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Logik der Kreter

Thema erstellt von Thomas der Große 
Beiträge: 2.307, Mitglied seit 13 Jahren
Hi, Gebhard, Irena!

"Weniger ist manchmal mehr", Gebahrd! Das IST eine paradoxe Aussage, und sie ist wahr und sie ist kein Denkfehler, und zwar auf deine Behauptung bezogen, alle Paradoxien seien Denkfehler.

Und Irena, das Barbier-Paradoxon ist tatsächlich keins, es ist einfach eine (sinn-)leere Aussage, wie Russel (der es in die Welt gesetzt hat) letztlich beweist, um nämlich genau das zu beweisen: Aussagen dieser Art sind leer. Wenn er ein wirkliches Paradoxon hätte formulieren wollen, hätte er eindeutigere Bedingungen gestellt, nämlich der Art dass er genau gesagt hätte, dass der Barbier sich selbst rasiert. DANN hätten wir ein Paradoxon, so überlässt er es aber bewusst dem "Anwender", zu entscheiden, ob der Barbier sich rasiert oder nicht. Was ist nämlich, wenn der Barbier sich überhaupt nicht rasiert?
Signatur:
Herr Oberlehrer

Die Wolken ziehen hin. Sie ziehen auch wieder her.
Der Mensch lebt einmal. Dann nicht mehr.

(Donald Duck)
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Beiträge: 1.566, Mitglied seit 11 Jahren
Henry schrieb in Beitrag Nr. 1107-21:
Hi, Gebhard, Irena!

"Weniger ist manchmal mehr", Gebahrd! Das IST eine paradoxe Aussage, und ...

Hallo Henry,

was du hier sagst, zeigt mir, dass dir — wie so vielen Leuten — nicht klar ist, dass die Negation der Aussage


Alle Kreter lügen

eben NICHT die Aussage ist,
Alle Kreter sagen die Wahrheit

sondern NUR die Aussage
Wenigstens ein Kreter lügt nicht.


Wir anderen aber, denen das klar ist, sehen sofort, dass in der Situation, in der ein Kreter K sagt, "Alle Kreter lügen“ nur folgt
  • dass K lügt (was bedeutet, dass mindestens ein Kreter nicht lügt),
  • denn die Annahme, K lüge nicht, führt zu einem Widerspruch (was nach dem ältesten und wichtigsten Beweisprinzip, das die Mathematik kennt, aber nur bedeutet, dass diese Annahme eben nicht zutrifft — er also doch lügt).

Wo also soll hier irgend etwas paradox sein?

Paradox ist höchstens, dass wir Menschen rein umgangssprachlich hin und wieder zu schlampig denken (!).

Gruß, grtgrt
 
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Beiträge: 1.503, Mitglied seit 17 Jahren
Henry schrieb in Beitrag Nr. 1107-21:
Und Irena, das Barbier-Paradoxon ist tatsächlich keins, es ist einfach eine (sinn-)leere Aussage, wie Russel (der es in die Welt gesetzt hat) letztlich beweist, um nämlich genau das zu beweisen: Aussagen dieser Art sind leer. Wenn er ein wirkliches Paradoxon hätte formulieren wollen, hätte er eindeutigere Bedingungen gestellt, nämlich der Art dass er genau gesagt hätte, dass der Barbier sich selbst rasiert. DANN hätten wir ein Paradoxon, so überlässt er es aber bewusst dem "Anwender", zu entscheiden, ob der Barbier sich rasiert oder nicht. Was ist nämlich, wenn der Barbier sich überhaupt nicht rasiert?

Vergiss nicht, ich bin nicht ganz aus deutschem Sprachraum. Daher ist für mich neu, dass man nicht jede in sich widersprüchliche Aussage als Paradoxon nennen darf. Es müsste Antinomie heißen. Gut mal wieder was Neues zu entdecken... Wobei wie ich feststellen muss, es gibt keine strenge Begrenzung. Auch du machst Fehler, das Lügner-Beispiel als Paradoxon anzuerkennen, wenn es doch um eine Antinomie handelt. Im Gegenzug nennt WIKI es als Barbier-Paradoxon, wenn es auch nach dir so nicht nennen darf.

Das Original von Barbier Antinomie aus WIKI ist:
„Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?“


Also geht es hier, im Gegensatz zu meiner Variante, um eine Definition des Barbiers. Russel beweist, dass „es gibt keinen, die genau diejenigen rasiert, die sich selbst nicht rasieren“ (WIKI). Ich sehe hier keine Überlassung der Entscheidung „dem Anwender“. Es ganz klar definiert, dass es gibt KEINEN auf dem diese Aussage angewendet werden kann.

Ich erlaube mir eine Bemerkung, dass es trifft zu, wenn stillschweigend angenommen wird, dass der Barbier ein Mann ist und dass er z.B. nicht indianischer Herkunft ist (wie ich weiß, fehlen denen ein Gen, von dem Bartwachstum abhängt). Das meintest du anscheint mit „es wird dem Anwender überlassen“. Dennoch denke ich, dass Ziel seiner Antinomie ist zu zeigen, dass die Ausdrucke wie „R ist die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht erhalten“ keine sinnvolle Menge definieren. Daher nähert nur seine Antinomie dem Kern des von ihm ausgezeichneten Problems und auf Details schwächelt. Die in obigen Beitrag beschriebene Fall mit Katalogen betrifft den Kern des Problems, ohne auszuweichen in mögliche Äußerung/Form eines Katalogs, der den Anforderungen umgehen kann (Analog dem Barbier-Frau).

