dabei um Flugmanöver (Wendemanöver, Parabelflug ist wirklich der falsch Ausdruck) während der Testflüge, die eine Richtungsänderung erforderten, und in diesen Fällen gab es kurze Zeiten, in denen die Flugzeuge so beschleunigten (wie z. B. ein Auto in einer Kurve), dass es einen Einfluss auf die Atomuhren hätte geben müssen, wenn die Zeitdilatation durch eine Beschleunigung hervorgerufen würde. Es hätte einen zusätzlichen Effekt auf den Gang der Uhren geben müssen. Ein solcher Effekt wurde aber nie nachgewiesen, was zeigt, dass die Beschleunigung nicht auf die Zeitdilatation wirkt.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-721:

Otto schrieb in Beitrag Nr. 13-720:
Das Ganze ist noch nicht ganz in sich logisch.

Hier noch eine Idee, die ich dich einmal zu prüfen bitte:

Ich hatte hier ja schon früher die spekulative Vermutung geäußert, dass sich die gravitative Beschleunigung möglicherweise auf eine in der Zeit zurückgelegte Kreisbahn zurückführen lässt (vgl. z.B. Beitrag Nr. 1164-32, Beitrag Nr. 1164-54, Beitrag Nr. 2212-102)

Für diese These spricht m.E., dass das aus der Kreisbewegung abgeleitete Gravitationspotenzial φ (siehe "Zeitdilatation" bei Wikipedia Abschnitt 2.1 "Beschleunigung und Gravitation: die rotierende Scheibe") die Dimension m2/s2 - also das Quadrat einer Geschwindigkeit - besitzt.

Vielleicht sind es also nicht die Beschleunigungen, die man als grundlegend äquivalent betrachten sollte (die Beschleunigung ergibt sich im Gravitationsfeld ja durch g = GM/r2). Vielleicht ist vielmehr die Geschwindigkeit der der Gravitation zu Grunde liegenden Kreisbewegung als äquivalent zum Gravitationspotenzial1 zu betrachten.

1Letzteres weist im Gegensatz zur Beschleunigung nur den einfachen Abstand r im Nenner auf: φ = -GM/r

Hallo Claus,
ich habe Deine Frage bzw. Bitte nicht vergessen.
Entschuldige die verspätetet Antwort. Das Ergebnis meiner Überlegungen hat mich nicht so recht befriedigt.
Hier einige Gedanken zum Thema "Was unterscheiden Gravitationskräfte bzw. das Gravitationspotential von Kräften infolge von beschleunigten Massen, zum Beispiel bei einer Kreisbewegung?"

Zentralkräfte:
Beide, sowohl die Gravitationskraft als auch die Zentripetalkraft, werden als Zentralkräfte bezeichnet, denn sie sind auf einen festen Punkt gerichtet.
Die Richtungen dieser beiden Kräfte sind jedoch verschieden; nur für den speziellen Fall einer Kreisbahn fallen beider Richtungen zusammen. Die Zentripetalkraft ist in Richtung des Krümmungsmittelpunktes der Kurve gerichtet, die Gravitationskraft in Richtung des Brennpunktes der Bahn, z.B. von Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln.
Die Zentripetalkraft hat nur eine Komponente senkrecht zur Bahn, während Gravitationskräfte zusätzlich zur Normalkomponente eine tangentiale Kraftkomponente in Bahnrichtung aufweisen. Nach dem zweiten Keplerschen Gesetz ergeben sich dadurch verschiedene Geschwindigkeiten auf der Bahn im Perihel und Aphel. Die Kepplerellipse ist ein Spezialfall des schiefen Wurfes, der sich in seiner Bahn schließt. Die Bewegung von Trabanten und Planeten sind nichts weiter als ein freier Fall auf einer geodätischen Linie. ⁽¹⁾

Werte von Gravitationskraft und Zentripetalkraft:
(a) Zentripetalkraft
Die Zentripetalkraft berechnet sich mit einer Winkelgeschwindigkeit ω und einem Radiusvektor r senkrecht dazu mit
F_zp = mω²r = mv²/r mit ω = 2πf = v/r
die Beschleunigung mit a_zp = F_zp/m zu
a_zp = ω²r = v²/r
und das Potential mit
φ_z = ω²r²/2 = v²/2

Die Zentrifugalkraft im d’Alembertschen Sinn ist immer an die Zentripetalkraft, die Gegenkraft, gekoppelt.
Das Reaktionsprinzip „actio=rectio“ ist hier jedoch nicht anwendbar, da dieses Prinzip als Kräftepaar an verschiedene Körper gebunden ist. Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft greifen jedoch am gleichen Körper an.

(b) Gravitations-Kraft
Die Gravitations-Kraft mit der sich zwei Massepunkte m₁ und m₂ anziehen und die den Abstand r zueinander haben ist
F_G = Gm₁m₂/r² mit G als universelle Gravitationskonstante.
Die Beschleunigungen sind dann
a₁ = Gm₂/r² und a₂ = Gm₁/r²,
sowie das Schwerkraftfeld um einen Massepunkt m zu
φ_G = -Gm/r

Der Gradient des Potentials kann formal als Gravitations-Feldstärke angesehen werden. Die Gravitationskraft auf den Probekörper ergibt sich dann aus dem Produkt seiner Masse mit der Feldstärke. ⁽²⁾

(c) Diskussion der Gleichungen
Der Vergleich der Gleichungen zur Berechnung der Kräfte und Beschleunigungen läßt m.E. keine Gleichsetzung der Potentialgleichungen für Gravitation und Zentripetalkräfte auf den ersten Blick zu.
Der Radius bzw. die Entfernung gehen mit unterschiedlichen Faktoren 1/r bzw. 1/r² ein. Das wäre zwar damit erklärbar, daß die Zentripetalkraft nicht von der Quelle eines anderen Feldes bestimmt wird, sondern einen festen Wert gegenüber dem Rotationsmittelpunkt r hat. Die Gravitationskraft ist demgegenüber über die Entfernung r veränderlich, und zwar nicht durch die Masse (m₁) am Ort r selbst, sondern durch eine andere Masse (m₂) in der Entfernung r.
Man könnte also versuchen, mathematisch die Gravitation von der Rotation einer Masse nur durch den Faktor 1/r zu unterscheiden.
Im Zähler der Gleichungen wird die Zentripetalkraft durch die Geschwindigkeit bestimmt, während die Gravitationskraft durch Massen und die Gravitationskonstante G bestimmt ist. Es wäre sicher einen Versuch wert, einen physikalischen Zusammenhang zwischen Masse, Relativgeschwindigkeit und Gravitation herzustellen.
Die Tatsache allein, daß die Zentripetalkraft vom Quadrat der Geschwindigkeit v² [m²/s²] abhängt, würde ich nicht als hinreichend für eine Analogie zur Gravitation sehen. Der Term v² kommt in vielen Gleichungen vor unds ohne jede Beziehung zur Gravitation (kinetische Energie, Schallgeschwindigkeit von Longitudinal- und Transversalwellen, Umfangsspannung am Umfang rotierender elastischer Scheiben, …).

Daraus ergeben sich für mich folgende Fragen:
- Ist Masse eine Art von „kondensierter“ Relativ-Geschwindigkeit infolge von Rotation?
- Bewegt sich eine um ein geometrisches Zentrum rotierende Punktmasse (unter Zentripetalkraft) auf einer Geodäte?
- Ist die Bewegung zweier Körper um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, dem Baryzentrum, eine spezielle Form des freien Falls der Körper?
- Soviel ich weiß, behandelt die ART nur lineare Relativbewegungen mit Dehnungen bzw. Stauchungen von Entfernungen/Zeit (Rechteck → Trapez, Quadrat → Rechteck).
Was passiert jedoch bei Rotationen?
Kann es zu Winkelverzerrungen in der Raumzeit kommen (Rechteck → Parallelogramm, Quadrat → Raute)?

Ergänzend zu diesem Thema noch einige Notizen zum Baryzentrum, dem Äquivalenzprinzip und der Gravitation als Scheinkraft - in einem separaten Kommentar, um die Übersichtlichkeit möglichst zu erhalten.