Als nächstes würde ich in Frage stellen, dass es um eine – wirkliche - Lösung des Wiederspruchs geht. Was würde eine Lösung bedeuten? – Den Widerspruch zu lösen. Wenn aber der ursprüngliche Satz als ungültig erklärt worden ist, weil KEINEN gibt, auf dem diese Aussage/Definition passt, ist es eine Lösung?! Da wussten wir es schon vorher, oder?! Russels Beitrag besteht daran, dass es die semantische Überlegungen in mathematische Sprache übersetzt hat. In dem Sinne hat er es gelöst. Mehr aber nicht.

Nach diesem Schema wird auch Lügner-Paradoxon gelöst. Es gibt es keinen Kreter, der sagen darf „Alle Kreter lügen“. Oder, es gibt keinen Katalog, der alle Kataloge auflisten kann, die sich selbst enthalten.
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Beiträge: 2.307, Mitglied seit 13 Jahren
Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 1107-22:
Henry schrieb in Beitrag Nr. 1107-21:
Hi, Gebhard, Irena!

"Weniger ist manchmal mehr", Gebahrd! Das IST eine paradoxe Aussage, und ...

Hallo Henry,

was du hier sagst, zeigt mir, dass dir — wie so vielen Leuten — nicht klar ist, dass die Negation der Aussage


Alle Kreter lügen

eben NICHT die Aussage ist,
Alle Kreter sagen die Wahrheit

sondern NUR die Aussage
Wenigstens ein Kreter lügt nicht.


Wir anderen aber, denen das klar ist, sehen sofort, dass in der Situation, in der ein Kreter K sagt, "Alle Kreter lügen“ nur folgt
  • dass K lügt (was bedeutet, dass mindestens ein Kreter nicht lügt),
  • denn die Annahme, K lüge nicht, führt zu einem Widerspruch (was nach dem ältesten und wichtigsten Beweisprinzip, das die Mathematik kennt, aber nur bedeutet, dass diese Annahme eben nicht zutrifft — er also doch lügt).

Wo also soll hier irgend etwas paradox sein?

Paradox ist höchstens, dass wir Menschen rein umgangssprachlich hin und wieder zu schlampig denken (!).

Gruß, grtgrt
 

Tja, Gebhard, du hast ja mit deinen Kretern vollkommen Recht - nur bezieht sich mein kurzer Einwand gar nicht auf die Kreter (es hätte dir auffallen sollen, dass ich dir ja sogar Recht gebeben habe), sondern auf deine Behauptung, alle Paradoxa seien Denkfehler. Es gibt verschiedene Typen von Paradoxa, wie mein Beispiel (Weniger ist manchmal mehr) zeigt, und das ist inhaltlich - weil es gegensätzliche Aussagen vereinigt - sehr wohl ein echtes Paradoxon. Ja, es gewinnt seine Bedeutung erst aus der bewussten Gegenüberstellung der Gegensätze und ist gewollt paradox forumuliert. Aber selbstverständlich bedeutet es auch, dass aus einer "Metaebene" betrachtet die Gegensätzlichkeit sich aufhebt, wenn man sich klar ist, dass hier die Bedeutung von "weniger" und "mehr" nicht als Quantität, sondern als Qualität zu verstehen ist. Das ändert aber nichts am paradoxen Inhalt der Aussage, die - wie gesagt - genau so gewollt ist.
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Beitrag zuletzt bearbeitet von Henry am 28.08.2012 um 09:24 Uhr.
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Beiträge: 1.566, Mitglied seit 11 Jahren
Hallo Irena,

da du mir so ausführlich geantwortet hast, will ich es auch tun. Also:

Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Hallo Doppel-grt,
ich denke, dass es gerade du muss über den Kopf gehen lassen, da das Problem der Selbstbezüglichkeit ist KEIN Denkfehler. Es ist objektive Gegebenheit. Du schreibst den Unvollständigkeit Satz zwar auf, dennoch ziehst von ihm keine Schlussfolgerung. Im Gegenteil, du läufst mit Flage, auf der „der Denkfehler“ - also subjektive Gegebenheit - geschrieben ist.

Ich behaupte ja gar nicht, dass der Denkfehler in der Selbstbezüglichkeit liegt — er liegt einfach nur darin, dass manche Leute (du etwa) nicht einsehen wollen, dass z.B. die Aussage "Diese Aussage ist falsch." einem logischen Gleichungssystem entspricht, welches KEINE Lösung hat. Paradox ist daran gar nix, denn die Mathematik kennt jede Menge von Gleichungssystemen, die keine Lösung haben.


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Zitat von grtgrt:
Das so zur Verlässlichkeit heute üblicher mathematischer Denkwerkzeuge!

So viel Emotionen!..

Ich sehe es überhaupt nicht so tragisch wie du. Mathematiker haben in Jahrtausenden ihre Gebäude gebildet und diese Gebäude sich als verlässlich aufweist. Deine Verallgemeinerung der Unzuverlässlichkeit der mathematischen Werkzeuge ist von dir stark übertrieben.

Diese meine Aussage bezieht sich einfach nur auf die Tatsache, dass Mathematiker (Algebraiker z.B.) heutzutage fast jeden ihrer Beweis mit Hilfe naiver Mengenlehre formulieren, obgleich sie doch wissen, dass Russell gezeigt hat, dass naive Mengenlehre zu Widersprüchen führen kann (also nicht wirklich zuverlässig ist).

WARNUNG also: Wer naive Mengenlehre gebraucht, muss das hinreichend vorsichtig tun, also sicherstellen, dass jede Definition, die er mit ihrer Hilfe formuliert, auch wirklich Sinn macht (was manchmal selbst schon einen eigenen, komplizierten Beweis erfordern kann).