Gruß vom Otto

⁽¹⁾ Geodäten sind besondere Kurven in der Differentialgeometrie. Diese Kurven sind identisch mit den Bahnen, auf denen sich Licht und Teilchen ohne Einwirkung von äußeren Kräften bewegen. In der Relativitätstheorie werden verschiedene Geodätentypen relativ zum Lichtkegel in Raum-Zeit-Diagrammen unterschieden: Zeitartige Geodäten (ds²>0), lichtartige Geodäten (ds²=0), raumartige Geodäten (ds²<0).

⁽²⁾ Es sei daran erinnert, daß Gravitationspotentiale eine Art von "umarmenden" Äquipotential-Flächen um zwei Plus-Pole (also gleicher Potentiale) aufweisen, die zur "Verklumpung" von Massen m1 und m2 infolge der entgegengesetzt gerichteten Beschleunigungen (a₁+a₂) führen. Die Äquipotential-Flächen/Linien sind hier um beide Plus-Pole geschlossen. Anziehende Gravitationskräfte werden von gleichen Vorzeichen der Ladungspotentiale verursacht, im Gegensatz zu den Coulombschen Kräften, bei denen entgegengesetzte Ladungen zu anziehenden elektrischen Kräften führen. Im anziehenden Fall verhalten sich die Coulombschen Kräfte ganz entsprechend wie die Kraft zwischen zwei Punktmassen nach dem Gravitationsgesetz.

Otto schrieb in Beitrag Nr. 13-727:

Ergänzend zu diesem Thema noch einige Notizen zum Baryzentrum, dem Äquivalenzprinzip und der Gravitation als Scheinkraft - in einem separaten Kommentar, um die Übersichtlichkeit möglichst zu erhalten.

Baryzentrum:
Das Baryzentrum ist der Massenmittelpunkt zweier oder mehrerer gewichteter Schwerpunkte (Massen, Dichte bei gleichmäßiger Masseverteilung).
Für zwei kugelförmigen Massen m₁ und m₂ liegt das Baryzentrum auf der Verbindungslinie beider Schwerpunkte. Der Abstand r₁ des Baryzentrums von m₁ ist
r₁/r_tot = m₂/(m₁ + m₂)
mit r_tot = Abstand der beiden Massemittelpunkte zwischen m₁ und m₂ (bisher als r bezeichnet).
Für eine Simulation siehe Video https://de.wikipedia.org/wiki/Baryzentrum#/media/Fi...

Äquivalenzprinzip:
Die Stärke des Gravitationsfeldes an einem bestimmten Ort ist gleich der Schwerebeschleunigung eines Massenpunktes an diesem Ort. Dies ist eine Eigenart des Gravitationsfeldes, die von der Äquivalenz von träger und schwerer Masse rührt. ⁽¹⁾
Nach diesem Äquivalenzprinzips der Physik gelten deshalb auch die physikalischen Phänomene des freien Falls ⁽²⁾ genauso wie in der Schwerelosigkeit. Aus dem Einsteinschen starken Äquivalenzprinzip resultiert, daß auch Licht fällt. Es breitet sich im beschleunigt fallenden Bezugssystem geradlinig aus. ⁽³⁾
Dieses Äquivalenzprinzip ist jedoch nur lokal begrenzt gültig.
In Wirklichkeit, bei größeren Entfernungen zwischen zwei Massen, wird die Distanz zwischen den Massen in Richtung der Gravitation gestreckt, quer dazu gestaucht. ⁽⁴⁾

Scheinkraft Gravitation:
Im Gegensatz zur klassischen Physik betrachtet die ART die Gravitation als rein geometrisches Phänomen der Raumzeit. Die Gravitation tritt demnach nicht als Kraft auf, die auf eine Masse einwirkt und eine Beschleunigung verursacht. ⁽⁵⁾ Damit wird die Gravitationskraft zur Scheinkraft.


⁽¹⁾ Die Stärke des Gravitationsfeldes kann gemessen werden, indem die Kraft auf eine Probemasse bestimmt wird.

⁽²⁾ Wer das Beispiel noch nicht kennt: Ein Stuhl, auf dem ich sitze, übt eine Beschleunigung von –g nach oben aus und hindert mich daran, auf einer Geodäten in der Raumzeit in Richtung Erdmittelpunkt zu fallen.