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Für mich die Unvollständigkeitsätze von Gödel nur eines bedeuten, eben das, was ich schon vorher geschrieben habe: die Mathematik ist ein Medium, das physikalische Realität widerspiegelt. Ähnlich stoßt auch Physik an ihre Grenzen: der Messungsgrenzen, der Grenzen der physikalischen Realität.

Du hast völlig recht: In der Mathematik (genauer: in mathematischen Gesetzmäßigkeiten) spiegelt sich physikalische Realität.

Mit irgendwelchen Messgrenzen aber hat das gar nichts zu tun (warum auch?).


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Es ist ein schönes Satz von Andre Weil, der gesagt haben soll: „Gott existiert, weil Mathematik konsistent ist, und Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können“.

Ich schätze Andre Weil sehr, da ich seine mathematischen Fähigkeiten wirklich bewundere.

Dennoch sollte er den Teufel besser nicht bemühen, denn Gödels Ergebnis ist letztlich nur Ausdruck der Tatsache, dass allein schon die natürlichen Zahlen uns in ganz unglaubliche mathematische Tiefen zu führen im Stande sind — in eine Welt, in die man ohne Ende immer tiefer gehen kann, ganz so wie man sich in eine Mandelbrotmenge ohne Ende immer tiefer hinein zoomen kann und dann dort eine schier unendliche Vielfalt von Formen und Farben entecken kann (siehe z.B. Abschnitt 1 bis 14 in Wikipedia). Die Menge aller Primzahlen z.B. ist ein Wunder für sich, und wir Menschen haben gerade erst begonnen, die allereinfachsten Strukturen dieser Menge zu verstehen ...

Leopold Kronecker (ein Zahlentheoretiker) hat mal voller Bewunderung gesagt:

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Da ist viel Wahres dran.


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Zu der subjektiven Grundlage der Mathematik. Da wir obendrauf ein objektives Gebäude haben, dann wird wohl das Subjektive an das Objektive anpassen müssen. Daher hat das Subjektive auch nicht volle Freiheit. Oder wenn Mathematiker eigenen subjektiven Empfindungen nachgeht, kann er vielleicht ein anderes Gebäude nebenan schaffen. Auf die Weise mathematische „Stadt“ nur gewinnt. Daher bitte hier keinen Weltuntergang sehen.

Wenn du denkst, ich würde irgendeinen Weltuntergang sehen, dann versteht du mich völlig falsch.

Ich bin aber sehr wohl der Ansicht, dass die Informatik — was erfolgreiche Qualitätssicherung ihrer Ergebnisse betrifft — der Mathematik um etwa 2 Jahrtausende hinterher hinkt. Nur darauf wollte ich hinweisen.


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Zitat:
Mathematische Beweise im Bereich nicht konstruktiver Mathematik sind aber nur Zerlegung großer Gedankensprünge in zunehmend kleinere bis hin zu einem Punkt, an dem der Zuhörer der Mei¬nung ist, jeder dieser kleinen Gedankensprünge bedürfe keines Beweises mehr, sondern behaupte offensichtlich Wahres. Wo dieser Punkt erreicht ist, muss subjektiv entschieden werden und hängt sehr von der Vorbildung des Zuhörers ab sowie von seiner Kritikfähigkeit.

Ich denke, dass „wo dieser Punkt erreicht wird“ hängt nicht von der Subjektiven. Du übersiehst nämlich, dass Mathematik ist s. z. gemeinschaftliches Produkt. Wie in jedem Gemeinschaftsprodukt, muss das Erreichte von einem durch anderen geprüft werden.

Ich bleibe bei meiner Meinung.
... und wer Andre Weils Buch "Basic Number Theory" wirklich durchgearbeitet hat, wird wissen, was ich meine (denn was er als einen schon hinreichend kleinen, überzeugenden Gedankensprung da so alles stehen lässt, kann schon mal ein bis zwei Stunden Arbeit kosten, es einzusehen. Einen Fehler aber konnten wir, die wir sein Buch damals im Detail durchgearbeitet haben, ihm aber wirklich NIEMALS nachweisen. Wie gesagt: Ich bewundere ihn ...


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Zitat:
Der allseits geachtete Physiker Steven Hawking scheint zu denken, jedes mathematische Modell sei auch ein physikalisches.

Passt auf wie dein Satz ändert, wenn du statt Begriff „ist“ (was einer Äquivalenz zeigt) den Begriff „entspricht“ nutzt. „Jedes mathematische Modell entspricht einem physikalischen“. Andere Begriff zeigt auf den Bezug, nicht Äquivalenz.

Wobei auch hier ein Denkfehler, weil es ein Gegenteil richtig ist: jedes physikalischen Model entspricht dem mathematischen, da wir wissen, es gibt mathematische Modelle, die die Naturwissenschaft Physik „sprengen“. Die Anwendung in Quantenmechanik verschiedener mathematische Modelle zeigt nur innere Beziehung der mathematischen Modelle.

Dein erstes Argument scheint mir einfach nur ein Spiel mit Worten — es sagt rein gar nichts.

Zum zweiten: Wer etwas modelliert (mit oder ohne Mathematik) wird i.A. zu einem Modell kommen, welches irgendwo hinkt, und somit den zu modellierenden Gegenstand eben NICHT mehr in allen Einzelheiten korrekt abbildet. Das sehe ich als Selbstverständlichkeit — es ist sogar zwangsläufig so, denn ein Modell soll ja häufig auch vereinfachen (sich also auf nur bestimmte Aspekte konzentrieren).


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Zuletzt ein Beispiel, der mich auf Palme bringt, wenn es lese (bei deinen Ausführungen leider zu viel ähnliches Textes). Nehmen wir den folgenden Absatz zur Analyse:
Zitat:
Ein Vergleich der Ergebnisse von Kurt Gödel einerseits und Gerhard Gentzen sowie Paul Lorenzen andererseits zeigt meiner Ansicht nach deutlich, dass konstruktive und nicht konstruktive Modelle grundsätzlich verschiedener Natur sind. Der Unterschied besteht darin, dass viele Ergebnisse indirekter Beweisführung schon ihrer Natur nach nicht Ergebnis rein konstruktiver Mathematik sein können. Es bleibt offen, ob man auch sie als mathematische Wahrheiten sehen kann, die mehr sind als nur eine gedankliche Konstruktion.

Zitat:
...konstruktive und nicht konstruktive Modelle grundsätzlich verschiedener Natur sind.

Okay, nehmen wir es an. Es ist mir hier die Richtigkeit der Annahme von sekundäre Bedeutung ist.

Zitat:
Der Unterschied besteht darin, dass viele Ergebnisse indirekter Beweisführung schon ihrer Natur nach nicht Ergebnis rein konstruktiver Mathematik sein können.
Bitte liest dein Satz aufmerksam. Wie sprechen über grundsätzliche Unterschiede, oder? Wenn man spricht über „viele“, bedeutet es nicht an „alle“ anwendbar und daher nicht grundsätzlich sein kann.

Auch was du hier sagst, scheint mir nur ein Spiel mit Worten.

Dass mein Statement "... viele Ergebnisse indirekter Beweisführung schon ihrer Natur nach nicht Ergebnis rein konstruktiver Mathematik sein können" durchaus richtig ist, zeigt sich sehr schön in Beitrag 1107-22, wo wir im zweiten Kullerpunkt ja tatsächlich einen indirekten Beweis führen. Über rein konstruktive Mathematik wäre ganz sicher NICHT beweisbar, dass K lügt.


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Nächste Vorwand. Mit dem Satz solltest du den ersten Satz erklären bzw. erweitern. Du machst aber Zirkelsprung und erklärst die Annahme durch sie selbst.

Ich habe keine Anhnung, wo da ein Zirkelschluss sein sollte.


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Übrigens der Tisch ist nicht gleich Stuhl, gehören beide aber zu Möbel. „Die Natur“ von beiden sicher verschieden ist: auf einem sitzen wir, auf anderen essen. Dennoch durch eine übergeordnete Klasse „das Möbel“ zeigen sie ihre gemeinsame „Natur“. Ähnlich ist mit der direkten und indirekten Beweisführung.

Da bin ich völlig deiner Meinung:
  • Beide Beweiswege sind mathematisch exakte Beweiswege (so wie Stuhl und Tisch beides Möbel sind),
  • sind aber dennoch verschieden (so wie auch Stuhl und Tisch verschieden sind).


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Zitat:
Es bleibt offen, ob man auch sie als mathematische Wahrheiten sehen kann, die mehr sind als nur eine gedankliche Konstruktion.

„Sie“ muss wohl indirekte Beweisführung sein. Ist direkte Beweisführung etwas anders als gedankliche Konstruktion?! Da musst du wohl erklären, da für mich es offensichtlich ist. Wenn ich auch semantischen Inhalt dieses Satzes ein Augenblick nicht beachte, dann trotzdem ist mir nicht klar, warum aus den vorhergehenden Kontext muss etwas „offen bleiben“. Aus der vorigen Sätze folgt keinesfalls die Offenheit des Problems.

Nachdem man indirekt bewiesene Wahrheiten nicht konstruieren kann, könnte man sich schon fragen, ob sie wirklich einen realen Teil der Natur darstellen.
Problem nur: Wie will man den Begriff real den nun wirklich genau definieren?


Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
u. s. w.

Schade, dass dir hier offenbar die Puste aus geht ...

Gruß, grtgrt
Beitrag zuletzt bearbeitet von Grtgrt am 28.08.2012 um 09:42 Uhr.
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Hallo 2xgrt,

ich vermute, dass du jetzt gerade muss auf ein Zug und deine Gedanken schweifeln lassen (Beispiel aus einem deinem Beitrag) und einen Abstand zu Analysierendem zu gewinnen. Es ist nämlich neben deinen zutreffenden Beobachtungen (ich beziehe mich wieder auf dein Beitrag in anderem Thread) gibt es noch eine Denkweise. Du hast mal irgendwo erwähnt, wie Mathematiker splitten die semantische Inhalte in immer kleinere, bis sie eben die kleinste erreichen. Wie stellt man fest, dass man schon auf unterste Ebene des Sinnes bzw. Bedeutung ist? - Indem versucht man noch tiefer graben. Nur dann sieht man die Sinnlossigkeit dieses Unterfangens.

Versuchst einmal ein Wort in Buchstaben zu zerlegen. und zwar wirklich, mit volle Aufmerksamkeit für die Lauten. Wiederholst es zig mal und versuchst dann zurück zum ursprünglichen Wort zu kehren. Du wirst feststellen, dass der ursprüngliche Wort für dich entfremdet klingt, du bist sich sogar nicht sicher ob du ihn jetzt richtig aussprichst. Es ist eben die Gefahr, die man angeht, wenn man versucht die tiefste Ebene des logischen, des sinnhaften zu erreichen (es knüpft an mein Credo, die du unten lesen kannst). Es ist auch ein Grund, warum zwischen Mathematikern und Philosophen so viel Irrsinnigen gibt. Nicht jeder, der steigt in Bodenlose, findet auch unbeschadet den Weg zurück.