⁽³⁾ Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Freier_Fall

⁽⁴⁾ Siehe Abschnitt „Äquivalenzprinzip in der Allgemeinen Relativitätstheorie“ von https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzprinzi...

⁽⁵⁾ Siehe Abschnitt „Allgemeine Relativitätstheorie“ von https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitation

Hallo Otto,

zunächst vielen Dank für deine physikalischen Definitionen/ Erläuterungen.

vorausgesetzt sei die Richtigkeit von Einsteins Fahrstuhl-Gedankenexperiment:

"Wenn ein Fahrstuhl in einem gravitationsfreien Raum, am Halteseil gezogen, entsprechend beschleunigt wird, so ruft die Beschleunigung in der Kabine Erscheinungen hervor, die von denen, die durch ein Gravitationsfeld hervorgerufen werden, nicht unterscheidbar sind."

Betrachten wir nun die Kreisbewegung anstelle der geradlinigen Beschleunigung in Einsteins Fahrstuhl:

Henry hatte Uhren auf konzentrischen Kreisscheiben mit verschiedenen Durchmessern positioniert. Seine These lautete: "Die Zeitdilatation ist ausschließlich von der Geschwindigkeit der Uhren, nicht von deren Beschleunigung abhängig. Die Uhren laufen also synchron, wenn sie dieselbe Bahngeschwindigkeit aufweisen."

Zwei solche Uhren (gleiche Geschwindigkeit auf konzentrischen Kreisen verschiedener Radien) sind nun aber notwendigerweise unterschiedlich beschleunigt. Dies führt m.E. zu einem Widerspruch zum o.a. Äquivalenzprinzip.


Begründung: Auf konzentrischen Kreisen bewegte, gleichbeschleunigte Uhren müssen verschiedene Bahngeschwindigkeiten haben. Aus Henrys These folgt, dass solche Uhren nicht synchron gehen. Damit aber ließe sich die Bewegung auf einer Kreisbahn vom Aufenthalt in einem Gravitationsfeld unterscheiden, denn in einem Gravitationsfeld müssen Uhren synchron laufen, wenn sie die dieselbe Beschleunigung erfahren, weil sie sich nur dann an einem Ort gleicher Gravitationsfeldstärke befinden.

Hallo Otto,

Einsteins im gravitationsfreien Raum beschleunigter Fahrstuhl ließe sich auch mit einer Drehbewegung realisieren. Dann müsste das Äquivalenzprinzip wie folgt lauten:


"Wenn ein Fahrstuhl in einem gravitationsfreien Raum, am Halteseil gehalten, eine Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit ausführt, so ruft die Beschleunigung in der Kabine Erscheinungen hervor, die von denen, die durch ein Gravitationsfeld hervorgerufen werden, nicht unterscheidbar sind."

Otto schrieb in Beitrag Nr. 13-727:

Der Vergleich der Gleichungen zur Berechnung der Kräfte und Beschleunigungen läßt m.E. keine Gleichsetzung der Potentialgleichungen für Gravitation und Zentripetalkräfte auf den ersten Blick zu.
Der Radius bzw. die Entfernung gehen mit unterschiedlichen Faktoren 1/r bzw. 1/r² ein.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-729:

Dies führt m.E. zu einem Widerspruch zum o.a. Äquivalenzprinzip.

Wenn das wie oben abgewandelte Äquivalenzprinzip gültig ist, wären deine und meine obigen Aussagen m.E. synonym.
Daher auch meine Anregung, einmal den Blickwinkel auf die jeweiligen Potenziale zu richten:

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-721:

Vielleicht [ist] ... die Geschwindigkeit der der Gravitation zu Grunde liegenden Kreisbewegung als äquivalent zum Gravitationspotenzial zu betrachten.

Aus φ_z=φ_G würde entsprechend deinem Beitrag Nr. 13-727 resultieren:

r = -2Gm/v² und

v = i*sqrt(2Gm/r)

Die Geschwindigkeit v erinnert dann - bis auf den Faktor I*sqrt 2 - an die "Fluchtgeschwindigkeit" eines Massekörpers, der den Orbit um ein Gravitationszentrum verlassen will.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-729:

Henry hatte Uhren auf konzentrischen Kreisscheiben mit verschiedenen Durchmessern positioniert. Seine These lautete: "Die Zeitdilatation ist ausschließlich von der Geschwindigkeit der Uhren, nicht von deren Beschleunigung abhängig. Die Uhren laufen also synchron, wenn sie dieselbe Bahngeschwindigkeit aufweisen."