Zurück zum Lügner Paradoxon:

Der wesentliche Fehler, den du machst, ist in der Definition der Negation. Die Negation zur "allen" ist "keiner", nicht die "wenigstens ein"

Aber sicher, gibt es kein Widerspruch in der Aussage: Kein Kreter kann behaupten "Alle Kreter lügen". Aber es ist eben nicht die Aussage, die wie ursprünglich behandelt haben.
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Beiträge: 1.642, Mitglied seit 16 Jahren
Hallo zusammen,

ich bin der Meinung, dass man Paradoxien nicht als Denkfehler bezeichnen kann, weil sie ja zum Teil auch ganz bewußt konstruiert werden.
In den meisten Fällen, ist in den Annahmen, die der widersprüchlichen Aussage zugrunde liegen, ein verdeckter Widerspruch enthalten, den es aufzukären gilt.
Dieser Widerspruch kann auch darin bestehen, dass beim Betrachter (Empfänger) eine widersprüchliche Vorstellung herrscht oder erzeugt wird.

Beispiel: Warum verwechselt ein Spiegel rechts und links und nicht oben und unten ?

Ein Spiegel verwechselt nichts. Er bildet z.B. eine Person so ab, wie sie vor ihm steht. Rechts und links änder sich dadurch, dass man zunächst rechts und links aus der Position der Person, die vor dem Spiegel steht bestimmt, und sodann die Perspektive ändert und die im Spiegel abgebildete Person aus der Gegenposition betrachtet, so als wenn man hinter dem Spiegel steht.

MfG
Harti
Signatur:
Wichtig ist, dass man nicht aufhört zu fragen. A.E.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Harti am 28.08.2012 um 10:30 Uhr.
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Beiträge: 1.503, Mitglied seit 17 Jahren
Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 1107-25:
Ich behaupte ja gar nicht, dass der Denkfehler in der Selbstbezüglichkeit liegt — er liegt einfach nur darin, dass manche Leute (du etwa) nicht einsehen wollen, dass z.B. die Aussage "Diese Aussage ist falsch." einem logischen Gleichungssystem entspricht, welches KEINE Lösung hat. Paradox ist daran gar nix, denn die Mathematik kennt jede Menge von Gleichungssystemen, die keine Lösung haben.

Villeicht Problem liegt nur daran, was jeder von uns unter einem Paradoxon versteht. Ich nämmlich verstehe genau das, was du oben beschrieben hast: diese Aussagen haben keine Lösung.
Zurück zu meinem Vorwand, dass es keine Denkfehler sind. Auch hier verstehen wir anscheint verschiedene Sachen unter dem Begriff. Für mich ein Fehler ist etwas subjektives, das korrigiert werden kann. Z.B. ist bekannte Bild von Gebäude mit gewinkelten Treppen. Man sieht nicht sofort die Unmöglichkeit der Konstruktion. Es begeht ein Denkfehler, den bei genauen Hinsehen korrigiert. Oder falsche Beweis einer Theorem. Man begeht ein Denkfehler, der - objektiv - korrigierbar ist. Daher eine Konzeption von etwas als keine Lösung beinhaltet ist - nach meinen Verständnis - KEIN Denkfehler. Weil es eben nicht lösbar ist.

Zitat:
Dein erstes Argument scheint mir einfach nur ein Spiel mit Worten — es sagt rein gar nichts.
Zur Erinnerung es geht um den Tausch des "ist" auf "entspricht". Ich finde es kein Spiel. Es geht um das Grundlegendes. Ob du es als Äquvalenz annimmst: (A=B) oder du es als eine Spiegelung verstehst. Mein Spiegel bild entspricht mir, dennoch mein Speiegelbild ist nicht ich. Hier Gibt es keine Gleichheit zwischen A und B.

Zitat:
Zitat:
Bitte liest dein Satz aufmerksam. Wie sprechen über grundsätzliche Unterschiede, oder? Wenn man spricht über „viele“, bedeutet es nicht an „alle“ anwendbar und daher nicht grundsätzlich sein kann.
Auch was du hier sagst, scheint mir nur ein Spiel mit Worten.

Da bin ich wirklich enttäusch, weil, wenn du sich schon mit Mathematik beschäftigst, sollte dir die Korrektheit der Formulierung wichtig sein.

Zitat:
Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-20:
Nächste Vorwand. Mit dem Satz solltest du den ersten Satz erklären bzw. erweitern. Du machst aber Zirkelsprung und erklärst die Annahme durch sie selbst.
Ich habe keine Anhnung, wo da ein Zirkelschluss sein sollte.
In erstem Satz schreibst du dass A und B verschiedener Natur sind. In folgendem Satz möchtest (nehme ich an) die Unterschiede aufzeigen. Die Unterschiede, die ihre verschiedene Natur zeigen. Dennoch erklärst du diese Unterschiede wieder über den Einbezug ihrer Natur. Es klingt etwa A=B, weil B=A ist.

Zitat:
Nachdem man indirekt bewiesene Wahrheiten nicht konstruieren kann, könnte man sich schon fragen, ob sie wirklich einen realen Teil der Natur darstellen.
Problem nur: Wie will man den Begriff real den nun wirklich genau definieren?
O man, ich sehe viel mehr Begriffe, die genau definiert müssen. Vielleich müsstest du mehr Aufmerksamkeit der Philosophie schenken als Matheamtik.

Zitat:
Schade, dass dir hier offenbar die Puste aus geht ...
Es geht mir Zeit aus und die Wille die Zeit dafür zu verwenden.
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Beiträge: 1.566, Mitglied seit 11 Jahren
Henry schrieb in Beitrag Nr. 1107-24:
Es gibt verschiedene Typen von Paradoxa, wie mein Beispiel (Weniger ist manchmal mehr) zeigt, und das ist inhaltlich - weil es gegensätzliche Aussagen vereinigt - sehr wohl ein echtes Paradoxon. Ja, es gewinnt seine Bedeutung erst aus der bewussten Gegenüberstellung der Gegensätze und ist gewollt paradox forumuliert. Aber selbstverständlich bedeutet es auch, dass aus einer "Metaebene" betrachtet die Gegensätzlichkeit sich aufhebt, wenn man sich klar ist, dass hier die Bedeutung von "weniger" und "mehr" nicht als Quantität, sondern als Qualität zu verstehen ist. Das ändert aber nichts am paradoxen Inhalt der Aussage, die - wie gesagt - genau so gewollt ist.

Hi Henry,

bitte entschuldige, dass ich deinen Beitrag 1107-21 zu schlampig gelesen hatte. Mir wird erst jetzt klar, was dein erster Teil dort sagen an mich rüberbringen wollte.

Dein Beispiel "Weniger ist manchmal mehr“ zeigt deutlich, dass es tatsächlich eine Grauzone gibt (Aussagen also, die man sozusagen "zwischen den Zeilen“ lesen muss — wie man im Deutschen so schön sagt). Mit rein nur mathematischer (sprich: formaler) Logik ist denen natürlich nicht beizukommen.


Es freut mich aber, dass auch dein Beispiel sich zwanglos einordnet in mein Schema, welches ja behauptet:

Zitat von grtgrt:
Jede paradoxe Aussage ist
  • falsch,
  • zu ungenau formuliert (also gar keine Aussage) oder
  • wahr, aber ganz besonders nachdenkenswert.

Dein Beispiel fällt hier ganz klar in die dritte dieser Kategorien.

Dies festzustellen hindert mich nicht daran, zu sagen, dass man dein Beispiel eigentlich gar nicht als Paradoxie sehen sollte.

Meine Faustregel lautet:

Wo man — formal begründet oder nur gefühlt — von Paradoxie spricht,
muss das als Anzeichen dafür gewertet werden, dass eine Situation vorliegt, die wir oder andere
noch zu wenig durchdacht und verstanden
haben.

Beste Grüße,
Gebhard
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Beiträge: 1.566, Mitglied seit 11 Jahren
Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-26:
Hallo 2xgrt,
Der wesentliche Fehler, den du machst, ist in der Definition der Negation. Die Negation zur "allen" ist "keiner", nicht die "wenigstens ein"

Hallo Irena,

da liegst du falsch, denn das ist ganz und gar nicht so.
Bitte lese die ersten 3 Zeilen des Abschnittes Einige prädikatenlogische Äquivalenzen in Wikipedia.


Zitat von Irena:
Du hast mal irgendwo erwähnt, wie Mathematiker splitten die semantische Inhalte in immer kleinere, bis sie eben die kleinste erreichen. Wie stellt man fest, dass man schon auf unterste Ebene des Sinnes bzw. Bedeutung ist?

Meine Antwort:
Ich habe dort nicht vom Splitten semantischer Inhalte gesprochen, sondern davon, dass jeder — aber auch wirklich JEDER — nicht voll formale mathematische Beweis nichts anderes ist als ein Zerlegen eines großen Gedankensprunges S in eine Folge kleinerer Gedankensprünge s, wo
  • S das zu beweisende Theorem ist,
  • jedes s aber eine Aussage, die die Mehrzahl aller Zuhörer (bzw. Leser) als sofort einsichtig bezeichnen würden.
Was die Zuhörerschaft als sofort einsichtig einzustufen geneigt ist, hängt natürlich davon ab, wie viel sie vom entsprechenden Gebiet der Mathematik versteht.

Beste Grüße,
grtgrt
Beitrag zuletzt bearbeitet von Grtgrt am 28.08.2012 um 12:08 Uhr.
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Beiträge: 1.503, Mitglied seit 17 Jahren
Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 1107-30:
Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-26:
Hallo 2xgrt,
Der wesentliche Fehler, den du machst, ist in der Definition der Negation. Die Negation zur "allen" ist "keiner", nicht die "wenigstens ein"

Hallo Irena,

da liegst du falsch, denn das ist ganz und gar nicht so.
Bitte lese die ersten 3 Zeilen des Abschnittes Einige prädikatenlogische Äquivalenzen in Wikipedia.

Okey, ich lasse mir das noch durch Kopf gehen.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Irena am 28.08.2012 um 12:29 Uhr.
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Beiträge: 1.503, Mitglied seit 17 Jahren
O´key, mein Fehler bezüglich alle Kretern. "Keiner" ist eine Negation zu "einem". Danke. Schön, es mal bewusst zu machen.

Dennoch meine Einwände bezüglich deiner Analyse bleiben.

Die volle Aussage ist nicht "alle Kreter lügen". Es ist folgende:

Ein Kreter sagt:"alle Kreter lügen".

Die Negation dazu ist:

Keiner Kreter sagt: "Alle Kreter lügen".

So ist es auch in dem Sinne russelschen Beweises.
Beitrag zuletzt bearbeitet von Irena am 28.08.2012 um 13:11 Uhr.
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Beiträge: 2.420, Mitglied seit 17 Jahren
Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 1107-22:
Wir anderen aber, denen das klar ist, sehen sofort, dass in der Situation, in der ein Kreter K sagt, "Alle Kreter lügen“ nur folgt
  • dass K lügt (was bedeutet, dass mindestens ein Kreter nicht lügt),
  • denn die Annahme, K lüge nicht, führt zu einem Widerspruch (was nach dem ältesten und wichtigsten Beweisprinzip, das die Mathematik kennt, aber nur bedeutet, dass diese Annahme eben nicht zutrifft — er also doch lügt).