Hallo Claus,
Zwei Uhren laufen synchron, wenn die Relativgeschwindigkeit zwischen den Uhren Null ist.
Es kommt also nicht darauf an, welche Geschwindigkeit jeder dieser Uhren hat, sondern wie und ob sich die Positionen der Uhren zueinander zeitlich ändern.
Für zwei Uhren, die sich beide konzentrisch um einen gemeinsamen geometrischen Mittelpunkt in gleicher Drehrichtung bewegen ist dann die Zeitanzeige im Vergleich beider Uhren unverändert, wenn Winkelgeschwindigkeit und Abstand der Uhren zueinander (Differenz der Radien) konstant sind. Dann sind beide Uhren aus der Sicht jeder dieser Uhren gegeneinander in Ruhe, obwohl die Umfangsgeschwindigkeiten der Uhren verschieden sind. Auch die Zentripetalkräfte (bei gleicher Masse) und die Beschleunigungen beider Uhren sind unterschiedlich.
Der Wert der Zentripetalkraft allein kann deshalb kein Merkmal für den verschiedenen Gang zweier Uhren sein.
Die zwei Uhren laufen synchron, wenn sie die gleiche Winkelgeschwindigkeit haben. Sie laufen also nicht synchron, wenn sie verschiedene Bahngeschwindigkeiten (bei verschiedenen Radien) aufweisen, denn in diesem Falle würde sich die Entfernung der beiden Uhren zeitlich ständig ändern; sie hätten also eine Relativgeschwindigkeit zueinander.

Diese Überlegungen sind rein geometrischer Natur. Sie berücksichtigen nicht die physikalischen Ursachen der Bewegungen und die damit verbundenen verschiedenen Bahnkurven.

Ob diese beschriebenen Eigenschaften wirklich Merkmal eines Unterschieds für Gravitationskräfte zu Zentripetalkräften ist, sei einmal dahin gestellt. Die Verhältnisse sind m.E. komplizierter und bedürfen einer tieferen Analyse. Deshalb meine vorherigen Beiträge.

Fragen:
- Wenn die Gravitationskraft ein Scheinkraft ist, ist dann die Zentripetalkraft auch ein Scheinkraft (und warum)?
- Ist ein Karussell ein Spezialfall einer gekrümmten Raumzeit?

Hallo Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 13-731:

Zwei Uhren laufen synchron, wenn die Relativgeschwindigkeit zwischen den Uhren Null ist.
Es kommt also nicht darauf an, welche Geschwindigkeit jeder dieser Uhren hat, sondern wie und ob sich die Positionen der Uhren zueinander zeitlich ändern.
Für zwei Uhren, die sich beide konzentrisch um einen gemeinsamen geometrischen Mittelpunkt in gleicher Drehrichtung bewegen ist dann die Zeitanzeige im Vergleich beider Uhren unverändert, wenn Winkelgeschwindigkeit und Abstand der Uhren zueinander (Differenz der Radien) konstant sind. Dann sind beide Uhren aus der Sicht jeder dieser Uhren gegeneinander in Ruhe, obwohl die Umfangsgeschwindigkeiten der Uhren verschieden sind. Auch die Zentripetalkräfte (bei gleicher Masse) und die Beschleunigungen beider Uhren sind unterschiedlich.

Nehmen wir einen Beobachter, der sich nicht auf den Kreisscheiben mitbewegt. Es könnte ein außenstehender Beobachter außerhalb der konzentrischen Kreise oder ein Beobachter im Mittelpunkt der Kreisscheiben sein.

Ein solcher Beobachter stellt in dem von dir beschriebenen Fall (konstante Winkelgeschwindigkeit und Abstand der Uhren zueinander) fest, dass die äußere Uhr sich schneller bewegt, als die innere. Somit müsste auch die Zeitdilatation der äußeren Uhr größer sein, als die der inneren.