Hallo Grtgrt,

ich sehe das ganz und gar nicht "sofort".
Meines Erachtens kann man aus Ks Aussage "Alle Kreter lügen" nicht ableiten, dass K lügt (vgl. hierzu auch meinen Beitrag Nr. 1107-5).

Begründung: Es könnte sich nach Prüfung der Aussagen aller übrigen Kreter herausstellen, dass alle übrigen Kreter (außer K) lügen.
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Beiträge: 1.503, Mitglied seit 17 Jahren
Claus schrieb in Beitrag Nr. 1107-33:
Begründung: Es könnte sich nach Prüfung der Aussagen aller übrigen Kreter herausstellen, dass alle übrigen Kreter (außer K) lügen.
Hallo Claus,
ich erlaube mir hier einmischen. Die Befragung alle Kreter erstens kein logischer Nachweiß eines Wiederspuchs. Zweitens du kann niemals sicher sein, dass du alle Kreter abgefragt hast. Es kann sich immer noch ein von dir unentdeckter Kreter in 6 Mlrd. Menschenmenge irgedwo versteckt sein. Z.B. hat sich auf Meer verscholen, von einem fremden Schiff gerettet und mit ihm ausgewandert. Er gilt zwar als tot, aber er lebt und von deiner Befragung wird nicht erfasst.
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Claus schrieb in Beitrag Nr. 1107-33:
Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 1107-22:
Wir anderen aber, denen das klar ist, sehen sofort, dass in der Situation, in der ein Kreter K sagt, "Alle Kreter lügen“ nur folgt
  • dass K lügt (was bedeutet, dass mindestens ein Kreter nicht lügt),
  • denn die Annahme, K lüge nicht, führt zu einem Widerspruch (was nach dem ältesten und wichtigsten Beweisprinzip, das die Mathematik kennt, aber nur bedeutet, dass diese Annahme eben nicht zutrifft — er also doch lügt).

Hallo Grtgrt,

ich sehe das ganz und gar nicht "sofort".
Meines Erachtens kann man aus Ks Aussage "Alle Kreter lügen" nicht ableiten, dass K lügt (vgl. hierzu auch meinen Beitrag Nr. 1107-5).

Begründung: Es könnte sich nach Prüfung der Aussagen aller übrigen Kreter herausstellen, dass ...


Hallo Claus,

das schöne an mathematischer Logik ist, dass wir mit ihrer Hilfe unser Problem lösen können auch OHNE alle Kreter befragen oder auch nur kennen zu müssen. Denn:

Wichtigstes Axiom mathematischer Logik ist der sog. Satz vom Widerspruch.
Er garantiert uns, dass, falls man aus gewissen Annahmen einen Widerspruch herleiten kann, wenigstens eine dieser Annahmen falsch sein muss.

Im vorliegenden Fall, haben wir 2 Annahmen (wobei wir die erste als Gewissheit sehen):
  • Annahme 1: K sagt: Alle Kreter lügen.
  • Annahme 2: K sagt die Wahrheit.
Aus Annahme 2 in Kombination mit Annahme 1 folgt, dass K lügt. Da das ein Widerspruch zu Annahme 2 ist, muss — so sagt der Satz vom Widerspruch — eine der Annahmen falsch sein. Da wir Annahme 1 als Gewissheit sehen, kann nur noch Annahme 2 falsch sein. Wir wissen also: K lügt.

Gruß, grtgrt

PS: Ich persönlich halte den Satz vom Widerspruch (Aristoteles hat ihn als erster formuliert und auf seine Bedeutung hingewiesen) für das wichtigste alle Naturgesetze.
 
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Hallo 2xgrt,

bitte nicht ärgern, aber es geht hier wieder um sprachliche "Feinheiten". Es geht nicht um mathematische Logik. Es braucht hier kein matheamtischer Formalismus um den Wiederspruch zu beweisen.


Hallo Claus,

Ich würde den Beweis des Paradoxons so aufzeigen:
Wir haben den Satz: "Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen" auf logische Konsistenz zu untersuchen.
Der Kreter, der es behauptet, gehört selbst zu allen Kretern, die lügen sollen. Die logische Folge: er lügt. Wenn er lügt, dann muss das Gegensatz zu "Alle Kreter lügen" gelten, eben: "nicht alle Kreter lügen". Wenn nicht alle Kreter lügen, dann gibt es ein Schlupfloch dafür, dass er lügt nicht in seiner Ursprungbehauptung. Das haben wir aber schon als unmöglich herausgestellt. Es bedeutet nur eins: der analysierende Satz ist nicht logisch konsistent.

Gruß
Beitrag zuletzt bearbeitet von Irena am 29.08.2012 um 08:29 Uhr.
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Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-36:
Hallo 2xgrt,

bitte nicht ärgern, aber es geht hier wieder um sprachliche "Feinheiten". Es geht nicht um mathematische Logik. Es braucht hier kein matheamtischer Formalismus um den Wiederspruch zu beweisen.


Hallo Claus,

Ich würde den Beweis des Paradoxons so aufzeigen:
Wir haben den Satz: "Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen" auf logische Konsistenz zu untersuchen.
Der Kreter, der es behauptet, gehört selbst zu allen Kretern, die lügen sollen. Die logische Folge: er lügt. Wenn er lügt, dann muss das Gegensatz zu "Alle Kreter lügen" gelten, eben: "nicht alle Kreter lügen". Wenn nicht alle Kreter lügen, dann gibt es ein Schlupfloch dafür, dass er lügt nicht in seiner Ursprungbehauptung. Das haben wir aber schon als unmöglich herausgestellt. Es bedeutet nur eins: der analysierende Satz ist nicht logisch konsistent.

Gruß

Hi, Irena, ich hab erst später bemerkt, dass du auf meinen Beitrag eingegangen bist, dafür sorry!

Du bist nicht aus dem „deutschen Sprachraum“? Da wär ich jetzt aber mal gar nicht drauf gekommen! ;-), (und bitte, das war jetzt ein positiver Scherz).

Nein, im Ernst, es gibt genug Deutsche, die der deutschen Sprache weniger mächtig sind als du.

Ich glaube, hier kommen wir zum Kern: Es ist weniger ein Verständnis- als ein Verständigungsproblem, und auch ein Definitionsproblem, ich stürze selbst auch ständig in diese Fallen.

Zunächst führt die Aussage „Alle Kreter lügen“ tatsächlich zu einem Paradoxon, wenn die Aussage von K stammt und er gleichzeitig ein Kreter ist. In dieser Hinsicht stimme ich dir zu. Die weitere Analyse beschäftigt sich aber damit, wie es zu diesem Widerspruch kommt und vor allem auch, wie könnte eine Lösung aussehen.

Der Weg zur Lösung liegt in der Erkenntnis, dass es einer Zusatzbedingung bedarf, nämlich in der Form: Sagen all die Kreter, die etwas über Kreter aussagen, die Wahrheit? Diese Kreter sind dann sozusagen eine „Metamenge“, und in unserem Fall ist K das einzige Element dieser Menge. Dann kann eine Aussage von K „w“ oder „f“ sein, und zwar unabhängig davon, was er über die Menge der Kreter sagt.

Wenn ich die Lösung nicht über diesen Weg suche, komme ich durch logisches Schließen – so wie von Gebhard dargelegt - auf eine leere Aussage, und dass meinte ich, als ich ihm Recht gab. Worin ich ihm nicht zustimme ist sein Verständnis des Begriffes „Paradoxon“.
Wir haben Paradoxa und die Möglichkeit, sie aufzulösen ( wie gesagt, ich bin da häufig auch nicht genau wie gewünscht).
Signatur:
Herr Oberlehrer

Die Wolken ziehen hin. Sie ziehen auch wieder her.
Der Mensch lebt einmal. Dann nicht mehr.

(Donald Duck)
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Irena schrieb in Beitrag Nr. 1107-36:
... es geht hier wieder um sprachliche "Feinheiten". Es geht nicht um mathematische Logik ...

Hallo Irena,
sofern man die Aussage

Ein Kreter K sagt: "Alle Kreter lügen.“


nicht unter streng (formal-) logischen Gesichtspunkten betrachten will, sondern stattdessen in rein sprachlich-semantischer Hinsicht, kann man einfach nur festzustellen, dass sie zu ungenau formuliert ist. Vor allem ihrer Ungenauigkeit wegen erscheint sie uns paradox.

Die Ungenauigkeit besteht darin, dass zu lügen, auf gleich fünf unterschiedliche Weisen etwas ganz Unterschiedliches bedeuten kann, wobei aber nicht geklärt ist, was K gemeint hat:
  • meint er, dass alle Kreter stets lügen, oder nur hin und wieder?
  • meint er, dass ihre Lüge eine objektive Lüge ist (oder eine nur subjektive)?
  • meint er, dass jede ihrer Lügen derselben dieser Kategorien zuzurechnen ist, oder meint er, dass die Kategorie von Fall zu Fall eine andere sein kann?
Sollte dir nicht klar sein, was eine objektive Lüge von einer subjektiven unterscheidet, lies bitte nach auf Seite Falsches, Korrektes und Nachdenkenswertes: Es findet sich dort ein Beispiel (das mit dem Semmelpreis).

Gruß, grtgrt
 
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Henry schrieb in Beitrag Nr. 1107-37:
Der Weg zur Lösung liegt in der Erkenntnis, dass es einer Zusatzbedingung bedarf, nämlich in der Form: Sagen all die Kreter, die etwas über Kreter aussagen, die Wahrheit? Diese Kreter sind dann sozusagen eine „Metamenge“, und in unserem Fall ist K das einzige Element dieser Menge. Dann kann eine Aussage von K „w“ oder „f“ sein, und zwar unabhängig davon, was er über die Menge der Kreter sagt.

Der Kern des Problems ist, dass die Wahrheit können alle Kreter sagen. Nur verneinende Aussage bringt zum Widerspruch.
Ein Katalog, der alle Kataloge auflisten, die sich selbst auflisten, bringt zu keinem Widerspruch. Auch ein Kreter, der behauptet, dass allle Kreter nur Wahrheit sagen - auch nicht. Nur selbstereferenzierte Aussage, die sich selbst verneint bringt zum Widerspruch.

Es zeigt die Grenzen der Erkenntnisfähigkeit. Wir umgehen das Problem in dem wir die Metaebenenen bilden. Dennoch gibt es immer noch allesumfassende Ebene, die diesen widerspruch kann nicht entgehen. Aber auch unserer Drang nach der Suche des Elementaren stößt auf gleiches Problem. Letztendlich bekommen wir eine leere Ebene, die nur sich selbst enthält.

Zum Glück entsteht nicht immer ein Widerspruch. Man hat eine Zukunft, wenn sich behauptet - nicht verneint. Es ist eben der Gesetz der (reelle) Natur, die in unserer Logik wiederspiegelt.
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Grtgrt schrieb in Beitrag Nr. 1107-38:
nicht unter streng (formal-) logischen Gesichtspunkten betrachten will, sondern stattdessen in rein sprachlich-semantischer Hinsicht, kann man einfach nur festzustellen, dass sie zu ungenau formuliert ist. Vor allem ihrer Ungenauigkeit wegen erscheint sie uns paradox.

Bitte bitte, statt so viel Text rum herum zu schreiben, formulierst einfach genauer. Dann sehen wir...
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