Dagegen halten sich die beiden Uhren zueinander für unbewegt. Es sollte also keine Zeitdilatation zwischen ihnen auftreten; sie sollten stets synchron laufen.

Nehmen wir nun an, die Uhren auf den Kreisscheiben werden stetig abgebremst, bis sie gegenüber dem äußeren Beobachter zur Ruhe kommen. Wer hat nun recht? Der äußere Beobachter, der behauptet, die Uhren weisen wegen der verschiedenen Geschwindigkeiten einen Gangunterschied auf - oder die Uhren selbst, die behaupten, sie seien über den gesamten Zeitraum des Experiments synchron gelaufen?

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-730:

Einsteins im gravitationsfreien Raum beschleunigter Fahrstuhl ließe sich auch mit einer Drehbewegung realisieren. Dann müsste das Äquivalenzprinzip wie folgt lauten:
"Wenn ein Fahrstuhl in einem gravitationsfreien Raum, am Halteseil gehalten, eine Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit ausführt, so ruft die Beschleunigung in der Kabine Erscheinungen hervor, die von denen, die durch ein Gravitationsfeld hervorgerufen werden, nicht unterscheidbar sind."

Hallo Claus,
Der Formulierung würde ich zustimmen.
Der Unterschied zur Gravitation besteht jedoch darin, daß die Aufbringung der Zugkraft einen Haltepunkt erfordert. Ansonsten würden sich sowohl der Liftschacht asl auch die Kabine bewegen (im Verhältnis der Massen von Schacht und Kabine). Dabei würde die Länge des Seils keine Rolle spielen.
Für den Fall der Gravitation würde die Kraft nur von der Gegenmasse (nicht von beiden Massen) und zusätzlich von der Entfernung beider Massen abhängen (entsprechend der Länge des Seils).

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-730:

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-729:
Dies führt m.E. zu einem Widerspruch zum o.a. Äquivalenzprinzip.

Nicht ganz. Die Wirkung ist gleich, nur die Werte der Kräfte sind verschieden. Der Wert der Zentrifugalkraft hängt nur von der Masse ab, nicht von der Entfernung der Gegenmasse wie bei der Gravitation.

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-730:

Aus φz=φG würde entsprechend deinem Beitrag Nr. 13-727 resultieren:
r = -2Gm/v2 und
v = i*sqrt(2Gm/r)
Die Geschwindigkeit v erinnert dann - bis auf den Faktor I*sqrt 2 - an die "Fluchtgeschwindigkeit" eines Massekörpers, der den Orbit um ein Gravitationszentrum verlassen will.

Den Lösungsansatz würde ich genauso sehen. Der Hinweis auf die Fluchtgeschwindigkeit ist prima.
v wäre in der Gleichung die zweite kosmische Geschwindigkeit, um den freien Fall im Orbit und damit das dynamische Gleichgewicht einer geschlossen Kurve zu verlassen. Die kreis- bzw. ellipsenförmige Bahn des Orbit würde in eine offene Kurve, eine Parabel, übergehen, die mit steigender Geschwindigkeit zu einem Hyperbel-Ast wechseln würde.

Was würde das nun aber bedeuten in Bezug auf Schwerkraft und Zentripetalkraft?
Darüber muß ich noch etwas nachdenken.

Hinweis: Aus meinem Beitrag Nr. 13-727 in Worten formulierten Gedanken würde noch ein zweiter mathematisches Lösungsansatz resultieren:
F_G ~ F_zp·r

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-732:

Ein solcher Beobachter stellt in dem von dir beschriebenen Fall (konstante Winkelgeschwindigkeit und Abstand der Uhren zueinander) fest, dass die äußere Uhr sich schneller bewegt, als die innere. Somit müsste auch die Zeitdilatation der äußeren Uhr größer sein, als die der inneren.

Hallo Claus,
das ist genau der Widerspruch, den ich sehe und den ich mir nicht so richtig erklären kann.
Welche Rolle spielt der Standpunkt des Beobachters? Spielt er überhaupt eine Rolle? Entscheidend ist doch, ob es einen Gangunterschied zwischen den Uhren gibt, wenn sie sich nach der Bewegung an einem gemeinsamen Ort befinden. Das sollte doch eigentlich nicht vom Standpunkt eines Beobachters abhängen.

Wenn beide Uhren (nach Bewegung mit gleichen ω, gleicher Drehrichtung und konstanten Entfernungen r1, r2 vom gemeinsamen Drehpunkt) abgebremst werden, hat sich ihre Position relativ zueinander im Polarkoordinatensystem überhaupt nicht geändert. Wenn die Uhr von r2 auf r1 zum Zeitvergleich gebracht wird, würde ich eine gleiche Zeigerstellung beider Uhren erwarten.
Unterschiedliche Zeitanzeigen würde ich nur dann erwarten, wenn bei den gleichen oben beschriebenen Bedingungen, die Drehrichtung der Uhren verschieden gewesen wären

Otto schrieb in Beitrag Nr. 13-734:

(...)
Wenn beide Uhren (nach Bewegung mit gleichen ω, gleicher Drehrichtung und konstanten Entfernungen r1, r2 vom gemeinsamen Drehpunkt) abgebremst werden, hat sich ihre Position relativ zueinander im Polarkoordinatensystem überhaupt nicht geändert. Wenn die Uhr von r2 auf r1 zum Zeitvergleich gebracht wird, würde ich eine gleiche Zeigerstellung beider Uhren erwarten.
Unterschiedliche Zeitanzeigen würde ich nur dann erwarten, wenn bei den gleichen oben beschriebenen Bedingungen, die Drehrichtung der Uhren verschieden gewesen wären

Hallo Otto und guten Tag.
Entschuldige die Störung in Eurer Debatte und erlaube mir eine Frage.
Beide Uhren drehen sich mit r1 und r2 um den gleichen Drehpunkt mit natürlich identischen Umläufen.
r2 verhält sich mit seinem Umfang zu r1 wie 1 zu 1000.
Dann hätte Uhr 2 eine 1000 mal so lange Distanz überwunden wie Uhr 1. Bei Geschwindigkeit X.
Wenn aber die Dauer und die Höhe der Geschwindigkeit für die Zeitdilatation maßgebend sind...
müssen nach dem Versuch beide Uhren unterschiedliche Zeiten anzeigen. Oder nicht?
Ungeachtet des identischen Drehpunktes und der gleichen Drehrichtung.

Mit den besten Grüßen.
Ernst Ellert II.

Hallo Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 13-734:

Wenn beide Uhren (nach Bewegung mit gleichen ω, gleicher Drehrichtung und konstanten Entfernungen r1, r2 vom gemeinsamen Drehpunkt) abgebremst werden, hat sich ihre Position relativ zueinander im Polarkoordinatensystem überhaupt nicht geändert. Wenn die Uhr von r2 auf r1 zum Zeitvergleich gebracht wird, würde ich eine gleiche Zeigerstellung beider Uhren erwarten.

Das wäre richtig, wenn aus der Sicht der Uhren nicht noch die Tatsache berücksichtigt werden müsste, dass sie sich an Orten mit verschiedenen Gravitationspotenzialen befinden.

Nehmen wir an, die Uhren wissen nicht, dass sie sich auf einer Kreisscheibe befinden und halten die Fliehkraft, die sie verspüren, für die Auswirkung einer Gravitation.
Dann befindet sich die äußere Uhr an einem Ort mit stärkerem "Gravitations"-potenzial. In dieser Beurteilung stimmen beide Uhren überein. Deshalb wird die äußere Uhr langsamer laufen, als die innere.

Dasselbe stellt auch der außenstehende Beobachter fest. Nur glaubt der, dass die Zeitdilatation sich aufgrund der Tatsache ergibt, dass sich die äußere Uhr schneller bewegt, als die innere.

Hallo Otto,

Otto schrieb in Beitrag Nr. 13-733:

Aus meinem Beitrag Nr. 13-727 in Worten formulierten Gedanken würde noch ein zweiter mathematisches Lösungsansatz resultieren:
F_G ~ F_zp·r

Man könnte also meinen, beide Kräfte sind nicht gleichwertig.

Das ändert sich aber wenn man annimmt, dass die Geschwindigkeit in der Formel F_zp·= mv²/r einer Kreisbahngeschwindigkeit um ein Gravitationszentrum entspricht, denn letztere wäre ihrerseits proportional der Wurzel aus 1/r:

v_kr = sqrt (Gm/r)

Ersetzt man in der Formel für die Zentripedalkraft v² entsprechend, so ergibt sich daraus die Gravitationskraft in ihrer Proportionalität zu 1/r²:

F_zp = mv_kr²/r = Gmm/r² = F_G

Ernst Ellert II schrieb in Beitrag Nr. 13-735:

Wenn aber die Dauer und die Höhe der Geschwindigkeit für die Zeitdilatation maßgebend sind...
müssen nach dem Versuch beide Uhren unterschiedliche Zeiten anzeigen.

Hallo Ernst,
ich verstehe die Geschwindigkeit v in den Gleichungen der SRT ART als Relativgeschwindigkeit, also der zeitlichen Veränderung der Distanz zweier Punkte.
Das ist für Linearbewegungen ganz einfach und klar zu verstehen.
Was ich nicht verstehe, sind die Verhältnisse bei Rotationen.
Was sind hier die Relativgeschwindigkeiten, die Bewegungen zweier Punkte gegeneinander oder die Differenz der Geschwindigkeiten (Umfangsgeschwindigkeiten) in einem beliebigen willkürlich festgelegten Koordinatensystem?
Otto

Guten Morgen Otto.
Bei dem Fall der unterschiedlichen Geschwindigkeit der beiden Uhren bei verschiedenen Rotationsdurchmessern, respektive Umfansgeschwindigkeiten liegen meines Erachtens doch die gleichen Bedingungen vor, wie beim Hafele-Keating-Experiment wo eine Uhr am Boden bleibt und die andere im Flugzeug eine andere relative Geschwindigkeit hat. Wobei die Erdrotation natürlich nicht vergessen wird. Da kann es keine Rolle spielen ob beide Uhren gegenseitig keine Ortsveränderung erfahren, denn der Abstand auf der gedachten Scheibe die rotiert, bleibt ja konstant. Was ausschlaggebend wäre, ist die voneinander abweichende Geschwindigkeit der Uhren.
Nicht berücksichtigt dabei ist, wie Claus schon angemerkt hat die unterschiedliche Gravitation* in Form der Zentrifugalkraft.

Mit den besten Grüßen.
Ernst Ellert II.

Quelle:
https://de.wikipedia.org/wiki/Hafele-Keating-Experiment
https://de.wikipedia.org/wiki/Zentrifugalkraft

Claus schrieb in Beitrag Nr. 13-736:

Das wäre richtig, wenn aus der Sicht der Uhren nicht noch die Tatsache berücksichtigt werden müsste, dass sie sich an Orten mit verschiedenen Gravitationspotenzialen befinden.

Nehmen wir an, die Uhren wissen nicht, dass sie sich auf einer Kreisscheibe befinden und halten die Fliehkraft, die sie verspüren, für die Auswirkung einer Gravitation.
Dann befindet sich die äußere Uhr an einem Ort mit stärkerem "Gravitations"-potenzial. In dieser Beurteilung stimmen beide Uhren überein. Deshalb wird die äußere Uhr langsamer laufen, als die innere.

Dasselbe stellt auch der außenstehende Beobachter fest. Nur glaubt der, dass die Zeitdilatation sich aufgrund der Tatsache ergibt, dass sich die äußere Uhr schneller bewegt, als die innere.

Völlig richtig.
Ich muß deutlicher zwischen den Wirkungen von SRT und ART unterscheiden.

Doch wenn Sie sich auf diese Experiment wirklich einlassen, sehen Sie den Lichtstrahl mit 299 792,5 Kilometer pro Sekunde an sich vorbeirasen – genau wie ich, der ich mich nicht bewege! - Richard P. Feynman – Vom Wesen physikalischer Gesetze.

Nur sollte sich jeder, der sich auf physikalisch Wesentliches einlässt, niemals vergessen,
dass man genaugenommen Nichts sehen kann und Rückrechnungen von nicht Einsehbarem
auch im Experiment nicht sichtbar werden, bestenfalls fantasievolles Konstrukt der Kontrahenten bleibt.

lg Harald